CEME2 Transformadores

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Faculdade de Engenharia
Departamento de Engenharia Elétrica
Prof. Sergio Escalante, Dr.
slescalante@ieee.org
Sala: D‐5017
Conversão Eletromecânica de 
Energia II
1 – CONCEITOS
1.1‐ Lei de Faraday‐ Condutor em um campo 
magnético uniforme ‐ princípio gerador, 
regra da mão direita.
1.2‐ Condutor em um campo magnético 
conduzindo uma corrente, princípio motor, 
regra da mão esquerda.
2 ‐ MÁQUINAS DE CORRENTE CONTÍNUA 
2.1 Circuitos magnético, enrolamento do 
campo, enrolamento do induzido, passos, 
enrolamento imbricado simples e múltiplo, 
enrolamento ondulado.
2.2 Escovas ‐ tipo de material, teoria dos 
arcos voltaicos, teoria da comutação, 
posição correta das escovas. interpolos.
2.3 Características do gerador ‐ Curva de 
saturação, variação de velocidade. Reação 
do induzido, condutores desmagnetizantes 
e transmagnetizantes.
2.4 Gerador paralelo‐ Resistência de campo, 
elevação da tensão, resistência crítica de 
campo. Equações, característica externa, 
regulação de tensão, influência da 
velocidade na regulação de tensão. Relação 
da característica externa x característica 
interna.
2.5 Gerador série ‐ característica externa, 
equações, comportamento de acordo com o 
tipo de operação.
2.6 Gerador composto‐ paralelo longo e 
curto. Variação da resistência de campo 
paralela, composto super, plano e baixo. 
Relação da característica externa x 
característica interna.
3‐ INTRODUÇÃO AO TRANSFORMADOR.
3.1 Construção, circuito magnético, tipos de 
núcleos, enrolamentos. 
3.2 Circuito equivalente, diagrama fasorial. 
Determinação dos parâmetros, ensaios em 
curto e vazio, circuitos equivalentes 
simplificados.
3.3 Força eletromotriz induzida, regulação 
de tensão.
Pré‐requisito:  CEME ‐ I
REVISAR MATERIAL DE 
CEME‐1
REVISAR MATERIAL DE 
CEME‐1
Pré‐requisito:  Eletricidade II
1.CIRCUITOS ELÉTRICOS
1.1 Definições e Conceitos
1.2 Ligações do Circuitos
1.3 Parâmetros Elétricos
1.4 Energia, Potência, Corrente e Tensão
2.VALORES  MÉDIO e EFICAZ
2.1 Introdução e Conceitos
2.2 Ondas Senoidais
2.3 Representação Fasorial
2.4 Valores Médio e Eficaz
3.IMPEDÂNCIA COMPLEXA E NOTAÇÃO 
DE FASORES
3.1 Introdução e Conceitos
3.2 Notação Polar e Cartesiana
3.3 Impedâncias Complexas
4.POTÊNCIA e ENERGIA
4.1 Introdução e Conceitos
4.2 Potência e Energia
4.3 Fator de Potência
5.ANÁLISE DE CIRCUITOS PELO 
MÉTODO DAS MALHAS E DO NÓS
5.1 Introdução e Conceitos
5.2 Leis de Kirchoff
5.3 Método das Malhas
5.4 Método dos Nós
6.NOÇÕES DE CIRCUITOS 
TRIFÁSICOS
6.1 Introdução e Conceitos
6.2 Tensão e Corrente em Circuitos 
Trifásicos
6.3 Circuitos Trifásicos
7.CIRCUITOS MAGNÉTICOS
7.1 Introdução e Conceitos
7.2 Campos Magnéticos
7.3 Parâmetros Magnéticos
•Revisar as aulas de Eletricidade II 
Programa
• 1‐ TRANSFORMADORES:   P1
– Sistema PU. 
– Transformadores Monofásicos: 
– Regulação de tensão: circuito equivalente 
simplificado, diagramas fasoriais.
– Rendimento: rendimento máximo e rendimento 
diário.
– Polaridade. 
– Autotransformador.
– Operação de transformadores em paralelo.
– Transformadores trifásicos.
Programa
2‐ MÁQUINAS SÍNCRONAS DE PÓLOS LISOS:  P2
2.1 Construção, circuito magnético, enrolamento do campo.
2.2 FEM induzida, enrolamento do induzido (máquina trifásica) fator de passo, 
eliminação de harmônicos, fator de distribuição, melhoramento da forma de 
onda
2.3 Estudo do campo girante trifásico. Curva de saturação, Reação do induzido 
com cargas R‐L‐C
2.4 Determinação da impedância síncrona pelos métodos Pessimista e de Potier.
2.5 Regulação de tensão, diagramas fasoriais
2.6 Características das máquinas motrizes.
2.7 Máquinas síncronas em paralelo, variação da potência ativa, corrente de 
sincronismo, variação da potência reativa.
2.8 Estudo do ângulo de carga, potência máxima transmitida em função do 
ângulo de carga, funcionamento da máquina síncrona como gerador e como 
motor, diagramas fasoriais. 
2.9 Motor síncrono, princípio de funcionamento, variação da carga mecânica, 
variação da excitação, diagramas fasoriais, curvas em V.
2.10 Partida do motor síncrono, sincronização.
Programa
• 3 ‐MÁQUINAS ASSÍNCRONAS:  P3
– 3.1 Construção, circuito magnético.
– 3.2  Princípio de funcionamento, espira fechada em um campo 
girante, velocidade e frequência do rotor.
– 3.3  Circuito equivalente, diagrama fasorial, análise do diagrama 
fasorial.
– 3.4  Potência no rotor, momento em função do deslizamento, 
momento de partida e máximo. 
– 3.5  Estudo do rotor, rotor bobinado, variação da resistência do rotor, 
classe dos motores de indução.
– 3.6 Letra código, classe de isolamento.
– 3.7  Motores de indução monofásicos, campo monofásico, criação do 
campo auxiliar na partida.
– 3.8 Estudo dos principais motores monofásicos.
– 3.9 Determinação dos parâmetros do motor de indução.
– 3.10  Diagrama circular aplicado ao motor de indução.
Bibliografia
• Fundamentos de Máquinas Elétricas – Stephen J. 
Chapman
• Máquinas Elétricas – A. E. Fitzgerald
• Máquinas Elétricas e Transformadores ‐ Irving 
Kosow
• Máquinas Elétricas ‐ Syed Nasar
• Notas de aula, internet, apostilhas vários, etc....
Sistema de Avaliação
• P1, P2 e P3 : Provas a serem aplicadas durante o período
–  Todas as provas são obrigatórias.
• LAB: Média final de laboratório;
• m1: média final 1 (Aprovação direta para m1  7) não 6,95
• PF: prova final (a matéria toda).
• m2: média final 2 (Aprovação final para m2  5) não 4,95
• Prova de Reposição somente com atestado médico !
•
 1 2 33
1 1
1
1
2 2
LAB
m se m
m Prova Fina
7
l
,0
m PF
m se 
3
5,0 APROVAD
APROVADO
7,0
10
7
0
m
2
4,
O
P P P     
  
  
NAS PROVAS SERÁ PROIBIDO USO DE CALCULADORAS PROGRAMÁVEIS
Ler as instruções de cada prova
Como Reprovar CEME ‐ 2
• Não estudar
• Faltar mais de 25% das aulas
• Colar na prova
• Estudar na véspera da prova
• Não fazer os exercícios
• Colar os exercícios de seu colega de aula
• Não prestar atenção na aula e conversar com seu colega de 
aula
• Mexer no celular durante a aula
• Não anotar nada sobre a aula
• Não pesquisar na internet sobre os temas dadas em aula
• Manter ligado o celular durante as provas ......
• Dormir durante a aula.
Como Aprovar CEME II
• Estudar desde o primeiro dia de aula.
• Estudar
• ....
• Estudar depois do termino de cada aula
• .... 
• ....
• SIM, É SÓ ESTUDAR.
Revisão 
Corrente Alternada
• Oscila entre valores máximos e mínimos
• A expressão da força eletromotriz tem a forma:
– Onde Vm :é a amplitude máxima,
–  :é a frequência angular [rad/s]
• A expressão para a intensidade da corrente elétrica tem a 
mesma forma da força eletromotriz, 
– onde: Vm : é a amplitude máxima,
–  : é a frequência angular [rad/s]
–  : ângulo de fase, entre V e I.
– O ângulo de fase entre 2 formas de onda de 
mesma frequência (defasagem) é a diferença angular num dado 
instante de tempo.
.sen tmV V 
.sen( t )mI I   
Corrente Alternada
• Frequência:  A frequência (f [Hz]) é o número de 
ciclos por segundos
– Um ciclo por segundo é igual a 1 hertz.
•  :é a frequência angular [rad/s]
• Período:: O período (T [s]) é o intervalo
de tempo para que um ciclo esteja
completa
– Quanto mais alta a frequência menor
o período
2
f 
1 2
 T
f

 
T
T
T
T
Corrente Alternada
• Valor pico: é o valor máximo Vm ou Im
• Valor pico‐pico: (dobro do valor pico)
• Valor médio: media aritmética sobre todos os valores numa onda 
senoidal para um meio ciclo.
– No ciclo completo o valor é zero.
• Valor eficaz ou rms (valor medio quadrático) é 0,707 (ൌ ଵ
ଶ
ൌ
ଶ
ଶ
) vezes o 
valor pico.
Um ciclo é uma 
volta completa 
Fasores
• Um fasor é um vetorgirante que pode ser representado 
como um número complexo que contem informações de 
amplitude e ângulo de fase de uma função senoidal
• O comprimento da seta representa o módulo da tensão ou 
corrente alternada
• O ângulo que a seta forma com o eixo horizontal indica o 
ângulo de fase
• Escolha‐se uma forma de onda como referência
• As próximas ondas são comparadas com a de referência 
através do ângulo entre as setas que representam os 
fasores.
 .. cos senz z zjx j y e j z           
Fasores
• Um fasor é um vetor girante que pode ser representado 
como um número complexo que contem informações de 
amplitude e ângulo de fase de uma função senoidal
•
( ) sen( t ) Vm mv t V V      
 .. cos senz z zjx j y e j z           
Fasores – soma de duas ondas
• Soma de duas ondas senoidais:
1 2(t) (t)T yyy  

Fasores – soma de duas ondas
• Soma de duas ondas senoidais:
1 2(t) (t)T yyy  

sen( t )A A      
cos( t )A A      
1sen( t 0) 1 0    
1cos( t 0 ) 1 0     
REVISÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS
Números complexos
• Forma retangular:
• Exemplo:
•
Número Complexo
• Forma polar
• Exemplos:
•
Conversão retangular e polar
• Retangular para polar
• Polar para retangular
• Exemplos
•
Operações com números complexos 
• O símbolo j:
• Complexo conjugado
Também
• Inverso ou reciproco
Também:
•
Operações com números complexos 
• Se:
– Adição
– Subtração
• Multiplicação
Também: Polar
• Divisão
• Também:
FIM REVISÃO NÚMEROS COMPLEXOS
Impedância Resistiva, Reativa e Capacitiva
•
Potência Aparente
senQ VI 
cosP VI 
Fator de Potência
• Potência complexa:
Fontes trifásicas
Fontes trifásicas
Carga trifásica
Sistema Trifásico
• Tornou‐se o mais conveniente por razões técnicas e 
econômicas:
• Trifásico (3 fios, 3F) comparado a monofásico (2 fios, F+N):
– Gerador e transformador de menor porte para a mesma 
potência
• Custos de construção menores e melhor aproveitamento dos recursos.
– Condutores menores para a mesma potência
• Diminui os custos na instalação de 1 cabo adicional
– No monofásico a potência instantânea cai a zero duas vezes por 
ciclo, no trifásico a potência trifásica nunca cai a zero e se 
mantém praticamente estável.
• melhores características operacionais para motores trifásicos
– Problemas em um condutor não interrompe o atendimento da 
carga como um todo 
• Uso de sistemas com maior número de fases não cobre os 
custos adicionais de transmissão (Nikola Tesla).
Sistemas Polifásicos Simétricos
• Sistema de tensões polifásico simétrico:
1
2
3
cos( t)
1cos( t 2 )
2cos( t 2 )
1cos( t 2 )
m
m
m
n m
v V
v V n
n v V n
nv V n

 
 
 

             

1
2
3
1
2
3
cos( t)
13 cos( t 2 )3
2cos( t 2 )3
cos( t)
cos( t 120)
cos( t 240)
m
m
m
m
m
m
v V
v V
v V
v V
v V
v V

 
 




          
       
: número de fases ( )n n sistema trifásico (3 )
Sistemas trifásico
1
2
3
cos( t)
3 cos( t 120)
cos( t 240)
m
m
m
v V
v V
v V




       
3 enrolamentos (a‐a’, b‐b’, c‐c’) defasados 120 Um enrolamento (a‐a’)
Sequências de fases
Sequência positiva: ABC Sequência negativa: ACB
ABC = BCA = CAB ACB = CBA = BAC
Exemplo
• Um sistema trifásico simétrico tem sequência de 
fase BAC e Vc igual a 220V com ângulo de fase de 
40. Determine as tensões (módulo e ângulo) nas 
fases A e B.
Sistema trifásico
• Simétricos:
– Tensões nos terminais dos geradores são senoidais
– Tem o mesmo valor máximo
– Estão defasadas de 120 (2/3 rad)
• Assimétrico
– Em forma geral, as tensões nos terminais dos 
geradores não atendem a pelo menos uma das 
condições acima (do simétrico)
Linhas trifásicas
• Equilibrada: constituída por 3 ou 4 fios (3f+N):
– Impedância própria dos fios iguais entre si,
– Impedância mútua entre os fios iguais entre si,
– Impedância mútua entre os fios de fase e o de 
retorno (N) iguais.
• Desequilibrada:
– Em forma geral, onde não se verifica uma das relações 
acima (do equilibrado)
Cargas trifásicas
• Equilibrada:
– Carga constituída por 3 elementos (impedância 
complexa) iguais ligados em estrela (Y) ou triângulo 
(delta).
• Desequilibrada:
– Carga na qual não se verifica a condição descrita 
acima
Definições
• Tensão de Fase (Vf)
– Tensão entre condutor (ou terminal) fase e o neutro
• Tensão de Linha (VL)
– Tensão entre dois condutores (ou terminais) de fase.
• Corrente de Fase (If)
– Corrente que percorre 
cada um dos 
elementos do 
componente
• Corrente que passa nas 
bobinas do gerador
• Corrente que passa nas 
impedâncias da carga
• Corrente de Linha (IL)
– Corrente que percorre o
condutor ou o terminal do 
componente, exceto o neutro
Definições
Circuito Y
Soma vetorial
3L FV V
A FV V
A Fi i
N A B Ci i i i  
AB LV V
Digrama fasorial da ligação ‐ Y
Se a carga é balanceada
0N A B Ci i i i   
0N A B Ci i i i   
Se a carga é desbalanceada
VA
VB
VC VAB
VCA
VBC
A
C
BiB
iC
iA
Circuito 
3L Fi i
F LV V
A Li i
AB F LV V V 
AB Fi i
Digrama fasorial da ligação ‐ Y
Se a carga é balanceada
A B C   
Se a carga é desbalanceada
A B C   
iABiBC
VAB
VCA
VBC
A
C
B
iA
iCA
iC
iB
Relação entre valores de fase e linha
' 0
AN A
BN B
CN C
NN
I I
I I
I I
I




CNI BNI
ANI
BNV
ANV
ABV
AB AN BN
BC BN CN
CA CN AN
V V V
V V V
V V V
 
 
 
3 30
ANAB
BC BN
CA CN
VV
V V
V V
                 
Exercício
• Uma carga equilibrada ligada em estrela e alimentada por um 
sistema trifásico simétrico e equilibrado com sequencia de fase 
positiva. Sabendo que a tensão de fase (VBN) nos terminais da 
carga é igual a 220 48 V, determine:
– (a) Todas as tensões de fase na carga;
– (b) Todas as tensões de linha na carga.
• Refaça o exemplo para sequencia de fase negativa.
• Revisar ANEXO A “Sistemas Trifásicos” do livro 
Máquinas Elétricas do Fitzgerald
ERROS COMUNS – CUIDADO
• Esquecer os triângulos notáveis.
• Esquecer operação com números complexos
• Não saber calcular o fator de potência FP=cos()
• Cálculo do triângulo de potências
• Misturar valores reais com valores em p.u.
• Esquecer o raiz de 3, nas equações trifásicas.
• Cálculo das potências trifásicas
• Somar as potências aparentes fasoriais como se aritméticas
• Não saber os Ensaios para transformador, máquinas 
síncronas e máquinas assíncronas. (cálculo de parâmetros)
SISTEMAS EM PU
Sistemas Por Unidade (pu)
• É uma forma de expressar as grandezas elétricas em um circuito 
de forma normalizada, com base em valores pré‐determinados.
• Os cálculos relativos a máquinas, transformadores e sistemas de 
máquinas são frequentemente executadas em valores de por 
unidade ou pu.
• O valor de por unidade são frações decimais dos chamados 
valores base adequadamente escolhidos.
• Todos os cálculos usuais são executadas com valores por 
unidades ao invés dos familiares volt, ampères, ohms etc.
• Um sistema elétrico descrito em pu é baseado em uma potência 
base (Sbase) e uma tensão base (Vbase).
• Para uma grandeza G real (Greal) o valor em pu (Gpu) numa base 
Gbase obtém‐se então através da expressão Gpu = Greal/Gbase.
Sistemapor unidade
• Bases: O valor por unidade de qualquer grandeza 
é definido por:
• Exemplos:
•
Grandeza real
Grandeza por unidade =
Valor base da grandeza
real
pu
base
GG
G
 
S V I Z
; ; ;real real real realpu pu pu pu
base base base base
S V I Z
S V I Z
   
Sistemas em pu ‐ Vantagens
• O sistema pu permite que se tenha uma ideia clara 
das grandezas do sistema, como impedância, tensão, 
corrente, potência;
– Normalmente os valores em pu de equipamentos 
semelhantes encontram‐se dentro de estreitas faixas, 
independente da potência do equipamento. 
• Exemplo: parâmetros de geradores
– Já os valores ôhmicos variam muito de acordo com a 
potência.
– Os valores de impedância, tensão, corrente do 
transformador são os mesmos não importando se estão 
referidos ao lado de alta ou baixa. 
• grande vantagem, porque o nível de tensão some e análise do 
sistemas de potência se resume a solução de circuito com 
impedâncias.
Parâmetros da Máquina em p.u.
Valores Base
• Num sistema elétrico são utilizados o valor da 
potência trifásica e a tensão de linha como valores 
bases.
•
 2
3
3
3
base
base
base
base base base
base
base base base
SI
V
V V VZ
S I I
 
   
2( )
pu pu pu
pu pu pu
pu
pu
pu
S V I
V Z I
V
Z
S



f fS V I   3 3 L LS V I    3 3S S  
f f
 S V I
Valores Base
 233 3 3
3
3 33 3
3
3 3
bb b b
b base
b bb b
VS V V
I Z
S IV I
  

  
    
f fS V I   3 3 L LS V I    3 3S S  
   2 2
3
3
:
3
3 ( 3 )
3
3
b b
b
bb
b b
b
b
b
b
b
b
S S
I I
VV
V V V
Z
S S I
 


 






  
  
Y
 
3
3
3
2
3
:
3 3
3
3 3
3
3
b
b
b
b b
b
bb
b b
b bb
S S
I I
VV
V V V
Z
S I I
 


 
 



    
    
Δ
 2 3
3 3
basebase base base
base base
base basebase base
VS V VI Z
S IV I
    
3 1b b b bZ Z V I    3 1 3 3b b bbZ Z V I   
Mudança de Base
• Para potências:
• Para resistências, reatâncias, impedâncias:
• Para tensão:
• Para corrente:
1
pu_base2 pu_base1
2
( , , ) ( , , ) base
base
SP Q S P Q S
S
 
2
1 2
pu_base2 pu_base1 2
2 1
( , , ) ( , , ) base base
base base
V SR X Z R X Z
V S
     
1
pu_base2 pu_base1
2
base
base
VV V
V
     
2 1
pu_base2 pu_base1
1 2
base base
base base
V SI I
V S
     
Sistema por Unidade
• A grandeza de base definida para todo o sistema 
de energia elétrica é a potência elétrica, S3base
(geralmente 100 MVA):
• A tensão base, base V , geralmente corresponde à 
tensão nominal do sistema na região de interesse:
•
Exemplo
• A reatância transitória de um gerador de 50 MVA, 
10 kV é x'=12%. As bases da rede são, na zona do 
gerador, Sb=100 MVA e Vb=11 kV. 
• Calcular o valor da reatância em p.u. nas bases da 
rede.
Solução
• Usando a expressão de mudança de base:
3 base 2 base 1
pu (base 2) pu (base 1)
 base 2 3 base 1
[ ]L
L
SV
V S


    
2
Z Z
Exemplo
• A reatância série (ou tensão de curto‐circuito, vcc) 
de um transformador de 30 MVA, 60/16 kV, é xt = 
8%. A base de potência da rede é Sb = 50 MVA, e 
as bases de tensão nas zonas do primário e 
secundário são, respectivamente, Vbp = 56,25 kV e 
Vbs = 15 kV. 
• Calcular o valor da reatância em p.u. nas bases da 
rede.
Solução
3 base 2 base 1
pu (base 2) pu (base 1)
 base 2 3 base 1
[ ]L
L
SV
V S


    
2
Z Z
Exemplo
• Uma fonte trifásica, 2400 V, sequência ABC, 
alimenta duas cargas conectadas em paralelo:
– Carga 1: 300 kVA, fator de potência igual a 0,8 indutivo 
e 
– Carga 2: 144 kW, fator de potência igual a 0,6 
capacitivo. 
• Se a fase A é utilizada como referência angular (ou 
seja o ângulo de fase de VAN é igual a zero), 
determinar:
– a) O circuito equivalente por fase (diagrama de 
impedância). 
– b) As três correntes de linha das fases A, B e C.
Solução
Observar que quando se 
realiza análise por fase é 
melhor empregar o circuito 
equivalente em estrela; se a 
conexão do equipamento é 
em triângulo, pode‐se 
converter para o seu circuito 
equivalente em estrela.
Exemplo
• Do exemplo anterior, supor que a potência base  
S3 base é  300 kVA, determinar:
– a) As bases do sistema por unidade.
– b) Desenhar o circuito equivalente por fase em valores 
por unidade.
– c) Determinar o fasor corrente da Fase A em valores 
por unidade e em ampères.
Solução
• a) As bases do sistema por unidade.
Solução
• b) Desenhar o circuito equivalente por fase em 
valores por unidade.
– De acordo com os valores obtidos no Exemplo anterior
Solução
• O circuito equivalente por 
fase em valores por 
unidade:
•
Solução
• c) Determinar o fasor
corrente da Fase A em 
valores por unidade e em 
ampères.
– Do circuito ao lado:
•
Exercício
• Do exemplo anterior, se o valor base S3 base é 1 
MVA, quanto será a corrente em pu para a nova 
base?
•
p.u. em Sistema com transformadores
• 1. Escolher uma potencia base para todo o sistema;
• 2. Estabelecer os trechos delimitados pelos trafos;
• 3. Escolher a tensão base para um determinado trecho;
• 4. A partir desta tensão base calcular sequencialmente a tensão base dos 
trechos adjacentes respeitando‐se a relação de transformação do trafo de 
ligação dos trechos;
• 5. Calcular a corrente e a impedância base de cada trecho;
• 6. Calcular as impedâncias em PU dos componentes de rede;
Zona 1
Zona 2 Zona 3
3base definidaV V
1 1:T Tp sV V2 2:T Tp sV V
1
2 3 1
T
p
base base T
s
V
V V
V
2
1 2 2
T
p
base base T
s
V
V V
V

Exercício
• Determinar as impedâncias do equivalente monofásico em 
ohms () e em p.u. do sistema da figura, adotando como 
base 69 kV e 100 MVA na linha de transmissão.
– O gerador de 13,8 kV tem uma potência de 12 MVA e reatância 
transitória de 30%. 
– Os dois transformadores são idênticos com uma relação de 13,8 
kV / 69 kV, potência de 15 MVA e reatância de dispersão de 7%. 
– A linha de transmissão tem 90 km de extensão, resistência 
ôhmica de 0,24  /km, reatância indutiva de 0,50  /km e 
reatância capacitiva de 300 k /km. 
– A carga do sistema é de 8,0 MW com um fator de potência de 
0,92 em atraso com uma tensão de operação de 13,2 kV.
• Determinar as impedâncias do 
sistema em pu da figura, 
empregando uma base de potência 
de 100 MVA e 13,2 kV no lado de 
baixa tensão dos transformadores
• Considere que um dos transformadores esteja conectado 
no tap de 135 kV e o outro no tap nominal. 
• Os transformadores são de 25 MVA, 138 kV/ 13,8 kV, e 
cada um tem reatância de dispersão de 6,5 %. A fonte 
supridora tem uma reatância equivalente de 17%, na 
tensão de 132 kV e 200 MVA. A carga é de 30 MVA com 
fator de potência de 0,98 em atraso. 
Exercícios
Exercício
• A Figura mostra o diagrama unifilar de um sistema elétrico trifásico. 
• Considere que o comprimento da linha entre os dois transformadores é 
desprezível, que a capacidade do gerador 3φ é de 4160 kVA (2,4 kV e 
1000 A), que este opera em condição nominal ( ܫܮ ൌ 1000	ܣ) 
alimentando uma carga puramente indutiva. A potência nominal do 
transformador trifásico T1 é 6000 kVA (2,4/24 kV Y/Y) com reatância de 
0,04 pu. T2 tem capacidade nominal de 4000 kVA, sendo constituído por 
um banco de três transformadores monofásicos (24/12 kV Y/Y) com 
reatânciade 4% cada. Determinar: 
• a) A potência base. b) A tensão de linha base. c) A impedância base. d) A 
corrente base. e) Resumir valores base em uma tabela. f) Os valores das 
correntes em A. g) A corrente em pu. h) O novo valor das reatâncias dos 
transformadores considerando sua nova base. i) O valor pu das tensões 
das barras 1,2 e 4. j) A potência aparente nas barras 1, 2 e 4. 
Exercício
• Passe a sistema em pu a figura seguinte:
•
Exercícios
Exercícios
Valores em pu
• Os cálculos de circuitos que envolvem bancos trifásicos de 
transformadores em condições equilibradas podem ser feitos lidando com 
apenas um dos transformadores ou fases e verificando que as condições 
são as mesmas nas duas outras fases, exceto as defasagens presentes em 
um sistema trifásico.
• Usualmente é conveniente realizar os cálculos com base em uma única 
fase (Y por fase, tensão de fase), porque então as impedâncias dos 
transformadores podem ser somadas diretamente em série com as 
impedâncias da linha de transmissão. As impedâncias da linha de 
transmissão podem ser referidas de um lado a outro do banco de 
transformadores, usando o quadrado da relação ideal das tensões de 
linha do banco. 
• Ao lidar com bancos Y ‐  ou ‐Y, todas as grandezas podem ser referidas 
ao lado conectado em Y.
• Ao lidar com bancos ‐ em série com linhas de transmissão, é 
conveniente substituir as impedâncias conectadas em  do transformador 
por impedâncias equivalentes conectadas em Y. 
– Pode‐se mostrar que um circuito equilibrado ligado em  com Z /fase é 
equivalente a um circuito equilibrado ligado em Y com ZY/fase  se
1
3YZ Z
TRANSFORMADORES
Transformador
• O transformador é um componente de circuito constituído 
por duas bobinas acopladas magneticamente.
• O transformador é um dispositivo que converte energia 
elétrica de um certo nível de tensão, em energia elétrica de 
outro nível de tensão, mediante a ação de um campo 
magnético.
• É constituído por dois ou mais bobinas, pelo geral isoladas
Eletricamente entre eles e enroladas ao 
redor de um mesmo núcleo de material 
ferromagnético(geralmente de elevada 
permeabilidade magnética).
i
Características construtivas
• Enrolamento primário
– bobina que recebe a tensão
• Enrolamento secundário
– Bobina que transforma a tensão de entrada
• Eleva ou reduz
• Núcleo Magnético (alta permeabilidade e baixa resistência)
– A composição de um núcleo de um transformador depende de 
alguns fatores como: tensão, corrente e frequência.
– Os custos de construção e limitações de tamanho são também 
fatores a serem considerados. 
– Geralmente os núcleos são construídos de ar, ferro, e aço. Cada 
um destes materiais é satisfatório para algumas aplicações e 
inadequado para outras. 
– Em sistemas de potência: Material ferromagnético
Transformador Monofásico
Núcleo envolvido
bobina envolve o 
núcleo
Núcleo envolvente
núcleo envolve a bobina
A montagem das 
lâminas é feita de 
forma alternada a
proporciona maior resistência mecânica 
e a relutância magnética diminui.
Transformador
• Normalmente transformador de núcleo de ar são 
usados quando a fonte de tensão tiver uma 
frequência alta (acima de 20 kHz)
• Transformadores de núcleo de ferro são 
normalmente usados quando a frequência da 
fonte for baixa (20 kHz ou menor)
– O transformador de núcleo de ferro providencia 
melhor transferência de potência do que um de núcleo 
de ar.
Tipos de Transformador
• Transformador de potência
• Transformador de medição
• Transformador de sinal
Transformador de Potência
• Usados para fornecimento de energia
• Tem dois ou mais enrolamentos enrolados sobre 
um núcleo de ferro laminado
• O número de enrolamentos e de espiras por 
enrolamento depende da tensão que é aplicada 
(no primário) e fornecida (secundário) pelo 
transformador.
Transformador de Potência
www.macavi.net
www.weg.com
Transformador de medição
• Transformadores de corrente
• Transformadores de tensão
• Utilizadas em eletrônica
• Trabalham com frequências 
muito elevadas (muito mais 
de 60 Hz)
• Tem características e 
aplicação específica
Transformador de sinais
• O enrolamento primário é 
conectado a uma fonte de 
tensão AC/ 60 hertz. 
• O campo magnético se 
expande e se contrai no 
primário.
• A expansão e contração do 
campo magnético senoidal ao 
redor do primário, corta o 
secundário e induz uma tensão 
alternada senoidal. 
• Esta tensão causa um fluxo de 
corrente alternada que flui 
pela carga.
• A tensão pode ser aumentada 
ou diminuída dependendo dos 
requisitos de projeto do 
primário e do secundário.
Funcionamento
• Da figura:
– Onde:
– 1: fluxo concatenado do 
enrolamento primário
– : fluxo no núcleo enlaçando ambos 
os enrolamentos [weber]
– N1: número de espiras do 
enrolamento primário
• Também, da figura:
– Onde:
– R1: resistência do enrolamento 
primário
• A forma de onda da tensão e do 
fluxo são aproximadamente 
senoidais:  
Condição sem carga
1
1 1
d de N
dt dt
  
1 1 1v R i e  
Desprezando os efeitos do 
fluxo disperso do primário
max sen( )t   
Condição sem carga
• Tensão induzida:
– max: valor máximo do fluxo
–  = 2f
• A FEM (força eletromotriz) induzida está adiantada 
90 em relação ao fluxo.
• O valor eficaz da FEM induzida e1:
1 1 1 max cos( )
de N N t
dt
       
1 1 max2E f N    1max
12
V
f N
  
max sen( )t   
max sen( )t   
• Relação:
• Relação entre as tensão do 
primário e o secundário é igual à 
relação do número de espiras do 
primário e do secundário.
• A conectar uma carga no 
secundário: aparece a corrente 
i2,
• i2 gera uma (FMM), e devido ao 
circuito magnético (laço fechado 
 no núcleo):
–
Efeito da corrente do secundário
Supondo a resistência dos enrolamentos 
é desprezível; Todo o fluxo se encontra 
no núcleo (fluxo disperso = 0); e 
Permeabilidade do núcleo é muito alta  
 isto é um transformador ideal
• Potência no primário = 
Potência no secundário 
P1 = P2 .
Efeito da corrente do secundário
– : ângulo entre a tensão 
primária e a corrente 
primária
– : ângulo entre a tensão 
primária e a corrente 
primária
• Em um transformador ideal
– P = S =  (tem o mesmo 
fator de potência)
–
• Similar para a potência 
reativa:
• Potência aparente:
•
Potência de um transformador ideal
out incosP PP V I P 
out cos
P
P P P
I
t
P V Vt I      
1
2
1 SP
S P
IV
V It
N
N
   S PV tV
in outsen senP P S SQ V I V I Q   
in outP P S SS V I V I S  
O Transformador Ideal 
• A curva de magnetização B‐H do núcleo é linear
• Núcleo com permeabilidade infinita
• Enrolamento elétrico sem perdas (r = 0)
• Perdas no ferro nulas 
• Não apresentam fluxo de dispersão
Exemplo
• Um sistema de potência monofásico mostrada na figura 2, 
a tensão do gerador 480 V, frequência 60 Hz, alimenta uma 
carga Zcarga=4+j3  por meio de uma linha de transmissão 
de impedância Zlinha=0,24+j0,18 . 
– Calcule as perdas da linha de transmissão 
– Calcule a corrente na carga.
Solução
linha
linha
1 1 1
;
10 10 10
S GP
S P G
I I IV I
V I It
     
Solução
eqv linha carga
linha
480 0
' " (0,0024 0,0018) (4 3)
480 0 480 0
(0,003 36,87 ) (5 36,87 ) 5,003 36,87
90,566 36,87 9,0566 36,87
10
G
G
G
G
V VI
Z Z Z j j
I
II I
       
           
      
linha 9,06 36,87 AI    Logo a perda na linha: 2linha (9,06) (0,24) 19,7WP   
Corrente na carga:
carga
carga linha
linha
10
10
1
I
II
I
   
carga linha
carga
10 10 (9,06 36,87 )
90,06 36,87 A
I I
I
     
   
Exercício
• Repetir o exemplo anterior, considerando a 
relação N1/N2 do transformação da geração 
(esquerda) igual a 1/20 e do transformador da 
carga (direita) igual a 40/1. 
Impedância refletida
estão em fase
Exemplo
• No circuito: R2+jX2 = 1+j4 , está conectada em série 
com o secundário. A relação de espiras é N1/N2=5:1
– (a ) Desenhe um circuito equivalente cuja impedância em 
série esteja referida ao primário.
– (b ) Para uma tensão de primário de 120 V e um curto 
circuito conectado entre os terminais A – B, calcule a 
corrente do primário e a corrente que flui no curto circuito.
•
• A impedância do secundário 
referida ao primário:
•
Solução
 25 1 4
1
j      
120
0,28 1,13 A
25 100
j
j
  
1ˆ 1,164 76,08 AI   
2ˆ 1,164 76,08 A 5,82 76, 85 0 AI       
Exercício
• Repita a parte b) do exemplo anterior, 
considerando uma impedância em série R2+jX2 = 
0,05+j0,97  e uma relação de espiras de 14:1
Transformador Real
• Fluxo médio por espira:
• Tensão induzida por espira:
• Fluxo devido à tensão no primário vp(t):
–
Transformador real
Transformador real
: Fluxo primário médio total
: Fluxo secundário médio total
: Componente do Fluxo que concatena 
 mutuamente as bobinas primárias e secundárias
: Fluxo de dispersão primário
: Fluxo de dis
P
S
M
DP
DS




 persão secundário
P M DP S M DS        
1 1 1( )
( ) ( ) ( )
P M DP
P
P P DP
d d dv t N N N
dt dt dt
v t e t e t
      
 
2 2 2( )
( ) ( ) ( )
S DSM
S
S S DS
d ddv t N N N
dt dt dt
v t e t e t
     
 
Transformador real
2 2( )
( ) ( ) ( )
DSM
S
S S DS
ddv t N N
dt dt
v t e t e t
   
 
1 1( )
( ) ( ) ( )
M DP
P
P P DP
d dv t N N
dt dt
v t e t e t
    
 
1
2
( )
( )
M
P
M
S
de t N
dt
de t N
dt


 
 
1
2
( ) 1
( )
P
S
e t N
e t N t
 
Transformador 
Ideal
( ) 0
( ) 0
DS
DP
e t
e t


Corrente de magnetização
• iM: é a corrente necessária para produzir o fluxo no 
núcleo do transformador
•
1
1
1
( ) ( )PP P P
dv t N v t dt
dt N
    
2
2
1
( ) ( )SS S S
dv t N v t dt
dt N
    
( ) cos( t)P mv t V 
1
sen( t) [Wb]mP
V
N
 
1 1
1
cos( t) sen( t) [Wb]mP m
VV dt
N N
    
Curva de magnetização ou curva de 
histerese típico de um transformador
,A.voltasF
,Wb
Corrente de magnetização
• 1. A corrente de magnetização no transformador não é senoidal. As 
componentes de frequência mais elevadas da corrente de 
magnetização são devido à saturação magnética do núcleo do 
transformador.
• 2. Uma vez que o fluxo de pico tenha atingido o ponto de saturação 
do núcleo, um pequeno aumento no fluxo de pico exigirá um 
aumento muito grande na corrente de magnetização de pico.
• 3. A componente fundamental da corrente de magnetização está 
atrasada em relação à tensão aplicada em 90°.
• 4. As componentes de frequências mais elevadas da corrente de 
magnetização podem ser bem grandes quando comparadas com a 
componente fundamental. Em geral, quanto mais um 
transformador for colocado em saturação, maiores se tornarão as 
componentes harmônicas.
1
sen( t) [Wb]mP
V
N
 
Devido à corrente magnetizante 
faz existir as perdas no núcleo 
do transformador:
Perdas por histerese
Perdas por magnetização
NiF
mi
t
( )t( )pv t( )
( )p
t
v t
 
t
Corrente de perda no núcleo
• ih+p: corrente de perdas no núcleo (perdas de histerese e 
parasitas)
– 1. A corrente de perdas no núcleo não é linear devido aos 
efeitos não lineares da histerese.
– 2. A componente fundamental da corrente de perdas no núcleo 
está em fase com a tensão aplicada ao núcleo.
• A corrente total sem carga no núcleo é denominada 
corrente de excitação do transformador:
•
corrente de excitação
• A corrente total sem carga no núcleo é denominada 
corrente de excitação do transformador:
•
Em um transformador de 
potência bem projetado, a 
corrente de excitação é 
muito menor do que a 
corrente a plena carga do 
transformador.
Equivalente – Transformador Real
• Rp, Rs: resistências ôhmicas dos enrolamentos primário e secundário
• Rc: resistência que representa as perdas por histerese e correntes 
parasitas no núcleo
• Lm: indutância associada à magnetização do núcleo
• Cp, Cs: capacitâncias dos circuitos primários e secundários
• Cw: capacitância entre os enrolamentos primários e secundários.
• O transformador por funcionar a frequência fundamental (60 Hz) as 
reatâncias para Cp, Cs e Cw não afetam consideravelmente as 
características do transformador.
Transformador Real
Polaridade do transformador
• A polaridade é importante para garantir o correto 
sentido de corrente, ou seja, para que entre as 
outras bobinas (em um sistema trifásico) estejam 
no mesmo sentido. 
– Caso uma deles esteja invertida, o campo magnético 
irá se impor em sentido contrário, sendo assim as 
tensões ficarão desequilibradas.
Polaridade
• É a marcação existente nos terminais (dos enrolamentos) dos 
transformadores indicando o sentido da circulação de corrente 
em um determinado instante em consequência do sentido do 
fluxo produzido.
• A marcação da polaridade dos terminais dos enrolamentos de 
um transformador monofásico, indica quais são os terminais 
positivos e negativos em um determinado instante, isto é, a 
relação entre os sentidos momentâneos das forças 
eletromotrizes (fem) nos enrolamentos primário e secundário.
– É a defasagem existente entre as tensões induzidas no primário e no 
secundário de um transformador monofásico. 
– Se os sentidos destas tensões forem iguais, diz‐se que o transformador 
possui polaridade subtrativa; caso sejam contrárias, a polaridade é 
aditiva.
• A polaridade depende do sentido dos enrolamentos das bobinas 
e das ligações internas das mesmas.
Polaridade
Bobinas no Sentido Concordante (Polaridade Subtrativa)
Bobinas no Sentido Discordante (Polaridade Aditiva)
A ABNT estabelece que os transformadores construídos no Brasil sejam de polaridade subtrativa. 
i1
L1 L2
i2
M
i1
L1 L2
i2
M
Convenção dos pontos
• O acoplamento magnético, das bobinas de um 
transformador, podem ser concordantes ou 
discordantes.
– Esta concordância é indicada mediante pontos colocados 
num dos extremos das bobinas.
– É o sinal da indutância mútua: M
Convenção dos pontos
• Acoplamento positivo ou concordantes: Se os 
sentidos das correntes nas duas bobinas forem 
positivos do ponto para a outra extremidade (ou 
então da outra extremidade para o ponto)  +M
– (fluxos magnéticos gerados no núcleo comum serão 
concordantes.)
• Acoplamento negativo ou discordantes: se os 
sentidos das correntes forem contrários entre si, 
tendo sempre como referência a extremidade onde 
se localiza o ponto.  ‐M 
– (Fluxos magnéticos gerados são discordantes, subtraem‐
se no núcleo)
Convenção dos pontos
i1
L1 L2
i2
M
i1
L1 L2
i2
M
i1
L1 L2
i2
M i1
L1 L2
i2
M
M(+) M(+)
M(‐) M(‐)
2
2 2
1 1
1ML
N L
N
kL L   k: Coeficiente de acoplamento magnético
Exercício
• Encontre os pontos de polaridade
• Identificar os terminais do 
transformador:
– Exemplo: Alta tensão/baixa 
tensão
• Marcar os terminais de alta 
tensão como H1 e H2.
• Marcar os terminais de baixa 
tensão como x1 e x2.
• Aplicar tensão na ordem de10% do valor da tensão 
nominal no lado de alta 
tensão (V1)
• Com o voltímetro medir a 
tensão V2, comprovando a 
relação de transformação (V2
= V1(N2/N1))
Teste de Polaridade – Experimental
H1 H2
x1 x2
i1
N1 N2
i2
M
H1
H2
x1
x2
+
_
V
• Unir o terminal H2 a um terminal de baixa tensão (x1 ou 
x2) unamos H2 e x2
– Coloquemos o ponto em H1.
• Medir a tensão entre os terminais H1 e o terminal livre 
(x2 ou x1) de baixa tensão.  neste caso x1
– Se V = V1 + V2 ou Vmedido > Ventrada1: 
bobinas em série aditiva:
• H2 e x2 terão polaridade diferentes
– Se V = V1 – V2 ou Vmedido < Ventrada1 : 
bobinas em série subtrativa:
• H1 e x1 terão polaridade iguais
•
Teste de Polaridade – Experimental
i1
N1 N2
i2H1
H2
x1
x2
+
_
+
_
V2V1
V
• Unir o terminal H2 a um terminal de baixa tensão (x1 ou 
x2) unamos H2 e x1
– Coloquemos o ponto em H1.
• Medir a tensão entre os terminais H1 e o terminal livre 
(x2 ou x1) de baixa tensão.  neste caso x2
– Se V = V1 + V2 ou Vmedido > Ventrada1:
bobinas em série aditiva:
• H2 e x1  polaridade diferentes
– Se V = V1 – V2 ou Vmedido < Ventrada1 : 
bobinas em série subtrativa:
• H1 e x2  polaridade iguais
•
Teste de Polaridade – Experimental
i1
N1 N2
i2H1
H2
x1
x2
+
_
+
_
V2V1
V
CIRCUITO EQUIVALENTE
Circuito equivalente do Transformador
• Qualquer modelo deve levar em consideração as perdas que ocorrem 
nos transformadores reais. 
• 1. Perdas no cobre (I2R). As perdas no cobre são as perdas devido ao 
aquecimento resistivo nos enrolamentos primário e secundário do 
transformador. Elas são proporcionais ao quadrado da corrente nos 
enrolamentos.
• 2. Perdas por corrente parasita. As perdas por corrente parasita são 
perdas devidas ao aquecimento resistivo no núcleo do transformador. 
Elas são proporcionais ao quadrado da tensão aplicada ao 
transformador.
• 3. Perdas por histerese. As perdas por histerese estão associadas à 
alteração da configuração dos domínios magnéticos no núcleo durante 
cada semiciclo. Elas são uma função não linear, complexa, da tensão 
aplicada ao transformador.
• 4. Fluxo de dispersão. Os fluxos DP e DS que escapam do núcleo e 
passam através de apenas um dos enrolamentos do transformador são 
fluxos de dispersão. Esses fluxos que se dispersaram produzem uma 
indutância de dispersão nas bobinas primária e secundária. 
Equivalente – Transformador Real
Equivalente – Transformador Real
• Referido ao Primário:
• Referido ao Secundário:
 
 
 
1
2
1
2
1
2
2 1
2 2 2 2
1 2
2
2 2
2
2 2
2
' ; '
'
'
'
N
N
N
N
N
L LN
N NI I V V
N N
X X
R R
R R
  
 
 
 
 
 
 
 
2
1
2
1
2
1
2
1
1 2
1 1 1 1
2 1
2
1 1
2
1 1
2
2
' ; '
'
'
'
'
N
N
N
N
N
n nN
N
m mN
N NI I V V
N N
X X
R R
R R
X X
  
 
 
 
 
Exemplo
• Um transformador de 50kVA e 2400:240 V, cujos 
parâmetros: Z1=0,72+j0,92, e Z2 = 0,0070+j0,0090, a 
impedância Z do ramo em derivação (igual à impedância 
de Rn e jXm em paralelo),responsável pela corrente de 
excitação, é 6,32+j43,7  quando vista do lado de baixa 
tensão. Desenhe o circuito equivalente
– referido ao lado de alta tensão,
– referido ao lado de baixa tensão 1
2
2400
10
240
p s
s p
V I N
V I N
   
Solução
• Referido no lado de alta tensão: 2400 V
• Referido no lado de baixa tensão: 240 V
 
 
 
1
2
1
2
1
2
2
2 2
2
2 2
2
'
'
'
N
N
N
N
N
L LN
X X
R R
R R
 
 
 
 
 
 
 
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1 1
2
1 1
2
2
'
'
'
'
N
N
N
N
N
n nN
N
m mN
X X
R R
R R
X X
 
 
 
 
Equivalente – desprezando Z
• Referido ao Primário:
   
 
1 1
2 2
1
2
2 1
1 2 2 2
1 2
2 2
2 2 2 2
2
; '
' '
'
N N
N N
N
L LN
N NI I V V
N N
X X R R
R R
  
   
 
Circuitos equivalentes de um transformador
• Os modelos de transformador mostrados são 
frequentemente mais complexos do que o 
necessário para obter resultados satisfatórios em 
aplicações práticas em engenharia.
Circuitos equivalentes de um transformador
1
2
SP
S P
IV N a
V I N
  
2 2;eqP P S eqP P SR R a R X X a X      2 2;eqS P S eqP P SR R a R X X a X   
Parâmetros do transformador
• Ensaio do Transformador a Vazio ou Teste do Circuito 
Aberto (open circuit)
– Um enrolamento do transformador é deixado em circuito 
aberto e o outro enrolamento é conectado à tensão 
nominal de plena carga. Acostuma‐se conectar a tensão 
nominal a plena carga nos terminais de baixa tensão. 
– Para um transformador de 220:4400 V, costuma‐se 
conectar uma fonte com valor nominal nos terminais de 
220V (Vnominal =220V), e deixar aberto os outros terminais 
do transformador, a de 4400V .
•
Recomendável que as 
medições sejam feitas no 
lado de baixa tensão
Parâmetros do transformador
Ensaio do Transformador a Vazio ou Teste do Circuito Aberto (open circuit)
Recomendável que as medições 
sejam feitas no lado de baixa tensão
Parâmetros do transformador
Recomendável que as medições 
sejam feitas no lado de baixa tensão
Parâmetros do transformador
• Ensaio ou Teste do Transformador em Curto‐Circuito 
(Short‐circuit)
– Os terminais de baixa tensão do transformador são 
colocados em curto circuito, e os terminais de alta tensão 
são ligados a uma fonte de tensão variável.
– Para um transformador de 220:4400 V, é curto circuitado 
os terminais de 220 V e se conecta uma fonte variável, 
iniciando de zero, nos terminais de 4400 V. 
– Vai‐se aumentando a tensão de apouco até atingir uma 
corrente nominal nos terminais de 220 V. 
•
Recomendável que 
as medidas sejam 
feitas no lado de 
alta tensão
Parâmetros do transformador
Ensaio ou Teste do Transformador em Curto‐Circuito (Short‐circuit)
1
2
sP
S p
iV N
V i N
 
Recomendável que as medidas sejam 
feitas no lado de alta tensão
Parâmetros do transformador
• Impedância série:
•
1 1
2 2
2 2( ( ) ) j( ( ) )
SE eq eq
N N
P S P SN N
Z R jX
R R X X
 
    
2
2 2
( )
SC
eq
SC
eq SE eq
PR
I
X Z R

 
Recomendável que as medidas sejam 
feitas no lado de alta tensão
Exemplo
• Um transformador de 15kVA e 2300/230 V deve ser 
testado para determinar os componentes do ramo de 
excitação, as impedâncias em série e a sua regulação 
de tensão. A tabela mostra os valores de ensaios 
obtidos no transformador.
– a) Encontre o circuito equivalente referido ao lado de alta 
tensão
– b) Encontre o circuito equivalente referido ao lado de baixa 
tensão
• Vvz 230 V Vcc 47 V
Ivz 2,1 A Icc 6,0 A
Pvz 50 W Pcc 160 W
Ensaio a vazio (VZ)
(lado de baixa tensão)
Ensaio de curto‐circuito (CC)
(lado de alta tensão)
Solução
• Da relação de transformação:
• Ensaio a vazio:
•
1
2
2300
10
230
SP P
S P S
IV N Va a
V I N V
      
acos( )vzvz
vz vz
P
V I
  
vz
E vz
vz
IY
V
 
1 1
0,000954 0,00908E
n m
Y j j
R X
   
A V WvzI vzV vzP50W
acos( ) 84
(230V) (2,1A)vz
   
2,1A
84 0,00913 84
230VE
Y     
2 2
E
n m
a aY j
R X
 
210
0,000954 105 kn
n
R
R
   
210
0,00908 11 km
m
X
X
   
2 2;eqS P S eqP P SR R a R X X a X   
Excitação Referido ao secundário
Solução
• Da relação detransformação:
• Ensaio a curto circuito:
•
1
2
2300
10
230
SP P
S P S
IV N Va a
V I N V
      
acos( )cccc
cc cc
P
V I
  
cc
SE cc
cc
VZ
I
  2 2;eqP P S eqP P SR R a R X X a X     
A V WccI ccV ccP160W
acos( ) 55,4
(47V) (6A)cc
   
47V
55,4 7,833 55,4
6ASE
Z     
SE eqP eqPZ R jX 
4,45 6,45SE eqP eqPZ R jX j    
2 2
4,45 6,45eqP eqPeqS eqS
R X
R jX j j
a a
      0,0445 0,0645eqS eqSR jX j   
Exemplo 1
Exemplo 2
• Considere um transformador monofásico, de 10 kVA, 
2200/220 V, 60 Hz, onde foram efetuados os ensaios de CA 
e de CC. Os resultados dos ensaios estão mostrados na 
tabela. As medições do ensaio CA foram efetuadas no lado 
de baixa tensão (220 V) e as do ensaio CC no lado de alta 
tensão (2.220 V). Determinar o circuito equivalente deste 
transformador.
•
Regulação de Tensão
• Como um transformador real tem impedância em 
série em seu interior, a tensão de saída variará com a 
carga, mesmo que a tensão de entrada permaneça 
constante.
• Para comparar os transformadores, costuma‐se 
definir a grandeza de Regulação de Tensão (RT):
,vz ,pc
,pc
100%S S
S
V V
RT
V
  1
2
sP
S p
iV N a
V i N
  
2
1 ,pc
,pc
( )
100%
N
P SN
S
V V
RT
V
  
, ,pc,pu
,pc,pu
100%
 P pu S
S
V V
RT
V
É uma boa prática ter uma regulação 
de tensão tão baixa quanto possível.
Para transformador ideal: RT = 0%
Diagrama fasorial de um transformador
P
S eqS S eqS S
V V R I jX I
a
    
2 2;eqS P S eqP P SR R a R X X a X   

SI
SV
PV
a
eqS SjX I
eqS SR I
Transformador 
operando com fator 
de potência 
atrasado (carga 
indutiva)
1
2
SP
S P
IV N a
V I N
  
Diagrama fasorial de um transformador
P
S eqS S eqS S
V V R I jX I
a
    
2 2;eqS P S eqP P SR R a R X X a X   
SI SV
PV
a
eqS SjX I
eqS SR I
Transformador 
operando com fator 
de potência unitário 
(carga resistiva)
1
2
SP
S P
IV N a
V I N
  
( )P S eqS eqS S
V V R jX I
a
   
Diagrama fasorial de um transformador
P
S eqS S eqS S
V V R I jX I
a
    
2 2;eqS P S eqP P SR R a R X X a X   

SI
SV
PV
a eqS SjX I
eqS SR I
Transformador 
operando com fator 
de potência 
adiantada (carga 
capacitiva)
1
2
SP
S P
IV N a
V I N
  
• Eficiência:
• Operando com uma carga:
• Perdas no Cobre: I2R
– Representadas pela 
resistência em série no 
circuito equivalente
• Perdas por histerese
– Incluída no resistor Rn
• Perdas por correntes 
parasitas
– Incluídas no resistor Rn
Rendimento de um transformador
100%saída
entrada
P
P
 
100%saída
saída perdas
P
P P
 
cos( )saída S S SP V I 
cos( )
100%
cos( )
S S S
Cu núcleo S S S
V I
P P V I
   
Exemplo
• Um transformador de 15kVA e 2300/230 V deve ser testado 
para determinar os componentes do ramo de excitação, as 
impedâncias em série e a sua regulação de tensão. A tabela 
mostra os valores de ensaios obtidos no transformador.
– a) Encontre o circuito equivalente referido ao lado de alta tensão
– b) Encontre o circuito equivalente referido ao lado de baixa 
tensão
– c) Calcule a regulação de tensão a plena carga para fator de 
potência (FP) de 0,8 atrasado, o FP=1,0 e FP = 0,8 adiantado
– d) Qual é a eficiência do transformador a plena carga para um 
FP=0,8 atrasado.
• Vvz 230 V Vcc 47 V
Ivz 2,1 A Icc 6,0 A
Pvz 50 W Pcc 160 W
Ensaio a vazio (VZ)
(lado de baixa tensão)
Ensaio de curto‐circuito (CC)
(lado de alta tensão)
Solução
• Da relação de transformação:
• Ensaio a vazio:
•
1
2
2300
10
230
SP P
S P S
IV N Va a
V I N V
      
acos( )vzvz
vz vz
P
V I
  
vz
E vz
vz
IY
V
 
2 2
0,000954 0,00908E
n m
a aY j j
R X
   
A V WvzI vzV vzP50W
acos( ) 84
(230V) (2,1A)vz
   
2,1A
84 0,00913 84
230VE
Y     
2 2
E
n m
a aY j
R X
 
210
0,000954 105 kn
n
R
R
   
210
0,00908 11 km
m
X
X
   
2 2;eqS P S eqP P SR R a R X X a X   
Excitação Referido ao secundário
Solução
• Da relação de transformação:
• Ensaio a curto circuito:
•
1
2
2300
10
230
SP P
S P S
IV N Va a
V I N V
      
acos( )cccc
cc cc
P
V I
  
cc
SE cc
cc
VZ
I
  2 2;eqP P S eqP P SR R a R X X a X     
A V WccI ccV ccP160W
acos( ) 55,4
(47V) (6A)cc
   
47V
55,4 7,833 55,4
6ASE
Z     
SE eqP eqPZ R jX 
4,45 6,45SE eqP eqPZ R jX j    
2 2
4,45 6,45eqP eqPeqS eqS
R X
R jX j j
a a
      0,0445 0,0645eqS eqSR jX j   
Solução
• A corrente a plena carga no lado secundário:
• Com carga de FP=0,8 atrasado  FP=cos()   = 
acos(0,8) = 36,9
• Logo:
•
nominal
S,nominal
S,nominal
15000
65,2A
230
SI
V
  
P
S eqS S eqS S
V V R I jX I
a
    
1
2
SP
S P
IV N a
V I N
  
65,2 36,9SI   
 230 0 (0,0445) (0,0645) (65,2 36,9)PV j
a
     
230 0 5,11 18,5 234,85 0,40P
V
a
      
A regulação de tensão:
,pc
,pc
100%P S
S
V a V
RT
V
 
234,85 230
100% 2,1%
230
RT   
,vz ,pc
,pc
100%S S
S
V V
RT
V
 
Solução
• Com carga de FP=1,0  FP=cos()   = 0
• Logo:
• Com carga de FP=0,8 adiantado  FP=cos()   = 
acos(0,8) = ‐36,9
•
P
S eqS S eqS S
V V R I jX I
a
    
 230 0 (0,0445) (0,0645) (65,2 0)PV j
a
     
230 0 5,11 55,40 232,94 1,03P
V
a
      
A regulação de tensão:
,pc
,pc
100%P S
S
V a V
RT
V
 
232,94 230
100% 1,28%
230
RT   
65,2 0SI   
65,2 36,9SI   
230 0 5,11 92,30 229,85 1,27P
V
a
      
A regulação de tensão:
229,85 230
100% 0,062%
230
RT   

SI
SV
PV a
eqS SjX I
eqS SR I
234,90,4
2300
65,2‐36,9 2,9‐36,9 4,2153,1
SI
SV
PV a
eqS SjX I
eqS SR I
4,2190
2,9065,20
2300
232,91,04

SI
SV
PV a
eqS SjX I
eqS SR I
229,81,27
2300
65,236,9
2,936,9
4,21126,9
Diagramas fasoriais: FP = 0,8 atrasado
FP = 1,0
FP = 0,8 adiantado
Solução ‐ Eficiência
• Calculemos as perdas:
– Perdas no cobre:
– Perdas no núcleo:
• Potência de saída do transformador: 
• Eficiência:
•
2 2
Cu (I ) (65,2) (0,0445) 189WS eqSP R  
2 2
n 2
( ) (234,85)
52,5W
105000/100
S
n
VP
R a
  
saída cos (230)(65,2)cos(36,9) 12000WS SP V I   
cos( ) 12000
100% 100% 98,03%
cos( ) 189 52,5 12000
S S S
Cu núcleo S S S
V I
P P V I
        
Rendimento diário de um transformador
• Eficiência energética de um transformador:
– EXEMPLO: Um transformador de 100 kVA, 4.400/380 V, 
60 Hz, tem perdas no núcleo iguais a 1.200 W e perdas 
no cobre iguais a 1.000 W quando opera em plena 
carga. O ciclo de carga do transformador é dado pela 
tabela.  Calcule a eficiência energética do 
transformador. 
•
24
24
Energia de saída
100%
Energia de entrada
durante h
E
durante h
  
Solução
• Calculando a energia em valores pu:
– Usando a potência base do transformador: 100 kVA;
–
cosP S S FP  
, 0 10 0,5 5 0,64 5 0,90 2 1,10 2 9,8 .saída puE h h h h h puh          
1
2
3
4
5
0%(100kVA) 0kVA
50%(100kVA) 50kVA
80%(100kVA) 80kVA
100%(100kVA) 100kVA
110%(100kVA) 110kVA
S
S
S
S
S 
 
 
 
 
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
4 4 4 4
5 5 5 5
0kW 0
50kVA 1,0 50kW 0,50
80kVA 0,8 64kW 0,64
100kVA 0,9 90kW 0,90
110kVA 1,0 110kW 1,10
pu
pu
pu
pu
pu
P S FP P
P S FP P
P S FP P
P S FP P
P S FP P
    
      
      
      
      
Solução
• Perdas no núcleo: 
• Perdas no cobre:
– Agora:
• Energia das perdas é = (Perdas)(tempo)
– OBS: a variação da carga é proporcional à variação da corrente, 
então para 50% de carga se tem 50 % de corrente nominal. 
Então perdas no cobre:
•
2 2
,
1 , do valor nominal 0,010
Cu Cu pu pu pu
pu pu
P R I P R I
I pu R
    
  
,
1200
1200W 0,012
100000
n
n n pu
base
PP P
S
    
,
1000
1000W 0,010
100000
Cu
Cu Cu pu
base
PP P
S
    
2 2
1, 1 1, 1 1Cu pu pu pu Cu pu pu puP R I E R I t     
2 2 2 2 2
, 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5( )Cu pu pu pu pu pu pu puE R I t I t I t I t I t          
Solução
• Energia das perdas é = (Perdas)(tempo)
– OBS: a variação da carga é proporcional à variação da 
corrente, então para 50% de carga se tem 50 % de corrente 
nominal. Então perdas no cobre:
• Logo a eficiência diária:
•
2 2 2 2 2
, 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5( )Cu pu pu pu pu pu pu puE R I t I t I t I t I t          
2 2 2 2 2
, 0,010 (0 10 0,5 5 0,8 5 1,0 2 1,1 2) 0,0887Cu puE            
, , , (24) 0,0887 0,012 24 0,3767 .perdas pu Cu pu n puE E P puh      
9,8 pu.h
100% 96,3%
9,8 0,3767 pu.hE
   
AUTOTRANSFORMADOR
Autotransformador
• O secundário de um autotransformador (ou o seu 
lado de baixa tensão) é tirado de uma derivação do 
enrolamento principal (ou primário).
•
B C
A C SE
V V
V V V

  B C SE
A SE
I I I
I I
 

Lado AltaLado Baixa
Relação de transformação:
Alta A
Baixa B
V V
V V

;C C SESE C B C
SE SE C
V N NV V V V
V N N
   
C SEA
B C
N NV
V N

C C SE
SE SE C
V N I
V N I
 
Autotransformador
B C
A C SE
V V
V V V

  B C SE
A SE
I I I
I I
 

Lado AltaLado Baixa
Relação de transformação:
Alta A B
Baixa B A
V V I
V V I
 
C SEB
A C
N NI
I N
B C SE
A SE
I I I
I I
 

;C SE SEC SE A SE
SE C C
I N NI I I I
I N N
   
SE SE C
B A A A
C C
N N NI I I I
N N
  
C C SE
SE SE C
V N I
V N I
 
Autotransformador
ELEVADOR REDUTOR
A SE
B SE C
I I
I I I

 
Vantagem da potência aparente
• Potência aparente de entrada e saída:
• Potência nos enrolamentos:
• Da relação de transformação:
–
entrada B BS V I 
( )C
C C SE SEENR
ENR
EN
B
B
C B
B
S
AB
E
R
S V I V I
S I I
S
I
I
V V
V VI
   
    
   
C SEB
A C
N NI
I N

B B
C
B
SE
EN
C
R B
NS I IV V
N N
    
_
SE SE
SE C
B B SE AE R
C
N
S
T
E
N N
S S
N N N
I
N
V    
_
ENR
S T
S
E E C
E
A SN N
S
S
N

_entrada saída SE ATS S S saída A AIS V 
A
B
SE
C
CV
V
V V
V
 

SEB
A
C
SEI I
I I I


(1 )
NC
ENR B N NSEB C
S IV   
Vantagem da potência aparente
– SSE_AT é a potência aparente que entra no 
primário do autotransformador
– SENR é potência aparente que realmente 
passa através do transformador
• EXEMPLO: Um autotransformador de 
5000 kVA que liga‐se um sistema de 138 
kV teria uma relação de espiras: NC/NSE
de 110:28.
– Realmente o autotransformador teria uma 
especificação nominal nos enrolamentos 
de:
– SE_AT
28
(5000kVA) 1015kVA
28 110EN
SE
SE
R
C
N
S S
N N
   
SE_AT SE C
ENR SE
S N N
S N

Autotransformador: 
especificação nominal: 
5000kVA
Transformador normal: 
1015 kVA
Exemplo
• Um transformador de 100 VA e 
120/12 V deve ser conectado de 
forma que opere como um 
autotransformador elevador.
– Qual é a tensão secundária do 
transformador
– Qual é a máxima especificação 
nominal de VA nesse modo de 
operação
– Calcule qual é a vantagem de 
potência aparente nominal dessa 
conexão como autotransformador 
sobre a potência aparente nominal do 
transformador quando está operando 
de forma convencional em 120/12 V
120
10
12
C C
SE SE
V N
V N
  
Solução
• O transformador é usado como um 
autotransformador elevador.
– Tensão no secundário:
• Especificação nominal do Transf.: 
100 VA
• No autotransformador:
–
120
10
12
C C
SE SE
V N
V N
  
C SEA
B C
N NV
V N

120 12
120 132V
120A
V   
max ,max12V SSE SE SEV V I 
max
,max
S 100
8,33A
12SE SE
I
V
   
S (132)(8,33) 1100VA Ssaída A A entradaV I   
Solução
• Vantagem da potência aparente nominal do 
autotransformador elevador.
• Especificação nominal do transformador:    
100 VA que é a potência do enrolamento
– Pot. aparente nominal é aumentada 11 vezes.
S 100VAENR 
SE_AT SE C
ENR SE
S N N
S N

S 1100VAES 
SE_AT 1100 11
100ENR
S
S
  SE_AT 12 120 11
12
SE C
ENR SE
S N N
S N
   
Autotransformador
• Transformador isolado ligado como 
autotransformador elevador usando polaridade 
aditiva:
a) Ligação como autotrans‐
formador elevador usando 
polaridade aditiva
b) Tensões produzidas por 
polaridade aditiva c) Redesenho da figura com 
ponto comum inferior, 
mostra relação de corrente
Autotransformador
• Transformador isolado ligado como 
autotransformador abaixador usando polaridade 
subtrativa:
Rendimento do Autotransformador
• O autotransformador transfere parte dos seus kVA por condução.
• Autotransformador é menor que um transformador convencional 
isolado (para os mesmos kVA)
• Perdas no núcleo são significativamente menores: rendimento 
alto
• Possui um enrolamento
• Corrente que circula no enrolamento comum é a diferença entre 
as correntes primária e secundária.
Rendimento do Autotransformador
• Rendimento varia com a relação de 
transformação
– Mais alto quando a relação de 
transformação se aproxima da unidade.
– Toda a energia é transferida  
condutivamente e a corrente no 
transformador é muito pequena.
• Quando a=5/4 apenas 1/5 do 
enrolamento total do transformador 
conduz corrente primária (10 A), e 4/5 
do enrolamento conduzem 2,5 A
Autotransformador
• O uso de autotransformadores no sistema de 
distribuição não é adequado
• Supondo o caso da figura, onde haja uma falha nos 
terminais (ponto b) a carga que deveria receber 230 V 
agora estaria recebendo 23000 V.
•
Conexão de Transformadores
• Seja o transformador ao lado com 8 
terminais, 4 de alta (H1,H2,H3,J4) e 4 
de baixa (x1,x2,x3,x4): podem‐se 
obter as seguintes configurações:
•
As bobinas que tem 
a MESMA tensão e 
polaridade são 
postas em paralelo
Conexão de Transformadores
• Obs: para conectar transformadores em paralelo, devem 
ser de iguais tensões ou ter a mesma relação de 
transformação. 
As bobinas de polaridade opostas são ligadas juntas para transformadores em série
Ligando bobinas de diferentes tensões
• Diferentes tensões produzidas 
por transformação direta ou 
combinações utilizando 
polaridade aditiva:
– 120 V/115, 110, 95, 90, 75, 65, 60, 
55, 50, 40, 25, 20, 5 V
• Tensões produzidas por ligação 
utilizando polaridade subtrativas:
– 120 V/ 105, 85, 70, 35, 30, 15, 10 V
•
TRANSFORMADOR TRIFÁSICO
Transformador Trifásicos
• O transformador trifásico é, 
basicamente, a conexão de três 
transformadores monofásicos. 
Emalgumas aplicações é usado 
apenas um circuito magnético. 
• Em outras, o transformador 
trifásico é composto por três 
transformadores monofásicos 
separados.
Transformador trifásico
• Os transformadores para circuitos 3 pedem 
construir‐se:
– Com três transformadores monofásicos e conectando‐os 
num grupo trifásico.
– fazendo um transformador trifásico que consiste em três 
bobinas enrolados sobre um núcleo comum.
Conexão Y ‐ Y
Primário Secundário
Secundário
Primário
Transformador trifásico
Y ‐ Y  ‐ 
Conexões trifásicas
• Um transformador trifásico consta de três 
transformadores monofásicos
• separados ou combinados sobre um núcleo.
• os primários e os secundários de qualquer 
transformador trifásico podem se conectar 
independentemente em estrela (  ) ou em delta 
(  ). 
• Isto da lugar a quatro conexões possíveis para um 
transformador trifásico.
– Conexão estrela(  )‐ estrela(  )
– Conexão estrela(  )‐ delta(  )
– Conexão delta(  )‐ estrela(  ) 
– Conexão delta(  )‐ delta(  )
Conexão estrela (  )‐ estrela(  )
• Numa conexão de Y‐Y, a tensão principal 
de cada fase é expressa por:
• A tensão da primeira fase está ligado à 
segunda fase de tensão pela relação de 
espiras do transformador.
• A  tensão de fase secundária tem relação 
com a tensão de linha no secundário por:
• Portanto, o ração de transformador de 
tensão é:
•
3
LP
FP
VV 
3LS FSV V 
3
3
LP FP
LS FS
V V a
V V
 
Conexão estrela (  )‐ estrela(  )
FP
FS
V a
V

3LP FPV V  LS FSV V
3
3LP FP
LS FS
V V a
V V
  
A
B
C a
c
b
Esta conexão, faz que a tensão no secundário fique 
adiantada em 30 com relação ao primário.
Conexão delta () ‐ estrela ()
3LS FSV V  LP FPV V
3 3
LP FP
LS FS
V V a
V V
 
A conexão da  figura, faz que a tensão no secundário fique atrasado em 30
com relação ao primário.
A
B
C
a
c
b
b
c
• conexão muitas vezes usado 
para alimentar sistemas de 
iluminação monofásica e carga 
trifásica simultaneamente
– vantagem de ligar os 
enrolamentos primário e 
secundário, sem desfasamento
– não tem problema com cargas 
desequilibradas e harmônicas.
• Podem circular correntes altas a 
menos que todos os 
transformadores sejam 
conectados com o mesmo tap
de regulação e ter a mesma 
relação de tensão.
Conexão delta () ‐ delta () 
LS FSV VLP FPV V
LP FP
LS FS
V V a
V V
 
1 2N N a  
Valores em pu
• Os cálculos de circuitos que envolvem bancos trifásicos de 
transformadores em condições equilibradas podem ser feitos lidando com 
apenas um dos transformadores ou fases e verificando que as condições 
são as mesmas nas duas outras fases, exceto as defasagens presentes em 
um sistema trifásico.
• Usualmente é conveniente realizar os cálculos com base em uma única 
fase (Y por fase, tensão de fase), porque então as impedâncias dos 
transformadores podem ser somadas diretamente em série com as 
impedâncias da linha de transmissão. As impedâncias da linha de 
transmissão podem ser referidas de um lado a outro do banco de 
transformadores, usando o quadrado da relação ideal das tensões de 
linha do banco. 
• Ao lidar com bancos Y ‐  ou ‐Y, todas as grandezas podem ser referidas 
ao lado conectado em Y.
• Ao lidar com bancos ‐ em série com linhas de transmissão, é 
conveniente substituir as impedâncias conectadas em  do transformador 
por impedâncias equivalentes conectadas em Y. 
– Pode‐se mostrar que um circuito equilibrado ligado em  com Z /fase é 
equivalente a um circuito equilibrado ligado em Y com ZY/fase  se
1
3YZ Z
Exemplo
Exemplo
Exemplo
• Uma fabrica drena 100 A com FP = 0,7 em atraso, 
do secundário de um banco de transformadores 
de distribuição de 60 kVA, 2300/230 ligada em ‐
. Calcule:
– a) Potência real consumida em kW e a potência 
aparente em kVA.
– b) as correntes secundárias nominais de fase e de linha 
do banco de transformadores.
– c) o porcentual de carga para cada transformador.
– d) as correntes primárias de fase e de linha de cada 
transformador.
– e) a capacidade em kVA de cada transformador.
Solução
• a) consumo da fabrica:
• b)
•
3 cos 3(230)(100)(0,7) 28kWT L LP V I   
3 carga
28kW
40kVA
cos 0,7
T
T
PS

  
1 3
2_
2 23
nomF
F F
S S
I
V V
   
2_
60kVA
87A
3 230n mF o
I  
2_ 2_3 3 87 150Anom nL mF oI I   
Solução
• c) 
• d) As correntes depende da carga
• e) capacidade de cada transformador
•
corrente de carga por linha 100A
0,67 67%
corrente nominal por linha 150A
  
3T L LS V I
1
40kVA
10A
3(2300) 3(2300)
T
F
SI   
1 1F LI I
3
1
60kVA
20kVA
3 3trans
S
S    
Exemplo
• Repita o exemplo anterior usando um banco de 
transformadores ‐, e compare as correntes de linha 
primárias com as do transformador ‐
•
•
Solução
• Da solução do exemplo anterior
– Carga porcentual de c/transformador: 
• A corrente de linha primária drenada por um banco ‐, é 3 a corrente primária de linha do banco ‐:
–
40kVA
cos
T
T
PS  
3 cos 28kWT L LP V I  
Uma fabrica drena 100 A 
com FP = 0,7 em atraso, 
do secundário de um 
banco de transformadores 
de distribuição de 60 kVA, 
2300/230 ligada em ‐.2_
60kVA
87A
3 230F nom
I  
2_ 2_3 3 87 150AL nom F nomI I   
100A
0,67 67%
150A
 
1 10A
3(2300)
T
F
SI  1 1F LI I
3 60 kVA 20kVA
3
nomS
transformador
  
no ‐
1 13 3 10 17,3AL FI I   
Solução
• Da solução do exemplo anterior
• Carga porcentual de cada transformador: 
• A corrente de linha primária drenada por um banco ‐, é 3 a corrente primária de linha do banco ‐
•
40kVA
cos
T
T
PS  
3 cos 28kWT L LP V I  
Uma fabrica drena 100 A 
com FP = 0,7 em atraso, 
do secundário de um 
banco de transformadores 
de distribuição de 60 kVA, 
2300/230 ligada em ‐.
2_
60kVA
87A
3 230F nom
I  
2_ 2_3 3 87 150AL nom F nomI I   
DEFASAGEM DE 
TRANSFORMADORES TRIFÁSICOS
Defasagem Conexão  ‐ 
ABV
BCV
CAV
Defasagem Conexão  ‐ 
B A
C
1
3
3
0

9
0
N
A
C
B
23000‐120
23000120
230000
ab
c
23090
230‐150 230‐30
Tensões de fase e linha 
aplicadas nos primários dos 
transformadores A, B e C
Tensões de fase induzidas 
nos secundários de baixa 
tensão a, b e c.
Paralelo de 2 Transformadores 3 (‐)
Paralelo de 2 Transformadores 3 (‐)
– (x2 comum) (x1 comum)
• Qualquer tentativa de conexão destes transformadores 
(ligação x2 comum e x1 comum) em paralelo resultará 
em um curto circuito.
• Se um dos enrolamentos secundários (x2 comum ou x1
comum) tem sua polaridade acidentalmente invertida 
durante a ligação em Y, se produzira um curto circuito.
inversão de polaridade: x2 ou x1 comum
• Efeito de inversão de polaridade: 
bobina B dos secundários ligados em 
– Tensão de fase e linha desbalanceadas
•
a
c
b
n
n
n
c
a
b
a
c
b
n
bcV
abV
caV
23090
230‐90
230‐30
230‐30
inversão de polaridade: x2 ou x1 comum
c
a
b
a
c
b
n
bcV
abV
caV
23090
230‐90
230‐30
230‐30
B A
C
1
3
3
0

9
0
N
A
C
B
2300‐120
2300120
23000
a
b
c
ab
c
2
3
0

9
0 400120
4000
400‐120
a b
c
a b
c
2
3
0

9
0
400‐60
400180
40060
c
a
b
a
c
b
n
bcV
abV
caV
23090
230‐90
Conexão estrela(  )‐ estrela(  )
Antes de fechar o delta, entre os terminais x2 da bobina c e x1
da bobina a, verificar se se VR=0, então remover o voltímetro e 
fechar o delta.
a
c
b
Vab=230‐30
Vbc=230‐150
Vca=23090
Conexão estrela (  )‐ delta(  )
Lado Primário: Y Lado Secundário: 
Nesta conexão: a tensão de linha no secundário 
() fique atrasada em 30 com relação a tensão de 
linha no primário (Y).
B A
C
1
3
3
0

9
0
N
A
C
B
2300‐120
2300120
23000 a
c
b
Vab=230‐30
Vbc=230‐150
Vca=23090
O porque do voltímetro
• Exemplo: o enrolamento ‘c’ é acidentalmente invertido na 
malha.  A polaridade instantânea da bobina c é: 230+90
em vez de 230‐90
–  VR não é zero e sim: VR=46090 (2 vezes a tensão de fase)
a
c
b
230‐30
23090
230‐150 VR=46090
Paralelo com secundário () e ()
Lado secundário em Y Lado Secundário em 
É possível fazer o paralelo entre o 
secundário de  (ambas configurações) 
e o secundário de
x2 
comum 
(sem 
ponto)
x1 
comum 
(com 
ponto)
a
b
c
ab
c
2
3
0

9
0 400120
4000
400‐120
a b
c
a b
c
2
3
0

9
0
400‐60
400180
40060
a
c
b
Vab=230‐30
Vbc=230‐150
Vca=23090
Conexão estrela (  )‐ estrela(  )
FP
FS
V a
V

3LP FPV V  LS FSV V
3
3LP FP
LS FS
V V a
V V
  
AB
C
a
c
b
Esta conexão, faz que a tensão no 
secundário fique ATRASADA em 30 com 
relação ao primário. Yd1
Conexão delta () ‐ estrela ()
3LS FSV V  LP FPV V
3 3
LP FP
LS FS
V V a
V V
 
A conexão da  figura, faz que a tensão no secundário fique 
ADIANTADA em 30 com relação ao primário. Dy11
(secundário atrasada 330 com relação ao primário)
AB
C
a
c
b
Exemplo
• Um transformador trifásico, 15000:420 V; potência nominal 
Sn = 630 kVA, conexão Dy11 ( em alta tensão,  em baixa 
tensão, com secundário atrasado em 330(1130°) com 
relação ao primário ou secundário adiantado 30 com 
relação ao primário) :
– Teste em vazio do transformador trifásico: Ivz = 1,3 A; Pvz = 2000 
W
– Teste em curto‐circuito: VCC = 516 V; PCC = 5000 W
– Calcule o circuito equivalente
– Supondo que a resistência no primário é igual a do secundário 
referida no primário, calcule a resistência do secundário: RS-Y.
• Fator de utilização: fu = Ptrabalho/Pnominal = Scarga/Snominal 
I2carga/I2n
• Perdas no cobre: Pcu = (fu)2PCC. 
• Regulação de tensão: RT = (Vvz ‐ Vpc)/Vvz.
Solução
• Transformador trifásico:
• Observando os valores obtidos das correntes nominais, e a 
corrente de teste a vazio (Ivz  1 a 5% de In)  o teste a vazio
foi realizada no lado de alta tensão.
• Observando o teste a curto circuito do transformador (Vcc  1 a
5% de Vn)  o teste a curto‐circuito foi realizada no lado de alta
tensão  Vcc=3,44% (15000 V)
n3
n3 n n n3 ; 210kVA3
S
S V I S      
n2 n
n1
1
n2
24,2
15000V
5 866A
420V
VI I
V
    
n
n1
n1
3 3 210kVA
15000V
S
I
V
   n1 24,25AI 
n
n n
3
IS V 
n1 15000VV 
Solução
• Com o teste a vazio, obtemos o 
circuito de magnetização:
•
3
1 1 1 1cos ;
3
vz
vz vz vz vz
I
P V I I     
6 51 1 5,14 10 8,65 10 194,6k , X 11,6kM n m
n m
Y j j R
R X
           
A V W1,3AocI  ocV 2000WocP 
5 51,3 8,667 10 8,667 10 86,6
15000
vz
M M
vz
IY Y
V
         
3
1
2000
;
3 3
vz
vz
P
P   
1
2000 1,3
15000 cos 86,6
3 3
vzP         
1
1 1 1 1 1;
3
L
f L vz f vz
IV V V I I    
Sconexão -YP
Solução
• Teste a curto‐circuito, obtemos o 
circuito serie dos enrolamentos:
•
3
1 1 1 1cos ;
3
cc
cc cc cc cc
I
P V I I     
2 2;eqP P S eqP P SR R a R X X a X     
A V WccI ccV ccP
SC
SC SC
P
θ acos
V I

516
36,855 736,855
24,25 3
6,6ccSE SE
cc
VZ Z
I
      
1
5000 24,25
516 cos
3 3
ccP     
3
1 1 1 1
5000
;
3 3
cc
cc f L cc
P
P V V V    
1
1 1
3
L
f cc
II I  
76,6   Sconexão -YP
Solução
• Teste a curto‐circuito, obtemos o 
circuito serie dos enrolamentos:
•
Sconexão -Y 3
S
P S Y
RR   2Seja: R 8,54 / 2 4,27P Sa R   
36,855 76,6SEZ   
8,54 35,85SE eqP eqPZ R jX j    
2 8,54eqP P SR R a R   
2 35,85eqP P SX X a X   
2 35,85 / 2 17,93P SX a X   
2 215000
420
1
1,11m ;
3 3
4,2
( )
7 4,27
S YR       
2
P SR R  
24,27 SR 
• Para se poder fazer esta ligação 
em paralelo têm de se cumprir 
certas condições:
– 1. Igualdade de tensões e relação 
de transformação.
– 2. Igualdade de desfasamento dos 
diagramas vectoriais (do 
secundário em relação ao 
primário).
– 3. Igualdade de sequência.
– 4. Igualdade de tensões de curto‐
circuito.
– 5. Uma relação de potência 
compatível.
Transformador Trifásico ‐ paralelo
• Por estarem unidos os 
primários e os secundários 
torna‐se lógico que as 
tensões primárias e 
secundárias devam ser 
iguais,
– se não fosse assim:  um 
transformador alimentaria o 
outro.
– Aparecem as correntes de 
circulação  Potência 
circulante ou potência de 
compensação.
• A corrente de circulação 
não deve atingir mais dos 
10% das correntes 
nominais.
• Não basta que a relação de 
transformação seja igual, 
devem também ser iguais 
as respectivas tensões.
– Por exemplo: um 
transformador de 
1000V/100V e outro de 
100V/10V Têm igual relação 
mas não é possível ligar um 
primário de 1000V com 
outro de 100V.
Tensões e relação de transformação iguais
• Impedância do 
transformador:
• Em pu (In = 1pu) Zcc=Vsc
Igualdade de tensões de curto‐circuito
n
SC
CC SE
VZ Z
I
 
Z1
Vsc=4%
100kVA
Z2
Vsc=4%
100kVA
200kVA
• Exemplo: se as impedâncias 
dos transformadores forem 
distintas, 
– passará mais corrente pela 
mais pequena (Z2), fazendo 
disparar a proteção p2
– ficando apenas um 
transformador de 100 kVA a 
alimentar uma carga de 200 
kVA, 
– logo dispara a proteção p1, 
ficando os dois 
transformadores fora de 
serviço.
• Impedância do 
transformador:
• Em pu (In = 1pu)
Zcc=Vsc
•
Igualdade de tensões de curto‐circuito
n
SC
CC SE
VZ Z
I
 
Z1
Vsc=4%
100kVA
Z2
Vsc=2%
100kVA
200kVA
p2p1
• Condição intimamente ligada a 
anterior, dado que o transformador 
de maior potência deve ser a de 
menor Vsc%, para que o paralelo 
funcione melhor, 
– em caso de sobrecarga: o 
transformador de maior potência 
suportará melhor a sobrecarga .
• Uma regra prática é que a relação 
de potência não ultrapasse 1:3. 
– Quer dizer que se queremos alimentar 
200 kVA poderemos pôr no limite em 
paralelo um transformador de 50 kVA e 
outro de 150 kVA, e de modo que as 
Vsc% não difiram em mais de 10% 
entre si.
Uma relação de potência compatível
• Impedância do 
transformador:
• Em pu (In = 1pu)
Zcc=Vsc
•
n
SC
CC SE
VZ Z
I
 
Z1
Vsc=2,2%
50kVA
Z2
Vsc=2%
150kVA
200kVA
p2p1
• Os terminais dos 
transformadores a juntar 
entre si devem se 
encontrar em todos os 
instantes ao mesmo 
potencial.
• Da ligação conhecida: 
triângulo (Δ) e estrela (Y), 
tem‐se uma ligação Zig‐Zag
(Z)
– Zig‐Zag: só se os 
enrolamentos podem ser 
divididas em duas partes
Desfasamento de diagramas vectoriais
V
U
W
v
U
W V
w
u
• Ligação Zig‐Zag (Z): Se 
dividirmos o enrolamento 
em duas partes, pode‐se 
efetuar a ligação Zig‐Zag.
• Unimos metadede uma 
coluna do primário com 
outra metade de outra 
coluna e assim 
sucessivamente.
Desfasamento de diagramas vectoriais
Das principais formas de ligar o 
enrolamento primário e/ou o 
secundário de um transformador  um transformador pode ter 
ligação em Y/Δ, Y/Y, Δ/Δ, Y/Z, etc.
Desfasamento de diagramas vectoriais
• O ângulo de desfasamento corresponde ao ângulo 
que formam o ponteiro da horas e o ponteiro dos 
minutos de um relógio, a determinada hora. 
• Tomando como referência as 12 horas como 0°. Fica 
assim designado com duas letras e um número, o 
"grupo" ao qual pertence o transformador. 
• Para designar o tipo de ligação usa‐se uma letra 
maiúscula para a tensão mais elevada e uma letra 
minúscula para a tensão mais baixa.
– Por exemplo, um transformador ligado em triângulo no 
primário e estrela no secundário com desfasamento de ‐30°
(ou 330°), pertence ao índice Dy11.
Desfasamento de diagramas vectoriais
• Num transformador já construído, se se trocar a 
alimentação de um lado para outro, troca o 
desfasamento da máquina. 
– Exemplo: Dy11 (redutor) passa a Dy1(elevador) (a 
alimentação passa do triângulo para a estrela e da estrela 
para o triângulo respectivamente com um desfasamento de 
+ 30°)
• Os tipos de ligação usados são 12, que são os que 
mais se utilizam e figuram na placa da máquina.
– Os índices horários mais usuais são: 0 (0°); 6 (180°); 5 
(150°) e 11 (330°).
• O valor do ângulo indica que tanto os fasores do primário estão 
adiantado com relação ao secundário.
• Não se pode conectar um 
transformador de índice 0 
com um de índice 6. Exemplo 
Yy0 com Yy6.
– No primário não há problema, 
mas no secundário, quando 
sobreponho os diagramas 
vectoriais e ao unir os bornes u 
ao barramento de saída, 
teremos o dobro do potencial 
da fase 
• por exemplo se cada uma tem 
220V, estamos a unir pontos 
que diferem em 440V, quer 
dizer, mal se faça a união 
produz‐se o curto‐circuito.
Desfasamento de diagramas vectoriais
U
V W
u
v w
U
V W u
w v
• Se pode conectar um 
transformador Yy0 com 
Dd0. 
Desfasamento de diagramas vectoriais
U
V W
u
v w
U
V
W
u
wv
Defasagem
(BT atrasado AT) Conexão/tipo
Diagrama vetorial
Alta Tensão           Baixa Tensão
Esquema de conexões
Alta Tensão         Baixa Tensão
Defasagem
(BT atrasado AT) Conexão/tipo
Diagrama vetorial
Alta Tensão           Baixa Tensão
Esquema de conexões
Alta Tensão         Baixa Tensão
Sequência de rotação das fases
• Os transformadores cuja sequência de fases seja 
oposta (ou seja: os respectivos diagramas 
vectoriais têm um sentido de rotação inverso), não 
se podem ligar em paralelo.
• os transformadores devem ter os respectivos 
diagramas vectoriais a rodar no mesmo sentido 
(ou a todo o instante sobrepostos).
Transformador Trifásico ‐ paralelo
• Considerando as tensões de linha primária e 
secundária, relações de transformação, polaridade e 
conveniente ligação das bobinas, são possíveis as 
seguintes combinações para ligação em paralelo:
– ‐ para ‐: não há deslocamento de fase entre o 1rio e 
2rio
– ‐ para ‐ ou ‐ para ‐: mesma rotação de fase de 
30 entre o 1rio e 2rio
– ‐ para ‐: não há rotação de fase entre o 1rio e 2rio
– ‐ para ‐ ou ‐ para ‐: não há rotação de fase entre 
o 1rio e 2rio, mas são necessários diferentes relações de 
transformação em tensões
– ‐ para ‐: mesma rotação de 30 entre tensões de linha 
1rias e 2rias. As relações entre as tensões de linha devem, 
entre tanto ser as mesmas
Transformador Trifásico ‐ paralelo
• As combinações em paralelo que são impossíveis, 
a respeito de tensões de linha primária e 
secundárias idênticas, são as que envolvem tipos 
de ligações tais que, para um deles, há rotação de 
fase e, e para o outro não.
• Assim, um transformador ‐ não pode ser ligado 
em paralelo a um ‐.
Exemplo
• Dos 3 transformadores trifásicos, qual podem ser 
conectada em paralelo:
Transformador A
a = 15000/400 V
S = 400 kVA
Rcc = 5,6
Xcc = 24
Transformador A
a = 15000/400 V
S = 630 kVA
Vcc% = 4 %
cc = 75
Transformador C
a = 15000/400 V
S = 600 kVA
Vcc% = 3,0
cc = 77
R
S
T
R
S
T
R
S
T
r
s
t
r
s
t
r
s
t
• Índice de conexão:
– Yy
– Dd  índice horário par
– Dz
– Yd
– Dy  índice horário impar
– Yz
• Transformador A:
– Primário  
– Secundário  
•  IMPAR
• Transformador B:
– Primário  
– Secundário  
•  PAR
• Transformador C:
– Primário  
– Secundário  
•  IMPAR
Solução
• Então a primeira observação, 
podemos conectar os 
transformadores A e C
• Transformador A:
• Observa‐se que a tensão de curto‐
circuito em porcentagem do 
transformador A é menor do 
transformador C (Vcc% = 2,5%)
• Não é recomendável 
conectar em paralelo, já 
que não se poderá 
aproveitar ao máximo a 
capacidade dos 
transformadores:
– Fator de utilidade: 
– fu = Pcarga/Pnominal
– Se fu = 1  transformador 
trabalha a máxima carga
– Se fu > 1  transformador 
trabalha em sobrecarga
– Se fu < 1  transformador 
trabalha abaixo da 
capacidade nominal
– Distribuição de carga nos 
transformadores:
– fu_A  Vcc_A% = fu_C  Vcc_C%
Solução
5,6 24 24,64 76,86cc cc ccZ R jX j      
%
400kVA
; 15,39A
3 3 15kV
24,64 15,39 379,21
379,21
100% 100% 2,53%
15000
n
cc cc n n
n
cc
cc
cc
n
SV Z I I
V
V
VV
V
     
  
    
• Supondo fu_A = 1
– trabalhando na sua máxima 
capacidade ou máxima 
carga:
– (Vcc_A%  <  Vcc_C%)
• fu_A  Vcc_A% = fu_C  Vcc_C%
• (1) (2,53) = fu_C  (3,0)
• fu_C = 2,53/3,0 = 0,843
– Significa que o 
transformador C opera 
abaixo de sua capacidade 
nominal
• Stot = fu_A  Sn_A + fu_C  Sn_C
, 
– Se o ângulo cc_A  cc_C
• Do enunciado
– 75 76,86
•  Stot = (1)(400 kVA) + 
(0,843)(600 kVA) = 906,6 
kVA 
Solução
• Transformador A: ‐
•
Solução: Índice de polaridade 
R
S
T
r
s
t
A
R
S
T
A’
B’
C’
C
B
A
A’
a’
a
B’ B
b’ b
C’
C
c’
c
a
a’
c’
c
b
b’
r R
330
• Transformador C: ‐
Solução: Índice de polaridade 
S
T
B
C
A’
C’
B
b
C C’
c c'
A
A’
a
a’
a
c’
b’
c
b
a’
rR
30
A
R
C’ A
a
R
S
T
r
s
t
R B’
B’A
b'
a
a’
c’
c
b
b’
r R
330
Transformador A: ‐
• Transformador C: ‐
Solução: Índice de polaridade 
S
T
B’
A’
C
A
B’
b'
A’ A
a' a
C’
C
c'
c
ac’
b’
c
b
a’
r R
A
R
C’ A
aT
s
r
t
R B
BC’
b
330
a
a’
c’
c
b
b’
r R
330
Transformador A: ‐
Conexão na linha trifásica
Transformador A Transformador C
R              S              T
r               s              t
R              S              T
r               s              t
R
S
T
r
s
t
Transformação trifásica com 2 trafos
• Ligação  aberto (V ‐ V)
• Ligação  aberto ‐  aberto
• Ligação T de Scott
• Ligação T trifásica
Transformação V‐V (delta aberto)
• Se o primário de um transformador de um sistema ‐
 for acidentalmente aberto, ainda assim o sistema 
continuará entregando energia às cargas ligadas em 
ou , sem alteração nas tensões. 
• As correntes de fase será a igual às correntes de linha.
•
Transformação V‐V (delta aberto)
• Um sistema V‐V, entrega a corrente de linha (não de fase)
• A potência suprida pelo transformador V‐V é 57,7% do 
inicial (do delta).
• cos cosPotência por transformador 1 0,577 57,7%
Potência total trifásica 3 cos3 cos 3
F F L L
L L L L
V I V I
V I V I
 
     
a) Tensões de linha aplicadas b) Tensões de linha secundárias
ao primário do sistema V‐V produzidas pela bancada V‐V
VABVAB
VCA
VBC
VabVab
VcaVca
VbcVbc
• Similar à conexão V – V
• Uso em áreas rurais 
(pequenos consumidores 3)
• Desvantagem: A corrente 
pelo neutro do primário será 
muito grande.
Conexão estrela aberto – delta aberto
Ligação T de Scott
• Forma de obter duas fases separadas de 90 entre 
si a partir de uma fonte de potência trifásica.
• Os transformadores Especiais, requeridos pela 
ligação T‐T, são um transformador de equilíbrio (B‐
b) cujas tensões nominais primária e secundária 
são 86,6% das tensões nominais do transformador 
principal (A‐a) [com tap central].
• Tensões bifásicas é utilizada em certas aplicações 
de controle.
• Também é usado para compensar cargas 
desequilibradas
Ligação T de Scott
Derivação em 86,6%
Derivação 
central
Trf. equilíbrio
Ligação T de Scott
Exemplo 1
• Uma fábrica drena 100 A com cos =0,7 em atraso, do 
secundário de uma bancada transformadora de 
distribuição de 60 kVA, 2300/230 V, ligada em Y‐, 
calcule:
– ( a ) a potência real consumida em kW e a aparente em kVA
– ( b ) as correntes secundárias nominais de fase e de linha 
do banco de transformadores
– ( c ) o porcentual de carga de cada transformador 
(IL_carga/IL_nominal)
– ( d ) as correntes primárias de fase e de linha de cada 
transformador
– ( e ) a capacidade em kVA de cada transformador
•
Solução
• ( a ) a potência real consumida em kW e a aparente em 
kVA
• ( b ) as correntes secundárias nominais de fase e de linha 
do banco de transformadores
•
3 230 100 0,7 27,886kWTP     
3 230 100 39,837kVAS   
2_ 2_3L nom F nomI I
3 L LS V I
3 cosL LP V I 
1 _ 3 _
2_
2_ 2_
3nom nom
F nom
F nom F nom
S S
I
V V
  
2_
60kVA 3
87A
230VF nom
I  
2_ 3 87 150,6AL nomI   
Solução
• ( c ) o porcentual de carga de cada transformador 
(IL_carga/IL_nominal)
• ( d ) as correntes primárias de fase e de linha de cada 
transformador
• ( e ) a capacidade em kVA de cada transformador
– Banco de 3 transformadores, cada um:  
2_ 150,6AL nomI 
carga_linha
nominal_linha
100
66,4%
150,6
I
I
 
1 1 10AF LI I 22
100
3 3
L
F
II  1 2
2 1
2300 3 10 1
230 3
F F
F F
V I
I aV
    1 2F FI aI
c/trans
60
20kVA
3
S  
Exemplo 2
• Repita o exemplo anterior, usando um transformador 
‐ e compare as correntes de linha primárias com as 
da transformação Y‐.
• Solução:
– ( a ) potência real consumida em kW e a aparente em kVA
– ( b ) as correntes secundárias nominais de fase e de linha 
do banco de transformadores
•
3 230 100 0,7 27,886kWTP     
3 230 100 39,837kVAS   3 L LS V I
3 cosL LP V I 
2_ 2_3 3 87 150,6AL nom F nomI I   1 _2_
2_
20kVA
87A
230V
nom
F nom
F nom
S
I
V
  
Solução
• ( c ) o porcentual de carga de cada 
• transformador (IL_carga/IL_nominal)
• ( d ) as correntes primárias de fase e de linha de cada 
transformador
– Do exemplo anterior: 1/a = 10/3
• ( e ) a capacidade em kVA de cada transformador
•
– Banco de 3 transformadores, cada um:  
carga_linha
nominal_linha
100
66,4%
150,6
I
I
 
1
3 100
( ) ( ) 10A
10 3
FI   
2
2
100
3 3
L
F
II  1 2
2 1
1F F
F F
V I
V I a
  1 2F FI aI
c/trans
60
20kVA
3
S  
1 13 10 3L FI I 
Exemplo 3
• Cada um dos transformadores da bancada –, 
mostrada no exemplo 2 anterior, tem capacidade 
nominal de 20 kVA, 2300/230 V e a carga suprida é de 
40 kVA com cos  = 0,7 em atraso. Se um 
transformador defeituoso for removido para reparos, 
calcule. Para a conexão V–V
– ( a ) os kVA de carga supridos por transformador
– ( b ) a porcentagem da carga nominal circulante em cada 
transformador
– ( c ) a capacidade nominal em kVA da bancada V–V
– ( d ) a relação entre as capacidade da bancada V–V  e da –
– ( e ) o aumento porcentual de carga em cada transformador 
quando um deles for removido.
Solução 3
Solução 3