Conjuntos numericos

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CONJUNTOS NUMÉRICOS
Ao agrupamento de elementos com
características semelhantes damos o nome de conjunto.
Quando estes elementos são números, tais
conjuntos são denominados conjuntos numéricos.
Neste tópico estudaremos os cinco conjuntos
numéricos fundamentais, que são os conjuntos
numéricos mais amplamente utilizados.
1. Conjuntos dos Números Naturais (N)
É formado por números utilizados na contagem e
ordenação de elementos.
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }
N* = {1; 2, 3, 4, 5, ... } é o conjunto dos
números naturais não-nulos.
2. Conjunto dos Números Inteiros (Z)
É uma expansão do conjunto dos números
naturais.
Z = { ... , - 5, - 4, - 3, - 2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }
 N
Para excluir os números positivos de um conjunto
utilizamos o símbolo - (menos) e para excluir os
negativos, utilizamos o + (mais).
 Deste modo:
 Z* = { ... , - 5, - 4, - 3, - 2, -1, 1, 2, 3, 4, 5, ... }
é o conjunto dos números inteiros não-nulos.
 Z+ = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... } é o conjunto dos
números inteiros não-negativos.
 Z- = { ... , - 5, - 4, - 3, - 2, -1 , 0} é o conjunto
dos números inteiros não-positivos.
 Z*+ = { 1, 2, 3, 4, 5, ... } é o conjunto dos números
inteiros positivos.
 Z*– = { ... , - 5, - 4, - 3, - 2, -1 } é o conjunto dos
números inteiros negativos.
3. Conjunto dos Números Racionais (Q’)
É formado pelos números que possuem
representação fracionaria com numerador e denominador
inteiros (denominador não-nulo).
Q = { x = | a ∈∈∈∈∈ Q e b ∈∈∈∈∈ Q* }
De modo análogo ao proposto para o conjunto
dos números inteiros, temos Q*, Q+, Q-, Q
*
+ e Q
*
-.
Os números que apresentam representação
fracionária e, portanto são números racionais são:
A) Números Inteiros
Todo número inteiro, possui representação
fracionaria, veja os exemplos:
Observe os exemplos:
a) -5 = - = - = , portanto -5 ∈ Q.
b) 0 = = = , portanto 0 ∈ Q.
c) 7 = = = , portanto 7 ∈ Q.
B) Frações próprias, impróprias e números mistos
Observe os exemplos: , , 3 ∈ Q
C) Números Decimais Exatos
Número decimal exato é aquele que apresenta
um número finito de casas (ordens) decimais. Observe
os exemplos:
a) 0,2 = = , portanto 0,2 ∈ Q.
b) 1,35 = = , portanto 1,35 ∈ Q .
D) Dízimas periódicas simples e compostas.
Dízimas são números decimais que apresentam
infinitas casas (ordens) decimais. São chamadas periódicas
quando, após a vírgula, apresentam repetição de um
número infinitas vezes. Este número é chamado período.
Observe alguns exemplos:
a) 0,222 ... = , portanto. 0,222 ... ∈ Q.
Esta dizima é chamada periódica simples, pois
imediatamente após a vírgula percebemos a presença
do período 2.
a
b
5
1
10
2
15
3
0
1
0
2
0
3
7
1
14
2
21
3
2
10
1
5
135
100
27
20
2
9
3
5
4
2
1
2
CONJUNTOS
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b) 0,3222 ... = , portanto 0,3222 ... ∈ Q.
Esta dízima é chamada periódica composta, pois após
a vírgula percebemos a presença do número 3 (pré-
período) antes do período 2.
4) Conjunto dos números irracionais
 (R – Q) ou II
Números irracionais são as dizimas não-
periódicas, isto é, são números decimais que apresentam
infinitas casas decimais, porém não possuem período.
São números que não resultam da divisão entre dois
números inteiros.
Os números irracionais mais famosos são:
a) O PI.
π = 3,1415926535897932384626433832795 ...
b) O número de Euler.
e = 2,718281828459045235360287471352 ...
Podemos obter números irracionais extraindo raízes
não-exatas como segue:
c) 2 = 1,4142135623730950488016887242097 ...
d)
3
5 = 1,7099759466766969893531088725439 ...
5) Conjunto dos números reais (R)
Chama-se número real a qualquer número racional
ou irracional. Deste modo podemos dizer que o conjunto
dos números reais e a união entre o conjunto dos
números racionais e o conjunto dos números irracionais.
R = Q ∪∪∪∪∪ II
De modo análogo ao proposto para os conjuntos
dos números racionais, temos R*, R+, R-, R
*
+ e R
*
–.
6) Conjuntos numéricos fundamentais em
diagrama
Abaixo temos a representação dos conjuntos
numéricos fundamentais em um diagrama.
1) Os números que conhecemos foram criados devido
às necessidades dos seres humanos. Inicialmente a
necessidade de contar e em seguida o surgimento
das operações forçaram o aparecimento de novos
números em diferentes lugares e momentos
históricos.
Diversas pessoas foram responsáveis por esta
evolução no pensamento humano construindo os
conjuntos numéricos estudados atualmente. Em
relação aos números que pertencem a estes
conjuntos podemos afirmar que:
a) Todo número racional é uma dízima periódica.
b) Todo número irracional é inteiro.
c) Toda dízima não-periódica não é real.
d) Todo número real tem infinitas casas (ordens)
decimais.
e) Todo número natural é racional.
2) (Fundação Zoobotânica - FAURGS) Considere os
seguintes números:
I. 0,010101...
II. 0,010010001...
III. 0,123412341234
Quais são números racionais?
a) apenas I
b) apenas I e II
c) apenas I e III
d) apenas II e III
e) I, II e III
29
90
EXERCÍCIOS 1
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{ }
{ }
{ }
3) (UFRGS) Identifique, entre os conjuntos abaixo o
subconjunto do conjunto dos números irracionais:
a) π, , 
3
3 , 2½
b) -2, π, 2 , 3
c) , 3 , , 7
d) 2 , 3 , 4 , 5
e) -11/4, 21/2, π, 21/3
4) (UFRGS) Entre os números seguintes,
A) 0,171717 ...
B) 0,313113111311113 ...
C) 0,424224222422224 ...
D) 0,897638976389763 ...
E) 3
a) nenhuma é racional.
b) todas são racionais. ‘
c) apenas E é racional.
d) apenas A, D e E são racionais.
e) apenas B e C são racionais.
5) (UFSM) Assinale verdadeiro (V) ou falso (F) em cada
uma das afirmações a seguir:
( ) A letra grega π representa o número racional
que vale 3,14159265. .
( ) O conjunto dos números racionais e o conjunto
dos números irracionais são subconjuntos dos
números reais e possuem apenas um ponto
em comum.
( ) Toda dizima periódica é um número racional.
A seqüência correta é:
a) F - V - V
b) V - V - F
c) V - F - V
d) F - F - V
e) F - V - F
1
3
3
1
8
3
1
5{ }
{ }
06) (UFRGS) A lista completa dos adjetivos natural,
inteiro, positivo, negativo, racional, irracional, real
e complexo, que se aplica ao número é
a) complexo, real, irracional, negativo
b) complexo, racional, inteiro, positivo
c) real, racional, inteiro, negativo
d) complexo, racional, inteiro, negativo, natural
e) complexo, real, racional, inteiro, negativo
07) (UFRGS) Entre os números apresentados nas
alternativas, qual é o único que é racional?
a) 2,333...
b) 0,01001000100001...
c)
d) π
e) razão do comprimento de um círculo e seu raio
08) (UPF) O valor da expressão
a) é um número inteiro
b) é um número natural
c) é um número racional
d) é um número irracional maior que 1
e) não é um número real
(1 - 25)
2
2
 2
3
5
1
4
+ 0,4
6 +
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TEORIA DOS CONJUNTOS
Conjuntos
É um agrupamento de objetos bem definidos e
distintos de nossa percepção ou de nosso pensamento,
os quais se denominam elementos do conjunto (Georg
Cantor).
Representação de um conjunto
Os conjuntos são representados por elementos.
Os elementos são colocados entre { } ou diagramas.
Ex.: A = { }
Caracterização de um Conjunto
Por compreensão
Quando enunciamos as propriedades do conjunto.
A = [x | x é vogal}
Por extensão
Quando mencionamos todos os seuselementos.
A = {a, e, i, o, u}
TIPOS DE CONJUNTOS
Conjunto Vazio
Um conjunto, embora seja associado a uma
coleção de objetos, as vezes não possui elementos.
Como representar um conjunto vazio, ou seja,
um conjunto que não possui elementos?
∅∅∅∅∅ ou { } Cuidado: {∅∅∅∅∅} ≠≠≠≠≠ ∅∅∅∅∅
B
Conjunto Universo
O conjunto Universo de um estudo é aquele ao
qual pertencem todos os elementos desse estudo.
Graficamente, o Universo será representado por um
retângulo envolvendo os outros conjuntos.
Conjunto Finito
Considere o conjunto A = {a, b, c, d, e, f, g, h}.
Contando seus elementos, um a um, conseguimos chegar
ao “fim” da contagem. Por isso dizemos que A é um
conjunto finito.
Exemplos:
Conjunto Infinito
Contando seus elementos, um a um, jamais
chegaremos ao “fim” da contagem.
Exemplos:
Conjunto unitário
Conjunto unitário é todo conjunto formado por
um único elemento.
Exemplos:
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Igualdade de Conjuntos
Dois conjuntos são iguais quando possuem os
mesmos elementos. Por exemplo, se A = {números naturais
pares} e B= {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12 ... }, então A = B.
Se A não é igual a B, então A é diferente de B e
escrevemos A ≠ B
Relação de Pertinência
A relação de pertinência é utilizada para determinar
se um elemento pertence ou não a um determinado
conjunto. Para isso utilizamos os símbolos:
∈ → pertence a ∉ → não pertence a
Exemplo:
Dado o conjunto A = (1, 2, 3, 4, 5} complete o
espaço com ∈∈∈∈∈ e ∉∉∉∉∉:
0 ____ A 1 ____ A 3 ____ A 6 ____ A
A relação de pertinência é utilizada somente para
comparação de elemento com conjunto.
Relação de Inclusão
A relação de inclusão é utilizada para verificar se um
conjunto está ou não contido em outro, ou seja, se um é
subconjunto do outro, utilizando para isso os símbolos:
⊂ → está contido em
⊄ → não está contido em
⊃ → contém
⊃ → não contém
Dizemos que um conjunto A está contido num
conjunto B quando todos os elementos de A pertencem
também a B.
Exemplo:
Dados os conjuntos
A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6, 7} e
C = (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} podemos dizer que:
a) A ⊄ B → lê-se: A não está contido em B
b) A ⊂ C → lê-se: A está contido em C
c) B ⊃ A → lê-se: B não contém A
d) B ⊂ C → lê-se: B está contido em C
e) C ⊃ B → lê-se: C contém B
f) C ⊃ A → lê-se: C contém A
Quando ocorrer de A ⊂ B. dizemos que A é um
subconjunto de B.
SUBCONJUNTOS
Sendo A = {a, b, c} os conjuntos de A são:
Se colocarmos todos estes subconjuntos entre
chaves temos o conjunto das partes do conjunto A, ou
seja P(A).
O número de subconjuntos é dado por
2n
onde “n” é _______________________
Exemplo:
Se um conjunto A tem x elementos, então o
conjunto formado por todos os subconjuntos contidos
em A tem:
a) 2x elementos
b) x² elementos
c) x² + 1 elementos
d) 2x elementos
e) nenhuma das respostas anteriores é correta
Seja A um conjunto de 8 elementos. O número
total de subconjuntos de A é:
a) 6
b) 8
c) 100
d) 128
e) 256
rascunho
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OPERAÇÕES COM CONJUNTOS
União (∪)∪)∪)∪)∪)
A ∪∪∪∪∪ B = {x | x ∈∈∈∈∈ A ∨∨∨∨∨ x ∈∈∈∈∈ B}
Exemplo:
Dados A = {1, 2, 3} e B = {0, 2, 4}.
Determine: A ∪ ∪ ∪ ∪ ∪ B =
Hachura a união entre os conjuntos A e B
a) b)
c)
Intersecção: (∩∩∩∩∩)
A ∩∩∩∩∩ B = {x | x ∈∈∈∈∈ A ∧∧∧∧∧ x ∈∈∈∈∈ B}
Exemplos:
Dados A = {2, 3, 4} e B = {1, 3, 5}
Determine: A ∩ B=
Conhecendo A = {0, 2, 4} e B = {1, 3, 5}
Determine: A ∩ B=
A B A B
A
B
Hachure a intersecção entre os conjuntos A e B
a) b)
c)
Diferença (–)
A – B ={x | x ∈∈∈∈∈ A ∧∧∧∧∧ x ∉∉∉∉∉ B}
Exemplos:
Dados A = {1, 2, 3, 4} e B = {0, 2, 3, 5}
Determine: A – B = B – A =
Dados A = {a, b, c, d} e B = {a, c}
Determine: A – B = B – A =
Hachure a diferença entre os conjuntos A e B
a) b)
c)
A B A B
A
B
A B A B
A
B
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Hachure a diferença entre os conjuntos B e A
a) b)
c)
PROBLEMAS QUE ENVOLVEM CONJUNTOS
Em diversas situações-problema, a resolução será
facilitada se representamos os seus dados na forma de
diagramas.
1) Uma editora estuda a possibilidade de relançar as
publicações Helena, Iracema e A Moreninha. Para
isso, efetuou uma pesquisa de mercado e concluiu
que, em cada 1000 pessoas consultadas,
• 600 leram A Moreninha;
• 400 leram Helena;
• 300 1eram Iracema;
• 200 leram A Moreninha e Helena;
• 150 leram A Moreninha e Iracema;
• 100 leram Iracema, e Helena;
• 20 leram as três obras.
Calcule:
a) O número de pessoas que leu apenas uma das
três obras.
b) O número de pessoas que não leu nenhuma
das três obras.
c) O número de pessoas que leu duas ou mais
obras.
A B A B
A
B
2) (UFPE) Objetivando conhecer a preferência musical
dos seus, ouvintes, certa emissora de radio realizou
uma pesquisa, dando como opção três compositores:
M, B e S. Os resultados são:
Votos Opções
27 Gostam de B
34 Gostam de M
40 Gostam de S
16 Gostam de B e M
12 Gostam de B e S
14 Gostam de M e S
6 Gostam de B, M e S
4 Não gostam de B, M e S
Considerando esses dados, podemos classificar
verdadeiras(V) ou falsas(F) as seguintes afirmações:
a) ( ) 42 não gostam de B.
b) ( ) 18 gostam de M e não gostam de B.
c) ( ) 20gostam exclusivamente de S.
d) ( ) 24gostam de exatamente dois dos
compositores.
e) ( ) 25 não gostam de M.
3) (UFPA/PRISE) Na tentativa de elevar os índices de
audiência de seus programas, uma emissora de rádio
decidiu realizar uma pesquisa para conhecer a
preferência musical dos moradores de diferentes
bairros de Belém. “PAGODE”, “AXÉ” e BREGA”
foram as opções musicais mais citadas pelos 1000
entrevistados, conforme indicam os dados tabelados
a seguir:
Quantidade de
Opção MusicalEntrevistados
290 Preferem Pagode
375 Preferem Axé
425 Preferem Brega
160 Preferem Pagode e Axé
120 Preferem Pagode e Brega
145 Preferem Axé e Brega
65 Preferem Pagode, Axé e Brega
Sem esquecer a existência daqueles que
manifestaram outras opções musicais, quantos são
os que não preferem nem “Brega” nem “Axé”.
a) 75
b) 130
c) 260
d) 265
e) 345
EXERCÍCIOS 2
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4) (UFSM) Numa prova de vestibular, ao qual
concorreram 20000 candidatos, uma questão
apresentava as afirmativas A, B e C, e cada candidato
devia classificá-las em verdadeira (V) ou falsa (F).
Ao analisar os resultados da prova, observou-se que
10200 candidatos assinalaram V na afirmativa A;
6100, na afirmativa B; 7720, na afirmativa C.
Observou-se ainda que 3600 candidatos
assinalaram V nas afirmativas A e B; 1200, nas
afirmativas B e C; 500, nas afirmativas A e C; 200,
nas afirmativas A, B e C. Quantos candidatos
consideraram falsas as três afirmativas?
a) 360
b) 490
c) 720
d) 810
e) 1080
(ANPAD 2009)
Instruções: As questões 5 e 6 se referem aos
conjuntos diagramados a seguir. As regiões sombreadas
representam regiões vazias e os conjuntos W, X, Y e Z
são todos não vazios.
5) Pode-se afirmar que:
a) todo X é Y
b) todo X é Z
c) todo X é W
d) nenhum X é Y
e) nenhum X é W
6) Pode-se afirmar que:
a) algum X é Z
b) algum X não é Y
c) algum X é Y e nenhum Y é Z
d) algum X é W e nenhum Z é W
e) algum X não é W e nenhum Y é W
7) (TCU / ESAF) Numa escola de apenas 800 alunos,
é sabido que 200 deles gostam de pagode; 300 de
rock e 130 de pagode e de rock. Quantos alunos
não gostam nem de pagode nem de rock?
a) 430
b) 560
c) 670
d) 730
e) 800
rascunho