Aula DinamicaRotacao

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1. Corpo Rígido 
 
O corpo rígido mantém sua forma inalterada durante o movimento. A 
rigor, nenhum corpo é perfeitamente rígido, sempre haverá pequenas 
deformações durante o movimento. Contudo, na prática, os sólidos 
aproximam-se muito da idealização de um corpo rígido. O movimento 
de um corpo rígido pode ser decomposto em translação e rotação. 
 
Translação: 
Todas as suas partículas sofrem o mesmo 
deslocamento, em qualquer intervalo de tempo 
considerado. 
 
Rotação: 
As partículas descrevem trajetórias circulares cujos 
centros situam-se sobre uma mesma reta, denominada 
eixo de rotação. 
 
No presente curso analisaremos apenas a rotação em torno um eixo que 
mantém sua direção inalterada. 
 
2. Cinemática da Rotação 
 
2.1 Deslocamento angular e posição angular 
 
Para um movimento ocorrendo exclusivamente em torno de um eixo 
fixo, podemos definir a posição angular, que será o deslocamento 
angular em relação a uma linha de referência. 
 
 
 
Tem-se que 
 
r
s
= . 
 
Em uma rotação, o deslocamento angular  será o mesmo para 
todas as partículas do corpo. Na convenção usual, um deslocamento 
angular no sentido anti-horário é positivo e um deslocamento no 
sentido horário é negativo. 
A unidade para deslocamento angular e posição angular é o radiano, 
uma grandeza adimensional. 
2.2 Velocidade angular 
 
A partir da definição de posição angular e deslocamento angular, 
podemos definir a velocidade angular  . 
Velocidade angular média 
t
méd


=

 . 
 
Velocidade angular instantânea 
 
dt
d
 = . 
 
Da relação 
 
r
s
= , 
tem-se que 
r
v
= . 
 
Onde v é o módulo da velocidade. No SI, a unidade para velocidade 
angular é o radiano por segundo, rad/s. 
2.3 Aceleração angular 
 
De modo análogo, pode-se definir a aceleração angular

. 
 
Aceleração angular média 
t
méd


=

 . 
E a aceleração angular instantânea 
 
dt
d
 = . 
 
Da relação 
r
v
= , 
tem-se que 
r
aT= . 
 
Onde Ta é a aceleração tangente. 
No SI, a unidade para aceleração angular é o radiano por segundo 
ao quadrado, rad/s2. 
2.4 Correspondência entre grandezas angulares e 
lineares 
 
Como as definições de velocidade e aceleração angulares são 
formalmente idênticas às definições de velocidade e aceleração 
lineares para o movimento em uma dimensão, haverá uma perfeita 
correspondência entre estes dois conjuntos de grandezas e, também, 
entre as relações deduzidas a partir de suas definições. 
 
Cinemática em uma dimensão Rotação em torno de um eixo fixo 
 
)(2)0()(
)()0()(
)(
2
1
)0()0()(
)()0()(
22
2
constasavtv
constaatvtv
constaattvsts
constvvtsts
dt
dv
a
dt
ds
v
=+=
=+=
=++=
=+=
=
=
 )(2)0()(
)()0()(
)(
2
1
)0()0()(
)()0()(
22
2
constt
consttt
constttt
consttt
dt
d
dt
d
=+=
=+=
=++=
=+=
=
=








 
 



ra
rv
rs
=
=
=
 
2.5 Período e frequência 
 
O Período é definido como o tempo que o corpo leva para executar 
uma revolução completa. Se a velocidade angular de rotação for 
constante, o período também permanecerá inalterado. 
 
Temos que 
T


2
= , 
 
que equivale a 
 

2
=T , 
 
A frequência é definida como o número de revoluções executadas 
durante uma unidade de tempo. A frequência é o inverso do período 
 
T
f
1
= , 
 
donde 
 
f 2= . 
 
No SI, a unidade de frequência será o Hz que é o mesmo que s-1. 
Exercício 
 
 
 
Na acima, quatro polias estão conectadas por duas correias. A polia 
A (raio igual a 15 cm) é a polia motriz e gira a 10 rad/s. A polia B (raio 
igual a 10 cm) está conectada a polia A pela correia 1. A polia B´ (raio 
igual a 5 cm) é concêntrica à polia B e está rigidamente ligada a ela. 
A polia C (raio igual a 25 cm) está conectada à polia B’ pela correia 
2. Calcule: 
a) a velocidade linear de um ponto na correia 1; 
b) a velocidade angular da polia B; 
c) a velocidade angular da polia B’; 
d) a velocidade linear de um ponto na correia 2; 
e) a velocidade angular da polia C. 
 
2.6 Grandezas angulares tratadas como vetores 
 
2.6.1 Deslocamento angular 
 
O deslocamento angular não é um vetor, porque a soma não comuta. 
Podemos ter 
 
1221 

++ . 
 
A soma de vetores deve satisfazer a propriedade comutativa, logo 
não podemos tratar o deslocamento angular como um vetor. 
 
2.6.2 Vetor velocidade angular 
 
Vimos que de uma forma geral deslocamento angulares não podem 
ser tratados como vetores. No entanto, esta restrição não vale para 
deslocamentos infinitesimais, que podem ser tratados como vetores. 
Deste modo é possível definir o vetor velocidade angular 
t

=
→





0
lim
. 
Por definição, o vetor velocidade angular terá a direção do eixo de 
rotação e o seu sentido é dado pela regra da mão direita. 
 
Para uma partícula executando um movimento circular, a relação 
entre o vetor velocidade e o vetor velocidade angular é dada por 
 
rv

=  , 
 
conforme podemos ver na figura acima. 
2.6.3 Vetor aceleração angular 
 
A partir do vetor velocidade angular, pode-se definir o vetor 
aceleração angular 
dt
d



=
. 
Da relação 
rv

=  , 
tem-se que 
( )rra
vra
dt
rd
r
dt
d
a






+=
+=
+=




 
 
O primeiro termo da soma pode ser identificado como a aceleração 
tangencial, enquanto o segundo será a aceleração centrípeta; isto é, 
( )ra
ra
C
T


=
=


 
3. Dinâmica de rotação 
 
3.1 Momento angular 
Em um movimento de rotação, a resultante das forças sobre o 
sistema não pode ser nula, pois existe aceleração centrípeta no 
movimento circular. Por conseguinte, o momento linear não é 
conservado mesmo com velocidade angular constante, a direção da 
velocidade varia. 
 
 
Contudo, o momento angular é conservado, sendo definindo, para 
uma partícula, como 
. 
Conforme pode ser visto na figura acima, para cada partícula, o 
módulo de r e p fica inalterado, assim como o ângulo entre eles. 
Como o momento angular de cada partícula fica constante durante o 
movimento de rotação, o momento angular total será conservado, 
�⃗� 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = �⃗� 𝐴 + �⃗� 𝐵+. . . +�⃗� 𝑁. 
 
prL

=
Da definição de momento angular para uma partícula, decorre que 
 
dt
pd
rp
dt
rd
dt
Ld



+= , 
Frpv
dt
Ld 

+= . 
Porém 
0= pv
 
e 


=Fr (torque). 
Logo 
dt
Ld


= . 
Pode-se provar que a equação acima permanece válida para um 
sistema de partículas. 
Totalres L
dt
d 
= (sistema de partículas) 
onde 
= extres 
 
O torque externo resultante 
res
 atuando sobre um sistema de 
partículas é igual à taxa de variação temporal do momento angular 
total do sistema. Essa equação é conhecida como a equação 
fundamental para a dinâmica de rotação. A partir dela, pode-se 
provar formalmente a conservação do momento angular. 
.0 constLTotalres ==
 
if LLconstL

== . 
 
 
3.2 Momento de inércia 
Na seção 2.6.2, foi visto que 
𝑣 = �⃗⃗� × 𝑟 . 
Também foi visto que 
�⃗� = 𝑟 × 𝑚𝑣 . 
Combinando as duas relações acima, obtém-se 
�⃗� = 𝑟 × 𝑚(�⃗⃗� × 𝑟 ). 
Substituindo a identidadevetorial 𝑎 × (�⃗� × 𝑐 ) = (𝑎 ⋅ 𝑐 ) �⃗� − (𝑎 ⋅ �⃗� ) 𝑐 
na última equação, tem-se que 
�⃗� = 𝑟2𝑚�⃗⃗� − 𝑚(𝑟 ∙ �⃗⃗� )𝑟 . 
Em geral 𝑟 ∙ �⃗⃗� não é nulo. No entanto, se o centro da circunferência 
for tomado como origem, o vetor posição será perpendicular ao vetor 
velocidade angular, resultando em 𝑟 ∙ �⃗⃗� = 0 Portanto, 
�⃗� = 𝑚𝑑2�⃗⃗� 
onde d é a distância ao eixo de rotação. 
A quantidade md2 é chamada de momento de inércia e usualmente 
denominada por 𝐼, o que resulta em 
 
�⃗� = 𝐼�⃗⃗� 
 
De fato, nem sempre os vetores �⃗� e �⃗⃗� terão a mesma direção e 
sentido permitindo que o momento de inércia seja tratado como um 
escalar. Em casos mais gerais o momento de inércia é representado 
por um operador. Entretanto, quando o eixo de rotação está fixo 
(mantém sua direção inalterada), é sempre possível considerar o 
momento de inércia como uma grandeza escalar. 
Para um sistema composto de N partículas, como massa mi e raio de 
curvatura di, a definição de momento de inércia pode ser generalizada 
𝐼 = ∑𝑚𝑖𝑑𝑖
2
 
Para um corpo rígido o somatório na definição do momento de inércia 
tenderá para uma integral, 
𝐼 = ∫𝑑2𝑑𝑚 
 
Observe que o momento de inércia irá depender 
• da forma do corpo 
• da massa do corpo e de sua distribuição 
• do eixo de rotação 
O momento de inércia será diferente para cada eixo de rotação, 
contudo, existe uma relação entre o momento de inércia em torno 
de um eixo qualquer e o momento de inércia em tordo do eixo 
paralelo que passa pelo centro de massa. 
2MhII CM +=
 
onde: 
I é o momento de inércia em torno de um eixo qualquer; 
CMI
 é o momento de inércia em torno do eixo paralelo que passa 
pelo centro de massa; 
M é a massa total do corpo; 
h
 é a distância entre os eixos. 
 
Com o momento de inércia desempenhando o papel equivalente ao 
da massa, é possível fazer uma analogia completa entre a dinâmica 
de translação e rotação. 
 
Translação Rotação Relação 
m
(massa) 
I (momento de inércia) 𝐼 = {
∑𝑚𝑖𝑑𝑖
2
∫𝑑2𝑑𝑚
 
v
 (velocidade) 

 (vel. angular) 
rv

=  
a
 (aceleração) 

 (ac. angular) 
( )r
ra


+
=

 
P
 (momento linear) L (momento angular) 
vmP

=  IL = 
F
 (força)  (torque) 
dt
Pd
F


= 
dt
Ld


= 
 
if PPF

== 0
 
(conservação do 
momento linear) 
if LL

== 0
 
(conservação do 
momento angular) 
 
amF

=   I= 
 
 
 
prL

=
Fr

=
3.3 Exemplos de conservação do momento angular 
 
Rotação de um planeta 
 
 
 
A força de atração do Sol não produz torque sobre a terra, portanto 
o momento angular é conservado. Isso explica o porquê dela não 
parar de girar em torno do seu próprio eixo mantendo a velocidade 
angular de rotação constante. 
 
Salto Ornamental 
 
 
 
Como não há torques aplicados em relação ao centro de massa do 
mergulhador, 
)( 

IL =
 é constante. Ao juntar braços e pernas, I 
diminui e, portanto, 

 aumenta 
 
 
Helicóptero 
 
 
 
Se não houvesse o rotor na cauda, o corpo do helicóptero tenderia a 
girar no sentido contrário ao da hélice quando a mesma sofresse uma 
aceleração angular. 
 
 
 
Em helicópteros de hélices duplas as mesmas rodam em sentidos 
contrários mantando o momento angular constante independe da 
velocidade de rotação. Como não há aumento do momento angular 
quando há aceleração angular, não é necessário o rotor na cauda. 
 
Giroscópio 
 
O giroscópio consiste em um disco girante, com liberdade para 
mudar o seu eixo de rotação. O arranjo é construído de modo a ter o 
torque total sobre o sistema igual a zero. Como não há torque 
externo, o vetor momento angular permanecerá constante.