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Universidade Federal de Uberlândia - UFU Faculdade de Engenharia Elétrica - FEELT Apostila de Conceitos TeóricosApostila de Conceitos TeóricosApostila de Conceitos TeóricosApostila de Conceitos Teóricos e Exercícios Propostose Exercícios Propostose Exercícios Propostose Exercícios Propostos Curso de Graduação Prof. Dr. Geraldo Caixeta GuimarãesProf. Dr. Geraldo Caixeta GuimarãesProf. Dr. Geraldo Caixeta GuimarãesProf. Dr. Geraldo Caixeta Guimarães Versão 2010 CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO SSUUMMÁÁRRIIOO i SUMÁRIO INTRODUÇÃO GERAL iii FORMULÁRIO GERAL v Capítulo I – ANÁLISE VETORIAL 01 1.1 – CONCEITOS GERAIS 01 1.2 – O PRODUTO ESCALAR (OU PRODUTO INTERNO) 01 1.3 – O PRODUTO VETORIAL (OU PRODUTO EXTERNO) 02 1.4 – SISTEMAS DE COORDENADAS CARTESIANAS, CILÍNDRICAS E ESFÉRICAS 03 1.4.1 – Representação de um ponto nos 3 sistemas de coordenadas 03 1.4.2 – Transformações entre os 3 sistemas de coordenadas 04 1.4.3 – Vetores unitários nos 3 sistemas de coordenadas 04 1.4.4 – Produtos escalares entre vetores unitários nos 3 sistemas de coordenadas 04 1.4.5 – Elementos diferenciais de linha, área e volume nos 3 sistemas de coordenadas 05 1.5 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 06 Capítulo II – LEI DE COULOMB E INTENSIDADE DE CAMPO ELÉTRICO 09 2.1 – LEI DE COULOMB 09 2.2 – INTENSIDADE DE CAMPO ELÉTRICO 09 2.3 – CAMPO ELÉTRICO DE UMA DISTRIBUIÇÃO VOLUMÉTRICA CONTÍNUA DE CARGAS 10 2.4 – CAMPO ELÉTRICO DE UMA DISTRIBUIÇÃO LINEAR CONTÍNUA DE CARGAS 10 2.5 – CAMPO ELÉTRICO DE UMA DISTRIBUIÇÃO SUPERFICIAL CONTÍNUA DE CARGAS 11 2.6 – LINHA DE FORÇA E ESBOÇO DE CAMPO 12 2.7 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 13 Capítulo III – DENSIDADE DE FLUXO ELÉTRICO, LEI DE GAUSS E DIVERGÊNCIA 15 3.1 – DENSIDADE DE FLUXO ELÉTRICO ( D ) 15 3.2 – A LEI DE GAUSS 15 3.3 – APLICAÇÃO DA LEI DE GAUSS – GAUSSIANA 15 3.4 – DIVERGÊNCIA 17 3.5 – TEOREMA DA DIVERGÊNCIA 18 3.6 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 19 Capítulo IV – ENERGIA E POTENCIAL 21 4.1 – ENERGIA (TRABALHO) PARA MOVER UMA CARGA PONTUAL EM UM CAMPO ELÉTRICO 21 4.2 – DEFINIÇÃO DE DIFERENÇA DE POTENCIAL (VAB) E POTENCIAL (V) 21 4.3 – O POTENCIAL DE UMA CARGA PONTUAL 21 4.4 – O POTENCIAL DE UM SISTEMA DE CARGAS DISTRIBUÍDAS 22 4.4.1 – VAB de uma reta ∞ com ρL constante 22 4.4.2 – VAB de um plano ∞ com ρs constante 22 4.5 – GRADIENTE DO POTENCIAL ( V∇ ) 23 4.6 – O DIPOLO ELÉTRICO 24 4.7 – ENERGIA NO CAMPO ELETROSTÁTICO 25 4.7.1 – Energia (trabalho) para uma distribuição discreta de cargas 25 4.7.2 – Energia (trabalho) para uma distribuição contínua de carga 25 4.8 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 26 Capítulo V – CONDUTORES, DIELÉTRICOS E CAPACITÂNCIA 29 5.1 – CORRENTE (I) E DENSIDADE DE CORRENTE ( J ) 29 5.2 – CONTINUIDADE DA CORRENTE 30 5.3 – CONDUTORES METÁLICOS – RESISTÊNCIA (R) 30 5.4 – O MÉTODO DAS IMAGENS 31 CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO SSUUMMÁÁRRIIOO ii 5.5 – A NATUREZA DOS MATERIAIS DIELÉTRICOS – POLARIZAÇÃO (P) 32 5.6 – CONDIÇÕES DE CONTORNO PARA MATERIAIS DIELÉTRICOS PERFEITOS 33 5.7 – CAPACITÂNCIA 34 5.8 – EXEMPLOS DE CÁLCULO DE CAPACITÂNCIA 34 5.9 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 39 Capítulo VI – EQUAÇÕES DE POISSON E DE LAPLACE 45 6.1 – IMPORTÂNCIA DAS EQUAÇÕES DE POISSON E LAPLACE 45 6.1.1 – Equação de Poisson 45 6.1.2 – Equação de Laplace 45 6.2 – TEOREMA DA UNICIDADE 46 6.3 – EXEMPLOS DE SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE LAPLACE 46 6.4 – EXEMPLO DE SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE POISSON 50 6.5 – SOLUÇÃO PRODUTO DA EQUAÇÃO DE LAPLACE 51 6.6 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 54 Capítulo VII – CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO 59 7.1 – LEI DE BIOT-SAVART 59 7.2 – LEI CIRCUITAL DE AMPÈRE (CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO) 59 7.3 – ROTACIONAL 62 7.4 – TEOREMA DE STOKES 64 7.5 – FLUXO MAGNÉTICO (Φ) E DENSIDADE DE FLUXO MAGNÉTICO ( B � ) 64 7.6 – POTENCIAIS ESCALAR E VETOR MAGNÉTICOS 65 7.7 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 67 Capítulo VIII – FORÇAS E CIRCUITOS MAGNÉTICOS, MATERIAIS E INDUTÂNCIA 71 8.1 – FORÇA SOBRE UMA CARGA EM MOVIMENTO 71 8.2 – FORÇA SOBRE UM ELEMENTO DIFERENCIAL DE CORRENTE 71 8.3 – FORÇA ENTRE ELEMENTOS DIFERENCIAIS DE CORRENTE 72 8.4 – TORQUE EM UMA ESPIRA INFINITESIMAL PLANA 72 8.5 – A NATUREZA DOS MATERIAIS MAGNÉTICOS 73 8.6 – MAGNETIZAÇÃO E PERMEABILIDADE MAGNÉTICA 73 8.7 – CONDIÇÕES DE CONTORNO PARA O CAMPO MAGNÉTICO 74 8.8 – CIRCUITO MAGNÉTICO 75 8.9 – ENERGIA DE UM CAMPO MAGNETOSTÁTICO 77 8.10 – AUTO-INDUTÂNCIA E INDUTÂNCIA MÚTUA 77 8.11 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 80 Capítulo IX – CAMPOS VARIÁVEIS NO TEMPO E AS EQUAÇÕES DE MAXWELL 85 9.1 – A LEI DE FARADAY 85 9.1.1 – Fem devido a um campo que varia dentro de um caminho fechado estacionário 86 9.1.2 – Fem devido a um campo estacionário e um caminho móvel 87 9.1.3 – Fem total devido a um campo variável e um caminho móvel 88 9.2 – CORRENTE DE DESLOCAMENTO 88 9.3 – EQUAÇÕES DE MAXWELL EM FORMA PONTUAL OU DIFERENCIAL 90 9.4 – EQUAÇÕES DE MAXWELL EM FORMA INTEGRAL 90 9.5 – EXEMPLOS DE CÁLCULO DA INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA 91 9.6 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 94 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 99 Anexo I – SOLUÇÃO DE EQUAÇÃO DIFERENCIAL POR SÉRIE INFINITA DE POTÊNCIAS 100 Anexo II – CURVAS B-H DE VÁRIOS MATERIAIS FERROMAGNÉTICOS 102 CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO IINNTTRROODDUUÇÇÃÃOO GGEERRAALL iii INTRODUÇÃO GERAL Importância do Curso de Eletromagnetismo Este curso deve ser encarado com bastante seriedade devido sua indiscutível importância no currículo de Engenharia. Para facilitar a aprendizagem, ele é iniciado apresentando os fundamentos matemáticos necessários para então considerar os aspectos físicos da disciplina. A teoria básica dos campos elétricos, da densidade de fluxo elétrico, a Lei de Gauss, os potenciais e correntes elétricas, todos da Eletrostática e Eletrodinâmica, são apresentados em seqüência até se chegar nas formulações da Equações de Poisson e Laplace. Já dentro do Magnetismo, considera-se primeiramente a teoria básica dos campos magnéticos, abordando importantes princípios como a Lei de Biot-Savart e a Lei Circuital de Ampère. Vários conceitos do Eletromagnetismo são então introduzidos, culminando com o estudo dos campos baseados nas equações de Maxwell, o qual justifica as aproximações que conduzem a teoria de circuitos elétricos. Todos os conceitos aqui apresentados devem formar a base para a construção de novos alicerces de conhecimento, como aqueles relacionados às disciplinas que tratam de máquinas elétricas, aterramentos elétricos, linhas de transmissão, propagação de ondas, antenas, etc. Metodologia Adotada • O curso foi esquematizado da forma mais simples possível para ser ministrado através de aulas expositivas, com diálogos, discussões, demonstrações, incluindo soluções de exercícios, e, sempre que possível, com interpretação e aplicação prática de cada resultado. • O conteúdo programático do curso é disposto de tal maneira que os assuntos mais difíceis são abordados no seu final, sendo os capítulos colocados numa forma seqüencial e lógica para auxiliar a aprendizagem. • Além dos livros indicados abaixo foi preparada esta apostila, intitulada Conceitos Teóricos e Exercícios Propostos de Eletromagnetismo, a qual tem o objetivo de servir de roteiro de aulas teóricas e fonte suplementar de exercícios, reduzindo o tempo utilizado na exposição de assuntos e transcrição de enunciados de exercícios no quadro, permitindo assim que mais tempo seja dedicado a explicação e aplicação prática de conceitos da disciplina.• Uma outra apostila de Exercícios Resolvidos de Eletromagnetismo também foi preparada, contendo numerosos exemplos numéricos e literais de cada capítulo do programa, visando com isto facilitar o entendimento e a auto-aprendizagem do aluno. • Vários recursos didáticos poderão ser empregados no curso como: quadro e giz, equipamentos audio-visuais, microcomputador e datashow. CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO IINNTTRROODDUUÇÇÃÃOO GGEERRAALL iv • São também selecionados estudantes monitores com objetivo de: � Prestar atendimento aos alunos, auxiliando-os na solução de listas de exercícios, � Corrigir as listas de exercícios que forem entregues pelos alunos, � Auxiliar o professor na correção de testes aplicados durante o curso, � Auxiliar o professor na supervisão da aplicação de provas e/ou testes. Formas de Avaliação • São realizadas 3 provas do tipo sem consulta, com questões abertas ou dissertativas, isto é, não são incluídas questões do tipo teste de múltipla escolha. • São também aplicados 3 testes rápidos (30 minutos no máximo), distribuídos ao longo do período, podendo estes ocorrem de surpresa, a critério do professor. • É preparado um total de 9 listas de exercícios, relativas aos 9 capítulos, com 4 exercícios cada uma, indicados previamente para cada aluno de acordo com a matéria lecionada nestes capítulos, tomando como base o livro texto (referência [1]) e o livro de exercícios adotado (referência [2]). Os exercícios são definidos pelo professor de tal maneira que nenhum aluno tenha os mesmos quatro exercícios de seu colega. Cada lista deverá ser entregue até no máximo uma semana após o encerramento das aulas correspondentes ao capítulo da lista. • Para ser aprovado na disciplina, cada aluno deverá cumprir os seguintes requisitos: � Freqüência mínima de 75% nas aulas ministradas, a qual é verificada através de chamada oral e/ou assinatura de lista de presença em sala de aula; � Soma total das notas obtidas nas diversas avaliações igual ou superior a 60 pontos de um total de 100 pontos, os quais são distribuídos segundo o quadro abaixo. TIPO DE AVALIAÇÃO VALOR DATA Primeira Prova (Capítulos I a IV) 20 Segunda Prova (Capítulos V e VI) 20 Terceira Prova (Capítulos VII a IX) 30 3 Testes Rápidos (4 pontos cada um) 12 9 Listas de Exercícios (2 pontos cada uma) 18 Total = 100 CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO FORMULÁRIO GERAL v FORMULÁRIO GERAL 1. DIVERGÊNCIA � CARTESIANAS: z zD y yD x xD ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =•∇ D �� � CILÍNDRICAS: z zDD1)D(1 ∂ ∂ + ∂φ φ∂ ρ + ∂ρ ρρ∂ ρ =•∇ D �� � ESFÉRICAS: ∂φ φ∂ θ + ∂θ θθ∂ θ + ∂ ∂ =•∇ D senr 1)D(sen senr 1 r )rDr( r 1 2 2D �� 2. GRADIENTE � CARTESIANAS: zyx z V y V x VV aaa ��� � ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =∇ � CILÍNDRICAS: z z VV1VV aaa ��� � ∂ ∂ + ∂φ ∂ ρ + ∂ρ ∂ =∇ φρ � ESFÉRICAS: φθ ∂φ ∂ θ + ∂θ ∂ + ∂ ∂ =∇ aaa ��� � V senr 1V r 1 r VV r 3. LAPLACIANO � CARTESIANAS: � ∇ = + +2 2 2 2 2 2 2V V x V y V z ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ � CILÍNDRICAS: � ∇ = + +2 2 2 2 2 2 1 1 V V V V zρ ∂ ∂ρ ρ∂ ∂ρ ρ ∂ ∂φ ∂ ∂ � ESFÉRICAS: � ∇ = + +2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 V r r r V r r V r V∂ ∂ ∂ ∂ θ ∂ ∂θ θ ∂ ∂θ θ ∂ ∂φsen sen sen 4. ROTACIONAL � CARTESIANAS: z xy y zx x yz y H x H x H z H z H y H aaaH ��� �� ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ =×∇ � CILÍNDRICAS: ( ) z zz HH1 H z H z HH1 aaaH ��� �� ∂φ ∂ − ∂ρ ρ∂ ρ + ∂ρ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂φ ∂ ρ =×∇ ρφφ ρ ρ φ � ESFÉRICAS: ( ) ( ) ( ) φθθ φθφ ∂θ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂φ ∂ θ + ∂φ ∂ − ∂θ θ∂ θ =×∇ aaaH ��� �� H r rH r 1 r rHH senr 1 r 1 HsenH senr 1 rr r CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO FORMULÁRIO GERAL vi 5. EQUAÇÕES DE MAXWELL Forma Pontual Forma Integral t∂ ∂ −=×∇ BE � �� ∫ ∫ •∂ ∂ −=• SBLE d t d S � � dt JJDJH �� � ��� += ∂ ∂ +=×∇ ∫ ∫ •∂ ∂ +=• SDLH d t Id S � � vρ=•∇ D �� dvd vol vS ∫∫ ρ=• SD � 0=•∇ B �� 0dS =•∫ SB � 6. CONDIÇÕES DE CONTORNO ENTRE 2 MEIOS Componentes tangenciais: Et1 = Et2 Ht1 – Ht2 = k Componentes normais: Dn1 – Dn2 = ρS Bn1 = Bn2 7. PERMISSIVIDADE DO ESPAÇO LIVRE Permissividade elétrica do vácuo: pi ≅×=ε − − 36 1010854,8 9 12 o [F/m] Permeabilidade magnética do vácuo: µ pio = × −4 10 7 [H/m] 8. FÓRMULAS IMPORTANTES DO ELETROMAGNETISMO Lei de Gauss: internaQ=•∫S dSD � Teorema da Divergência: ( )dv d volS ∫∫ •∇=• DSD ��� Equação de Poisson: � ∇ = −2V vρ ε Equação de Laplace: � ∇ =2 0V Lei de Biot-Savart: ∫ pi × = 2R4 dI RaLH � � onde dvdSdI JKL ��� == Lei Circuital de Ampère: enlacadaId∫ =• LH � Teorema de Stokes: ( )∫ ∫ •×∇=• SHLH dd S ��� CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO FORMULÁRIO GERAL vii 9. OUTRAS FÓRMULAS DO ELETROMAGNETISMO PED ��� +ε= o EP �� oeεχ= ED �� ε= ε ε ε= r o ∫ •= volE dv2 1W ED �� t N ∂ Φ∂ −=fem ∫ •= LE d �fem ( ) SBLBv d t d S •∂ ∂ −•×= ∫∫ � � �fem ∫ •=Φ S dSB � I NL Φ= 2= I W2L H 1 122 12 I NM Φ= ( )MHB ��� +µ= o HM �� mχ= HB �� µ= µ µ µ= r o ∫ •= volH dv2 1W HB �� EF �� QE = ( )BvF ��� ×= QM ( )BvEFFF ������ ×+=+= QME BLF � ×= dId BSFrT � � ×=×= dIdd Sm d Id = BmT � ×= dd AB ��� ×∇= ( )0=∇−= JH ��� mV CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO FORMULÁRIO GERAL viii 10. FÓRMULAS DE DERIVADAS # # u e v são funções de x; c, a e n são constantes arbitrárias. 1. [ ] 0a dx d = 2. [ ] cxc dx d = 3. [ ] 1nn xncxc dx d − = 4. [ ] x2 1 x dx d = 5. [ ] dx du un 1 u dx d n 1n n − = 6. [ ] dx dv dx du vu dx d +=+ 7. [ ] dx du cuc dx d = 8. [ ] dx du v dx dv uvu dx d += 9. 2v u dx dv v dx du v u dx d − = 10. [ ] dx du unu dx d 1nn − = 11. [ ] dx du aaa dx d uu ln= 12. [ ] dx dv uu dx du uvu dx d v1vv ln+= − 13. ( )[ ] dx du du df uf dx d = 14. [ ] ( )1a,0a dx du u elog ulog dx d a a ≠≠= 15. [ ] dx du u 1 u dx d =ln 16. [ ] dx du ucosusen dx d = 17. [ ] dx du usenucos dx d −= 18. [ ] dx du usectgu dx d 2 = 19. [ ] dx du ucosecucotg dx d 2 −= 20. [ ] dx du tguusecusec dx d = 21.[ ] dx du ucotgucosecucosec dx d −= 22. [ ] dx du u1 1 uarcsen dx d 2 − = 23. [ ] dx du u1 1 uarccos dx d 2 − −= 24. [ ] dx du u1 1 uarctg dx d 2+ = 25. [ ] dx du u1 1 uarccotg dx d 2+ −= 26. [ ] dx du 1uu 1 uarcsec dx d 2 − = 27. [ ] dx du 1uu 1 uarccosec dx d 2 − −= 28. dx du du dy dx dy = (Regra de Chain) 29. dz z Fdy y Fdx x FdF ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = (Diferencial total de )z,y,x(F ) 30. yF xF dx dy0)y,x(F ∂∂ ∂∂ −=⇒= CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO FORMULÁRIO GERAL ix 11. FÓRMULAS DE INTEGRAIS # # u e v são funções de x; C, a e n são constantes arbitrárias. 1. ( )[ ] )x(fdxxf dx d =∫ 2. ( ) Cdxvdxudxvu ++=+ ∫ ∫∫ 3. Cdxuadxua += ∫∫ 4. ( )1nC 1n uduu 1n n −≠+ + = + ∫ 5. ∫ += Cu u du ln 6. ∫ += Cedue uu 7. ( )1a,0aC a adua u u ≠>+=∫ ln 8. ∫ +−= Cucosduusen 9. ∫ += Cusenduucos 10. CusecCucosduutg +=+−=∫ lnln 11. CucosecCusenduucotg +−=+=∫ lnln 12. ∫ ++= Cutgusecduusec ln C 42 u tg + pi += ln 13. ∫ ++−= Cucotgucosecduucosec ln = C 2 u tg + ln 14. ∫ +−= C4 u2sen 2 uduusen 2 15. ∫ ++= C4 u2sen 2 uduucos2 16. ∫ += Cutgduusec 2 17. ∫ +−= Cucotgduucosec 2 18. ∫ +−= Cuutgduutg 2 19. ∫ +−−= Cuucotgduucotg 2 20. ∫ += Cusecduutgusec 21. ∫ +−= Cucosecduucotgucosec 22. C a u arctg a 1 au du 22 +=+ ∫ 23. C au au a2 1 au du 22 ++ − = − ∫ ln 24. C ua ua a2 1 ua du 22 ++ + = − ∫ ln 25. C a u arcsen ua du 22 += − ∫ 26. C a auu au du 22 22 + ++ =∫ + ln 27. Cauu au du 22 22 +−+= − ∫ ln 28. C a u arcsec a 1 auu du 22 += − ∫ 29. C u aua a 1 auu du 22 22 + ++ −= + ∫ ln 30. C u uaa a 1 uau du 22 22 + −+ −= − ∫ ln 31. ( ) Cau u a 1 au du 2222/322 + + = + ∫ 32. 2222 ua 2 uduua −=−∫ C a u arcsen 2 a 2 ++ 33. 2222 au 2 uduau ±=±∫ Cauu 22 +±+± ln 34. ∫ ∫−= duvvudvu (Integração por partes) CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO CCaappííttuulloo II:: ÁÁNNÁÁLLIISSEE VVEETT 1.1 – CONCEITOS GERAIS • Grandeza Escalar – Representada por um Ex.: Tensão ou potencial, corrente, carga, tempo, massa, • Grandeza Vetorial – Representada por uma Ex.: Densidade de corrente, velocidade, aceleração, força, torque, etc. Atenção: No curso de Eletromagnetismo não será feita distinção entre a magn intensidade e valor absoluto de um vetor. A magnitude de um vetor é um valor sempre positivo. • Campo Escalar – Cada ponto Ex.: Campo de potenciais, campo de temperaturas, campo de pressões, etc. Notação: Seja yx 22 ++=φ Se φ = potencial ⇒ Se φ = temperatura Se φ = pressão ⇒ • Campo Vetorial – Cada ponto Ex.: Campo elétrico, campo magnético, campo gravitacional, etc. Notação: Seja x a4a3E �� � += Se E � = campo elétrico possuindo módulo igual a (também chamados de versores): Atenção: No curso de Eletromagnetismo adota que seu módulo pode ser representado por 1.2 – O PRODUTO ESCALAR (OU O produto escalar entre 2 vetores θ=• cosBABA ���� ( Propriedades do produto escalar (a) ABBA ���� •=• (propriedade comutativa) (b) 0BA =• �� ⇔ A ⊥ B (c) 22 AAAA ==• ��� CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO TTOORRIIAALL Capítulo I ANÁLISE VETORIAL Representada por um número real, positivo ou negativo. : Tensão ou potencial, corrente, carga, tempo, massa, volume, temperatura, pressão, etc. Representada por uma magnitude, direção e sentido. : Densidade de corrente, velocidade, aceleração, força, torque, etc. No curso de Eletromagnetismo não será feita distinção entre a magn intensidade e valor absoluto de um vetor. A magnitude de um vetor é um valor sempre Cada ponto da região é representado por um escalar. : Campo de potenciais, campo de temperaturas, campo de pressões, etc. 100z 2 =+ definindo um campo escalar. ⇒ temos uma superfície equipotencial esférica. = temperatura ⇒ temos uma superfície isotérmica esférica. ⇒ temos uma superfície isobárica esférica. Cada ponto da região equivale a um vetor. : Campo elétrico, campo magnético, campo gravitacional, etc. zy a5 � + definindo um campo vetorial. = campo elétrico ⇒ temos uma região onde o campo elétrico é uniforme, possuindo módulo igual a 25E = � e direção fixa definida pelos vetores unitários (também chamados de versores): xa � , ya � e za � . No curso de Eletromagnetismo adota-se a seguinte notação para vetores: que seu módulo pode ser representado por A � ou A , ou, simplesmente, A. PRODUTO ESCALAR (OU PRODUTO INTERNO) O produto escalar entre 2 vetores A e B é definido como: (θ = menor ângulo entre A e B ) Propriedades do produto escalar: (propriedade comutativa) B (o produto escalar entre 2 vetores perpendiculares é nulo) 1 , positivo ou negativo. volume, temperatura, pressão, etc. . No curso de Eletromagnetismo não será feita distinção entre a magnitude, módulo, intensidade e valor absoluto de um vetor. A magnitude de um vetor é um valor sempre : Campo de potenciais, campo de temperaturas, campo de pressões, etc. temos uma superfície equipotencial esférica. temos uma superfície isotérmica esférica. onde o campo elétrico é uniforme, e direção fixa definida pelos vetores unitários se a seguinte notação para vetores: A � ou A , sendo , ou, simplesmente, A. (o produto escalar entre 2 vetores perpendiculares é nulo) CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO CCaappííttuulloo II:: ÁÁNNÁÁLLIISSEE VVEETT (i) Aplicação do produto escalar: A projeção (ou componente) escalar A ABaBBa .. == ( a = vetor unitário na direção de A projeção (ou componente) vetorial ( )aaBBa .= ⇒ BBa = A projeção escalar (Bx) do vetor aBB xx .= ( xa = vetor unitário do eixo A projeção vetorial ( B x) do vetor ( ) aaBaBB xxxxx .== (ii) Aplicação do produto escalar O ângulo θ compreendido entre 2 vetores 1.3 – O PRODUTO VETORIAL ( O produto vetorial entre 2 vetores naBABA � ���� θ=× sen onde na � = vetor unitário (versor) normal ao plano formado pelos vetores (e sentido) é obtida pela regra do saca Propriedades do produto vetorial (a) ABBA ���� ×−=× (propriedade não (b) 0BA =× �� ⇔ A // B (c) 0AA =× �� CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO TTOORRIIAALL : obtenção da componente ou projeção de um vetor (ex.: numa dada direção (ex.: o vetor A ou o eixo escalar do vetor B sobre o vetor A é: = vetor unitário na direção de A ) vetorial do vetor B sobre A é: A A A AB . B sobre o eixo x é: = vetor unitário do eixo x) ) do vetor B sobre o eixo x é: Aplicação do produto escalar: obtenção do ângulo compreendido entre 2 vetores quaisquer. compreendido entre 2 vetores A e B é obtido por: A A . =θcos O PRODUTO VETORIAL (OU PRODUTO EXTERNO) O produto vetorial entre 2 vetoresA e B é definido como: (θ = menor ângulo entre A e B ) vetor unitário (versor) normal ao plano formado pelos vetores (e sentido) é obtida pela regra do saca-rolhas (mão direita) indo de A para Propriedades do produto vetorial: (propriedade não-comutativa) B (o produto vetorial entre 2 vetores paralelos é nulo) 2 de um vetor (ex.: B ) ou o eixo x → ver figuras). compreendido entre 2 vetores quaisquer. B B. vetor unitário (versor) normal ao plano formado pelos vetores A e B , cuja direção para B . (o produto vetorial entre 2 vetores paralelos é nulo) CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO CCaappííttuulloo II:: ÁÁNNÁÁLLIISSEE VVEETT (i) Aplicação do produto vetorial Obtenção do vetor ou versor normal por 2 vetores A e B . BAN ��� ×= BA BA N N a n �� �� � � � × × == (ii) Aplicação do produto vetorial Obtenção da área de um vetores A e B . BaseS ramologparale ×= S 2 1S logparaletriângulo = Exercício: Demonstrar que o volume de um paralelepípedo pode ser obtido através do produto misto: ( ) CBAvol ��� •×= sendo A � , B � e C � paralelepípedo. 1.4 – SISTEMAS DE COORDENA 1.4.1 – Representação de um ponto nos 3 sistemas de coordenadas CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO TTOORRIIAALL Aplicação do produto vetorial: versor normal a um plano formado (vetor normal) (versor normal Aplicação do produto vetorial: de um paralelogramo (ou triângulo) cujos lados são as magnitudes dos BAABAltura ���� ×=θ=× sen BA 2 1 ramolog �� ×= Demonstrar que o volume de um paralelepípedo pode ser obtido através do produto C � , respectivamente, o comprimento, a largura e a altura do SISTEMAS DE COORDENADAS CARTESIANAS, CILÍNDRICAS E ESFÉRICAS Representação de um ponto nos 3 sistemas de coordenadas 3 ) cujos lados são as magnitudes dos Demonstrar que o volume de um paralelepípedo pode ser obtido através do produto , respectivamente, o comprimento, a largura e a altura do ÍNDRICAS E ESFÉRICAS CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO CCaappííttuulloo II:: ÁÁNNÁÁLLIISSEE VVEETT 1.4.2 – Transformações entre os 3 sistemas de coordenadas Quadro das transformações entre os três sistemas de coordenadas SISTEMA Cartesiano Cartesiano zz yy xx = = = Cilíndrico zz 0 )x/y(tan yx 1- 22 = =φ ρ+=ρ Esférico ( ( )=φ +=θ ++= x/ytan yxtan zyxr 1- 221- 222 1.4.3 – Vetores unitários nos 3 sistemas de coordenadas 1.4.4 – Produtos escalares entre vetores unitários nos 3 sistemas de coordenadas Coordenadas cartesianas e cilíndricas Nota: O produto escalar entre o vetor unitário de coordenadas esféricas, é dado pelo coseno do ângulo formado entre o vetor unitário esférico ra � (ou θa � ) e sua projeção no plano por esta projeção e o vetor unitário � aρ � aφ � a � ax •••• cosφφφφ - senφφφφ � ay •••• senφφφφ cosφφφφ � az •••• 0 0 CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO TTOORRIIAALL Transformações entre os 3 sistemas de coordenadas Quadro das transformações entre os três sistemas de coordenadas Cartesiano Cilíndrico zz seny cosx = φρ= φρ= 2 0 pi≤φ≤ ≥ zz = φ=φ ρ=ρ ) pi≤φ≤ pi≤θ≤ ≥ 20 0 z 0r ( ) pi≤φ≤φ=φ pi≤θ≤ρ=θ ≥+ρ= 20 0 ztan 0r zr 1- 22 Vetores unitários nos 3 sistemas de coordenadas Produtos escalares entre vetores unitários nos 3 sistemas de coordenadas Coordenadas cartesianas e cilíndricas Coordenadas cartesianas e esféricas O produto escalar entre o vetor unitário xa � (ou ya � ) e o vetor unitário de coordenadas esféricas, é dado pelo coseno do ângulo formado entre o vetor unitário ) e sua projeção no plano xy, multiplicado pelo coseno do ângulo formado or unitário xa � (ou ya � ). � a r � aθ � ax •••• senθθθθ cosφφφφ cosθθθθ cos � ay •••• senθθθθ senφφφφ cosθθθθ sen � az •••• cosθθθθ - sen � az 0 0 1 4 Quadro das transformações entre os três sistemas de coordenadas Esférico θ= φθ= φθ= rcosz sen rseny cos senrx θ= φ=φ θ=ρ rcosz senr pi φ=φ θ=θ = rr Produtos escalares entre vetores unitários nos 3 sistemas de coordenadas Coordenadas cartesianas e esféricas ) e o vetor unitário ra � (ou θa � ) do sistema de coordenadas esféricas, é dado pelo coseno do ângulo formado entre o vetor unitário , multiplicado pelo coseno do ângulo formado θ � aφ cosφφφφ - senφφφφ senφφφφ cosφφφφ senθθθθ 0 CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO CCaappííttuulloo II:: ÁÁNNÁÁLLIISSEE VVEETT Exercício: Completar o quadro abaixo relativo ao produto escalar entre vetores unitários dos sistemas de coordenadas cilíndricas e esféricas 1.4.5 – Elementos diferenciais de linha Quadro dos elementos Sistema Linha Cartesiano x dyadxLd += Cilíndrico dL d a d a dz aρ φ= ρ + ρ φ + Esférico θ+= rdadrLd r � a r � aθ � a � aρ •••• � aφ •••• � az •••• CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO TTOORRIIAALL Completar o quadro abaixo relativo ao produto escalar entre vetores unitários dos sistemas de coordenadas cilíndricas e esféricas Elementos diferenciais de linha, área e volume nos 3 sistemas de coordenadas Quadro dos elementos diferenciais nos 3 sistemas de coordenadas Linha (d L ) Área (d S ) zy adzady + zz yy xx adxdySd adxdzSd adydzSd = = = dv zdL d a d a dz aρ φ= ρ + ρ φ + zz addSd adzdSd adzdSd φρρ= ρ= φρ= φφ ρρ dv φθ φθ+θ adsenra φφ θθ θ= φθ= φθθ= ardrdSd adrdsenrSd addsenrSd r 2 r dv � aφ 5 Completar o quadro abaixo relativo ao produto escalar entre vetores unitários dos nos 3 sistemas de coordenadas diferenciais nos 3 sistemas de coordenadas Volume (dv) dzdydxdv = dzdddv φρρ= φθθ= ddrdsenrdv 2 CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO CCaappííttuulloo II:: ÁÁNNÁÁLLIISSEE VVEETT 1.5 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1.1) As superfícies que delimitam um volume são definidas por: 7pi/9, z = 2 e z = 20. Determinar: a) O volume determinado pela b) O comprimento de um segmento linear que une dois vértices opostos do volume. Respostas: a) Volume = 375 1.2) Um vetor aaE ��� ++= φρ plana x y z+ + = 2 . Determinar: a) o vetor E � no sistema de coordenadas cartesianas; b) o ângulo θ que o vetor E � c) as duas componentes vetoriais de Respostas: a) x aaE � � +−= c) ( xN 31 aE � � = 1.3) Um vetor A � , com módulo igual a 10, está orientado do ponto P(r = 5; origem de um sistema de coordenadas a) coordenadas esféricas no ponto P. b) coordenadas cartesianas no ponto Respostas: a) r 10 aA −= � ; b) 1.4) Dado o vetor yx aaA �� � += a) As coordenadas esféricas b) O ângulo α que A � faz com a superfície esférica, centrada na origem, que passa por P; c) O ângulo β que A� faz com a superfície cônica, coaxial com o eixo z, que passa por P; d) O ângulo γ que A � faz com o semi Respostas: a) ;( = 22rP θ 1.5) Um vetor A � , de móduloigual 8, está situado sobre a linha reta que passa P(r = 10, θ = 30o, φ = 0o) e Determinar: a) O vetor A � expresso em coordenadas cartesianas; b) O ângulo que o vetor A � c) O módulo da projeção do vetor Respostas: a) 212 aA ,−= CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO TTOORRIIAALL EXERCÍCIOS PROPOSTOS As superfícies que delimitam um volume são definidas por: ρ = 5 e ρ /9, z = 2 e z = 20. Determinar: O volume determinado pelas superfícies em questão, utilizando integração; O comprimento de um segmento linear que une dois vértices opostos do volume. Respostas: a) Volume = 375pi; b) PQ = 21,59 . za � + está aplicado no ponto P(x = 0, y = 1, z = 1) da superfície . Determinar: no sistema de coordenadas cartesianas; E � faz com o vetor normal à superfície plana; as duas componentes vetoriais de E � normal e tangencial à superfície plana. zy aa �� + ; b) θ =70,53o; )zy aa �� ++ e ( yxT 22431 aaaE ��� � ++−= , com módulo igual a 10, está orientado do ponto P(r = 5; origem de um sistema de coordenadas cartesianas. Expressar este vetor em: coordenadas esféricas no ponto P. coordenadas cartesianas no ponto P. ; b) zyx 25 5 5 aaaA −−−= � . zy a � + aplicado ao ponto P(x = – 3 , y = 1, z = 2), determinar: As coordenadas esféricas r, θ e φ do ponto P; faz com a superfície esférica, centrada na origem, que passa por P; faz com a superfície cônica, coaxial com o eixo z, que passa por P; faz com o semi-plano radial, partindo do eixo z, que passa por P. );; °=°= 15045 φθ b) α = 75o; c) β = 123,9 , de módulo igual 8, está situado sobre a linha reta que passa ) e Q(r = 20, θ = 60o, φ = 90o) , e orientado no sentido de P a Q. expresso em coordenadas cartesianas; faz com o vetor normal à superfície plana z = 0; O módulo da projeção do vetor A� sobre a superfície plana z = 0. zyx 590 677 aaa ,, ++ ; b) α = 85,75o; c) Proj 6 = 10, φ = 2pi/9 e φ = superfícies em questão, utilizando integração; O comprimento de um segmento linear que une dois vértices opostos do volume. está aplicado no ponto P(x = 0, y = 1, z = 1) da superfície normal e tangencial à superfície plana. )za� . , com módulo igual a 10, está orientado do ponto P(r = 5; θ = pi/4; φ = pi/4) à . Expressar este vetor em: , y = 1, z = 2), determinar: faz com a superfície esférica, centrada na origem, que passa por P; faz com a superfície cônica, coaxial com o eixo z, que passa por P; plano radial, partindo do eixo z, que passa por P. = 123,9o; d) γ = 142,06o. , de módulo igual 8, está situado sobre a linha reta que passa pelos pontos ) , e orientado no sentido de P a Q. mal à superfície plana z = 0; 987 Proj ,=A . CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO CCaappííttuulloo II:: ÁÁNNÁÁLLIISSEE VVEETT 1.6) Transformar o vetor 5E = a) A(r = 4, θ = 30o, φ = 120 b) B(x = – 2 , y = 2 , z = Respostas: a) aE 4 5 r += 1.7) Sejam dados os pontos A(r = 1, representam 2 vértices extremos da porção de um volume esférico formado com estes pontos. Determinar, usando integração quando possível, o seguinte: a) O volume total (vol) da porção de volume esférico formado; b) Os vetores normais de área, esférico nas direções dos vetores unitários c) O comprimento do segmento AB (“diagonal principal” da porção de volume esférico); d) O vetor → AB , localizado em A e dirigido de A para B, expresso em coordenadas esf Respostas: a) vol. = 36 13pi ; b) d) =AB 3713,1 1.8) Sejam dados os dois pontos A(r = 10, Determinar: a) A distância d entre os dois pontos medida em linha reta; b) A distância d’ entre os dois pontos medida ao longo da superfície esférica r = 10. Respostas: a) d = 11,37 unidades de comprimento. b) d’ = 12,09 unidades de comprimento 1.9) a) Se os vetores axA = representam os lados de um paralelepípedo retângulo, quais os valores de b) Determinar o volume do paralelepípedo retângulo formado acima. Respostas: a) x = –1,5, y = b) vol. = 20,25 unidades de volume 1.10) Sejam 2 pontos em coordenadas esféricas Determinar: a) A distância entre os 2 pontos medida em b) A distância entre os 2 pontos medida ao longo da superfície esférica r = 5; c) O ângulo entre as 2 linhas que se estendem da origem até os 2 pontos; d) A área compreendida entre estas 2 linhas e o círculo de raio r = 5. Respostas: a) AB = 5,32 unida c) 64,34o = 1,123 rad, d) área = 14,04 unidades de área. CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO TTOORRIIAALL x x5 a � para coordenadas esféricas nos seguintes pontos: = 120o); , z = –2). φθ aa 2 35 4 35 + ; b) aE 2 25 2 25 r −= Sejam dados os pontos A(r = 1, θ = pi/3, φ = pi/6) e B(r = 3, θ = pi/2, representam 2 vértices extremos da porção de um volume esférico formado com estes pontos. Determinar, usando integração quando possível, o seguinte: (vol) da porção de volume esférico formado; Os vetores normais de área, rS � , θS � φS � , que saem da superfície da porção de volume esférico nas direções dos vetores unitários ra � , θa � e φa � , respectivamente ; O comprimento do segmento AB (“diagonal principal” da porção de volume esférico); , localizado em A e dirigido de A para B, expresso em coordenadas esf ; b) rr 8 3 aS � � pi = , θθ pi = aS � � 3 , φφ pi = aS � � 3 2 ; c) AB = 2,2318 +=−+ aaaaa 4487,1 5093,1 5,0 6883,1 3713 rzyx Sejam dados os dois pontos A(r = 10, θ = 45o, φ = 0o) e B(r = 10, θ = 60 entre os dois pontos medida em linha reta; entre os dois pontos medida ao longo da superfície esférica r = 10. a) d = 11,37 unidades de comprimento. b) d’ = 12,09 unidades de comprimento. zyx a3a3a ++ , zyx a2aya2B ++= , e representam os lados de um paralelepípedo retângulo, quais os valores de b) Determinar o volume do paralelepípedo retângulo formado acima. 1,5, y = –1,0, z = –0,5 unidades de comprimento; b) vol. = 20,25 unidades de volume Sejam 2 pontos em coordenadas esféricas ( )oo 30,60,5r =φ=θ= e (r = A distância entre os 2 pontos medida em linha reta; A distância entre os 2 pontos medida ao longo da superfície esférica r = 5; O ângulo entre as 2 linhas que se estendem da origem até os 2 pontos; A área compreendida entre estas 2 linhas e o círculo de raio r = 5. a) AB = 5,32 unidades de comprimento; b) AB = 5,61 unidades de comprimento; = 1,123 rad, d) área = 14,04 unidades de área. 7 para coordenadas esféricas nos seguintes pontos: φθ aa 5 + . /2, φ = pi/4), os quais representam 2 vértices extremos da porção de um volume esférico formado com estes pontos. , que saem da superfície da porção de volume , respectivamente ; O comprimento do segmento AB (“diagonal principal” da porção de volume esférico); , localizado em A e dirigido de A para B, expresso em coordenadas esféricas. ; c) AB = 2,2318 φθ + aa 7786,0 . = 60o, φ = 90o). entre os dois pontos medida ao longo da superfície esférica r = 10. , e zyx azaaC ++= , representam os lados de um paralelepípedo retângulo, quais os valores de x, y e z? )oo 120,30,5 =φ=θ= . A distância entre os 2 pontos medida ao longo da superfície esférica r = 5; O ângulo entre as 2 linhas que se estendem da origem até os 2 pontos; des de comprimento; b) AB = 5,61 unidades de comprimento; CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO CCaappííttuulloo II:: ÁÁNNÁÁLLIISSEE VVEETT 1.11) Um círculo, centrado na origem, com raio de 2 unidades, situa Determinar o vetor unitário, situado sobre o plan( )0,1,3 e está apontado no sentido de crescimento do eixo(a) Em coordenadas cartesianas; Respostas: a) xa2 1 a +−= 1.12) Determinar uma expressão para calcular a distância entre dois pontos )z,,(Q 222 φρ em função das coordenadas cilíndricas dos pontos. Resposta: 22 2 1d −ρ+ρ= 1.13) Demonstrar que =α sencos α = ângulo entre o versor a� θ = ângulo entre o versor a� φ = ângulo entre o versor a� Resposta: Sugestão: Observar que φ=•ρ cosaa x �� CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO TTOORRIIAALL Um círculo, centrado na origem, com raio de 2 unidades, situa-se sobre o plano Determinar o vetor unitário, situado sobre o plano xy, que é tangente ao círculo no ponto P e está apontado no sentido de crescimento do eixo y: Em coordenadas cartesianas; (b) Em coordenadas esféricas. ya2 3 ; b) φ= aa Determinar uma expressão para calcular a distância entre dois pontos em função das coordenadas cilíndricas dos pontos. ( ) ( )2121221 zzcos2 −+φ−φρρ φθcossen , usando produtos escalares, sendo: ra � (coord. esférica) e o versor xa � (coord. cartesiana) za � (coord. cartesiana) e o versor ra � (coord. esférica) xa � (coord. cartesiana) e o versor ρa � (coord. cilíndrica). Sugestão: Observar que θ+θ= ρ cosasenaa zr ��� e que • aa r �� e 0aa xz =• �� 8 se sobre o plano xy. , que é tangente ao círculo no ponto P (b) Em coordenadas esféricas. Determinar uma expressão para calcular a distância entre dois pontos )z,,(P 111 φρ e usando produtos escalares, sendo: (coord. cartesiana) (coord. esférica) (coord. cilíndrica). α= cosa x � , CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO CCaappííttuulloo IIII:: LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO 9 Capítulo II LEI DE COULOMB E INTENSIDADE DE CAMPO ELÉTRICO 2.1 – LEI DE COULOMB Força de uma carga Q1 sobre uma carga Q2: 122 12o 21 2 a R4 QQF piε = [N] onde: R 12 = vetor orientado de Q1 a Q2 a 12 = versor orientado de Q1 a Q2 Notas: O módulo de 2F depende dos valores das cargas pontuais, da distância entre elas e do meio. Adota-se vácuo como o meio neste caso, e em todas as análises posteriores até o capítulo 5. A orientação de 2F (ou sentido de 2F ) depende apenas dos sinais das 2 cargas pontuais. 2.2 – INTENSIDADE DE CAMPO ELÉTRICO Força de uma carga pontual Q1 sobre uma carga de prova positiva QP situada num ponto P: P12 P1o P1 P a R4 QQF piε = Campo elétrico gerado pela carga pontual Q1 no ponto P (definição): P12 P1o 1 P P a R4 Q Q F E piε == (Unidade: N/C ou V/m) Nota: A orientação do campo elétrico E depende apenas do sinal da carga que o produz (Q1). Assim, as linhas de força do campo elétrico saem (ou divergem) das cargas positivas e entram (ou convergem) para as cargas negativas. Campo elétrico gerado por n cargas pontuais: ( ) mn 1m 2mo m a rr4 Q rE ∑ −piε = = [V/m] onde: Qm = m-ésima carga pontual mr = posição da m-ésima carga pontual r = posição do ponto onde se quer o campo m m m rr rr a − − = = versor da m-ésima carga pontual CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO CCaappííttuulloo IIII:: LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO 10 2.3 – CAMPO ELÉTRICO DE UMA DISTRIBUIÇÃO VOLUMÉTRICA CONTÍNUA DE CARGAS Definindo dv dQ v =ρ = densidade volumétrica de carga (em C/m3), temos que dQ = ρvdv. Assim a fórmula para calcular o campo elétrico num ponto P, no vácuo, de um volume de cargas é: ∫ piε = R2 o a R4 dQE [V/m] (FÓRMULA GERAL) sendo: Ra = versor orientado de dQ ao ponto P (saindo) R = distância de dQ ao ponto P εo = permissividade elétrica do vácuo [F/m] Nota: Genericamente: ρv dv = ρS ds = ρL dL = dQ, para volume → superfície → linha → ponto. 2.4 – CAMPO ELÉTRICO DE UMA DISTRIBUIÇÃO LINEAR CONTÍNUA DE CARGAS Definindo dL dQ L =ρ = densidade linear de carga (em C/m), temos que dQ = ρLdL. Demonstrar que a fórmula que fornece o campo elétrico num ponto P, no vácuo, devido a uma filamento retilíneo ∞∞∞∞ com carga uniformemente distribuída (ver figura), é expressa por: ρρpiε ρ = a 2 E o L sendo: ρL = densidade linear de carga [C/m] (valor constante) ρ = menor distância (direção normal) da linha ao ponto P [m] ρa = versor normal à linha orientado para o ponto P Solução: Posicionando o eixo z sobre o filamento e o plano xy sobre o ponto P para facilitar a solução (ver figura), temos: dzdQ Lρ= ρρ+−= aazR z e 22zR ρ+= ⇒ 22 z R z aaz R R a ρ+ ρ+− == ρ Substituindo na fórmula geral acima obtemos: ( ) ( ) ( ) ρ ρρ += ρ+piε ρ+−ρ∞+ −∞= = ρ+ ρ+− ρ+piε ρ∞+ −∞= = ∫∫ EE z4 aazdz z z aaz z4 dz z E z2/322 o zL 22 z 22 o L Por simetria 0Ez = . CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO CCaappííttuulloo IIII:: LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO 11 Fazendo a substituição trigonométrica (ver triângulo ao lado): αρ= tgz ααρ= ddz 2sec e levando na expressão acima e desenvolvendo, ( ) ρ ρ ρ ααρpiε ρ = ρ+αρ ααρ piε ρρ == ∫∫ pi pi−=α pi+ pi−=α ados4 ad 4 EE 2/ 2/ 2/ 2/ o L 2/322o L c tg sec 2 2 [ ] [ ] ρpi pi−=αρpi pi−=αρ +piε ρ =α piε ρ == a11 4 a 4 EE 2/ 2/ o L2/ 2/ o L sen Daí chegamos finalmente a: ρρ ρpiε ρ == a 2 EE o L Logo, para uma linha ∞ com carga uniformemente distribuída, a magnitude de E é inversamente proporcional à distância (ρ), e a direção de E é radial (normal) à linha. 2.5 – CAMPO ELÉTRICO DE UMA DISTRIBUIÇÃO SUPERFICIAL CONTÍNUA DE CARGAS Definindo dS dQ S=ρ = densidade superficial de carga (em C/m2 ), temos que dQ = ρS dS. Demonstrar que a fórmula que fornece o campo elétrico num ponto P, no vácuo, devido a uma superfície plana ∞∞∞∞ com carga uniformemente distribuída (ver figura), é expressa por: n o s a 2 E ε ρ = sendo: ρS = densidade superficial de carga [C/m2] (constante) na = versor normal ao plano orientado para o ponto P Solução: Observando a figura temos: φρρρ=ρ= dddSdQ ss zazaR +ρ−= ρ e 22 zR +ρ= ⇒ 22 z R z aza R R a +ρ +ρ− == ρ Substituindo na fórmula geral acima obtemos: ( ) 22 z22os z aza z4 dd 0 2 0E +ρ +ρ− +ρpiε φρρρ∞+ =ρ pi =φ= ρ ∫∫ ( ) ( ) z2/322o zs 2 s EE z4 ddaza 0 2 0E += +ρpiε φρρρ+ρρ−∞+ =ρ pi =φ= ρ ρ ∫∫ CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO CCaappííttuulloo IIII:: LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO 12 Por simetria 0E =ρ . ( ) ( ) 2/322o zs2/322ozsz z d 02 az z d 0d 2 04 az EE +ρ ρρ∞+ =ρε ρ = +ρ ρρ∞+ =ρφ pi =φpiε ρ == ∫∫∫ Fazendo a substituição trigonométrica (ver triângulo ao lado): α=ρ tgz αα=ρ dzd 2sec , e levando na expressão acima e desenvolvendo, ( ) αα pi =αε ρ = α ααpi =αε ρ = +α αααpi =αε ρ == ∫∫∫ d 2/ 02 ad2/ 02 a zz dzz2/ 02 azEE o zs o zs 2/322 2 o zs z sen sec tg tg sectg 2[ ] [ ] z o s2/ 0 o zs z a1022 a EE + ε ρ =α− ε ρ == pi =αcos ⇒ z o s z a2 EE ε ρ == De uma forma mais geral, fazendo nz aa = ⇒ n o s n a2 EE ε ρ == Logo, para o plano ∞ com carga uniformemente distribuída, a magnitude de E é independente da distância (z) do plano a P, e a direção de E é normal ao plano. 2.6 – LINHA DE FORÇA E ESBOÇO DE CAMPO Obtenção da equação da linha de força de E no plano xy: Para um ponto na linha de força no plano xy, temos: yyxx aEaEE += yx ayaxL ∆+∆=∆ onde L//E ∆ (2 vetores em paralelo) Fazendo LdL →∆ , obtemos: yx adyadxLd += Como, LdE ∝ , obtemos: dy E dx E yx = Logo, basta resolver esta equação diferencial para obter a equação da linha de força no plano xy. Nota: Para uma linha de força de E no espaço tridimensional, obtém-se a expressão: dz E dy E dx E zyx == (Atenção: Resolve-se duas a duas, segundo as projeções em xy, yz e zx) CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO CCaappííttuulloo IIII:: LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO 13 2.7 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 2.1) Uma linha infinita possui uma distribuição de carga com densidade ρL = -100 [ηC/m] e está situada no vácuo sobre a reta y = –5 [m] e z=0. Uma superfície plana infinita possui uma distribuição de carga com densidade ρS = α/pi [ηC/m2] e está situada no vácuo sobre o plano z = 5 [m]. Determinar o valor da constante α para que o campo elétrico resultante no ponto P(5,5,-5) não possua componente no eixo z. Resposta: α = 4. 2.2) Dado um campo ( ) ( ) ( ) φφρρ φρ+φρ=φρ aaE ��� ,E,E, em coordenadas cilíndricas, as equações das linhas de força em um plano z = constante são obtidas resolvendo a equação diferencial: φρρ=φρ d dEE a) Determinar a equação da linha de força que passa pelo ponto P(ρ = 2, φ = 30o, z = 0) para o campo φρ φρ−φρ= aaE �� � 22 cossen . b) Determinar um vetor unitário passando pelo ponto P(ρ = 2, φ = 30o, z = 0), que seja paralelo ao plano z = 0 e normal a linha de força obtida no item anterior. Respostas: a) φ=ρ 2cos82 ; b) +±= φρ aaa ��� 2 3 2 1 . 2.3) Duas linhas infinitas de carga com mesmas densidades lineares uniformes ρL = k [ηC/m] estão colocadas sobre o plano z = 0. As duas linhas se cruzam no ponto (-2, 1, 0), sendo que uma é paralela ao eixo x e a outra paralela ao eixo y. Determinar exatamente em que posição no plano z = 0 deverá ser colocada uma carga pontual Q = k [ηC] para que o campo elétrico resultante na origem se anule. Resposta: − 0 5 52 5 5P 44 ;; . 2.4) Determinar a força que atua sobre uma carga pontual Q1 em P(0,0,a) devido à presença de uma outra carga Q2, a qual está uniformemente distribuída sobre um disco circular de raio a situado sobre o plano z=0. Resposta: ( ) z2 o 21 22 4 QQ aF −⋅= apiε 2.5) Seja um campo elétrico dado por ( ) [ ]mV y2cos y2sene5 yxx2 aaE −= − . Determinar: a) A equação da linha de força que passa pelo ponto P(x=0,5; y=pi/10; z=0); b) Um vetor unitário tangente a linha de força no ponto P. Respostas: a) 212,1x2ey2cos −= ou ( )606,0y2cosln5,0x += ; b) yxT 8090,05878,0 aaa −= . 2.6) O segmento reto semi-infinito, z ≥ 0, x = y = 0, está carregado com ρL = 15 nC/m, no vácuo. Determine E nos pontos: a) PA (0, 0, –1); b) PB (1, 2, 3) Respostas: a) zA a8,134E −= [V/m]; b) zyxB a0,36a2,97a6,48E −+= [V/m]. CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO CCaappííttuulloo IIII:: LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO 14 2.7) Duas bolas dielétricas iguais de diâmetro bem pequeno, pesando 10 g cada uma, podem deslizar livremente numa linha plástica vertical. Cada bola é carregada com uma carga negativa de 1 µC. Qual é a distância entre elas, se a bola inferior for impedida de se mover? Resposta: d = 300 [mm] 2.8) Duas cargas pontuais de +2 C cada uma estão situadas em (1, 0, 0) m e (-1, 0, 0) m. Onde deveria ser colocada uma carga de –1 C de modo que o campo elétrico se anule no ponto (0, 1, 0)? Resposta: Em (x = 0, y = 0,16 m, z = 0) 2.9) a) Uma carga com densidade uniforme ρL = K C/m está distribuída sobre um pedaço de condutor circular de raio r = 2 m, posicionado sobre o plano y = 1 m, conforme mostra a figura abaixo. Determinar o campo elétrico E resultante na origem. b) Repetir o item (a), supondo, porém, que toda a carga seja concentrada no ponto (0,2,0). Respostas: a) y o a 8 3KE piε − = [V/m]; b) y o a 12 KE ε − = [V/m] 2.10) Uma carga é distribuída uniformemente, com densidade ( )pi=ρ − 1810 9s C/m2, sobre uma lâmina retangular finita de 1 mm × 1 m, estando centrada na origem, sobre o plano z = 0, e com os lados paralelos aos eixos x e y. Usando aproximações de senso comum, estimar o valor do campo elétrico E � nos seguintes pontos do eixo z: (a) z = 0,001 mm; (b) z = 1 cm; (c) z = 100 m Respostas: a) za1E = [V/m]; b) za 1,0E pi = [V/m]; c) z 7 a 2 10E pi = − [V/m] 2.11) Quatro cargas pontuais, iguais a 3 µC localizam-se, no vácuo, nos quatro vértices de um quadrado de 5 cm de lado. Determine o módulo da força que age em cada carga. Resposta: 61,9 N 2.12) Uma carga pontual de 1 nC localiza-se na origem, no vácuo. Determine a equação da curva no plano z = 0, para o qual Ex = 1 V/m. Resposta: ( )3222 yxx8,80 += ou φ=ρ cos998,2 2.13) Três cargas pontuais Q, 2Q e 3Q ocupam respectivamente os vértices A, B e C de um triângulo equilátero de lado l. Uma das cargas tem a máxima força exercida sobre ela e uma outra tem a mínima força. Determinar a razão entre as magnitudes destas 2 forças. Resposta: Razão = 1,82, sendo as magnitudes das forças máxima e mínima iguais, respectivamente, a 7,94k e 4,36k, onde k = Q2/(4pi εo l2) CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO CCaappííttuulloo IIIIII:: DDEENNSSIIDDAADDEE DDEE FFLLUUXXOO EELLÉÉTTRRIICCOO,, LLEEII DDEE GGAAUUSSSS EE DDIIVVEERRGGÊÊNNCCIIAA 15 Capítulo III DENSIDADE DE FLUXO ELÉTRICO, LEI DE GAUSS E DIVERGÊNCIA 3.1 – DENSIDADE DE FLUXO ELÉTRICO ( D ) É o fluxo por área produzido por cargas livres e é independente do meio onde estas estão situadas. Fórmula geral: ∫ pi =ε= R2o aR4 dQED (Unidade: C/m2) onde dQ = ρL dL= ρsds = ρvdv, dependendo da configuração de cargas. 3.2 – A LEI DE GAUSS “O fluxo elétrico (líquido) que atravessa qualquer superfície fechada é igual a carga total interna envolvida por esta superfície”. A expressão matemática é dada por: ∫ ==Ψ S internatotal QSd.D (Unidade: C) onde, ∫ρ= .vol vinterna dvQ (Nota: No SI: inttotal Q=Ψ ) 3.3 – APLICAÇÃO DA LEI DE GAUSS – GAUSSIANA Gaussiana (def.): É uma superfície especial com as seguintes propriedades: (i) É uma superfície fechada; (ii) Em cada um de seus pontos D é tangencial ou D é normal. Assim, se 0SdDSdD =⇒⊥ • ; (Neste caso D é tangencial à gaussiana) se dSDSdDSd//D =⇒ • (Neste caso D é normal à gaussiana) (iii) Em todos os pontos onde Sd//D , a magnitude de D é constante. Cálculo de D , aplicando a lei de Gauss (e gaussiana), para os seguintes casos especiais: a) Carga pontual Q Para uma gaussiana esférica de raio R ∫ =•gaussianaS int QSdD (Lei de Gauss) Como Sd//D e .cteD = em todos pontos da gaussianaD (área da esfera) = Q D 4piR2 = Q Logo: 2R4 QD pi = CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO CCaappííttuulloo IIIIII:: DDEENNSSIIDDAADDEE DDEE FFLLUUXXOO EELLÉÉTTRRIICCOO,, LLEEII DDEE GGAAUUSSSS EE DDIIVVEERRGGÊÊNNCCIIAA 16 Em forma vetorial: R2 aR4 QD pi = ( D é inversamente proporcional ao quadrado da distância) b) Filamento retilíneo ∞∞∞∞ com dLdQL =ρ = constante Para uma gaussiana cilíndrica de raio ρ ∫ =•gaussianaS int QSdD (Lei de Gauss) D (área lateral do cilindro) = ρL L D 2piρL = ρL L Logo: piρ ρ = 2 D L Em forma vetorial: ρ piρ ρ = a 2 D L ( D é inversamente proporcional à distância) c) Cabo coaxial ∞∞∞∞ com os condutores central (+Q) e externo (–Q) com ρρρρs constante Aplicando a lei de Gauss para uma gaussiana cilíndrica de raio ρ (ver figura), ∫ =• gaussianaS int QSdD temos as seguintes situações: i) Se ρ < a ⇒ D = 0, pois a carga interna é nula ii) Se ρ > b ⇒ D = 0, pois a carga interna líquida é nula (blindagem eletrostática) iii) Se a < ρ < b (gaussiana tracejada) ⇒ D 2pi ρ L = +Q Daí obtemos: L2 QD piρ = Sendo a carga uniformemente distribuída, com densidade superficial de carga ρS no condutor central, podemos re-aplicar a lei de Gauss, obtendo-se: D 2pi ρ L = ρS 2pi a L piρ ρ = ρ ρ = 2 D Ls a onde aa pi ρ = pi ===ρ 2L2 Q S Q dS dQ L s sendo ρL a densidade linear de carga no condutor central. Em forma vetorial: ρρ piρ ρ = ρ ρ = a 2 aD Ls a ( D é inversamente proporcional à distância) Nota: Observar a semelhança com a fórmula de D para a linha ∞, obtida acima. CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO CCaappííttuulloo IIIIII:: DDEENNSSIIDDAADDEE DDEE FFLLUUXXOO EELLÉÉTTRRIICCOO,, LLEEII DDEE GGAAUUSSSS EE DDIIVVEERRGGÊÊNNCCIIAA 17 3.4 – DIVERGÊNCIA Seja A um vetor qualquer expresso por: zzyyxx aAaAaAA ++= aplicado ao vértice A(x,y,z) do pequeno volume retangular da figura acima dado por: zyxv ∆∆∆=∆ Definindo divergência de um vetor A , ou div A , com notação matemática A•∇ , como: v SdA limA S 0v ∆ =∇ • • ∫ →∆ (Nota: O resultado desta operação é um escalar.) onde ∇ representa o operador vetorial “nabla” ou “del”. Para a superfície que envolve o pequeno volume retangular da figura acima temos: SdASdA DCGHABFEBCGFADHEEFGHABCD SSSSSSS •• ∫∫∫∫∫∫∫ +++++= Cálculo da 1a e da 2a integral do 2o membro (fluxo de A na direção x): zy)x(Adzdy)x(A)a(dSa)x(ASdA xx yy yy zz zz xABCDxx SABCD ∆∆−≅−=−= ∫ ∫∫∫ ∆+ = ∆+ = •• zyx x A)x(Azy)xx(Adzdy)xx(ASdA Xxxx yy yy zz zzSEFGH ∆∆ ∆ ∂ ∂ +≅∆∆∆+≅∆+= ∫ ∫∫ ∆+ = ∆+ = • Somando estas duas integrais, obtemos o fluxo líquido de A na direção x como: zyx x ASdA x SS EFGHABCD ∆∆∆ ∂ ∂ ≅+ •∫∫ Similarmente a estas duas integrais, obtemos os fluxos líquidos de A nas direções y e z como: zyx y A SdA y SS BCGFADHE ∆∆∆ ∂ ∂ ≅+ •∫∫ zyx z ASdA z SS DCGHABFE ∆∆∆ ∂ ∂ ≅+ •∫∫ CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO CCaappííttuulloo IIIIII:: DDEENNSSIIDDAADDEE DDEE FFLLUUXXOO EELLÉÉTTRRIICCOO,, LLEEII DDEE GGAAUUSSSS EE DDIIVVEERRGGÊÊNNCCIIAA 18 Somando as 3 expressões anteriores, obtemos o fluxo total líquido que sai do pequeno volume: zyx z A y A x ASdA zyx S ∆∆∆ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ≅•∫ Substituindo esta última expressão na equação que define a divergência e simplificando, obtemos: z A y A x AA zyx ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =∇ • Se A é substituído pelo vetor densidade de fluxo elétrico D e aplicado a definição de divergência: v 0v S 0v dv dQ v Qlim v SdD limD ρ== ∆ ∆ = ∆ =∇ →∆→∆ • • ∫ Assim obtemos uma importante equação da eletrostática: vD ρ=∇ • (1a equação de Maxwell da eletrostática) onde ρv representa a fonte de fluxo (divergência) de D . Notas: 0D >∇ • ⇒ A região é fonte de fluxo ou a carga líquida da região é positiva. 0D <∇ • ⇒ A região é sorvedoura de fluxo ou a carga líquida da região é negativa. 0D =∇ • ⇒ A região não é fonte nem sorvedoura de fluxo ou a carga líquida é nula. 3.5 – TEOREMA DA DIVERGÊNCIA Da lei de Gauss, temos que: intS QSdD =•∫ Mas, sabemos que: dvQ v vol int ρρρρ∫= E também: Dv •∇=ρ Logo, juntando todas as expressões, obtemos: ∫ ∫∇= •• S vol dv DSdD (Teorema da divergência de Gauss) sendo S a área que envolve o volume vol, ou vol o volume envolvido pela área S. Notas: 1. O teorema da divergência pode ser aplicado a qualquer campo vetorial. 2. O operador vetorial ∇ é somente definido em coordenadas cartesianas pela expressão: zyx a z a y a x ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =∇ Logo, não existe uma expressão para ∇ em coordenadas cilíndricas, nem em esféricas. CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO CCaappííttuulloo IIIIII:: DDEENNSSIIDDAADDEE DDEE FFLLUUXXOO EELLÉÉTTRRIICCOO,, LLEEII DDEE GGAAUUSSSS EE DDIIVVEERRGGÊÊNNCCIIAA 19 3.6 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 3.1) Seja ρV = α r/ [C/m3] de r = 0 a r = R em coordenadas esféricas. Determinar D em todo o espaço. Resposta: r5 r2 aD α= [C/m2] para 0 < r < R e r2 2 r5 RR 2 aD α= [C/m2] para Rr ≥ . 3.2) Uma carga com densidade linear uniforme ρL = k [ηC/m] está distribuída sobre o semi-eixo positivo de z. No plano z = 0, uma outra carga com densidade superficial ρS = k/(2piρ) [ηC/m2] é distribuída. Determinar o fluxo elétrico total que atravessa o cilindro ρ = a [m], cujas bases estão situadas sobre os planos z = a e z = – a (a > 0). Resposta: ak2T =Ψ [ηC ]. 3.3) O plano z=0 contém uma distribuição superficial uniforme de carga com ρS = 10 [ηC/m2]. Determinar a quantidade de linhas de fluxo que atravessa o triângulo formado pelos pontos A (0,2,0), B (2,0,2) e C (–2,0,2). Resposta: 20=Ψ [ηC ]. 3.4) Determinar o fluxo elétrico líquido total que sai da porção de um cilindro definido por: 0 ≤ ρ ≤ 2, 0 ≤ φ ≤ pi/2, 0 ≤ z ≤ 3, devido as seguintes condições: a) uma carga distribuída no interior da porção do cilindro com densidade volumétrica de carga dada por ρv = 4xyz2 [C/m3], sendo que ρv = 0 no exterior da porção de cilindro. b) a mesma quantidade de carga do item anterior, porém sendo toda ela concentrada na origem. Respostas: a) 72 [C]; b) 9 [C]. 3.5) Seja 2v x6=ρ [µC/m3] na região – 1≤ x ≤ 1 [m] e ρv = 0 fora desta região. Determinar: a) A densidade de fluxo elétrico D na região 0 ≤ x ≤ 1 [m]; b) A densidade de fluxo elétrico D na região x > 1 [m]; c) A densidade de fluxo elétrico D na região –1 ≤ x ≤ 0 [m]; d) A densidade de fluxo elétrico D na região x < -1 [m]. Respostas: a) x3x2 aD = [µC/m2]; b) x 2 aD = [µC/m2]; c) x3x2 aD = [µC/m2]; d) x 2 aD −= [µC/m2]. 3.6) Determinar o fluxo total que atravessa um cubo de lado a = 1 [m], centrado na origem e arestas paralelas aos eixos coordenados para cada uma das seguintes situações: a) Uma carga pontual Q = 20 [ηC] situada na origem; b) Uma linha infinita de cargas com densidade ρL = 20 [ηC/m] situada sobre o eixo x. Repetir a questão e calcular o fluxo que atravessa a face superior do cubo nas duas situações. Respostas: a) 20T =Ψ [ηC ]; b) 20T =Ψ [ηC ] ea) 3 10 T =Ψ [ηC ]; b) 5T =Ψ [ηC ]. CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO CCaappííttuulloo IIIIII:: DDEENNSSIIDDAADDEE DDEE FFLLUUXXOO EELLÉÉTTRRIICCOO,, LLEEII DDEE GGAAUUSSSS EE DDIIVVEERRGGÊÊNNCCIIAA 20 3.7) Seja ( )z1z8v −=ρ [C/m3] para 0 < z < 1, ( )z1z8v +=ρ [C/m3] para – 1 < z < 0 e 0v =ρ para o restante do espaço. Determinar D em todo o espaço usando a Lei de Gauss. Respostas: 0=D para z ≤ –1, ( ) z23 1z3z234 aD −+⋅= [C/m3] para –1 < z < 0, ( ) z23 1z3z234 aD −+−⋅= [C/m3] para 0 < z < 1, 0=D para z ≥ 1. 3.8) Determinar o quantidade de fluxo elétrico devido a uma carga pontual Q na origem que passa através das superfícies esféricas definidas por: a) raio = r, estendendo de θ = 30o a θ = 60o, e de φ = 0o a φ = 360o; b) raio = 2r, estendendo de θ = 0o a θ = 90o, e de φ = 0o a φ = 90o. Respostas: a) ( )[ ] Q183,0Q4/13 =−=ψ ; b) ψ = Q/8 3.9) Seja uma distribuição de carga no espaço onde ρV = K/r C/m3 para r < 2R e ρV = 0 para r > 2R, sendo K uma constante positiva. a) Determinar a carga total contida dentro da esfera de raio r = R; b) Determinar a densidade de fluxo elétrico que sai da superfície esférica r = R. Respostas: a) 2 .int KR2Q pi= ; b) ra2 KD = 3.10) Uma carga pontual Q =24pi µC está localizada na origem, uma carga de densidade 241s −=ρ µC/m2 está distribuída na superfície esférica r = a = 0,5 m, e uma carga de densidade 242s =ρ µC/m2 está distribuída na superfície esférica r = b = 1 m. Determinar D em todas as regiões. Resposta: r2 ar 6D = µC/m2 para r < 0,5 m; 0D = para 0,5 ≤ r < 1 m; r2 ar 24D = µC/m2 para r ≥ 1 m 3.11) Uma linha infinita de carga uniformemente distribuída com densidade m/C1L =ρ está colocada sobre o eixo y. Determinar o fluxo elétrico total que atravessa as seguintes superfícies: (a) a porção do plano z = 1 m, limitada por –1 < x < 1 m e –1 < y < 1 m; (b) a esfera de raio r = 1 m, centrada na origem. Respostas: a) ψ = 0,5 C; b) ψ = 2 C. 3.12) a) Calcular a carga total em todo o espaço se a densidade volumétrica de carga é expressa em coordenadas esféricas como 233v )r/(1 a+=ρ , sendo a uma constante. b) Qual é o raio da esfera, centrada na origem, com densidade volumétrica de carga constante, ρv = 8 , que contém a mesma carga total do item anterior. Respostas: a) 3T 3 4Q a pi = ; b) a2 1 r = . CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO CCaappííttuulloo IIVV:: EENNEERRGGIIAA EE PPOOTTEENNCCIIAALL 21 Capítulo IV ENERGIA E POTENCIAL 4.1 – ENERGIA (TRABALHO) PARA MOVER UMA CARGA PONTUAL EM UM CAMPO ELÉTRICO Observando a figura, e adotando La como um vetor unitário na direção de Ld , tem-se: ( ) ( ) LdFdLaFLdaaFLdFLdFdW ...... ELELLEEaplicada L −=−=−=−== Substituindo EQFE = , chega-se a: LdEQdW .−= Integrando, obtém-se o trabalho (energia) necessário para mover uma carga Q desde o início (ponto B) até o final (ponto A) de uma trajetória, sob a ação do campo elétrico E , dado por: LdEQW . )A(Final )B(Início ∫−= onde ∫ = 0LdE. , pois o trabalho do campo eletrostático depende apenas das posições inicial e final da trajetória. Nota: Na eletrostática, o campo elétrico é conservativo. 4.2 – DEFINIÇÃO DE DIFERENÇA DE POTENCIAL (VAB) E POTENCIAL (V) A diferença de potencial VAB entre 2 pontos A e B é definida como sendo o trabalho necessário para movimentar uma carga pontual unitária positiva desde B (tomado como referência) até A. Q WVAB = ⇒ ∫−= A BAB LdEV . (FÓRMULA GERAL) Como o campo elétrico E é conservativo (na eletrostática), tem-se, para 3 pontos A, B e C: VAB = VAC – VBC Os potenciais “absolutos” VA e VB são obtidos adotando-se uma mesma referência zero de potencial. Se, por exemplo, VC = 0, pode-se escrever VAB = VA – VB 4.3 – O POTENCIAL DE UMA CARGA PONTUAL Supondo-se a carga na origem, tem-se, aplicando a fórmula geral: A B A r AB r r2B r 0 QV E dL a dr a 4 r . .= − = − piε ∫ ∫ AB A B 0 A B Q 1 1V V V 4 r r = − = − piε CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO CCaappííttuulloo IIVV:: EENNEERRGGIIAA EE PPOOTTEENNCCIIAALL 22 Se B → ∞ ⇒ VB → 0 ⇒ A 0 A QV 4 r = piε (potencial absoluto) Escrevendo de forma genérica, o potencial absoluto devido a uma carga pontual Q fora da origem é: 0 QV 4 R = piε sendo R a distância da carga pontual Q ao ponto desejado. 4.4 – O POTENCIAL DE UM SISTEMA DE CARGAS DISTRIBUÍDAS Para uma carga distribuída, com referência zero no infinito: 0 dQ 4 RV piε= ∫ onde: dQ = ρL dL= ρsds = ρvdv, dependendo da configuração de cargas, rrRR ′−== = distância (escalar) de dQ ao ponto fixo P onde se quer obter V 4.4.1 – VAB de uma reta ∞∞∞∞ com ρρρρL constante Partindo de ∫−= ABAB LdEV . , obtemos: A B L AB 0 V a d a 2 . ρ ρ ρρ ρ = − ρ piε ρ∫ L B AB 0 A V ln 2 ρ ρ = piε ρ 4.4.2 – VAB de um plano ∞∞∞∞ com ρρρρs constante Partindo de ∫−= ABAB LdEV . , obtemos: A B z s AB z zz 0 V a dz a 2 . ρ = − ε∫ ( )sAB B A 0 V z z 2 ρ = − ε CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO CCaappííttuulloo IIVV:: EENNEERRGGIIAA EE PPOOTTEENNCCIIAALL 23 4.5 – GRADIENTE DO POTENCIAL ( V∇ ) O gradiente de uma função escalar (ex. V) é definido matematicamente por: NadN dVV =∇ (resultado = vetor) onde dV, dN e Na � são mostrados na figura. GaGa cosdL dV a dN dVV NNN � == θ ==∇ Daí, dVcosGdL =θ ⇒ dVLdG =• �� onde: Nzzyyxx aGaGaGaGG =++= ��� � Lzyx adLadzadyadxLd =++= dz z Vdy y Vdx x VdV ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = sendo: Ld � = vetor comprimento diferencial medido numa direção qualquer, dN = dLcosθ = menor distância entre as 2 superfícies equipotenciais V1 e V2. Assim, obtemos a expressão do gradiente em coordenadas cartesianas: zyx a z V a y V a x VVG ��� �� ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =∇= Propriedades do gradiente de uma função escalar V: a) V∇ é normal a V b) V∇ aponta no sentido do crescimento de V Logo V∇ é um vetor que dá a máxima variação no espaço de uma quantidade escalar (módulo do vetor) e a direção em que este máximo ocorre (sentido do vetor). Se V = função potencial elétrico, então: VE ∇−= ( E está apontado no sentido decrescente de V). Exemplo: Utilizando gradiente, determinar a expressão de E para uma carga pontual na origem. Solução: O potencial de uma carga pontual na origem (no vácuo) é: 0 Q 4 r = piε V Tomando o gradiente de V, em coordenadas esféricas, sabendo-se que V = f(r): e fazendo VE ∇−= ⇒ r r2 0 V Q 1E a a r 4 r ∂ − = − = − ∂ piε � � � ⇒ r2 0 QE a 4 r = piε � � CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO CCaappííttuulloo IIVV:: EENNEERRGGIIAA EE PPOOTTEENNCCIIAALL 24 4.6 – O DIPOLO ELÉTRICO É um sistema com 2 cargas pontuais iguais e simétricas (figura c) bem próximas tal que d < < r, sendo d a distância (separação) entre as cargas e r a distância do centro do dipolo a um ponto P desejado. Cálculo do potencial no ponto P devido ao dipolo na origem: P 0 1 0 2 Q QV 4 r 4 r + − = + piε piε P 0 1 2 Q 1 1V 4 r r =− piε 2 1 P 0 1 2 r rQV 4 r r − = piε Sendo d << r, fazemos θ≅− cosdrr 12 e 221 rrr ≅ . Daí, p 2 0 Qd cosV 4 r θ = piε Campo elétrico no ponto P devido ao dipolo elétrico na origem: ( )r3 0 QdE 2cos a sen a 4 r θ = θ + θ piε (obtido de VE ∇−= ) Definindo momento de dipolo elétrico como dQp = , onde d é o vetor cuja magnitude é a distância entre as cargas do dipolo e cuja direção (e sentido) é de –Q para +Q: r p 2 0 p a V 4 r . = piε Notas: a) Com o aumento da distância, o potencial e o campo elétrico caem mais rápidos para o dipolo elétrico do que para a carga pontual. b) Para o dipolo elétrico fora da origem, o potencial é dado por: R p 2 0 p a V 4 R . = piε onde: Ra = versor orientado do centro do dipolo ao ponto desejado; R = distância do centro do dipolo ao ponto desejado. CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO CCaappííttuulloo IIVV:: EENNEERRGGIIAA EE PPOOTTEENNCCIIAALL 25 4.7 – ENERGIA NO CAMPO ELETROSTÁTICO 4.7.1 – Energia (trabalho) para uma distribuição discreta de cargas WE = trabalho total para trazer 3 cargas Q1, Q2, Q3 do ∞ e fixá-las nos pontos 1, 2, 3, nesta ordem: WE =W1 + W2 + W3 WE = 0 + Q2 V2,1 + Q3 V3,1 + Q3 V3,2 (i) Nota: V2,1 = potencial no ponto 2 devido à carga Q1 no ponto 1 (V2,1 ≠ V21) Se as 3 cargas forem fixadas na ordem inversa, isto é, fixando Q3, Q2, Q1, nos pontos 3, 2, 1, temos: WE = W3’ + W2’ + W1’ WE = 0 + Q2 V2,3 + Q1 V1,2 + Q1 V1,3 (ii) (i) + (ii): 2WE = Q1 V1 + Q2 V2 + Q3 V3 ( )332211E VQVQVQ2 1W ++= Para N cargas: ∑ = = N 1i iiE VQ2 1W [J] 4.7.2 – Energia (trabalho) para uma distribuição contínua de carga Para uma região com distribuição contínua de carga, substituímos Qi da fórmula acima pela carga diferencial dQ = ρvdv e a somatória se transforma numa integral em todo o volume de cargas. ∫ρ= vol vE Vdv2 1W [J] Pode-se demonstrar que o trabalho pode ser também expresso em função de D e/ou E como: dvED 2 1W vol E ∫= • ou 2 E 0 vol 1W E dv 2 = ε∫ ou 2 E 0vol 1 DW dv 2 = ε∫ Nota: A densidade de energia do campo elétrico no vácuo pode ser obtida pelas expressões: 2 2E 0 0 dW 1 1 1 DD E E dv 2 2 2 •= = ε = ε [J/m3] CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO CCaappííttuulloo IIVV:: EENNEERRGGIIAA EE PPOOTTEENNCCIIAALL 26 Ex. 1 Calcular a energia WE armazenada num pedaço de cabo coaxial de comprimento L e condutores interno e externo de raios a e b, respectivamente, supondo que a densidade superficial de carga uniforme no condutor interno é igual a ρρρρs. Supondo uma gaussiana cilíndrica no interior do dielétrico (vácuo) de raio a < ρ < b, e aplicando a lei de Gauss ( int S QSdD =∫ • ), obtemos: ρ ρ =⇒piρ=piρ aa ss DL2L2D Substituindo na equação de energia obtida acima: ( )2L 22 s E 0 0vol z 0 0 /1 D 1W dv d d dz 2 2 pi = φ= ρ= ρ ρ = = ρ ρ φ ε ε∫ ∫ ∫ ∫ b a a [ ] 2 2 s E 0 1W 2 L 2 ρ = ρ pi ε b a a ln Daí, obtemos finalmente: 2 2 s E 0 LW pi ρ= ε a bln a Ex. 2 Calcular a energia WE armazenada num capacitor de placas paralelas no vácuo, sendo V a diferença de potencial entre as placas iguais de área S e separadas por uma distância d. Supor o campo elétrico entre as placas uniforme desprezando os efeitos de bordas. Da equação de energia obtida acima, e sabendo que V = E d, obtemos: 2 2 0 E 0 1 VW E dv dv 2 2 d ε = ε = ∫ ∫ ⇒ 20 E S1W V 2 d ε = Tomando a expressão da capacitância do capacitor de placas paralelas ideal (cap. 5), teremos: 2 E CV2 1W = onde 0SC d ε = 4.8 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 4.1) Três cargas pontuais idênticas de carga Q são colocadas, uma a uma, nos vértices de um quadrado de lado a. Determinar a energia armazenada no sistema após todas as cargas serem posicionadas. Resposta: ( )24 8 QW o 2 E +⋅ piε = a [J]. 4.2) Seja uma carga distribuída ao longo da porção |z| < 1 m do eixo z, com densidade linear de carga ρL = kz [ηC/m]. Determinar: a) O potencial em um ponto qualquer sobre o plano z = 0; b) O potencial em um ponto do eixo z situado a uma altura h = 2 m do plano z = 0. Respostas: a) VA = 0; b) VB = 1,775 [kV]. CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO CCaappííttuulloo IIVV:: EENNEERRGGIIAA EE PPOOTTEENNCCIIAALL 27 4.3) Um quadrado de vértices A(0,0,0), B(0,1,0), C(1,1,0) e D(1,0,0), possui uma distribuição linear uniforme de carga com densidade ρL = 10 [pC/m] ao longo do lado AB, uma carga pontual Q1 = 1 [pC] no vértice C, uma carga pontual Q2 = -10 [pC] no vértice D. Determinar, no centro P do quadrado: a) O potencial elétrico devido a cada uma das três cargas; b) O potencial elétrico total devido às três cargas. Respostas: a) VP1 = 0,0127 [V], VP2 = – 0,127 [V], VL = 0,1584 [V]; b) VPT = 0,044 [V]. 4.4) Um campo elétrico é dado em coordenadas cilíndricas por: � �E a V m = 100 2ρ ρ Conhecidos os pontos A(3,0,4), B(5,13,0) e C(15,6,8), expressos em coordenadas cartesianas, determinar: a) A diferença de potencial VAB; b) O potencial VA se a referência zero de potencial está no ponto B; c) O potencial VA se a referência zero de potencial está no ponto C; d) O potencial VA se a referência zero de potencial está no infinito. Respostas: a) VAB = 26,15 [V]; b) VA = 26,15 [V]; c) VA = 27,14 [V]; d) VA = 33,33 [V]. 4.5) Uma superfície esférica no espaço livre, definida por r = 4 cm, contém uma densidade superficial de carga de 20 [µC/m2]. Determinar o valor do raio rA,, em centímetros, se a região compreendida entre as esferas de raios r = 6 cm e r = rA contém exatamente 1 mJ de energia. Resposta: rA = 6,54 [cm]. 4.6) O campo potencial no vácuo é expresso por V = k/ρ. a) Determinar a quantidade de carga na região cilíndrica a < ρ < b e 0 < z < 1. b) Determinar a energia armazenada na região cilíndrica a < ρ < b e 0 < z < 1. Respostas: a) −⋅= ab 11k2Q opiε ; b) −⋅= 22 2 oE 11k 2 1W ba piε . 4.7) Uma linha de cargas uniforme de 2 m de comprimento com carga total de 3 nC está situada sobre o eixo z com o ponto central da linha localizado a +2 m da origem. Num ponto P sobre o eixo x, distante +2 m da origem, pede-se: a) Determinar o potencial elétrico devido a linha de cargas; b) Determinar o potencial elétrico se a carga total for agora concentrada no ponto central da linha; c) Calcular e comentar sobre a diferença percentual entre os dois valores de potencial obtidos. Respostas: a) VPL = 9,63 V; b) VPQ = 9,55 V; c) (VPQ – VPL)x100%/VPQ = -0,83 % Uma carga concentrada produz um potencial menor do que esta mesma carga distribuída, caso sejam iguais as distâncias dos centros destas cargas ao ponto desejado. 4.8) Uma carga Q0 = +10 µC está colocada no centro de um quadrado de lado 1 m e vértices A, B, C, D. Supondo o meio o vácuo, determinar o trabalho necessário para: a) Mover a carga QA = +10 µC do infinito até fixá-la no vértice A do quadrado; b) Mover também a carga QB = –20 µC do infinito até fixá-la no vértice B do quadrado; CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO CCaappííttuulloo IIVV:: EENNEERRGGIIAA EE PPOOTTEENNCCIIAALL
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