Modelagem Processos Quimicos MATLAB

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CAPÍTULO 1 
Modelagem Dinâmica de Processos 
Ofélia de Queiroz F. Araújo 
Escola de Química – Universidade Federal do Rio de Janeiro 
Edição: 09/2003 
 
1 
 
INTRODUÇÃO 
 
1. Processo: Conjunto de Equipamentos interligados e procedimentos para produzir um 
(ou mais) produto(s) a partir de matérias-primas. 
 
2. Variáveis: Em cada processo temos variáveis (T, F, x, P, etc) que indicam o ESTADO 
do processo, em cada instante (comportamento dinâmico) 
 
Modelagem Matemática 
 
O desenvolvimento das equações que relacionam as diferentes variáveis (de entrada e de 
saída) e a determinação dos parâmetros associados é conhecido como modelagem 
matemática de processos. 
 
 
 
 
PROCESSO
Variáveis de
Entrada
Variáveis de
Saída
 
 
 
Nota: As variáveis de entrada são entradas manipuladas e perturbações (que afastam o 
processo do seu estado estacionário, e são a principal razão para o uso de CONTROLE de 
processos). 
 
Com esta finalidade, são usadas equações de balanço (massa, energia e momento) que 
descrevem o comportamento do processo a partir das leis que regem os fenômenos físicos e 
químicos. A esta forma de obtenção dos modelos dá-se o nome de modelagem 
fenomenológica. Também são utilizadas equações empíricas (um conjunto de equações 
algébrico - diferenciais, em princípio sem relação com as equações de balanço), gerando 
um modelo cuja estrutura (número e tipo de equações) e parâmetros são obtidos a partir de 
dados experimentais, por correlação ou ajuste. A esta forma de modelar dá-se o nome de 
identificação de processos. Uma vez determinado o modelo do processo, a resolução 
numérica das equações permite determinar os valores que as variáveis de saída deverão 
adotar em diferentes condições de operação (variáveis de entrada), este procedimento é 
chamado de simulação de processos . 
 
Os modelos matemáticos são ferramentas preciosas na análise e no controle de processos. 
Através da simulação, e portanto com conhecimento de um modelo do processo, é possível 
analisar o seu comportamento para diferentes condições de operação. Cabe salientar que 
esta forma de análise é mais rápida e segura do que realizar testes em uma planta real. 
Neste ponto, é importante lembrar que o modelo é uma aproximação das "leis" que regem o 
comportamento da planta e portanto poderão ocorrer diferenças entre o comportamento do 
processo e o comportamento previsto pelo modelo. 
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 Análise Identificação Controle 
 
 
Classificação dos Modelos de Processos 
 
Os modelos podem ser classificados de acordo com a natureza das equações envolvidas. 
 
a) Quanto à dependência na variável tempo: 
 
-modelo estacionário: todas as variáveis são independentes da variável tempo 
-modelo dinâmico: uma ou mais variáveis são dependentes da variável tempo. 
 
b) Quanto à linearidade: 
 
Para um processo com várias variáveis de entrada e saída consideremos y o vetor 
de variáveis de saída e u o de variáveis de entrada, o modelo do processo pode ser 
representado de forma geral por: 
d
dt
y
H y, u, t= ( ) (onde H é um "operador"). Se o 
operador H e as condições de contorno forem lineares o modelo é dito linear . 
Caso contrário, o modelo é não-linear. Embora a natureza apresente, em geral, 
comportamentos não lineares, os modelos lineares são muito utilizados pela 
facilidade do tratamento matemático. Deve considerar-se que um modelo linear é 
uma aproximação, às vezes grosseira, da realidade, e sabendo disto, os resultados 
obtidos na simulação de um modelo linear devem ser utilizados com cautela. 
 
c) Quanto a variações espaciais: 
 
-modelo de parâmetros concentrados (LUMPED): os parâmetros e as variáveis de 
saída são homogêneos em todo o sistema representado. As equações resultantes são 
Equações Diferenciais Ordinárias, com o tempo como variável independente. 
Exemplo: representação dinâmica de um reator CSTR. 
 
-modelo de parâmetros distribuídos: considera variações espaciais no 
comportamento do sistema, e portanto é representado por Equações Diferenciais 
Parciais. Exemplo: Reator PFR, dinâmico. 
 
y y ? ? u u 
Modelo ? Modelo 
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Controle de Processos 
 
Os modelos são importantes no projeto de estratégias de controle, sintonia de controladores 
e projeto de "leis de controle", já que sempre é necessário "algum" conhecimento do 
processo. 
 
Os objetivos do controle de processos na operação de uma unidade industrial são: 
 
 a) suprimir a influência de perturbações; 
 b) estabilizar o estado operacional de um processo; e 
 c) otimizar o desempenho do processo. 
 
Em qualquer destas situações, há necessidade de se prever como, quando e quanto os 
efeitos das entradas afetarão a saída do processo. Esta necessidade é atendida por modelos 
matemáticos do sistema. 
 
a) Suprimir a influência de perturbações 
 
 Para tal dispõe-se das estratégias: 
 
- Controle por realimentação ("feedback"): uma malha de controle por 
realimentação é composta por um dispositivo para medição da variável a ser 
controlada (saída do processo), um comparador para cálculo do desvio entre o 
valor de referência (set point) e o valor medido, e um controlador que atua, de 
acordo com o desvio calculado, sobre uma variável manipulada (normalmente 
vazão) para compensar os efeitos das perturbações. 
 
 
 PROCESSO
CONTROLADOR
Variáveis de Saída
Variáveis Manipuladas Variáveis Controladas
Variáveis de Perturbação
SP
 
No exemplo de tanque de aquecimento, pode-se controlar a temperatura de saída T 
e o nível no tanque h (variáveis de saída medidas), atuando-se na vazão de vapor 
W e/ou na vazão de alimentação F (variáveis manipuladas), em resposta a 
flutuações em Ti (variável de perturbação): 
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- Controle por antecipação ("feedforward"): o controle por antecipação mede a 
perturbação e atua no processo antes que este sinta os efeitos desta variação. Este 
controlador atua de acordo com um modelo do processo. A estrutura do controle 
por antecipação é representada a seguir: 
 
 CONTROLADOR
PROCESSO
Variáveis de Perturbação
(medidas)
Variáveis Controladas
Variáveis Manipuladas 
 
 
No exemplo do tanque de aquecimento, pode-se conceber um controle de 
temperatura de saída T medindo-se a temperatura de alimentação Ti e atuando-se 
no vapor de aquecimento W para compensar possíveis flutuações na variável de 
perturbação. Para este tipo de controle é necessário um modelo apurado do 
processo, já que a ação de controle é calculada sem medição da temperatura de 
saída T. 
 
- Controle "feedback" combinado ao "feedforward": devido a imperfeições do 
modelo ou efeito de perturbações não medidas, freqüentemente utiliza-se a "ação 
de controle de acordo com a perturbação" (feedforward) combinada à "ação 
conforme o desvio da variável controlada" (feedback). 
 
 CONTROLADOR
PROCESSO
Variáveis de Perturbação
(medidas)
Variáveis Controladas
Variáveis Manipuladas
CONTROLADOR SP
FEEDBACK
 FEEDFORWARD
 
 
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b) Estabilizar o Estado Operacional de um ProcessoUm processo é dito estável se a resposta transiente a uma entrada limitada produz 
uma saída limitada quando o tempo tende a infinito, e instável se a saída crescer 
sem limites. Uma possível representação da resposta destes dois casos está 
apresentada a seguir. 
 
Resposta estável 
 
Dado o sistema 
 
dy
dt
y y
dy
dt
y y
1
1 2
2
1 2
10
10 2
= - *
= * - *
 
 
que representa um processo estável sem perturbações, a simulação consiste em 
resolver o sistema de equações para uma sequencia de valores de t. 
Por exemplo usando Euler podemos resolver: 
 
 
 
 clear all 
 %CONDIÇÕES INICIAIS 
 y=[1 ;1]; 
 %VETOR PARA ARMAZENAR VALORES DE y(t) 
 yp=[]; 
 %VETOR DE VALORES DE TEMPO 
 t=[]; 
 %SOLUÇÃO DE EQUAÇÃO DIFERENCIAL POR EULER 
 for i=0:.01:2, 
 y(1)=y(1)+0.01*(y(1)-10*y(2)); 
 y(2)=y(2)+0.01*(10*y(1)-2*y(2)); 
 yp=[yp y]; 
 t=[t i]; 
 endv 
 %GRAFICAÇÃO DE RESULTADOS 
 plot(t,yp) 
 xlabel('tempo') 
 ylabel('y') 
 
Cuja resposta é: 
 
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0 0.5 1 1.5 2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
tempo
y
 
 
 
Resposta instável 
 
Dado o sistema 
 
dy
dt
y y
dy
dt
y y
1
1 2
2
1 2
10
10 2
= - *
= * + *
 
 
que representa um processo instável sem perturbações, a simulação consiste em 
resolver o sistema de equações para uma seqüência de valores de t. 
De forma semelhante ao caso anterior usando Euler podemos resolver: 
 
 clear all 
 %CONDIÇÕES INICIAIS 
 y=[1 ;1]; 
 %VETOR PARA ARMAZENAR VALORES DE y(t) 
 yp=[]; 
 %VETOR DE VALORES DE TEMPO 
 t=[]; 
 %SOLUÇÃO DE EQUAÇÃO DIFERENCIAL POR EULER 
 for i=0:.01:2, 
 y(1)=y(1)+0.01*(y(1)-10*y(2)); 
 y(2)=y(2)+0.01*(10*y(1)+2*y(2)); 
 yp=[yp y]; 
 t=[t i]; 
 end 
 %GRAFICAÇÃO DE RESULTADOS 
 plot(t,yp) 
 xlabel('tempo') 
 ylabel('y') 
 
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Cuja resposta é: 
0 0.5 1 1.5 2
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
tempo
y
 
 
 
 
 
 
 Exemplo: 
 Uma solução analítica pode ser determinada por: 
 
 clear all 
 whitebg 
 %solução analitica para as condições iniciais x(0)=1 e y(0)=1 
 [x,y] = dsolve('Dx = x - 10*y', 'Dy = 10*x + 2*y', 'x(0)=1', 
 'y(0)=1'); 
 %solução em x 
 figure(1) 
 ezplot(x) 
 %solução em y 
 figure(2) 
 ezplot(y) 
 
Cuja resposta é: 
 
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c) Otimizar o desempenho de um processo 
 
Os valores especificados das variáveis controladas (set points) definem o ponto de 
operação do processo, e a seleção deve ser ótima para maximizar (ou minimizar) 
algum critério de desempenho (função objetivo). 
 
Exemplo: Reator em batelada, com reações endotérmicas em série A®B®C, cujo 
objetivo é maximizar a produção do produto B com mínimo custo de vapor. A 
reação se dá em dois períodos. No 1º período, aplica-se alta temperatura (e 
consequentemente alto W) para maximizar produção de B. No 2º período, reduz-se 
W para inibir a produção de C (sem valor comercial) e reduzir consumo de vapor. 
 
A
A,B,C
A B C
k k
1 2
W
W
máximo
W
tt
r
Perfil Ótimo de Fluxo de Vapor 
 Maximizar F
t R
= ò
0
(Preço de B - ( Custo de A + Custo de Vapor)) dt 
 
No desenvolvimento de uma estratégia de controle, é preciso determinar COMO 
atuar nas variáveis manipuladas para manter certas variáveis (variáveis 
controladas) nos seus valores de referência (set-points) o maior tempo possível de 
forma a atingir os objetivos de produção. Para tal, é preciso um modelo do 
processo (fenomenológico, puramente empírico ou, como utilizado mais 
recentemente, híbrido, parte fenomenológico e parte empírico). 
 
 
 
Objetivos do Curso: 
 
1. Analisar a dinâmica dos processos 
2. Construir modelos matemáticos de forma a quantificar as análises 
3. Estudar Técnicas para a resolução das equações que compõem o modelo 
4. Introduzir métodos de simulação 
 
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1 
 
PRINCÍPIOS DE MODELAGEM 
 
Introdução 
 
O objetivo da modelagem é determinar um conjunto de equações matemáticas 
(diferenciais, algébricas e integrais) que permitam descrever o comportamento do 
processo quando são modificados parâmetros e/ou variáveis deste. A abordagem que 
faremos neste curso visa descrever o comportamento dinâmico de um processo e, para 
isto, serão utilizadas equações algébrico - diferenciais e analisadas, principalmente, as 
respostas das variáveis de saída (variáveis controladas) quando introduzidas 
perturbações nas suas variáveis de entrada (variáveis de entrada, e perturbação ou 
carga). A este tipo de análise chamaremos de "análise da resposta dinâmica". Outros 
tipos de análise, como por exemplo sensibilidade paramétrica, não serão abordados. 
 
Um modelo realista do processo deve incorporar todos os efeitos dinâmicos 
importantes, mantendo as variáveis e equações em um número razoável. Assim, serão 
atendidos os objetivos da simulação da forma mais simples possível. 
 
PROCESSO
Variáveis Manipuladas Variáveis Controladas
Variáveis de Perturbação
d
m y = f ( ,m d)
 
 
Considerando que o processo apresenta número total de variáveis (NVt) igual à soma 
das variáveis de entrada e variáveis de saída, as equações do modelo (diferenciais e 
algébricas) devem fornecer uma relação única entre as entradas (variáveis de 
perturbação - NP, e variáveis manipuladas) e as saídas (variáveis controladas inclusive). 
Para tal é necessário que o número de variáveis (NV) seja igual ao número de equações 
(NE). 
 
O grau de liberdade (NL), definido como a diferença entre NV e NE, deve ser zero ou o 
sistema terá infinitas soluções. Para zerar NL, tem-se: 
 
a) as variáveis de perturbação (NP) são fixadas pelo meio externo: NV = NVt-NP. 
Isto é, estas variáveis são conhecidas ao longo do tempo. 
 
b) os objetivos de controle impõem tantas equações quanto as necessárias para que 
NL=0. 
 
 
 
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2 
 
 
 
Metodologia de Modelagem 
 
A modelagem de processos pode ser realizada de duas formas; a partir das leis 
fundamentais de física e química (fenomenológica), e a partir da informação contida nas 
variáveis de processo registradas ao longo do tempo (empírica). Sem dúvida que 
nenhuma destas metodologias é autocontida e simplesmente foram definidas de forma 
diferentes levando em consideração a ênfase que se dá à fonte primária de informação 
ou conhecimento. 
 
a) Metodologia Empírica (Identificação de Processos) 
 
O número e tipo de equações a serem utilizadas em um modelo empírico é 
determinado de acordo com o comportamento dinâmico do processo. Uma 
análise quantitativa e qualitativa dos efeitos experimentais apresentados nas 
variáveis do processo (saídas) quando introduzidas perturbações nas condições 
de operação (entradas), conjuntamente com critérios de projeto, permitem 
determinar a estrutura do modelo (número e tipo de equações) e os parâmetros 
associados. 
 
No esquema abaixo, observa-seque o comportamento do modelo proposto é 
comparado ao do processo para validar a proposta do modelo. A 
parametrização permite ajustar o modelo escolhido de forma a reproduzir o 
mais fielmente possível o comportamento do processo. 
 
 
 
 
 Proposta
do
Modelo
1ª ordem
2ª ordem
3ª ordem
1ª ordem mais
tempo morto
Modelo
Processo
Parametrização
ycalc
a , a ...0 1
x
y
ycalc = f ( x , a , a ...)0 1
 
 
 
 
Na parametrização, os parâmetros do modelo são ajustados de forma a 
minimizar a diferença y y calc- , onde y calc é a saída calculada de acordo com o 
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modelo proposto e y as saídas do processo. Em geral, a minimização é 
realizada a partir do erro quadrático ( )y ycalc- 2 . A descrição detalhada deste 
tipo de modelagem será realizada em capítulo proprio do tema. 
 
 
b) Metodologia Analítica 
 
Utiliza os princípios fundamentais (leis físicas, químicas e físico-químicas) tais 
como as leis de conservação de massa, energia e momento, para determinar as 
equações diferenciais e algébricas que compõem o modelo. Na formulação do 
modelo, os passos importantes a serem seguidos são: 
 
Ø Esboçar diagrama esquemático do processo, rotulando todas as variáveis relevantes; 
Ø Definir limites físicos; 
Ø Determinar e selecionar as variáveis de perturbação e resposta; 
Ø Determinar o âmbito de utilização do modelo. 
Ø Formular hipóteses simplificadoras que reduzam a complexidade do modelo mas 
retenham as características mais relevantes do comportamento dinâmico do processo 
(o modelo não deve ser mais complicado do que o necessário aos objetivos pré-
determinados); 
Ø Fixar as condições de operação (variáveis) e parâmetros que serão considerados 
invariáveis com o tempo (constantes). 
Ø Aplicar as leis apropriadas para descrever estados em regime estacionário e em 
regime dinâmico; 
Ø Verificar a consistência matemática do modelo: o grau de liberdade deve ser zero. 
Verificar a consiStência de unidades nos termos das equações; 
Ø Manter em mente as técnicas disponíveis para resolução do modelo matemático; e 
Ø Verificar se os resultados do modelo descrevem o fenômeno físico modelado. Nesta 
etapa, cabe comparar dados experimentais de entrada e saída do processo com 
resultados de simulações feitas a partir dos dados de entrada experimentais. 
 
 
 
 
Variáveis de Estado e Equações de Estado 
 
As "variáveis de estado" de um sistema é um conjunto de variáveis que permitem 
representar o comportamento dinâmico do sistema. Dado um conjunto de variáveis de 
estado do sistema, é possível conhecer o comportamento futuro a partir do 
conhecimento dos valores destas variáveis no instante presente e de todas as 
perturbações do instante presente em diante. O valor deste conjunto de variáveis de 
estado em um determinado instante de tempo é chamado "estado". As equações que 
relacionam as variáveis de estado (variáveis dependentes) às perturbações (variáveis 
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independentes) são ditas "equações de estado", e são derivadas da aplicação do princípio 
da conservação às grandezas fundamentais do sistema (massa, energia e momento). 
 
Leis Fundamentais da Conservação 
 
Considere o sistema abaixo onde temos N entradas e M saídas e onde as letras Q e W 
representam calor e trabalho intercambiados com o meio, respectivamente: 
 
 
 
 
Q
W
.
..
1
2
N .
..
1
2
M
s
Entradas Saídas
 
 
 
 
As equações de estados são obtidas aplicando-se o Princípio da Conservação. Para uma 
grandeza S, temos que: 
 
 
 
[tempo]
e S][Consumo d
[tempo]
e S][Geração d
[tempo]
S][Saída de 
[tempo]
e S][Entrada d
[tempo]
de S][Acúmulo
-+-= 
 
 
3 Quantidades Fundamentais: Massa, Energia e Momentum. 
 
 
Na modelagem de processos químicos, utiliza-se freqüentemente: 
 
 
a) Balanço de Massa Total 
 
b) Balanço de Massa por Componente 
 
c) Balanço de Energia 
 
d) Conservação de Momento 
 
 
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Balanço de Massa Total: 
 
d V
dt
Fi ii
NE
Fjj
NS
j
( )r
r r=
=
å -
=
å
1 1
 
 
onde 
 
Fi = vazão volumétrica da i-ésima corrente. 
ri = densidade da i-ésima corrente. 
NE = número de correntes de entrada. 
NS = número de correntes de saída. 
 
 
Exemplo: Formulação de Modelo para Tanque de Nível 
 
 
a)Representação Esquemática do Processo e Definição dos Limites Físicos: 
 
 
 h
Fi
F
TANQUE
F h
Fi
 
 
 
 
b)Identificar e selecionar variáveis de perturbação e resposta: 
 
variável de perturbação: Fi(t) (NP=1) 
variável manipulada (variável de entrada): F(t) (vazão volumétrica) 
variável controlada (variável resposta): h(t) 
 
c) Formular Hipóteses Simplificadoras 
-densidade constante (composição constante) 
-temperatura constante 
 
d)Fixar condições e parâmetros: 
 
parâmetros: densidade (r), área transversal do tanque(A). 
condições iniciais:F F F F e h hi i( ) ; ( ) ( ),0 0 00 0 0= = = (condições em t=0) 
 
d)Aplicação das leis de conservação 
 
Dadas as simplificações introduzidas, o único balanço relevante é o balanço de massa: 
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taxa de acúmulo: 
dt
dh
A
dt
tdm
r=
)(
 ( Ahm r= , com h = altura do tanque) 
 
taxa de alimentação: iFr 
 
taxa de saída: Fr 
 
balanço: FF
dt
dh
A i rrr -= 
 
modelo estacionário: iFFdt
dh
=\= 0 
 
e)Verificar consistência matemática: 
 
número total de variáveis: 3 (F F hi , e ) 
número de equações: 1 (balanço de massa) 
número de variáveis de perturbação: 1 (Fi) 
NV=NVt-NP=3-1=2 
grau de liberdade: NL=NV-NE=2-1=1 
 
Para zerar o NL, torna-se necessária mais uma equação. Recorre-se à equação que 
fornece a vazão como função da altura da coluna de líquido (F f h= ( )). 
 
f)Resolução: 
 
 Partindo-se do modelo 
 
A
F
A
F
dt
dh
FF
dt
dh
A
FF
dt
dh
A
i
i
i
-=
-=
-= rrr
 
 
e considerando 
 
F
h
R
= 
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onde R representa a resistência ao escoamento. Tem-se: 
 
dh
dt
F
A
h
RA
i= - 
 
 
cuja solução é: 
 
( )h RF ei t RA= - -1 
 
ou seja, esta equação permite conhecer a altura de fluido no tanque para qualquer 
instante de tempo e para qualquer valor da perturbação (Fi). 
 
Uma solução numérica pode ser obtida utilizando o seguinte programa: 
 
% Simulação de um tanque de nível 
global R A Fi tfin 
% parâmetros do modelo: 
Fi=1.2; 
R=30; 
A=1; 
%condição inicial e tempos de integração: 
tin=0; 
tfin=1; 
h0=1; 
x0=h0; 
%integração: 
[t,x]=ode23('dhdt',tin,tfin,x0); 
%gráfico: 
plot(t,x,'+b') 
hold on 
plot(t,x,'b') 
xlabel('tempo') 
ylabel('nível (h)') 
line([0.48; 0.48],[1 1.578]) 
hold off 
 
function dh=dhdt(t,x) 
global R A Fi tfin 
%perturbação: 
if t>=tfin/2; 
 Fi=1.5; 
end 
F=x/R; 
dh=(Fi-F)/A; 
 
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0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
1
1.5
2
tempo
ní
ve
l (
h)
 
 
 
Balanço de Massa por Componente 
 
 
A componente do volumede unidadepor reação de taxaa ér 
A componente domolar ãoconcentraç a é AC
sistema noA componente do moles de número o é An
global balanço no como definidos são iF e NS NE,
:onde
,
1
,
1
)()(
rVjAC
NS
j
jFiAC
NE
i
iFdt
VACd
dt
And +å
=
-å
=
==
 
 
 
Exemplo:Modelo para Reator CSTR 
 
a)Representação Esquemática do Processo e Definição dos Limites Físicos: 
 
 
 
 h
F, Ca(t)
 Reator
Ca(t),h(t)
Fi(t), Cai(t)
Fi(t), F(t)
Cai(t)
 
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b)Identificar e selecionar variáveis de perturbação e resposta: 
 
variável de perturbação: Cai(t) (NP=1) 
variável manipulada (variável de entrada): Fi(t), F(t) (vazões volumétricas) 
variável controlada (variável resposta): Ca(t), h(t) 
 
c) Formular Hipóteses Simplificadoras 
 
densidade constante (composição constante) 
temperatura constante 
cinética de primeira ordem 
 
 
d)Fixar condições e parâmetros: 
 
parâmetros: densidade (r), área transversal do tanque(A), constante de reação k 
condições iniciais: 00,0,0, )0()0(,)0(,)0(;)0( hheCCFFCCFF aaoaiaiii ===== 
 
d)Aplicação das leis de conservação 
 
Com as simplificações introduzidas, os únicos balanços relevantes são o balanço de 
massa total e por componente 
 
Balanço Global: 
 
taxa de acumulação: 
dt
dh
A
dt
tdm
r=
)(
 
taxa de alimentação: iFr 
taxa de saída: Fr 
 
balanço: FF
dt
dh
A i rrr -= 
modelo estacionário: iFFdt
dh
=\= 0 
 
Balanço por Componente 
 
VkCrV
rVaFCia
CiFdt
VACd
dt
And
a=
+-==
)()(
 
 
e)Verificar consistência matemática: 
 
BA AkCr ¾¾ ®¾ =
CAPÍTULO 2 
Modelagem Dinâmica de Processos 
Ofélia de Queiroz F. Araújo 
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10 
 
número total de variáveis: 5 ( hCFF aaii e C,,, ) 
número de equações: 2 (balanço de massa total e para o componente A) 
número de variáveis de perturbação: 1 (Cai) 
NV=NVt-NP=5-1=3 
grau de liberdade: NL=NV-NE=3-2=1 
 
Para zerar o NL, torna-se necessária mais uma equação. Recorre-se a equação que 
fornece a vazão como função da altura da coluna de líquido (F f h= ( ) , um controlador 
de nível, por exemplo). 
 
Uma solução numérica pode ser obtida utilizando o seguinte programa: 
 
% Para um reator CSTR (mistura perfeita) no qual 
% se conduz uma reação isotérmica (A->B), calcular 
% as variáveis dede estado a cada t, utilizando a rotina de 
% integração ode23 (Runge-Kuta) 
 
clear all 
global A ro V cai F Fi k 
%parâmetros do processo 
A=5; %ft2, área transversal do reator 
ro=50; %lb/ft3, densidade 
T=600; %R, temperatura do reator 
k0=7.08*10^10; %1/h, termo pre-exponencial da constante de reação 
%logo: 
%constante de reação na temperatura atual 
%k=k0*exp(-E/R/T); %1/h, constante de reação - Arrhenius 
%variáveis de entrada 
cai=0.5; %lbm/ft3, concentração da alimentação 
Fi=50; %ft3/hr, vazão de alimentação 
F=Fi; %vazão de retirada 
%condições iniciais 
ca=0.2; %lbm/ft3, concentração inicial no reator 
h=10; %ft, altura do reator 
 
x0=[ca h]'; 
 
%tempo de integração 
tini=0; 
tfin=10; 
 
%integração 
[t,x]=ode23('deriv1',[tini tfin],x0); 
 
%gráficos 
subplot(2,1,1),plot(t,x(:,1),'b') 
ylabel('Composição – lbm/h') 
xlabel('tempo(h)') 
subplot(2,1,2),plot(t,x(:,2),'b') 
ylabel('Altura - ft') 
xlabel('tempo(h)') 
 
 
function dcadt=deriv(t,x) 
global A ro V cai F Fi k 
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11 
 
%valores atuais das variáveis de estado 
ca=x(1); 
h=x(2); 
%derivada da concentração 
dca=(Fi*cai-F*ca)/(h*A)-k*ca; 
%derivada da altura 
dh=(Fi-F)/h; 
%vetor de derivadas 
dcadt=[dca dh]'; 
 
 
Balanço de Energia 
 
A 1ª Lei da Termodinâmica trata da Conservação da Energia 
 
 
d E V
dt
d U K V
dt
d E V
dt
Fii
NE
i Ui Ki i Fjj
NS
j U j K j j Q W
( ) [( ) ]
( ) ( ) ( )
r f r
r r f r f
= + +
=
=
å + + -
=
å + + + -
1 1
 
 
 (Fluxo entra por convecção) (Fluxo sai por convecção ou difusão) 
 
onde : 
 
E = energia total do sistema (energia por unidade de massa). 
U = energia interna. 
Q = calor adicionado por condução, radiação ou reação. 
K = energia cinética. 
f = energia potencial. 
 
W = Ws Pii 1
NE
Vi Pjj 1
NS
V j+ =
å -
=
å (trabalho) 
 
Ws = trabalho de eixo. 
W = trabalho de eixo + trabalho PV 
P = Pressão do sistema 
 
O trabalho para colocar (e retirar) uma unidade de massa no (do sistema) está 
representado pelos dois outros termos (somatórios). 
 
Em sistemas de engenharia química, as variações de energia cinética (K) e potencial (f ) 
são geralmente desprezíveis e, portanto E»U, WS»0. 
 
Como definição de entalpia: 
 
H U PV= + (onde V =V/r) 
 
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12 
 
tem-se que as variações de energia interna e trabalho realizado se resumem a variações 
de entalpia, substituindo as definições e introduzindo-se as simplificações acima, tem-
se: 
 
 
 
sWQjHj
NS
j
jFiHi
NE
i
iFdt
VEd
dt
dH
dt
dU
dt
dE
 , 
dt
dP
sWQjHj
NS
j
jFiHi
NE
i
iFdt
VEd
-+å
=
-å
=
=
@@=
-+å
=
-å
=
=
rr
r
rr
r
11
][
0
:líquidos para
11
][
 
 
As variações de energia são essencialmente funções de pressão, composição e, 
principalmente, de temperatura: 
 
Cp
H
T P
H VC p T Tref= \ = -( ) ( )
¶
¶
r 
 
por integração a P constante. 
 
 
QjHj
NS
j j
FiHi
NE
i i
F
dt
VCpTd
+å
=
-å
=
= rr
r
11
][
 
 
 
Conservação de Momento 
 
 
 
i direção na atuando força 
i direção na velocidade
:
1
)(
ésimajijF
iv
onde
N
i ij
F
dt
iMvd
=
=
å
=
=
 
 
 
onde : 
 
vi = velocidade na direção i. 
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13 
 
 FRij = j-ésima força atuando na direção I. 
 
 
Exemplo de Conservação de Momento 
 
Tanque com saída lateral, onde são relevantes as forças de atrito na seção de 
escoamento. 
 
Dados: 
 
 
Fh : força hidráulica (empurra o líquido) 
 
 
Fa : força de atrito (se opõe ao escoamento) 
 
 
F = Vazão volumétrica 
Ap = área da seção reta do tubo 
At = área da seção reta do tanque 
v = velocidade de escoamento do fluido 
M = massa de água no tubo 
 
Hipóteses: 
Escoamento empistonado 
Fluido incompressível 
 
Temos, então, o balanço de forças 
 
 
 
Da equação acima definimos o modelo como: 
 
 
 
 L 
ph ghAF r=
 
Fi 
F 
2
)(
LvkghAFF
dt
LvAd
Fpah
p -=-= r
r
ah FFdt
Mvd
-=
)(
rp
F
A
Lvk
L
gh
dt
vd 2)(
-=
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14 
 
 
Equações Adicionais 
 
a) Transporte de Calor e MassaAs equações de transporte descrevem a transferência de energia, massa e quantidade de 
movimento (momento) entre o sistema e a vizinhança. Estas leis têm a forma de um 
fluxo (taxa de transferência por unidade de área) proporcional a uma força motriz 
(gradiente de temperatura, concentração ou velocidade). A constante de 
proporcionalidade é uma propiedade física do sistema (coeficiente de troca térmica, 
difusividade e viscosidade). A nível molecular, tem-se as leis de Fourier, Fick e 
Newton. 
 
grandeza calor massa momento 
fluxo q N A t rz 
força motriz ¶
¶
T
z
 
¶
¶
C
z
A 
¶
¶
v
z
z 
propriedade K D m 
"lei" Fourier Fick Newton 
 
Fluxo = Constante * Força Motriz 
 
 
b) Equações de Estado Termodinâmico 
 
Descrevem como as propriedades físicas (densidade, entalpia) variam com temperatura, 
pressão e composição. Exemplos: 
 
Equação de gás ideal: PV nRT= 
 
Equação de Van der Waals: P
RT
V b
a
V
=
-
- 2 
 
Entalpia: dado C A A Tp = +1 2 
 
h C dTp
T
T
= ò
0
 (líquido) 
 
H v= +h l (vapor) 
 
com lv =calor de vaporização. 
 
Para mistura de componentes assumindo calor de mistura desprezível: 
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15 
 
h =
=
=
å
å
x h M
x M
j j j
j
NC
j j
j
NC
1
1
 
 
 
com x j = fração molar e M j = peso molecular. 
 
 
 
c) Equações de Equilíbrio Termodinâmico 
 
Descrevem as condições do sistema sob equilíbrio. Baseiam-se na segunda lei da 
termodinâmica. 
 
Equilíbrio Químico: 
 
 
n m
m m
jj
NC
j
j j RT Pj
=
å =
= +
1
0
0 ln 
n = coeficiente estequiométrico (>0 para produto). 
m j = potencial químico. 
m j
0 = potencial padrão (energia livre de Gibbs/mol). 
Pj = pressão parcial. 
 
 
Equilíbrio de Fase: (quando m mj j
I II= ) 
 
Determina a composição do vapor dada a composição do líquido e vice-versa. A fase 
vapor pode ser descrita como ideal pela Lei de Dalton (P y Pi i= ). A fase líquida, 
dependendo do sistema em questão, pode ser descrita pela Lei de Raoult; 
 
P x Pj j
s
j
NC
=
=
å
1
 
 
onde a pressão de vapor do componente puro pode ser calculado por exemplo pela 
equação de Antoine: 
 
( )ln P A
T
Bj
s j
j= + , 
 
 
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16 
 
pela Volatilidade Relativa; 
 
a ij
i
i
j
j
y
x
y
x
= 
 
 
por Constante de Equilíbrio 
 
K y x K f T x P
i
i
= =; ( , , ) 
 
 
 
ou como Líquido Não-Ideal. 
 
P x P
f x T
j j
s
j
j
NC
j
=
=
=
å g
g
1
( , )
 
 
com g j = coeficiente de atividade (se ideal g j=1). 
 
 
 
d) Equações Cinéticas 
 
 
Descrevem as taxas de reações químicas que ocorrem no sistema: 
 
Equação de Arrhenius é freqüentemente usada e representa uma das mais severas não-
linearidades em engenharia química: 
 
k k e
E
RT=
-
0 
 
 
E = energia de ativação 
 
R = constante dos gases 
 
 
 
 
 
 
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17 
 
Lei da Ação das Massas: 
 
 
reaçãopor moles de número do variação)(
)(
1
=
=
R
R
dt
jdn
onde
dt
jdn
Vj
R
n
 
 
 
Exemplo de Modelagem com Balanços de Energia e Massa 
 
Seja um tanque de aquecimento de área transversal A, representado esquematicamente 
abaixo: 
 
 Vapor (W)
Fi
Ti
F
T
h
 
 
 
2 Variáveis de Perturbação: Ti, Fi 
2 Variáveis de Entrada: Q,F 
2 Variáveis de Saída: h, T 
Para zerar grau de liberdade: NE=6-2=4=NV 
BM, BE, 2 controladores (Q=f(T) e F=g(h)) 
 
A seguir estão apresentadas de forma resumida as etapas na formulação do modelo do 
processo. 
 
hipótese simplificadora: densidade constante, Cp constante, variações de energia 
cinética e potencial desprezíveis 
 
 
 
Q(t) 
 
F(t) 
 Fi(t) Ti(t) 
 
TANQUE 
 
T(t) 
 
h(t) 
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18 
 
Balanço de Massa: 
 
d V
dt
d Ah
dt
A
dh
dt
F F A
dh
dt
F Fi i
r r
r r r= = = - \ = - 
 
A
FF
dt
dh i -= 
 
 
Balanço de energia: 
 
QHFHF
dt
VEd
iii +-= rr
r ][
 (1) 
 
mas K=0 (variações de energia potencial e cinética desprezíveis), e, por definição: 
 
 )()( refprefp TTAhCTTVCH -=-= rr (2) 
 
Substituindo (2) em (1) tem-se: 
 
QTTTT
dt
hATTCd
refrefi
refp +---=
-
)(CF )(CF
)(
ppii rr
r
 
 
QTTTT
dt
dT
h
dt
dh
TTAC refrefirefp +---=úû
ù
êë
é +- )(CF )(CF)( ppii rrr (3) 
 
 
Do balanço de massa em (3) tem-se: 
 
p
refrefiiref
i
ref C
Q
TTTT
dt
dT
hAFFT
A
FF
TTA
r
+---=+-+
-
- )(F )(F)(
)(
)( i 
 
pC
Q
TiTiFdt
dT
hA
r
+-= )( 
 
Em resumo, o modelo é formado por duas equações de estado: 
 
 
 
FiFdt
dh
A -= ou 
dV
dt
Fi F= - 
 
pC
Q
TiTiFdt
dT
hA
r
+-= )( ou 
pC
Q
TiTiFdt
dT
hA
r
+-= )( 
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19 
 
 
sendo V e T as variáveis de estado. Como variáveis de entrada tem-se Ti, Fi, q e F. Os 
parâmetros do modelo são: pCA ,, r 
 
No estado estacionário, tem-se: Ts , Ti,s, Fi,s 
 
 
%Simulação de um tanque de aquecimento 
global U A V ro Cp Fi Ti F Th tfin 
%parâmetros do modelo (no sistema Inglês de unidades): 
U=150; 
A=200; 
ro=50; 
Cp=0.75; 
%variáveis de entrada: 
Fi=40; 
F=38; 
Th=540; 
Ti=530; 
%condições iniciais: 
T=530; 
V=50; 
x0=[T V]'; 
 
%intervalo de integração: 
tin=0; 
tfin=1; 
 
%integração: 
%SINTAXE A SER ALTERADA SEGUNDO A VERSÂO DO MATLAB 
[t,x]=ode23('dtdv',[tin tfin],x0); 
 
%gráficos: 
subplot(2,1,1), plot(t,x(:,1),'r') 
xlabel('tempo (h)') 
ylabel('Temperatura (ºR)') 
subplot(2,1,2), plot(t,x(:,2),'b') 
xlabel('tempo (h)') 
ylabel('Volume (ft3)') 
 
 
function dTV=dtdv(t,x) 
global U A V ro Cp Fi Ti F Th tfin 
dV=Fi-F; 
dT=(Fi*(Ti-x(1))+U*A*(Th-x(1))/ro/Cp)/x(2); 
dTV=[dT dV]; 
 
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20 
 
 
 
 
 
Balanço de Massa e Energia Combinados: Modelo de Reator CSTR não 
Adiabático 
 
Em um reator não adiabático de mistura perfeita ocorre uma reação de primeira ordem 
exotérmica A Bk¾ ®¾ (ra=kCa). Ca é a concentração do reagente A, T a temperatura e F 
a vazão volumétrica. 
 
 
V
Água (W)
Fi
Ti
F
T
Ca i
Ca
 
 
 
O processo pode ser representado da seguinte forma: 
 
Variáveis e parâmetros: 
 
Variáveis de Estado (Variáveis de Saída): V, Ca, T 
 
Q(t) 
 
F(t) 
Cai(t) Fi(t) Ti(t) 
 
REATOR 
Ca(t) 
 
T(t) 
 
h(t) 
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21 
 
Variáveis de Entrada: Ca,i, Fi, Ti (Perturbação) e Q, F (manipuladas) 
Parâmetros: r, Cp,l=(-DHr)(>0, exotérmica),K0, E ,R 
NVt=8; NV = NVt - NVp = 8 – 3 = 5 
 
Equações: 
 
São necessárias 5 equações: BMt, BMA, BE, F=f(Ca) e Q=f(T) 
Hipóteses simplificadoras: densidade constante, Cp constante, variações de energia 
cinética e potencial desprezíveis. 
 
BM: 
 
Supor: 
a) 0
pC
 ; )Bn,Af(n p =¶
¶
=
T
C 
 
 
b) Balanço de Massa Total 
 
FiFdt
dV
FiFidt
Vd
-=\-= rr
r
 (1) 
 
 
BMA: 
 
VrFCFC
dt
VCd
dt
dn
AAiA
AA
i
+-==
)(
 
 
VrFCFC
dt
VCd
dt
dn
ABiB
BB
i
+-==
)(
 
 
 
 
BE: 
 
Sii WQFhhFdt
nhd
dt
Vhd
dt
Vhd
-+-=== rr
r
r
)()()(
 (h é entalpia por mol) 
 
Sii WQFhhFdt
nhd
dt
Vhd
dt
Vhd
-+-=== rr
r
r
)()()(
 
 
 
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22 
 
Notar que: 
 
BBAA hnhnnh
~~
+= 
 
logo 
 
dt
dT
T
H
dt
dn
h
dt
dn
h
dt
nhd B
B
A
A ¶
¶
++=
~~)(
 
 
e 
 
)()()( 11111111111 TTCpFThFThF -+= rrr 
 
 
dt
hd
n
dt
hd
n
T
H B
B
A
A
~~
+=
¶
¶
 
 
Assim: 
 
BBBiBBAAAAAAiAp hFChFChVrhVrhFChFCdt
dT
VC
dt
nhd
ii
~~~~~~)(
-+-+-+= r 
 
 
Também: 
 
))()(()( TTCThFThF ipiiiiiii -+= rr 
)
~~
( BBAA hChCFhF +=r 
))()
~~
()( TTCFhChCFThF ipiiBBAAiiiii ii -++= rr 
 
Logo: 
 
QhFChFCTTCFhCFhCF
hhVrhFChFChFChFC
dt
dT
VC
BBAAipiBBiAAi
BAABBBiBAAAiAp
iii
ii
+---++=
-+-+-+
~~
)(
~~
)
~~
(
~~~~
r
r
 
 
obs: 
 
ABreação HHH
~~ -=D 
 
calor gerado na reação por mol de A reagido 
 
 
reaçãoA HVrTTCpFdt
dT
VCp D+-= )( 1111rr 
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23 
 
 
 
% Para um reator CSTR (mistura perfeita) no qual 
% se conduz uma reação exotérmica (A->B), resfriado 
% por serpentina, este programa calcula, as variáveis 
% de estado a cada t, utilizando a rotina de 
% integração ode23 (Runge-Kuta) 
clear all 
global U A Tc Ti E DeltaH Cp ro V k0 R Fi cai F 
%parâmetros do processo 
U=150; %BTU/(h.ft2.R), coeficiente de troca térmica 
A=250; %ft2, área de troca térmica 
DeltaH=-30000; %BTU/lbm, calor de reação 
ro=50; %lb/ft3, densidade 
Cp=0.75; %BTU/(lbm.R), calor específico 
E=30000; %BTU/lbm, energia de ativação 
R=1.99; %BTU/(lbm.R), constante dos gases 
k0=7.08*10^10; %1/h, termo pre-exponencial da constante de reação 
%variáveis de entrada 
cai=0.5; %lbm/ft3, concentração da alimentação 
Fi=40; %ft3/hr, vazão de alimentação 
F=41; %vazão de retirada 
Tc=594.6; %R, temperatura do fluido de refrigeração 
Ti=530; %R, temperatura da alimentação 
%condições iniciais 
ca=0.16; %lbm/ft3, concentração inicial no reator 
T=603; %R, temperatura do reator 
V=48; %ft3, volume do reator 
x0=[ca T V]'; 
%tempo de integração 
tini=0; 
tfin=10; 
%integração 
[t,x]=ode23('deriv',tini,tfin,x0); 
%gráficos 
subplot(3,1,1), plot(t,x(:,1),'c') 
ylabel('concentração - lbm/ft3') 
subplot(3,1,2), plot(t,x(:,2),'g') 
ylabel('Temperatura - ºR') 
subplot(3,1,3), plot(t,x(:,3),'g') 
ylabel('Volume - ft3') 
xlabel('tempo(h)') 
 
function dcadt=deriv(t,x) 
global U A Ti Tc E DeltaH Cp ro V k0 R Fi cai F 
%perturbação de 50% na vazão da alimentação, 
if t>=5 
 Fi=40; 
else 
 Fi=50; 
end 
%valores atuais das variáveis de estado 
ca=x(1); 
T=x(2); 
V=x(3); 
%constante de reação na temperatura atual 
k=k0*exp(-E/R/T); %1/h, constante de reação - Arrhenius 
%derivada da concentração 
dca=Fi*(cai-ca)/V-k*ca; 
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24 
 
%derivada da temperatura 
qger=-DeltaH*k*ca*V; %calor gerado (BTU/h) 
qinout=Fi*Cp*ro*(Ti-T); %variação de por convecção 
qrem=U*A*(T-Tc); 
dt=(qinout+qger-qrem)/(V*ro*Cp); 
%derivada do volume 
dv=Fi-F; 
%vetor de derivadas 
dcadt=[dca dt dv]'; 
 
 
 
 
 
 
 
Multiplicidade de Estados Estacionários 
 
 
CSTR onde ocorre uma reação exotérmica 
 
 
Cai(t) Fi(t) Ti(t)
CAPÍTULO 2 
Modelagem Dinâmica de Processos 
Ofélia de Queiroz F. Araújo 
Escola de Química – Universidade Federal do Rio de Janeiro 
Edição: 09/2003 
 
25 
 
Água (W)
Fi
Ti
F
T
hCa i
Ca
 
 
 
 
 
Admitindo F(t)=Fi(t) (Volume constante) 
 
 
 
O modelo do processo pode ser escrito como: 
 
 
 
com 
 
( )k k E RT= -0 exp / 
 
 
 
ESTADOS ESTACIONÁRIOS 
 
% Dado um reator CSTR (mistura perfeita) no qual 
% se conduz uma reação exotérmica (A->B), resfriado 
% por serpentina, formulou-se um modelo matemático: 
% BM estacionário: 0=Cai*q-Ca*q-k*Ca*V, ou seja, 
% Ca=Cai/(k*V/q+1) 
% BE estacionário: 0=qin-qout+qger-qrem 
% qin=q*Ti/V 
% qout=q*T/V 
% (-DeltaH)*Ca*k0*exp(-E/(R*T) 
% qrem=U*A*(T-Tc) 
 
% Este programa calcula, para diferentes temperaturas (T) 
% o calor gerado por reação (qger), o calor que entra e sai 
% por convecção (qin, qout), e o calor removido pela serpentina 
% (qrem), ilustrando a ocorrência de três estados estacionários. 
 
Q(t)=UA(T-Tc) 
 
F(t) 
 
REATOR 
Ca(t) 
 
T(t) 
 
h(t) 
( )
( ) ( ) ( )Ca
p
i
aaai
a
TTUAC
C
k
HTT
V
F
dt
dT
kCCC
V
F
dt
dC
-+D-+-=
--=
 r
CAPÍTULO 2 
Modelagem Dinâmica de Processos 
Ofélia de Queiroz F. Araújo 
Escola de Química – Universidade Federal do Rio de Janeiro 
Edição: 09/2003 
 
26 
 
 
%parâmetros do modelo 
q=50; %ft3/hr, vazão de alimentação 
U=80; %BTU/(h.ft2.R), coeficiente de troca térmica 
A=50.0; %ft2, área de troca térmica 
DeltaH=-35000; %BTU/lbm, calor de reação 
V=48; %ft3, volume do reator 
ro=50; %lb/ft3, densidade 
Cp=0.75; %BTU/(lbm.R), calor específico 
E=32000; %BTU/lbm, energia de ativação 
R=1.99; %BTU/(lbm.R), constante dos gases 
k0=7.08*10^10; %1/h, termo pre-exponencial da constante de reação 
 
%condições de operação 
cai=0.5; %lbm/ft3, concentração da alimentação 
Tc=594.6; %R, temperatura do fluido de refrigeração 
Ti=530; %R, temperatura da alimentação 
T=linspace(550,750,100); %temperaturas investigadas 
 
%cálculo dos calores 
k=k0*exp(-E/R./T); %1/h, constante de reação - Arrhenius 
ca=cai./(k*V/q+1); %lbm/ft3, concentração no reator 
qger=-DeltaH*(k.*ca)*V; %BTU/h,calor gerado por reação exotérmica 
qin=q*Cp*ro*Ti; %BTU/h,calor que entra no reator por 
convecção 
qout=q*Cp*ro*T; %BTU/h,calor que sai do reator por convecção 
qrem=-U*A*(Tc-T); %BTU/h,calor removido pela serpentina 
 
%gráfico 
 
hold on 
plot(T,(qrem+qout),'b') 
plot(T,(qger+qin),'m') 
text(580,1e6,'P1') 
text(630,1.4e6,'P2') 
text(700,1.85e6,'P3') 
ylabel('BTU/h') 
xlabel('Temperatura,ºR') 
text(700,2e6,'qrem+qout') 
text(730,1.7e6,'qger+qin') 
hold off 
 
 
No estado estacionário, a taxa de geração de calor é igualada pela taxa de remoção de 
calor. O gráfico abaixo mostra que isto ocorre em três pontos (P1, P2 e P3). 
CAPÍTULO 2 
Modelagem Dinâmica de Processos 
Ofélia de Queiroz F. Araújo 
Escola de Química – Universidade Federal do Rio de Janeiro 
Edição: 09/2003 
 
27 
 
.
550 600 650 700 750
0.8
11.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
x 10
6
B
TU
/h
Temperatura,ºR
P1
P2
P3
qrem+qout
qger+qin
 
 
Através de um controlador, o ponto P2 pode se tornar estável. Os pontos P1 e P3 são 
estáveis com transiente representado a seguir: 
 
0 2 4 6 8 10
550
600
650
700
750
800
850
900
950
Te
m
pe
ra
tu
ra
 - 
ºR
tempo(h) 
 
3. SISTEMAS LINEARES 
 
Um sistema é dito linear quando as equações diferenciais que compõem o modelo são todas 
lineares. Desta forma, não existem produtos de variáveis, variáveis com fatores exponenciais, etc. 
Os coeficientes associados podem ser constantes ou variantes (funções do tempo). 
 
Exemplo de Sistema Linear Invariante no Tempo: 
 )(22)(11322
2
1 tautuayadt
dya
dt
yda +=++ 
 
 
 
 
 
Exemplo de Sistema Linear Variante no Tempo: 
 )(2)(2)(1)(1)(3)(22
2
)(1 tutbtutbytadt
dyta
dt
ydta +=++ 
 
Exemplo de Sistema Não-Linear: 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
dC t
dt
F t
V
C t C t k e E RT C tA i A i A
t
A= - -
-( ) /, 0 
 
Para os sistemas lineares, e em particular sistemas lineares invariantes no tempo, existem métodos 
de solução das equações diferenciais que podem ser utilizados de forma geral, isto é, há solução 
para modelos de qualquer complexidade (número e ordem das EDO's). A partir desta 
característica dos sistemas lineares foi possível desenvolver técnicas universais para análise do 
comportamento dinâmico e projeto de controladores. Até pouco tempo, estas técnicas eram 
quase exclusivamente as únicas ferramentas de análise e projeto. Com o aumento da capacidade 
de cálculo dos computadores atuais, é possível analisar sistemas não lineares cada vez mais 
complexos. Em contrapartida, não existe um método geral que possa ser utilizado para analisar 
sistemas não lineares. Por esta razão, e para iniciar o estudo de sistemas dinâmicos, neste curso 
são apresentadas as técnicas de análise de sistemas lineares como uma ferramenta de uso geral 
que pode ser utilizada em um grande número de casos práticos. As técnicas de projeto de 
sistemas de controle são objeto do curso de Controle e Instrumentação de Processos. 
 
Quando o modelo resulta em equações não-lineares, e para poder utilizar as técnicas de analise 
de sistemas lineares, recorre-se, freqüentemente, à técnica de linearização em torno do ponto de 
operação. Esta técnica está baseada na suposição de que o processo se comporta como um 
sistema linear na vizinhança de um determinado ponto (conjunto de valores para as variáveis do 
processo), chamado de ponto de operação. Este tipo de aproximação é valida, em geral, para 
processos. Quando os processos são em batelada, como por exemplo na produção de alguns 
polimeros, não é possível determinar um ponto de operação já que a excursão das variáveis ao 
 
Processo y(t) u1(t) u2t) 
longo do tempo é muito grande. Em alguns casos é possível dividir o tempo de operação do 
processo e utilizar modelos lineares diferentes em cada um destes intervalos do tempo de 
operação. 
 
 
3.1 Linearização 
 
Linearizar é expandir um função não-linear em uma série de Taylor em torno do estado 
estacionário, ou ponto de operação, e desprezar todos os termos após as primeiras derivadas. 
Seja g(x) uma função genérica ela pode ser expressa como: 
 g x g xs
dg x
dx x xs
x xs( ) ( )
( ) | ( )@ + = - + termos de ordem superior 
 
sendo o modelo linear: 
 gl x g xs
dg x
dx x xs
x xs( ) ( )
( )
| ( )@ + = - 
 
Por exemplo para: 
 g x x( ) = 3 
 
%Gera 100 pontos entre 0 e 10 
x=linspace(0,10,100) ; 
g=x.^3; 
%Plota uma curva de coordenadas x e g 
plot(x,g) 
hold 
xlabel ('x') 
ylabel ('g') 
 
 
uma aproximação linear na vizinhança do ponto x0 6= sera: 
 
 ( )g x x x x xl x x( ) = + -3 2 00 03 
 
 gl=216+3*6^2*(x-6); 
 plot(x,gl,'b') 
 hold off 
 
 
observa-se que o modelo linear só é uma aproximação razoavel do modelo não linear na 
vizinhança do ponto x0 6= . 
 
A propriedade mais importante dos sistemas lineares é que é possível aplicar o princípio de 
superposição. O princípio da superposição estabelece que a resposta de um sistema (saída) à 
aplicação simultânea (soma) de duas perturbações (entradas) é igual à soma das respostas do 
sistema às duas perturbações introduzidas separadamente. Desta forma, é possível calcular a 
resposta de um sistema a um conjunto de perturbações somadas tratando uma perturbação por 
vez e somando as respectivas saídas. Experimentalmente, se for observado que causas e efeitos 
são proporcionais, o que garante que o princípio de superposição é válido, o sistema pode ser 
considerado linear. 
 
Vamos utilizar como exemplo o modelo do tanque de nível do capitulo 2: 
 
 
dh
dt
F
A
h
RA
i= - 
 
cuja solução é: 
 ( )h RF ei t RA= - -1 
claramente pode ser observado que para dois valores diferentes de vazão de entrada obtemos 
duas respostas h e se somamos as entradas a resposta do sistema será a soma das saídas 
individuais: 
 
( )
( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
h RF e
h RF e
F F F
h RF e R F F e RF e RF e h h
i
i
i i i
i i i i i
t
RA
t
RA
t
RA
t
RA
t
RA
t
RA
1 1
2 2
1 2
1 2 1 2 1 2
1
1
1 1 1 1
= -
= -
= +
= - = + - = - + - = +
-
-
- - - -
 
 
3.1.1 Linearização de Modelo Não-Linear: Tanque de Nível 
 
Um tanque de nível tem vazão de retirada dada pela relação: F k h= 
 
 
 h
Fi
F
 
 
Considerando-se densidade e temperatura constantes, tem-se: 
 
Balanço de Massa: 
 dV
dt
A dh
dt
Fi F A
dh
dt
k h Fi= = - \ + = 
 uma equação não-linear. 
 
A linearização de F(h) em torno de uma altura hs fornece: 
 F h F hs
k
hs
h hs( ) ( ) ( )@ + -2
 
 
que é uma equação linear. Substituindo a expansão no modelo acima temos: 
 ( )A d hdt
k
hs
h hs Fi+ - =2
 
 
assim obtendo um modelo linear que é válido na vizinhança de hs. 
 
% Simulação de tanque de nível, comparando saída de 
% modelo não-linear (hnl) com saída de 
% modelo linearizado (hl) 
clear all 
global k A Fi const hs 
%condições iniciais 
x0=[0.9 0.9]'; %altura inicial para os 2 modelos 
hl=[]; 
hnl=[]; 
Fi=1; 
%parâmetros dos modelos 
A=10; %área transversal do tanque 
hs=1; %altura no estado estacionário 
k=1; %constante para cálculo de F 
const=k/(2*sqrt(hs)); 
%integração 
tin=0; 
deltat=0.5; 
for i=1:30 
 if i>=15 
 Fi=1.2; %perturbação de 20% em Fi 
 end 
 tfin=tin+deltat; 
 [t,x]=ode23('dalt',tin,tfin,x0); 
 n=length(t); %comprimento do vetor tempo 
 x0=[x(n,1) x(n,2)]'; 
 tin=tfin; 
 tempo(i)=t(n); 
 hl(i)=x0(1); 
 hnl(i)=x0(2); 
end 
plot(tempo,hl,'*g') 
hold on 
plot(tempo,hnl,'r') 
text(2,1.7,'* modelo linear') 
text(2,1.6,'- modelo não-linear') 
xlabel('tempo') 
ylabel('altura') 
hold off 
 
function dh=dalt(t,x) 
global k A Fi const hs 
dhnl=(Fi-k*sqrt(x(2)))/A; 
dhl=(Fi-const*(x(1)-hs))/A; 
dh=[dhl dhnl]'; 
 
 
 
 
Exemplo Adicional: 
 
Modelo de um forno 
Dado: 
 
(1) 
 
(2) 
 
 
 
Substituindo (1) em (2): 
 
 
 
 
Aplicando Taylor 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Daí temos: 
 
 
Balanço Dinâmico: 
(I) 
 
 
Balanço Estacionário: 
 
(II) 
 
 
Subtraindo (I) de (II), temos o modelo do processo: 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo Adicional 3.2 
 
 
 
Reator Encamisado: F constante, V constante 
 
 
Reação obedece cinética de 1º ordem 
 
 
 
 
Balanço de massa para componente A: 
 
 
 
 
 
 
Os termos FCAo , FCA e Vkoe -E/RT são não-lineares 
 
 
Aplicando Taylor: 
 
 
 
 
 
 
 
BalançoDinâmico: 
 
 
 
 
Balanço Estacionário: 
 
 
 
 
Subtraindo: 
 
 
 
Balanço de Energia para o Reator: 
 
 
 
 
Linearizando: 
 
 
 
 
 
 
Substituindo, temos: 
 
 
Balanço Energético para a Camisa: 
 
 
 
 
 
Após as linearizações necessárias, temos o modelo linear do processo: 
 
 
 
Obs.: As variáveis com “^” são variáveis desvio, ou seja, variáveis cujo valor é 
subtraído do estado estacionário. 
 
Por exemplo, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TRANSFORMADA DE LAPLACE 
 
A transformada de Laplace é utilizada para resolução de equações diferenciais ordinárias 
(EDO) lineares ou linearizadas. O sistema originalmente descrito no espaço t transforma-
se em equação algébrica no espaço s, um número complexo. 
 
O método apresenta 3 etapas: 
1) Transformação da EDO (linear) em equação algébrica; 
2) Resolução da Equação Algébrica resultante em termos da variável independente s 
3) Aplicação da transformada inversa para obter a resolução da EDO. 
 
Por definição, para t>0: 
Exemplos: 
 
1) 
2) 
 
 
A Transformada de Laplace desfruta da propriedade de linearidade, ou seja: 
 
 
 
 
ò==
¥
-
0
)()())(( dtetfsFtfL st
2222
0
)()(
0
)()(
0
0
2
2
1
2
1
)(
)(
2
1)(
2
1)(
2
)cos(
:.
)cos()())((
)cos()(
ws
s
ws
s
iws
e
iws
e
sF
dteedteeesF
ee
wt
EulerIdent
dtewtsFtfL
wttf
wtiswtis
wtiswtisstwtiwti
wtiwti
st
+
=úû
ù
êë
é
+
=ú
û
ù
ê
ë
é
+
-
-
-=
ò +=ò +=
+
=
ò==
=
¥+---
¥
+---
¥
--
-
¥
-
ss
e
dtesF
dtewtsFtfL
tf
t
t
st
st
st
1
)1()(
)cos()())((
1)(
00
0
==ò=
ò==
=
¥=
=
-¥
-
¥
-
{ } )()()()( 2111 sbFsaFtbftafL +=+
Transformada de derivada: 
 
 
 
 
 
Transformada de Integral: 
 
 
 
 
)()0()()()(
)(
)('
)(')())('(
00
0
ssFfdtetfsetfsF
tfv
dtsedu
vduuvudv
tfv
eu
dtetfsFtfL
stst
st
st
st
+-=ò+=
=
-=
ò ò-=
=
=
ò==
¥
-¥-
-
-
¥
-
[ ] úû
ù
êë
é +-=--=
-==
ò==
¥
-
)0()0()()0()0()()(
)0()}({)}('{)(
)('')())(''(
2
0
dt
df
sfsFs
dt
df
fssFssF
dt
df
tf
dt
d
sLtf
dt
d
LsF
dtetfsFtfL st
1
1
0
21
0
...)0()()(
)('')())((
-
-
=
--
¥
-
++úû
ù
êë
é +-=
ò==
n
n
t
nnn
stn
dt
fd
dt
df
sfssFssF
dtetfsFtfL
)(
')'(
')'()(
'
0
'
000
tfdv
s
e
du
dttfv
eu
dttfedttfL
st
t
st
t
st
=
-=
ò=
=
òò=
þ
ý
ü
î
í
ì
ò
-
-
¥
-
¥
 
 
 
Exemplo 1) 
 
 
Exemplo 2) 
 
 
 
Transformada de Laplace de Funções Básicas: 
 
a) Degrau 
 
 
 
 
s
sF
dttf
s
dttfL
dttf
s
e
dttf
s
e
dttfL
t
t
sttst
)(
')'(
1
)(
)(')'()(
0
'
00
00
'
00
+úû
ù
êë
é
ò=
þ
ý
ü
î
í
ì
ò
ò-úû
ù
êë
é
ò-=
þ
ý
ü
î
í
ì
ò
=
¥
¥ -¥-¥
0)()12(0)()(2)(
)()}({
)0()(
)(
]
)0(
)0([)(
)(
0)0('),0()0(,0)(
)(
2
)(
22
2
2
2
2
2
=++\=++
=
-=
þ
ý
ü
î
í
ì
+-=
þ
ý
ü
î
í
ì
===++
sYsssYssYsYs
sYtyL
yssF
dt
tdy
L
dt
dy
sysFs
dt
tyd
L
yyty
dt
tdy
dt
tyd
21
2
0
1
121
2
0
1212
2
0
)(
)(
)()()(
)()()()(
asasa
b
sU
sY
sUbsYasasa
tubtya
dt
tdya
dt
tyda
++
=
=++
=++
s
k
dtekdtetuktuLktfL
tt
tt
ktkutf
stst =ò=ò==
î
í
ì
£
>
==
¥
-
¥
-
00
.1)())}(({)}({
)0(,0
)0(,1
)()(
f(t) 
t=0 
 
 
 
 
 
 
b) Rampa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Seno 
 
 
 
 
 
 
 
2
0
2
0
1)}({
/
))}(({)}({
)0(,0
)0(,
)()(
s
k
ss
tketfL
sedv
dtdu
tu
dttektuLktfL
tt
ttkt
ktkutf
st
st
st
=÷
ø
ö
ç
è
æ +-=
=
=
=
ò==
î
í
ì
£
>
==
¥
-
-
¥
-
k 
f(t) 
t=0 
22
0
0
)(
2
1
)(
2
)sen(
:.
)sen()())((
)sen()(
ws
w
dteeesF
ee
wt
EulerIdent
dtewtsFtfL
wttf
stwtiwti
wtiwti
st
+
=ò +=
+
=
ò==
=
¥
--
-
¥
-
 
d) Exponencial 
 
 
Teoremas 
 
 
a) Teorema do deslocamento em t 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Teorema do deslocamento em s 
 
 
c) Teorema do Valor Final 
 
d) Teorema do Valor Inicial 
 
 
 
Exemplos: 
 
 
)(
1
)())((
)(
0 as
dteesFtfL
etf
stat
at
+
=ò==
=
¥
--
-
f(t) 
t-t0 
g(t
) 
)()()}({
,0
),(
)(
0
0
00
0
00
sFedtettfttfL
tt
ttttf
tg
stst --
¥
=ò -=-
î
í
ì
<
³-
=
)()()()}({ )(
00
asFdtetfedtetfetfeL tasatstatat -=ò=ò=
--
¥
-
¥
)(lim)(lim 0 ssFtf st ®¥® =
)(lim)(lim 0 ssFtf st ¥®® =
 
 
 
Função Pulso 
 
 
 
 
 
 
 
 
Função Impulso 
 
É o limite do pulso quando t0 tende a zero: 
 
 
 
0
)4)(5,2(
5
lim)(lim)(
5
)4)(5,2(
5
lim)(lim)0(
)4)(5,2(
5
)(
0
0
=
--
==¥
=
--
==
--
=
¥®®
®¥®
ss
tff
ss
tff
ss
sF
st
st
f(t) 
0 t0 
h 
)1()()()}({
)(,
,0
0,
0,0
)(
0
0
0
0
0
0
stst e
st
ke
s
h
s
htthuthutfL
áreahtk
ttt
tth
t
tf
-- -=-=--==
=
ï
î
ï
í
ì
>£
££=
<
=
1)}({
0
:1 
...
!3!2
1
lim)1(lim
0
33
0
22
0
0
0
0
0
00
0
0
00
=
¥=Þ=
=
+-+-=
==-
-
®
-
®
tL
ht
kpara
stst
ste
onde
kst
st
k
e
st
k
st
t
st
t
d
Inversão de Transformada de Laplace 
 
Para obter-se a resolução da EDO, é preciso transformar o resultado da equação algébrica 
(em s) para t. Para tal, utiliza-se a EXPANSÃO HEAVISIDE ou EXPANSÃO EM 
FRAÇÕES PARCIAIS. 
 
Seja, F s
Q s
P s
( ) ( )
( )
= , onde a ordem de Q(s) e P(s) são, respectivamente M e N (M£ N), a 
inversão é feita em três etapas: 
 
1. Fatora-se P(s) em termos das suas raízes (polos de F(s)), e reescreve-se F(s) como: 
 
 F s Q s
P s
A
s p
B
s p
W
s pN
( ) ( )
( ) ( ) ( )
...
( )
= =
-
+
-
+ +
-1 2
 
 
2. As constantes A, B ... W são calculadas: 
 
 
A s p F s s p
B s p F s s p
W s pN
F s s pN
= ® -
= ® -
= ® -
lim ( ( ).( ))
lim ( ( ).( ))
...
lim ( ( ).( ))
1 1
2 2 
 
3. Pelo uso da Tabela, encontrar a transformada inversa termo a termo. 
 
 f t L A
s p
L B
s p
L W
s pN
( ) {
( )
} {
( )
} ... {
( )
}= -
-
+ -
-
+ + -
-
1
1
1
2
1 
 
 
4. REPRESENTAÇÃO DE ENTRADA E SAIDA 
 
4.1 Introdução 
 
Existem diversas formas de representar um processo através de um modelo matemático. Uma 
forma muito utilizada é a representação de entrada e saída. Como exemplo de um modelo de 
entrada e saída pode-se utilizar o modelo do CSTR e considerar que a entrada do processo é Fi 
e a saída T. Desta forma, um modelo de entrada-saída terá como variável indepentdente Fi e 
como variável dependente T. Obviamente há outras variáveis muito importantes que não são 
consideradas variáveis de saída como V e Ca . 
 
Em geral é possível descrever um sistema linear como: 
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a y a y a y a y b u b u b u b u n mn n n n
m m
m m0 1
1
1 0 1
1
1+ + + + = + + + + ³
-
-
-
-L L& & ; 
 onde y e u são funções do tempo e f k é a derivada de ordem k de f. 
 
e uma forma de representação muito utilizada é a de "função de transferência". 
 
A função de transferência de um sistema linear invarianteno tempo está definida como a 
transformada de Laplace da saída (resposta do sistema) sobre a transformada de Laplace da 
entrada (exitação ou perturbação no sistema), supondo todas as condições iniciais iguais a zero. 
Sendo necessário que todas as condições iniciais sejam iguais a zero (para qualquer processo), e 
sabendo que as variáveis de um processo em geral não têm condições iniciais iguais a zero, deve-
se definir um novo conjunto de variáveis chamadas "variáveis desvio" que cumpram as condições 
requeridas. 
 
A "variável desvio" é definida como o afastamento da variável do seu valor no estado estacionário 
ou valor de referência. Ou seja: 
 
 
 xdesvio t x t xs( ) ( )= -
 
 
onde 
 
 xs = valor no estado estacionário 
 
Na continuação do texto, dado que as funções de transferência que serão utilizadas estão 
definidas para variáveis desvio, fica entendido que todas as variáveis são variáveis desvio. 
 
 
 
 
 
 
Esta transformação de variável é representada graficamente na seguinte figura. 
 
t=linspace(.1,20,100); 
x=sin(t)./t +1.2; 
plot(t,x,'b') 
hold 
text(8,1.4,'x(t)') 
x=sin(t)./t ; 
plot(t,x,'g') 
text(8,.2,'x-desvio(t)') 
x=1.2*ones(size(t)); 
plot(t,x,'r') 
text(1.5,1.3,'xs') 
x=zeros(size(t)); 
plot(t,x) 
hold off 
 
0 5 10 15 20
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
x(t)
x-desvio(t)
xs
 
 
A determinação de variáveis desvio permite definir condições iniciais iguais a zero para resolução 
das equações diferenciais ordinárias (EDO's) do modelo. 
 
 
4.2 Resolução de Sistemas Lineares 
 
Resolver um modelo significa encontrar as variáveis de saída como função do tempo em resposta 
a alguma mudança nas variáveis de entrada. Para isto, recorre-se à solução analítica ou integração 
numérica do conjunto de equações que representam o processo. 
 
Uma ferramenta muito útil na resolução destes sistemas é a Transformada de Laplace, já que é 
possível transformar uma equação diferencial no domínio do tempo em uma equação algébrica no 
dominio de Laplace. A solução de uma equação algébrica é muito mais simples que o de uma 
equação diferencial e, se a equação diferencial for linear invariante no tempo, a transformação da 
solução do domínio de Laplace para o domínio do tempo será simples. Para mais detalhes sobre 
a transformada de Laplace vide anexo I. 
 
A função de transferência do modelo acima descrito pela EDO é obtida transformando , em 
primeiro lugar, a EDO para o dominio de Laplace: 
 
 
( )
a y s s a y s s a y s s a y s b u s s b u s s b u s s b u s
n m
n n
n n
m m
m m0 1
1
1 0 1
1
1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+ + + + = + + + +
³
-
-
-
-L L 
 a seguir, extrai-se o fator comum y(s) e u(s) obtendo: 
 
( ) ( )
( )
a s a s a s a y s b s b s b s b u s
n m
n n
n n
m m
m m0 1
1
1 0 1
1
1+ + + + = + + + +
³
-
-
-
-L L( ) ( ) 
ou colocado em forma de função de transferencia: 
 
( )
y s
u s
b s b s b s b
a s a s a s a
n m
m m
m m
n n
n n
( )
( )
=
+ + + +
+ + + +
³
-
-
-
-
0 1
1
1
0 1
1
1
L
L 
 
Este tipo de representação é muito útil pois permite tratar sistemas complexos a partir de blocos 
simples com operações de soma e multiplicação. Para exemplificar suponhamos que um processo 
é descrito por duas equações diferenciais: 
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a y a y a y a y b u b u b u b u n mn n n n
m m
m m0 1
1
1 0 1
1
1+ + + + = + + + + ³
-
-
-
-L L& & ; 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )c u c u c u c u d x d x d x d x l pl l l l p p p p0 1 1 1 0 1 1 1+ + + + = + + + + ³- - - -L L& & ; 
 
para obter a solução y (saída) como função do tempo para uma determinada função de 
perturbação x, é necessário resolver a segunda equação e, conhecendo a função u, resolver a 
primeira. 
 
Usando o conceito de função de transferência, obtem-se: 
 
( )
Y s
U s
b s b s b s b
a s a s a s a
G
n m
m m
m m
n n
n n
( )
( )
=
+ + + +
+ + + +
=
³
-
-
-
-
0 1
1
1
0 1
1
1
1
L
L 
( )
U s
X s
d s d s d s d
c s c s c s c
G
l p
p p
p p
l l
l l
( )
( )
=
+ + + +
+ + + +
=
³
-
-
-
-
0 1
1
1
0 1
1
1
2
L
L 
Obviamente, não é necessário, neste caso, calcular x pois pode-se operar a equação algebrica 
obtendo: 
 
( )
( )
Y s
X s
b s b s b s b
a s a s a s a
d s d s d s d
c s c s c s c
l p
n m
m m
m m
n n
n n
p p
p p
l l
l l
( )
( )
=
+ + + +
+ + + +
+ + + +
+ + + +
³
³
-
-
-
-
-
-
-
-
0 1
1
1
0 1
1
1
0 1
1
1
0 1
1
1
L
L
L
L
 
 
A solução no dominio de Laplace consiste agora em, uma vez determinada a função de 
perturbação x, calcular a transformada inversa de Laplace de: 
 
( )
( )
Y s
b s b s b s b
a s a s a s a
d s d s d s d
c s c s c s c
X s
l p
n m
m m
m m
n n
n n
p p
p p
l l
l l
( ) ( )=
+ + + +
+ + + +
+ + + +
+ + + +
³
³
-
-
-
-
-
-
-
-
0 1
1
1
0 1
1
1
0 1
1
1
0 1
1
1
L
L
L
L
 
 
Ou seja ( ))()( sYty -1L= 
 
Cada função de transferência pode ser representada graficamente por um bloco (que substitui o 
quociente de polinômios), uma entrada (representado à variável independente) e uma saída 
(representando à variavel dependente). Sistemas complexos podem ser representados 
graficamente através de blocos ligados entre si, por exemplo, no sistema acima teríamos dois 
blocos com a saída do segundo coincidindo com a entrada do primeiro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
A seguir são apresentados alguns esquemas de diagramas de blocos e se descrevem as regras 
básicas de operações com blocos. 
 
 
4.2.1 Diagrama de blocos 
 
 
Considere um processo cujo comportamento dinâmico é descrito por uma equação diferencial 
ordinária (EDO) de ordem n, linear ou linearizada. O uso de Transformada de Laplace, com 
variáveis desvio (condições iniciais zero), permite a representação da relação entre as entradas 
(perturbações e estímulos) e saídas (variáveis controladas) através de Diagramas de Bloco. 
Esta abordagem permite fornecer as condições de saída quando conhecidas as condições de 
entrada. Para um processo de uma entrada e uma saída o diagrama de blocos é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
com 
 
 
 
Y s G s U s
ou
Y s
U s
G s
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
=
=
 
 
 
 
 
onde G(s) é a função de transferência que relaciona a saída Y(s) à entrada U(s). 
 
Para um processo como o descrito no item 4.2, onde são definidas duas funções de transferência, 
tem-se: 
 
 
Y s
U s
G s
U s
X s
G s
( )
( )
( );
( )
( )
( )= =1 2 
 
cujo diagrama de blocos corresponde a: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ou, operando temos: 
 
 y s
u s
u s
x s
g s g s
y s
x s
g s
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )= = =1 2 
 
cujo diagrama de blocos corresponde a: 
 
 
 
 
 
 
 
 
O que permite definir a primeira operação em diagrama de blocos, dois blocos em serie podem 
ser substituídos por um único bloco e a função de transferência que este representa será o 
produto das duas funções de transferência dos blocos individuais. 
 
 
Para um sistema representado por: 
 
 Y s Y s Y s G s U s G s U s( ) ( ) ( ) ( ) * ( ) ( )* ( )= + = +1 2 1 2 
 
temos o seguinte diagrama de blocos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
onde podemos observar dois novos elementos, o ponto de bifurcação 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e o ponto de soma 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Um diagrama de blocos muito utilizado em controle é o que representa um sistema realimentado:A redução deste diagrama a um bloco único esta dado por: 
 
 
( )
( )
Y s G s X s
X s U s H s Y s
Y s G s U s H s Y s
Y s G s U s g s H s Y s
Y s G s H s Y s G s U s
G s H s Y s G s U s
Y s
U s
G s
G s H s
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
=
= -
= -
= -
+ =
+ =
=
+
1
1
 
 
 
 
 
Com estes exemplos é possível observar que qualquer diagrama de blocos pode ser reduzido a 
um único bloco. A antitransformada de um sistema descrito por um único diagrama de blocos foi 
apresentada anteriormente, e desta forma vemos que a resolução de um sistema dinâmico de uma 
entrada e uma saída, independente da sua complexidade inicial, pode ser transformado em um 
problema representado por um único bloco e resolvido sempre da mesma forma. 
 
Para fins de análise do sistema dinâmico e controle, a função de transferência pode ser 
interpretada como um ganho entre o sinal de saída e o de entrada. 
 
Este ganho apresenta uma parte estática (ganho estático) e uma parte dinâmica (ganho dinâmico). 
O ganho estático é o valor do ganho quando o tempo tende a infinito (que pode ser obtido 
aplicando o teorema do valor final à função de transferência). O ganho dinâmico é a parte da 
função de transferência dependente da variável de Laplace s, definido pelas transformadas das 
equações diferenciais que descrevem o processo. 
 
Como já foi exposto, um modelo de um processo obtido no domínio do tempo (t) pode ser 
representado no domínio complexo (s) como um modelo de Entrada-Saída (Input-Output), e o 
procedimento para desenvolver este modelo é representado de forma esquemática a seguir: 
 
 
 
 
Modelo Dinâmico do Processo
EDO e Equações Algébricas
 Obter Modelo Estacionário
(zerando derivadas temporais)
Leis
Fundamentais
 Hipóteses
Simplificadoras
 Linearizar Termos Não-Lineares
Subtrair Equação Estacionária
da Equação Dinâmica
Definir Variáveis Desvio
Aplicar Transformada de
Laplace (Condições Iniciais 0)
Eliminar Todas as Saídas Exceto
a de Interesse
Eliminar Todas as Entradas Exceto
a de Interesse
Dividir Saída por Entrada
Funções
de
Transferência
Repetir para todas as 
Entradas
Repetir para todas as 
Saídas
 
4.2.2 Desenvolvimento de um Modelo Entrada-Saída: 2 CSTR em Série 
 
Considerando um sistema de dois reatores CSTR em série como os da figura abaixo: 
 
 
 
V
1
C
1
V
2
C
2
F
C
0
(t)
F(1+
C
1
(t) F
C
2
(t)
a
a )
F
 
 
onde ocorre uma reação A®B. Fazendo-se as seguintes suposições: 
 
1) A reação que ocorre em ambos reatores é de 1ª ordem, irreversível, conduzida 
 isotermicamente (A reagindo para B). 
2) Os volumes de liquido nos dois reatores podem ser considerados constantes. 
 
e considerando que a constante de reação é k, a vazão volumétrica é F e a concentração molar é 
C o modelo do processo pode ser obtido a partir de: 
 
 
Balanço de massa por componente para o reator 1: 
 
 V
dC
dt
FC t FC t FC t kC t V1
1
0 2 1 1 11= + - + -( ) ( ) ( ) ( ) ( )a a 
 
Balanço de massa por componente para o reator 2: 
 
 V
dC
dt
F C t C t kC t V2
2
1 2 2 21= + - -( ) ( ( ) ( )) ( )a 
 
Se defininmos: 
 
 
t
a a
t
a a
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
1 1
1 1
=
+ +
=
+ +
=
+ +
=
+ +
V
F KV
K
F
F KV
V
F KV
K
F
F KV
( ) ( )
( ) ( )
 
 
 
 
 
 
 
as duas equações que representam o processo serão: 
 
 
 
t a
t
1
1
1 1 0 1 2
2
2
2 2 1
dC t
dt
C t K C t K C t
dC t
dt
C t K C t
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
+ = +
+ =
 
 
Para serem consistentes com o modelo, as condições iniciais devem cumprir as seguintes 
relações: 
 
 
C K C K C
C K C
1 1 0 1 2
2 2 1
0 0 0
0 0
( ) ( ) ( )
( ) ( )
= +
=
a
 
 
que são obtidas considerando que o processo está em repouso no instante t=0. 
 
Como as condições iniciais não são zero, devem-se transformar as variáveis originais para 
variáveis desvio. Assumindo que: 
 
 
C t C t C
C t C t C
C t C t C
desvio
desvio
desvio
0 0 0
1 1 1
2 2 2
0
0
0
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
= +
= +
= +
 
 
o modelo fica: 
 
t a
t
1
1 1
1 1 1 0 0 1 2 2
2
2 2
2 2 2 1 1
0
0 0 0
0
0 0
d C t C
dt
C t C K C t C K C t C
d C t C
dt
C t C K C t C
desiío
desvio desvio desvio
desvio
desvio desvio
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
+
+ + = + + +
+
+ + = +
æ
è
ç ö
ø
÷
æ
è
ç ö
ø
÷ æ
è
ç ö
ø
÷ æ
è
ç ö
ø
÷
æ
è
ç ö
ø
÷
æ
è
ç ö
ø
÷ æ
è
ç ö
ø
÷
 
Dado que os valores iniciais são constantes os termos que contêm derivadas ficam em função das 
variáveis desvío. Para os outros termos, utilizando as relações entre as condições iniciais, podem-
se escrever o modelo como: 
 
 
t a
t
1
1
1 1 0 1 2
2
2
2 2 1
dC t
dt
C t K C t K C t
dC t
dt
C t K C t
desvio
desvio desvio desvio
desvio
desvio desvio
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
+ = +
+ =
 
 
 
 
 
e, para simplificar a notação, retira-se a palavra desvio, ficando o modelo: 
 
 
t a
t
1
1
1 1 0 1 2
2
2
2 2 1
dC t
dt
C t K C t K C t
dC t
dt
C t K C t
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
+ = +
+ =
 
 
sendo agora, as suas variáveis, variáveis desvio. 
 
 
Aplicando a transformada de Laplace ao modelo anterior tem-se: 
 
 C s
K
s
C s
K
s
C s1
1
1
0
1
1
21 1
( )
( )
( )
( )
( )=
+
+
+t
a
t
 
 C (s) =
(2 2
K
s
C s2 11t + )
( ) 
 
E a representação em diagrama de blocos é: 
 
 
+
+
a K
1
t
1
s+1
K
1
t
1
s+1
C
2
(s)
 ^
C
0
 ^
C
1
 ^
(s)
(s)
K
2
t
2
s+1
C
2
(s)
 ^
1º CSTR
2º CSTR
 
 
Manipulando-se algebricamente (os blocos ou as equações), obtém-se: 
 
 C s
K K
s s K K
C s2
1 2
1 2 1 2
01 1
( )
( )( )
( )=
+ + -t t a
 
 
e a função de transferência global será: 
 
 
 
 
Para resolver o problema, tem-se dois caminhos. O primeiro é calcular a antitransformada de 
Laplace do modelo acima para uma perturbação da concentração do componente A na corrente 
de entrada. Dado que o método de solução é analítico, obtém-se uma expresão matemática 
explícita que relaciona a variável de interesse (concentração de A no segundo reator) com o 
tempo. A segunda forma, atualmente muito utilizada, é resolver numericamente as equações 
diferenciais que representam o processo, e para tal é necessário o uso de computadores. O 
método analítico é importante quando se deseja, por exemplo, analisar características do sistema, 
como estabilidade em diferentes condições de operação, ou projetar controladores para o 
processo. 
 
Uma solução numérica para o modelo é: 
 
clear all 
global alfa k tau c0 
alfa=[.2 1]; 
k=[1 2]; 
tau=[.1 .2]; 
c0=[1 0]; 
ci=[.1 .1]; 
ti=0; 
tf=10; 
[t c]=ode45('cstr2s',ti,tf,ci); 
plot(t,c) 
 
0 2 4 6 8 10
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
 
 
G s
C s
C s
K K
s s K K
( )
( )
( ) ( )( )
= =
+ + -
2
0
1 2
1 2 1 21 1t t a
 
 
 
 
 
 
A função cstr2s.m utilizada no exemplo acima é: 
 
function [dc]=cstr2s(t,c) 
 
global alfa k tau c0 
 
% Esta função contém o modelo matematico de um 
% processo que consta de dois reatores em serie 
% nos quais se produz uma reação de primeira ordem. 
% 
% Este arquivo forma parte do texto do curso de 
% modelagem e