Rotação de Corpos Rígidos

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ROTAÇÃO
CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA AGROALIMENTAR
UNIDADE ACADÊMICA DE TECNOLOGIA DE ALIMENTOS
DISCIPLINA: FÍSICA I
Prof. Bruno Farias
Introdução
Neste capítulo vamos aprender:
✓ Como descrever a rotação de um corpo rígido em termos
da coordenada angular, velocidade angular e da
aceleração angular.
✓ Analisar a rotação de um corpo rígido quando a
aceleração angular é constante.
✓ O significado do momento de inércia de um corpo em
torno de um eixo de rotação e como ele se relaciona
com a energia cinética na rotação.
✓ Como calcular o momento de inércia de vários corpos.
✓ O que significa o torque produzido por uma força.
No presente capítulo, vamos investigar os movimentos de
rotação, em que um objeto gira em torno de um eixo.
Nos capítulos anteriores, estudamos apenas os movimentos
de translação (movimento linear), em que um objeto se
move ao longo de uma linha reta ou curva.
Introdução
Translação Rotação
Introdução
Vamos examinar a rotação de um corpo rígido em torno de um
eixo fixo. Um corpo rígido é um corpo que pode girar com
todas as partes ligadas rigidamente e sem mudar de forma. Um
eixo fixo significa um eixo que não muda de posição.
Nosso estudo inicia-se com uma discussão sobre os
equivalentes angulares das grandezas lineares posição,
deslocamento, velocidade e aceleração.
Posição Angular
Para determinarmos a posição angular θ usamos uma reta de
referência, fixa ao corpo, que é perpendicular ao eixo de
rotação e que gira com o corpo. O ângulo θ que essa reta de
referência faz com o eixo +Ox descreve a posição da rotação
do corpo rígido. Através da geometria, θ é dado por
s é o comprimento de um arco e r é
o raio da circunferência.
Um ângulo θ como definido anteriormente, deve ser medido
em radianos (rad).
Um radiano (1 rad) é o ângulo subtendido quando o
comprimento de arco relativo a esse ângulo for igual ao raio da
circunferência considerada.
Um ângulo em radianos pode ser convertido para graus ou
revoluções através das seguintes expressões:
Deslocamento Angular
Quando o corpo gira em torno de eixo de rotação, com
posição angular da reta de referência variando de θ1 para θ2,
o corpo sofre um deslocamento angular Δθ dado por
O deslocamento angular Δθ de um corpo em rotação pode ser
positivo ou negativo, de acordo com a seguinte regra:
Velocidade Angular
Definimos a velocidade angular média ωméd do corpo em um
intervalo de tempo Δt = t2 – t1 como a razão entre o
deslocamento angular Δθ = θ2 – θ1 e o intervalo de tempo Δt:
A velocidade angular instantânea ω é o limite de ωméd quando
Δt tende a zero, ou seja, a derivada de θ em relação a t:
Quando o ângulo θ é medido em radianos, a unidade de
velocidade angular é o radiano por segundo (rad/s). Outras
unidades frequentemente usadas são a revolução por
segundo (rev/s) e a revolução por minuto (rev/min ou rpm).
O módulo da velocidade angular é chamado de velocidade
angular escalar, e também é representado por ω.
A velocidade angular ω de um corpo rígido em rotação pode
ser positiva ou negativa, dependendo de o corpo estar girando
no sentido anti-horário (positivo) ou horário (negativo).
Velocidade Angular como um Vetor
Tanto ωméd como ω são vetores. Podemos representar a
velocidade angular do disco como vetor ω apontando ao longo
do eixo de rotação, como na figura abaixo. O sentido do vetor
ω é determinado usando a regra da mão direita.
Para representarmos o módulo do vetor ω escolhemos o módulo do mesmo de
acordo com uma escala conveniente, como, por exemplo, 1 cm para cada 10 rad/s.
Aceleração Angular
Quando a velocidade angular de um corpo rígido varia, ele
possui uma aceleração angular. Sejam ω2 e ω1 as velocidades
angulares nos instantes t2 e t1, respectivamente. A aceleração
angular média (αméd) do corpo no intervalo de tempo Δt = t2 – t1
é definido por
A aceleração angular instantânea (α) é o limite de (αméd)
quando Δt tende a zero:
A unidade usual de aceleração angular é o radiano por
segundo ao quadrado (rad/s2). Outra unidade frequentemente
usada é a revolução por segundo ao quadrado (rev/s2).
Aceleração Angular como um Vetor
Tanto αméd como α são vetores. O vetor α é a derivada no
tempo do vetor velocidade angular ω. Assim, α está orientada
na mesma direção de ω quando a rotação é acelerada e no
sentido contrário quando a rotação é retardada.
OBSERVAÇÃO:
Neste capítulo consideramos apenas rotações em torno de um
eixo fixo. Nesse caso, não precisamos trabalhar com vetores;
podemos representar a velocidade angular através de um
escalar ω, a aceleração angular através de um escalar α e
usar o sinal positivo para indicar o sentido anti-horário e o
sinal negativo para indicar o sentido horário.
Exemplo
Rotação com Aceleração Angular 
Constante
A aceleração angular constante é um caso especial importante
de movimento de rotação pura. Tal tipo de movimento, pode
ser descrito através de um conjunto de equações análogo ao
caso das translações puras.
Exemplo
Você acabou de assistir a um filme em DVD, e o disco está diminuindo a
rotação para parar. A velocidade angular do disco é igual a 27,5 rad/s no
instante t = 0 e sua aceleração angular é constante e igual a -10 rad/s2.
Uma linha PQ na superfície do disco coincide com o eixo +Ox no instante t
= 0. a) Qual é a velocidade angular do disco no instante t = 0,3 s? b) Qual
é o ângulo formado entre a linha PQ e o eixo +Ox nesse instante?
Exercício
Relacionando as Variáveis Lineares e 
Angulares
Como podemos achar a velocidade linear e a aceleração de
um dado ponto em corpo girando? Frequentemente
precisaremos responder a tal pergunta e para isso é
necessário relacionarmos as variáveis lineares s, v e a às
variáveis angulares θ, ω e α.
Posição Linear
Se o corpo gira de um ângulo θ, o ponto descreve um arco de
círculo de comprimento s dado por
onde θ está em radianos.
Velocidade Linear
A velocidade linear v do ponto é tangente à circunferência; a
velocidade escalar linear v do ponto é dada por
onde ω é a velocidade angular escalar (em rad/s) do corpo.
Aceleração
A aceleração linear a do ponto tem uma componente
tangencial e uma componente radial. A componente tangencial
é dada por
onde α é o módulo da aceleração
angular (em rad/s2) do corpo. A
componente radial de a é
Energia Cinética de Rotação
Um corpo rígido é constituído por massas em movimento,
logo ele possui energia cinética. Para determinarmos a
energia cinética do corpo rígido somamos a energia cinética
de todas as partículas que compõem o corpo, assim
onde mi é a massa da partícula i e vi e a velocidade da
partícula. Lembrando que vi = riω, podemos escrever
onde ω é igual para todas as partículas.
A grandeza entre parênteses é denominado de momento de
inércia I, logo temos que
Em termos do momento de inércia, podemos expressar a
energia cinética de rotação na forma
A unidade de I no SI é o quilograma-metro quadrado (𝑘𝑔 ∙
𝑚2)
O momento de inércia I, depende como a massa do corpo é
distribuída em relação ao eixo de rotação do mesmo.
Quanto maior for o momento de inércia do um corpo,
mais difícil será fazê-lo girar a partir do repouso e mais
difícil será fazê-lo parar quando estiver girando.
Quando o corpo é uma distribuição contínua de matéria, como
um cilindro maciço ou uma placa, a usada para calcular o
momento de inércia se transforma numa integral e definimos I
como
Na tabela seguinte é apresentado o momento de inércia de
formas familiares em termos da massa e das dimensões do
corpo.
Exemplo
A figura abaixo mostra um satélite de comunicações, que é um cilindro
maciço de 1210 kg com 1,21 m de diâmetro e 1,75 m de comprimento.
Antes do lançamento a partir do compartimento de carga do ônibus
espacial, o satélite é posto para girar a 1,52 rev/s em torno do eixo
longitudinal. Quais são (a) seu momento de inércia em relação ao eixo de
rotação e (b) sua energia cinética de rotação?
Teorema dos Eixos Paralelos
O teorema doseixos paralelos relaciona o momento de
inércia I de um corpo em torno de qualquer eixo ao momento
de inércia ICM do mesmo corpo em torno de um eixo paralelo
ao primeiro passando pelo centro de massa:
onde h é a distância perpendicular entre os dois eixos e M é a
massa do corpo.
Exemplo
Uma das peças de uma articulação mecânica (figura abaixo)
possui massa igual a 3,6 kg. Medimos seu momento de
inércia em relação a um eixo situado a uma distância de 0,15
m do seu centro de massa e encontramos o valor de 𝐼𝑃 =
0,132 𝑘𝑔 ∙ 𝑚2. Qual é o momento de inércia 𝐼𝐶𝑀 em relação a
um eixo paralelo que passa pelo centro de massa?
Exercício
A figura (a) abaixo mostra um corpo rígido composto por duas partículas de
massa m ligadas por uma barra de comprimento L e massa desprezível. a)
Qual é o momento de inércia 𝐼𝐶𝑀 em relação a um eixo passando pelo
centro de massa e perpendicular à barra, como mostra a figura? b) Qual é
o momento de inércia I do corpo em relação a um eixo passando pela
extremidade esquerda da barra e paralelo ao primeiro eixo (figura b)?
Torque
O torque (𝝉) fornece uma medida quantitativa de como a ação
de uma força F pode provocar ou alterar o movimento de
rotação de um corpo.
onde 𝜙 é ângulo entre F e r.
A figura mostra uma seção reta de um corpo que está livre
para girar em torno de um eixo passando em O e
perpendicular à seção reta. Uma força F é aplicada no ponto
P, cuja posição em relação a O é definida por um vetor
posição r. O módulo do torque aplicado por F em torno de O
é dado por
Existem duas formas equivalentes de calcular o torque:
onde 𝑟⊥ é a distância perpendicular entre o eixo de rotação
que passa por O e uma reta que coincide com a direção do
vetor F. Esta reta é chamada de linha de ação de F, e 𝑟⊥ é o
braço de alavanca de F.
A unidade de torque no SI é o newton-metro (N∙m).
Se o corpo gira no sentido anti-horário, o torque é positivo. Se
o torque fizer o objeto girar no sentido horário, ele é negativo.
O torque é uma grandeza vetorial que é genericamente
definida por
A direção de 𝝉 é simultaneamente
perpendicular a r e F. Em particular,
quando r e F estão localizados em um
plano perpendicular ao eixo de rotação,
então o vetor torque 𝝉 = 𝒓 × 𝑭 possui a
mesma direção do eixo de rotação,
sendo seu sentido dado pela regra da
mão direita.
Exemplo
Um bombeiro hidráulico, incapaz de afrouxar a conexão de um tubo,
encaixa um pedaço de tubo de sucata (uma “alavanca”) sobre a haste da
chave de grifa. A seguir ele usa seu peso todo de 900 N, ficando em pé na
extremidade da alavanca. A distância entre o centro da conexão e o ponto
onde o peso atua é igual a 0,8 m, e o eixo da alavanca faz um ângulo de
19º com a horizontal (figura abaixo). Calcule o módulo, a direção e o
sentido do torque que ele aplica em torno do centro da conexão do tubo.