Teste de hipotese - O que é, como calcular

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Testes de Hipo´teses sobre a me´dia: Va´rias
Amostras
Na aula de hoje veremos como comparar mais
de duas populac¸o˜es, baseados em dados forneci-
dos por amostras dessas populac¸o˜es.
A Ana´lise de Variaˆncia (ANOVA) e´ uma te´cnica
usada em Estat´ıstica para este fim e requer
que a varia´vel sob ana´lise tenha distribuic¸a˜o
normal.
Uma versa˜o na˜o parame´trica para a compara-
c¸a˜o de va´rias populac¸o˜es e´ o teste de Kruskal-
Wallis que tambe´m sera´ apresentado na aula
de hoje.
1
EXEMPLO 1: (A´LCOOL E HABILIDADE DE
DIRIGIR)
Trinta e seis (36) pessoas participaram de um
experimento para descobrir os efeitos do a´lcool
na habilidade de dirigir. Elas foram aleato-
riamente associadas a uma de treˆs condic¸o˜es:
placebo, pouco a´lcool e muito a´lcool. A bebida
na˜o-alcoo´lica parecia e tinha o mesmo gosto
das demais. Os participantes foram pesados e
tomaram a quantidade apropriada de bebida.
Observe que temos uma situac¸a˜o de amostras
independentes (interparticipantes), pois os gru-
pos sa˜o diferentes. Uma hora apo´s beber, os
participantes dirigiram em um simulador du-
rante 10 minutos e o nu´mero de erros que eles
cometeram foi automaticamente registrado por
um computador.
Os dados obtidos esta˜o na tabela a seguir.
2
Placebo Pouco A´lcool Muito A´lcool
5 5 8
10 7 10
7 9 8
3 8 9
5 2 11
7 5 15
11 6 7
2 6 11
3 4 8
5 4 8
6 8 17
6 10 11
x¯ = 5,83 x¯ = 6,17 x¯ = 10,25
s = 2,69 s = 2,33 s = 3,05
Ha´ diferenc¸a significativa entre am me´dias dos
diferentes grupos (placebo, pouco a´lcool e mui-
to a´lcool)?
Em caso afirmativo, a diferenc¸a esta´ presente
entre todos os grupos ou em apenas um em
relac¸a˜o aos demais?
3
Ana´lise Explorato´ria dos dados: a seguir apre-
senta-se um box-plot(gra´fico caixa) dos resul-
tados para cada grupo.
4
Na ANOVA a um fator com amostras indepen-
dentes, os dados podem ser representados da
seguinte forma
cond. 1 cond. 2 ... cond. a
y11 y12 ... y1a
y21 y22 ... y2a
... ... ... ...
yn11 yn22 ... ynaa
Como as amostras sa˜o independentes, elas po-
dem ter tamanhos diferentes.
a representa o nu´mero de condic¸o˜es diferentes.
nj representa o nu´mero de observac¸o˜es sob a
j-e´sima condic¸a˜o, j = 1,2, ..., a
yij representa a i-e´sima observac¸a˜o sob a j-
e´sima condic¸a˜o, i = 1,2, ..., nj e j = 1,2, ..., a.
5
O nome em Estat´ıstica para um experimento
com essa cofigurac¸a˜o e´ experimento a um
fator completamente aleatorizado.
No Bioestat a func¸a˜o apropriada para esse caso
esta´ em
Estat´ısticas,
Ana´lise da Variaˆncia,
ANOVA:um crite´rio.
6
Um teste de hipo´teses apropriado aqui e´{
H0 : µ1 = µ2 = ... = µa
H1 : pelo menos uma das me´dias e´ diferente das demais
µj corresponde a` me´dia do j-e´simo grupo. Neste
exemplo temos treˆs grupos tal que j = 1,2,3.
A te´cnica que iremos trabalhar, Ana´lise de Va-
riaˆncia (ANOVA) requer que as amostras pro-
venham de populac¸o˜es normais com variaˆncias
iguais.
O Bioestat tem testes que verificam a norma-
lidade.
A ANOVA busca por diferenc¸as entre as me´dias
dos grupos. Quando as me´dias sa˜o bem dife-
rentes, dizemos que existe um alto grau de
variac¸a˜o entre condic¸o˜es.
Se na˜o existirem diferenc¸as entre as me´dias dos
grupos, na˜o existira´ variac¸a˜o entre as condic¸o˜es.
7
Variaˆncia entre grupos: corresponde a` variac¸a˜o
devida a`s condic¸o˜es que definem os grupos.
Variaˆncia intra-grupos: corresponde a` variac¸a˜o
dentro de cada grupo.
Na ANOVA a um fator com amostras inde-
pendentes a variac¸a˜o total e´ decomposta em
duas parcelas correspondentes a` variac¸a˜o entre
grupos e a` variac¸a˜o intra-grupos.
SQTot︸ ︷︷ ︸
variac¸a˜o total
= SQentre︸ ︷︷ ︸
variac¸a˜o entre grupos
+ SQdentro︸ ︷︷ ︸
variac¸a˜o dentro dos grupos
Se a hipo´tese nula de que todas as me´dias sa˜o iguais,
isto e´, de que na˜o ha´ variac¸a˜o entre grupos, e´ ver-
dadeira, segue que a variac¸a˜o dentro dos grupos tende
a ser igual a` variac¸a˜o total.
8
Notac¸a˜o: SQTot: variac¸a˜o total, SQentre: va-
riac¸a˜o entre grupos e SQdentro: variac¸a˜o intra
grupos.
QMTot =
SQTot
N − 1: e´ uma me´dia da variac¸a˜o to-
tal.
N e´ o nu´mero total de observac¸o˜es no pro-
blema. No exemplo que estamos considerando
N = 3× 12 = 36.
QMentre =
SQentre
a− 1 : e´ uma me´dia da variac¸a˜o
entre grupos, chamada quadrado me´dio entre
grupos.
a e´ o nu´mero de grupos (condic¸o˜es) no pro-
blema. No exemplo que estamos considerando
a = 3.
QMdentro =
SQdentro
N − a : e´ uma me´dia da variac¸a˜o
intra grupos, chamada quadrado me´dio intra
grupos.
9
A estat´ıstica do teste realizado pela ANOVA
e´ dada pela raza˜o dos quadrados me´dios entre
grupos e intra grupos, a saber,
F =
QMentre
QMdentro
.
Se a hipo´tese nula e´ verdadeira, e´ poss´ıvel mos-
trar que a estat´ıstica F tem uma distribuic¸a˜o F
de Snedecor com a− 1 e N − a graus de liber-
dade no numerador e denominador, respecti-
vamente.
Se a hipo´tese nula e´ verdadeira, espera-se que
a raza˜o entre os quadrados me´dios entre e den-
tro dos grupos seja pequena. Em geral, re-
jeitaremos H0 quando os valores amostrais de
F forem grandes.
10
A Distribuic¸a˜o F de Snedecor
A distribuic¸a˜o F esta´ definida para valores po-
sitivos e apresenta assimetria positiva. A seguir
veja um gra´fico da densidade F com 4 e 2 graus
de liberdade.
11
Usando um n´ıvel de significaˆncia α, a Regia˜o
Cr´ıtica do teste da ANOVA sera´ a cauda su-
perior da distribuic¸a˜o Fa−1,N−a de a´rea α.
12
Na ANOVA e´ comum apresentar os resultados
usando uma tabela chamada tabela ANOVA.
Esta tabela conte´m as seguintes informac¸o˜es:
fontes de variac¸a˜o, graus de liberdade, quadra-
dos me´dios e a raza˜o F .
fonte de
variac¸a˜o SQ gl QM F
entre
grupos SQentre a− 1 QMentre F = QMentreQMdentro
dentro dos
grupos (residual) SQdentro N − a QMdentro
total SQTot N − 1
QMentre =
SQentre
a− 1 , QMDentro =
SQdentro
N − a
Se o valor de F for grande, H0 sera´ rejeitada.
13
Uma outra medida que tambe´m decorre da
ana´lise de variaˆncia e´ a chamada porcenta-
gem da variac¸a˜o total explicada pelo fator
sob considerac¸a˜o.
Vimos que
SQTot︸ ︷︷ ︸
variac¸a˜o total
= SQentre︸ ︷︷ ︸
variac¸a˜o entre grupos
+ SQdentro︸ ︷︷ ︸
variac¸a˜o dentro dos grupos
Essa equac¸a˜o leva a` seguinte definic¸a˜o
R2 =
SQentre
SQTot
Observe que R2 esta´ entre 0 e 1. Quanto
maior for o valor de R2, mais o fator explica a
variac¸a˜o dos dados no problema.
14
O Bioestat tem a func¸a˜o ANOVA. No caso do
exemplo apresentado devemos escolher:
Estat´ısticas, Ana´lise da Variaˆncia, ANOVA: um
crite´rio.
O quadro a seguir mostra a sa´ıda do Bioestat
para os dados do exemplo sob considerac¸a˜o.
15
Do quadro anterior podemos ver que o p-valor
do teste ANOVA e´ muito pequeno (menor que
0,001), indicando que esses dados trazem evi-
deˆncia muito forte contra a hipo´tese nula de
que as me´dias sob as diferentes condic¸o˜es sa˜o
iguais. Observe que o valor da estat´ıstica de
teste F tambe´m e´ grande.
Logo, devemos rejeitar H0 em favor da hipo´tese
alternativa de que pelo menos uma das me´dias
e´ diferente das demais.
Se a hipo´tese nula, me´dias iguais, for rejeitada,
significa que ha´ evideˆncia de que existem dife-
renc¸as nas me´dias de tratamento.
Observe que a hipo´tese alternativa e´ bastante
vaga: pelo menos uma me´dia e´ diferente das
demais.
A diferenc¸a existente na˜o e´ especificada por
H1.
16
Dado que rejeitamos H0, sera´ importante saber,
por exemplo, se as me´dias sa˜o duas a duas
diferentes entre si, ou se uma delas e´ diferente
das demais, ou outraspossibilidades contem-
pladas por H1.
Existem va´rios testes de comparac¸a˜o das me´-
dias duas a duas, no caso de rejeic¸a˜o de H0
na ANOVA. Vamos apresentar aqui o teste de
Tukey.
17
Comparac¸o˜es de pares de me´dias de trata-
mento
Vamos ver a seguir o me´todo de Tukey desig-
nado para este tipo de comparac¸a˜o:
{
H0 : µi = µk, ∀i 6= k
H1 : pelo menos um par de me´dias e´ desigual
.
Teste de Tukey (1953): Procedimento para
o qual o n´ıvel de significaˆncia global e´ exata-
mente α, quando os tamanhos amostrais sa˜o
iguais e no ma´ximo α, quando os tamanhos
sa˜o desiguais.
Este procedimento tambe´m pode ser usado
para construir intervalos de confianc¸a sobre
as diferenc¸as de todos os pares de me´dias.
Para estes intervalos, o n´ıvel de confianc¸a si-
multaˆneo e´ 100(1−α)% para amostras de tama-
nhos iguais e pelo menos 100(1 − α)% para
amostras de tamanhos desiguais.
18
O procedimento de Tukey usa a distribuic¸a˜o
da estat´ıstica de variac¸a˜o “studentizada”
q =
y¯max − y¯min√
QMdentro/n
,
com y¯max e y¯min a maior e a menor entre as
me´dias de tratamento.
Para tamanhos amostrais iguais, o teste de
Tukey declara que duas me´dias sa˜o significa-
tivamente diferentes se o valor absoluto da
diferenc¸a amostral excede
Tα = qα(a,N − a)
√
QMdentro
n
.
Valores de qα(a,N−a) sa˜o tabulados em textos
especializados de Estat´ıstica e tambe´m esta˜o
dispon´ıveis em programas computacionais.
19
Atenc¸a˜o: E´ poss´ıvel ocorrer a seguinte situac¸a˜o:
(i) rejeita-se H0 via ANOVA.
(ii) na˜o sa˜o encontradas diferenc¸as significa-
tivas quando se comparam as me´dias duas a
duas.
Esta situac¸a˜o tem uma explicac¸a˜o, pois o teste
F e´ um teste simultaˆneo de todos as com-
parac¸o˜es poss´ıveis e na˜o apenas das me´dias
duas a duas.
Se isso ococrrer significa que o contraste signi-
ficativo na˜o sera´ uma comparac¸a˜o simples de
duas me´dias.
20
Rodando as comparac¸o˜es, via teste de Tukey,
dos pares de me´dias dos diferentes grupos para
o problema sob estudo no Bioestat obtemos o
seguinte quadro:
21
Pela sa´ıda no Bioestat podemos concluir que a
me´dia sob a condic¸a˜o muito a´lcool e´ significati-
vamente diferente das outras duas me´dias, mas
as me´dias sob as condic¸o˜es placebo e pouco
a´lcool na˜o sa˜o significativamente diferentes.
Na sa´ıda do programa temos um resumo da
tabela ANOVA, as me´dias amostrais em cada
grupo e as linhas comparando os pares de me´-
dias duas a duas.
ns representa na˜o significativo.
Assim, as me´dias sob placebo e pouco a´lcool
na˜o sa˜o significativamente diferentes.
Observe tambe´m, pelo quadro anterior, que
R2 =
145,167
145,167 + 241,583
' 0,375 ou 37,5%.
22
EXEMPLO 2: Um laborato´rio farmaceˆutico
deseja investigar a bioatividade de uma nova
droga. Um experimento a um fator comple-
tamente aleatorizado foi conduzido com treˆs
n´ıveis de dosagem da droga, e os resultados
obtidos esta˜o na tabela a seguir.
20 g 30 g 40 g
24 37 42
28 44 47
37 31 52
30 35 38
(a) Ha´ evideˆncias para indicar que os n´ıveis
de dosagem afetam a bioatividade? Use α =
0,05.
(b) Se a sua resposta foi afirmativa, fac¸a com-
parac¸o˜es entre os pares de me´dia. Que con-
cluso˜es voceˆ pode tirar?
24
Sa´ıda do Bioestat:
FV gl SQ QM F p-valor
dose 2 450.7 225.33 7.036 0.0145 *
Residuals 9 288.2 32.03
Conclu´ımos, ao n´ıvel de significaˆncia de 5% que ha´
efeito de dosagem na bioatividade.
A porcentagem da variac¸a˜o total explicada pela dosagem
e´ dada por 450,7
450,7+288,2
' 0,61 ou 61%.
25
(b) Vamos usar o prodedimento de Tukey para
comparar as me´dias duas a duas.
Sa´ıda do Bioestat:
diferenc¸a p-valor
30-20 7 0.2403
40-20 15 0.0114
40-30 8 0.1680
Observa-se que a diferenc¸a existe entre a dosa-
gem menor e a dosagem maior.
Entre dosagens consecutivas, a diferenc¸a na˜o
e´ significativa.
26
Ale´m disso, pelos efeitos estimados, conclu´ımos
que maior e´ a dosagem, maior sera´ a bioativi-
dade.
27
Amostras relacionadas: experimento intrapar-
ticipantes: Como fica?
Em Estat´ıstica o nome usado para esse tipo
de situac¸a˜o e´ Experimento a um fator em
Blocos Completos Aleatorizados.
No Bioestat usa-se a seguinte func¸a˜o para esse
caso: Estatisticas, Ana´lise da Variaˆncia, ANO-
VA:dois crite´rios.
Suponha agora que no experimento do exem-
plo anterior participam apenas 12 pessoas e
que em intervalos de tempo espac¸ados elas se-
jam submetidas, em ordem aleato´ria, a cada
uma das condic¸o˜es: placebo, pouco a´lcool e
muito a´lcool. Ou seja, agora sa˜o as mesmas
pessoas que sa˜o observadas sob cada condic¸a˜o.
28
Nesse caso as amostras na˜o sa˜o independentes
e ale´m da variac¸a˜o entre grupos e dentro do
grupos, passamos a poder medir uma variac¸a˜o
inerente a cada participante (variac¸a˜o de linha,
tambe´m chamada variac¸a˜o devido aos blocos).
Observe que agora as amostras sob cada con-
dic¸a˜o tera˜o tamanhos iguais.
Na ANOVA a um fator com amostras rela-
cionadas(medidas repetidas), os dados podem
ser representados da seguinte forma
cond. 1 cond. 2 ... cond. a
y11 y12 ... y1a
y21 y22 ... y2a
... ... ... ...
yn1 yn2 ... yna
Como as amostras sa˜o as mesmas, elas teˆm
tamanhos iguais.
29
cond. 1 cond. 2 ... cond. a
y11 y12 ... y1a
y21 y22 ... y2a
... ... ... ...
yn1 yn2 ... yna
a representa o nu´mero de condic¸o˜es diferentes.
n representa o nu´mero de observac¸o˜es sob cada
condic¸a˜o.
N = an e´ o nu´mero total de observac¸o˜es.
yij representa a i-e´sima observac¸a˜o sob a j-
e´sima condic¸a˜o, i = 1,2, ..., n e j = 1,2, ..., a.
30
Na ANOVA a um fator com amostras rela-
cionadas a variac¸a˜o total e´ decomposta em
treˆs parcelas correspondentes a` variac¸a˜o entre
grupos, a variac¸a˜o inerente a cada participante
(variac¸a˜o dos blocos) e a variac¸a˜o residual.
SQTot︸ ︷︷ ︸
variac¸a˜o total
= SQentre︸ ︷︷ ︸
variac¸a˜o entre grupos
+ SQBl︸︷︷︸
variac¸a˜o do indiv´ıduo
+ SQres︸ ︷︷ ︸
variac¸a˜o residual
Notac¸a˜o: SQTot: variac¸a˜o total, SQentre: variac¸a˜o entre grupos,
SQBl - variac¸a˜o nos blocos (individual) e SQdentro: variac¸a˜o residual
(dentro de cada grupo).
QMTot =
SQTot
N − 1: e´ uma me´dia da variac¸a˜o total.
N e´ o nu´mero total de observac¸o˜es no problema.
QMentre =
SQentre
a− 1 : e´ uma me´dia da variac¸a˜o entre grupos, chamada
quadrado me´dio entre grupos.
a e´ o nu´mero de grupos (condic¸o˜es) no problema.
QMBl =
SQBl
n− 1: e´ uma me´dia da variac¸a˜o dos blocos, chamada
quadrado me´dio dos blocos.
n e´ o nu´mero de observac¸o˜es (igual) sob cada condic¸a˜o.
QMdentro =
SQdentro
(a− 1)(n− 1): e´ uma me´dia da variac¸a˜o residual, chamada
quadrado me´dio residual ou intra grupos.
31
A estat´ıstica do teste realizado pela ANOVA
nesse caso e´ dada pela raza˜o dos quadrados
me´dios entre grupos e residual, a saber,
F =
QMentre
QMdentro
.
Se a hipo´tese nula e´ verdadeira, e´ poss´ıvel mos-
trar que a estat´ıstica F tem uma distribuic¸a˜o
F de Snedecor com a−1 e (a−1)(n−1) graus
de liberdade no numerador e denominador, re-
spectivamente.
Se a hipo´tese nula e´ verdadeira, espera-se que
a raza˜o entre os quadrados me´dios entre e den-
tro dos grupos seja pequena. Em geral, re-
jeitaremos H0 quando os valores amostrais de
F forem grandes.
32
A tabvela ANOVA correspondente a esse caso
e´ dada por
fonte de
variac¸a˜o SQ gl QM F
entre
grupos SQentre a− 1 QMentre F = QMentreQMdentro
blocos
(individual) SQBl n− 1 QMBl
dentro dos
grupos
(residual) SQdentro (a− 1)(n− 1) QMdentro
total SQTot N − 1
QMentre =
SQentre
a− 1 , QMDentro =
SQdentro
(a− 1)(n−1)
Se o valor de F for grande, H0 sera´ rejeitada.
O Bioestat tem essa func¸a˜o.
Estat´ısticas, Ana´lise da Variaˆncia, ANOVA: dois crite´rios.
33
O quadro a seguir mostra a sa´ıda do Bioestat
para os dados do exemplo sob considerac¸a˜o.
Podemos perceber que o teste ANOVA rejeita
H0, pois o p-valor e´ muito pequeno. Logo,
faz sentido realizar as comparac¸o˜es de me´dias
duas a duas.
34
O quadro a seguir mostra a sa´ıda do Bioestat
usando o procedimento de Tukey.
35
Cuidado: toda vez que as medidas forem repeti-
das para as mesmas unidades amostrais e´ fun-
damental rodar a ANOVA a dois crite´rios, pois
caso contra´rio a variac¸a˜o dentro dos grupos
podera´ ficar inflacionada acarretando na na˜o
rejeic¸a˜o de H0 um maior nu´mero de vezes por
conta da variac¸a˜o residual inflacionada, ou seja,
aumentando a chance de cometer o erro tipo
II.
Se as amostras forem relacionadas, ou seja, se
for um experimento intra-participantes, rode o
a ANOVA a dois crite´rios.
36
Vamos agora apresentar um me´todo na˜o-para-
me´trico para a ana´lise de variaˆncia (ANOVA):
O teste de Kruskal-Wallis
Em situac¸o˜es nas quais a suposic¸a˜o de nor-
malidade na˜o e´ justificada, existe um procedi-
mento alternativo ao teste F da ANOVA que
na˜o depende desta suposic¸a˜o. Um procedi-
mento desse tipo foi desenvolvido por Kruskal
e Wallis em 1952.
Neste teste, H0 corresponde a` hipo´tese de que
os a tratamentos (grupos ou condic¸o˜es) sa˜o
ideˆnticos versus a alternativa de que algum
tratamento (grupo ou condic¸a˜o) gera observa-
c¸o˜es que sa˜o maiores que as outras geradas pe-
los outros tratamentos (grupos ou condic¸o˜es).
37
Como este procedimento e´ designado para ser
sens´ıvel para testar diferenc¸as em me´dias, al-
gumas vezes e´ conveniente pensar no teste de
Kruskal-Wallis como um teste para a igualdade
de me´dias de tratamento (grupo ou condic¸a˜o).
Este teste e´ uma alternativa na˜o-parame´trica
a` ANOVA usual.
Passos no teste Kruskal-Wallis
P1) Designe postos rij a`s observac¸o˜es yij em
ordem crescente das observac¸o˜es. Em caso
de empate, designe a`s observac¸o˜es empatadas
a me´dia dos postos correspondentes caso na˜o
houvesse empate.
yij representa a i-e´sima observac¸a˜o do j-e´simo
grupo.
38
P2) Calcule a soma dos postos para cada trata-
mento (grupo ou condic¸a˜o), a saber, ri. =
ni∑
j=1
rij, i = 1,2, ..., a.
P3) Calcule a estat´ıstica de teste H dada por
H = 1
S2
{
N
a∑
i=1
(R¯i. − R¯..)2
}
= 1
S2
[
a∑
i=1
R2i.
ni
− N(N + 1)
2
4
]
com ni o nu´mero de observac¸o˜es no i-e´simo
tratamento (grupo), N o nu´mero total de replicac¸o˜es,
e
S2 = 1
N−1
a∑
i=1
n∑
j=1
(Rij−R¯..)2 = 1
N − 1
 a∑
i=1
ni∑
j=1
R2ij −
N(N + 1)2
4
 .
Observe que S2 e´ a variaˆncia amostral dos pos-
tos. Se na˜o existem empates,
S2 = N(N+1)/12 e a estat´ıstica de teste sim-
plifica para
H =
12
N(N + 1)
a∑
i=1
R2i.
ni
− 3(N + 1).
39
Quando o nu´mero de empates e´ moderado,
havera´ pouca diferenc¸a entre as duas expres-
so˜es para H e a forma mais simples pode ser
usada. Se os ni’s sa˜o razoavelmente grandes,
digamos ni ≥ 5, ∀ i, a distribuic¸a˜o de H e´
aproximadamente uma Qui-quadrado com a−1
graus de liberdade sob H0.
Portanto, a regia˜o cr´ıtica do teste a um n´ıvel
α de significaˆncia, sera´ dada por
H ≥ χ2(1−α),a−1.
O p-valor tambe´m pode ser usado.
:) Calma: o Bioestat conte´m esse teste e
voceˆ na˜o precisara´ se preocupar em designar
postos e calcular a estat´ıstica H.
40
Vamos rodar o teste proposto por Kruskal-
Wallis no Bioestat.
Estat´ısticas seguido de Ana´lise da Variaˆncia
seguido de Kruskal-Wallis.
Indique as colunas contendo os dados e exe-
cute para obter
Como podemos ver o p-valor e´ pequeno, in-
dicando que os dados trazem evideˆncia muito
forte contra H0.
41
Novamente, como H0 e´ rejeitada, faz sentido
em comparar os pares de me´dias duas a duas.
No Bioestat ha´ dois testes dispon´ıveis: Dunn
e Student-Newman-Keuls.
Rodando o procedimento porposto por Dunn
obte´m-se
42
Refereˆncias bibliogra´ficas:
(1) Busssab e Morettin - Estat´ıstica Ba´sica.
Editora Saraiva
(2) Triola. Introduc¸a˜o a` Estat´ıstica. LTC.
(3) Dancey e Reidy - Estat´ıstica sem Matema´tica
para Psicologia - Penso
43