Ficha Aula 03 MDCMMC

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AULA PARTICULAR FÍSICA & MATEMÁTICA 
 Profº Gutenberg Fernandes 21 987847553 (whatsapp) 
 
1 “A matemática é o alfabeto com qual DEUS escreveu o 
universo” 
Pitágoras 
 
 
 
Aula 3: MMC e MDC 
1) Decomponha em fatores primos: 
 
a) D(15) 
b) D(24) 
c) D(30) 
d) D(45) 
e) D(90) 
f) D(120) 
g) D(150) 
h) D(200) 
i) D(300) 
j) D(450) 
 
2) Determine o MMC, por decomposição separada, de: 
 
a) (25,45) 
b) (45,60) 
c) (60,100) 
d) (120,180) 
 
3) Determine o MMC, por decomposição simultânea, de: 
 
a) (36,72,96) 
b) (16,36,90) 
c) (25,60,100) 
d) (90,120,180) 
 
4) Determine o MDC, por decomposição separa, de: 
 
a) (20,45,60) 
b) (12,36,96) 
c) (28,60,90) 
d) (40,85,120) 
5) Determine o MDC, por decomposição simultânea, de: 
 
a) (30,45,90) 
b) (12,18,36) 
c) (45,96,180) 
d) (20,36,96,180) 
 
6) Vovó foi viajar com a Tuma da melhor idade do bairro. Quantos havia na viagem, se 
podemos contar de 8 em 8 ou de 10 em 10? 
 
7) Duas pessoas, fazendo exercícios diários, partem simultaneamente de um mesmo 
ponto e, andado, contornam uma pista oval que circunda um jardim. Uma dessas 
pessoas dá uma volta completa em 12 minutos. A outra, andando mais devagar, 
leva 20 minutos para completar a volta. Depois de quantos minutos essas duas 
pessoas voltarão a se encontrar no mesmo ponto de partida? 
 
8) Um relógio A bate a cada 15 minutos, outro relógio B bate a cada 25 minutos, e um 
terceiro relógio C a cada 40 minutos. Qual é, em horas, o menor intervalo de tempo 
decorrido entre duas batidas simultâneas dos três relógios? 
 
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universo” 
Pitágoras 
 
 
9) Três luminosos acendem em intervalos regulares. O primeiro a cada 20 segundos, 
o segundo a cada 24 segundos e o terceiro a cada 30 segundos. Se, em um dado 
instante, os três acenderem ao mesmo tempo, depois de quantos segundos os 
luminosos voltarão a acender simultaneamente? 
 
10) A estação rodoviária de uma cidade é o ponto de partida das viagens 
intermunicipais. De uma plataforma da estação, a cada 15 minutos partem um 
ônibus da viação sol, com destino a cidade Paraíso. Os ônibus da viação lua 
partem da plataforma vizinha cada 18 minutos, com destino a cidade porta do céu. 
Se, às 8 horas os dois ônibus partirem simultaneamente, a que os dois ônibus 
partirão juntos novamente? 
 
11) De um aeroporto partem, todos os dias, três aviões que fazem rotas 
internacionais. O primeiro avião faz a rota em 4 dias, o segundo em 5 dias e o 
terceiro, em 10 dias. Se, certo dia, os três aviões partirem simultaneamente, 
depois de quantos dias esses aviões esses aviões partirão novamente no mesmo 
dia? 
 
12) Ao separar o total de suas figurinhas, em grupos de 12, de 15 e 20, Caio observou 
que sobravam sempre 7 figurinhas fora dos grupos. Se o total figurinhas for 
compreendido entre 200 e 300, qual será a soma dos algarismos do número de 
figurinhas de Caio? 
 
13) Pães de hambúrguer são vendidos em embalagens de 4 unidades. Já os 
hambúrgueres, em embalagens de 12 unidades. Se eu não quero que falte pães e 
nem hambúrgueres, qual a quantidade mínima de embalagens eu comprarei? 
 
14) Um marceneiro deseja cortar uma placa retangular de madeira de medidas 256 
cm por 96 cm em quadrados iguais de maior lado possível, de forma que não haja 
desperdício (sobras) de madeira. 
 
a) Qual deve ser o lado de cada quadrado obtido? 
b) Quantos quadrados foram obtidos? 
 
15) José e Maria possuem 25 bolinhas brancas, 15 azuis e 90 vermelhas e precisam 
criar kits idênticos usando o maior número de bolas possível sem que sobre 
nenhuma bola. 
 
a) Quantos kits iguais podem fazer? 
b) Quantas bolas de cada cor haverá em cada kit? 
 
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16) Certo fenômeno raro ocorre de 12 em 12 anos. Outro fenômeno, mais raro ainda, 
ocorre de 32 em 32 anos. Se em 2016 os dois eventos ocorreram juntos, em qual 
ano eles irão ocorrer juntos novamente? 
17) Tem-se um certo número de moedas. Contando-se de 12 em 12 ou de 18 em 18, 
sempre sobram 7 moedas. O número de moedas pode estar entre: 
 
a) 100 e 110 
b) 110 e 120 
c) 120 e 130 
d) 130 e 140 
e) 140 e 150 
 
18) Para levar os alunos de certa escola a um museu, pretende-se formar grupos que 
tenham iguais quantidades de alunos e de modo que em cada grupo todos sejam 
do mesmo sexo. Se nessa escola estudam rapazes e garotas e cada grupo 
deverá ser acompanhado de um único professor. Calcule: 
 
a) O número de alunos por grupo. 
b) O número mínimo de professores necessários para acompanhar todos os 
grupos nessa visita. 
 
19) Considere dois rolos de barbante, um com m e outro com m de comprimento. 
Pretende-se cortar todo o barbante dos dois rolos em pedaços de mesmo 
comprimento. Qual o menor número de pedaços que poderá ser obtido? 
 
20) Dois pilotos de Fórmula 1 percorrem um circuito com velocidades médias 
constantes. Um deles completa uma volta a cada 3 minutos e 40 segundos e o 
outro a cada 3 minutos e 50 segundos. Se eles passaram juntos num ponto P 
desse circuito, qual será o menor intervalo de tempo necessário para que eles 
passem novamente juntos neste ponto P? 
 
21) Em uma turma do 6º ano do ensino fundamental, com mais de 30 alunos, foi 
distribuído um total de 126 borrachas, 168 lápis, 210 livros e 252 cadernos. Essa 
distribuição foi feita de modo que cada aluno recebesse o mesmo número de 
borrachas, de lápis, de livros e de caderno. Nesse caso, pode-se estimar que o 
número de alunos dessa turma era? 
 
22) Todos os alunos de uma escola de ensino médio participarão de uma gincana. 
Para essa competição, cada equipe será formada por alunos de um mesmo ano 
com o mesmo número de participantes. Veja na 
tabela a distribuição de alunos por ano e responda às 
seguintes perguntas: 
 
a) Qual é o número máximo de alunos por equipe? 
b) Quantas equipes serão formadas ao todo? 
 
 
 
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MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC) 
 
 
 O mínimo múltiplo comum entre dois números é representado 
pelo menor valor comum pertencente aos múltiplos dos números. 
 
 
EXEMPLO: 
 
 
Formas de calcular o mmc dos números 20 e 30: 
 
 
1ª: Encontre os múltiplos de 20 e de 30, em seguida observe qual é o 
primeiro (menor, mínimo) múltiplo comum. 
 
 
M(20) = 0, 20, 40, 60, 80, 100, 120, .... 
M(30) = 0, 30, 60, 90, 120, 150, 180, ... 
O MMC entre 20 e 30 é equivalente a 60. 
 
 
2ª: Outra forma de determinar o MMC entre 20 e 30 é através da 
fatoração, em que devemos escolher os fatores comuns de maior 
expoente e os termos não comuns. Observe: 
 
 
20 = 2 ∙ 2∙ 5 = 2² ∙ 5 
30 = 2 ∙ 3 ∙ 5 = 2 ∙ 3 ∙ 5 
MMC (20; 30) = 2² * 3 * 5 = 60 
 
3ª: É a mais comum. Consiste em realizar a decomposição simultânea 
dos números, multiplicando os fatores obtidos. Observe:AULA PARTICULAR FÍSICA & MATEMÁTICA 
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MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC) 
 
 
 O máximo divisor comum entre dois números é representado 
pelo maior valor comum pertencente aos divisores dos números. 
 
 
EXEMPLO: 
 
 
Formas de calcular o mdc dos números 20 e 30: 
 
 
1ª: Calcule os divisores dos números 20 e 30, em seguida analise e 
multiplique os fatores comuns. 
 
 
D(20) = 1,2,4,5,10,20. 
D(30) = 1,2,3,5,6,10,15,30. 
O maior divisor comum dos números 20 e 30 é 10. 
 
 
2ª: Podemos também determinar o MDC entre dois números através da 
fatoração, em que escolheremos os fatores comuns de menor expoente. 
 
 
20 = 2 ∙ 2 ∙ 5 = 2² ∙ 5 
30 = 2 ∙ 3 ∙ 5 = 2 ∙ 3 ∙ 5 
MDC (20; 30) = 2 ∙ 5 = 10 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS: 
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QUESTÃO 01. Vovó foi viajar com a Tuma da melhor idade do bairro. 
Quantos havia na viagem, se podemos contar de 8 em 8 ou de 10 em 
10? 
 
 
QUESTÃO 02. Duas pessoas, fazendo exercícios diários, partem 
simultaneamente de um mesmo ponto e, andado, contornam uma pista 
oval que circunda um jardim. Uma dessas pessoas dá uma volta 
completa em 12 minutos. A outra, andando mais devagar, leva 20 
minutos para completar a volta. Depois de quantos minutos essas duas 
pessoas voltarão a se encontrar no mesmo ponto de partida? 
 
 
QUESTÃO 03. Um relógio A bate a cada 15 minutos, outro relógio B bate 
a cada 25 minutos, e um terceiro relógio C a cada 40 minutos. Qual é, 
em horas, o menor intervalo de tempo decorrido entre duas batidas 
simultâneas dos três relógios? 
 
 
QUESTÃO 04. Três luminosos acendem em intervalos regulares. O 
primeiro a cada 20 segundos, o segundo a cada 24 segundos e o terceiro 
a cada 30 segundos. Se, em um dado instante, os três acenderem ao 
mesmo tempo, depois de quantos segundos os luminosos voltarão a 
acender simultaneamente? 
 
 
QUESTÃO 05. A estação rodoviária de uma cidade é o ponto de partida 
das viagens intermunicipais. De uma plataforma da estação, a cada 15 
minutos partem um ônibus da viação sol, com destino a cidade paraíso. 
Os ônibus da viação lua partem da plataforma vizinha cada 18 minutos, 
com destino a cidade porta do céu. Se, às 8 horas os dois ônibus 
partirem simultaneamente, a que os dois ônibus partirão juntos 
novamente? 
 
 
QUESTÃO 06.De um aeroporto partem, todos os dias, três aviões que 
fazem rotas internacionais. O primeiro avião faz a rota em 4 dias, o 
segundo em 5 dias e o terceiro, em 10 dias. Se, certo dia, os três aviões 
partirem simultaneamente, depois de quantos dias esses aviões esses 
aviões partirão novamente no mesmo dia? 
 
 
QUESTÃO 07. Ao separar o total de suas figurinhas, em grupos de 12, 
de 15 e 20, Caio obervou que sobravam sempre 7 figurinha fora dos 
grupos. Se o total figurinhas for compreendido entre 200 e 300, qual 
 será a soma dos algarismos do número de figurinhas de Caio? 
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QUESTÃO 08. Numa classe há 28 meninos e 21 meninas. A professora 
quer formar grupos só de meninos ou só de meninas, com a mesma 
quantidade de alunos e usando ao maior quando possível. 
a) quantos alunos terá cada um desse grupos? 
b) quantos grupos de meninas pedem ser formados? 
c) quantos grupos de meninos? 
 
 
 
QUESTÃO 09. Em um certo país as eleições para presidente ocorrem de 
6 em 6 anos e para senador de 4 em 4 anos. Em 2004 essas eleições 
coincidiram. Quando essas eleições voltarão coincidirem novamente? 
 
 
QUESTÃO 10. Em classe existem menos de 40 alunos. Se o professor de 
Educação Física resolve formar grupos de 6 alunos, ou de 10 alunos, ou 
de 15 alunos, sempre sobra um aluno. Quantos alunos tem a classe? 
(Assinale a opção correta, 
justificando sua resposta com os cálculos.) 
 
a) 41 alunos b) 30 alunos c) 31 alunos d) 21 alunos 
 
 
QUESTÃO 11. Todos os alunos de uma escola de ensino médio 
participarão de uma gincana. Para essa competição, cada equipe será 
formada por alunos de um mesmo ano com o mesmo número de 
participantes. Veja na tabela a distribuição de alunos por ano: 
 
ANO | NÚMEROS DE ALUNOS 
1º | 120 
2º | 108 
3º | 100 
 
 
 Responda às seguintes perguntas: 
 
a) Qual é o número máximo de alunos por equipe? 
b) Quantas equipes serão formadas ao todo? 
 
 
QUESTÃO 12. Em uma turma do 6º ano do ensino fundamental, com 
mais de 30 alunos, foi distribuído um total de 126 borrachas, 168 lápis, 
210 livros e 252 cadernos. Essa distribuição foi feita de modo que cada 
aluno recebesse o mesmo número de borrachas, de lápis, de livros e de 
caderno. Nesse caso, pode-se estimar que o número de alunos dessa 
 turma era 
 
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a) 26. b) 32. c) 45. d) 42. 
 
 
QUESTÃO 13. Três viajantes de firma sairão a serviço no mesmo dia. 
Sabe-se que: 
 
 O primeiro faz viagens de 12 em 12 dias; 
 O segundo faz viagens de 20 em 20 dias; 
 O terceiro faz viagens de 25 em 25 dias. 
 
 
Depois de quantos dias sairão juntos novamente? 
 
 
QUESTÃO 14. O Sr. Vicente tem uma banca de frutas na feira. Nela há 
uma penca com 18 bananas e outra com 24 bananas. Ele quer dividir as 
duas em montes iguais. Qual deve ser o maior número possível de 
bananas em cada monte? 
 
 
QUESTÃO 15. Regina possui 3 pedaços de fita, como os apresentados 
abaixo, que serão utilizados na confecção de alguns enfeites. Ela 
pretende cortá-los em pedaços do maior tamanho possível, de forma 
que não haja sobras e que todos os pedaços tenham o mesmo tamanho. 
A fita rosa mede 630 cm, a fita roxa mede 810 cm e a fita verde mede 
540 cm. 
 
 
a) Qual será o tamanho de cada pedaço de fita após o corte? 
b) Quantos pedaços de fita serão obtidos ao todo? 
 
 
 
 
QUESTÃO 16. Um funcionário recolhe periodicamente o dinheiro de duas 
máquinas automáticas: uma de café e a outra de sanduíches. Ele faz a 
arrecadação da máquina de café de 3 em 3 dias e da de sanduíche de 4 
em 4 dias. No dia 11 de junho ele fez a arrecadação das duas máquinas. 
Qual serão próximo dia em que ele fará a arrecadação das duas 
máquinas juntas novamente? (Assinale a opção correta, justificando sua 
resposta com os cálculos.) 
 
a) 20 de junho b) 23 de junho c) 20 de junho d) 14 de 
junho 
 
 
 
 
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QUESTÃO 17. Para o casamento de sua filha Bernadete, dona Fátima 
encomendou 600 rosas, 300 margaridas e 225 cravos. Ela quer fazer 
arranjos de flores para enfeitar o salão de festas, sem deixar sobrar 
nenhumaflor. Todos os arranjos devem ser iguais e, para isso, devem 
ter o mesmo número de rosas, de margaridas e também de cravos. 
Desejando montar o maior número possível de arranjos, quantas flores 
dona Fátima deve colocar em cada um? 
 
 
QUESTÃO 18. Um aluno, indagado sobre o número de exercícios de 
Matemática que havia resolvido naquele dia, respondeu: “Não sei, mas 
contando de 2 em 2 sobra um; contando de 3 em 3 sobra um; contando 
de 5 em 5 também sobra um; mas contando de 7 em 7 não sobra 
nenhum. O total de exercícios não chega a uma centena”. De acordo 
com essa situação determine o número de exercícios resolvidos por esse 
aluno. 
 
 
QUESTÃO 19. Um cesto contém maçãs, em número menor que 150. 
Distribuindo-se as maçãs em sacos, formando grupos de 7, sobrarão 3 
maçãs. Distribuindo-se de 5 em 5, também sobrarão 3 maçãs. Sabendo 
que se as maçãs forem distribuídas de 11 em 11 não sobrará nenhuma 
maçã, calcule o número de sacos necessários para essa distribuição. 
 
 
QUESTÃO 20. No alto da torre de uma emissora de televisão, duas luzes 
“piscam” em diferentes intervalos de tempo. A primeira “pisca” a cada 4 
segundos, e a segunda “pisca” a cada 6 segundos. Se, num certo 
instante, as luzes “piscam” simultaneamente, após quantos segundos 
elas votarão a “piscar” ao mesmo tempo? 
 
 
QUESTÃO 21. O professor de Matemática disse que tinha uma certa 
quantidade de dinheiro que era divisível por 5, por 6 e por 7. É claro que 
essa quantidade pode ser zero. Mas, se ela não for nula, qual é o seu 
menor valor? 
 
 
QUESTÃO 22. Em uma mercearia o proprietário deseja estocar 72 
garrafas de água, 48 de suco e 36 de mel em caixas com o maior 
número possível de garrafas, sem misturá-las e sem que sobre ou falte 
garrafa. Qual deve ser a quantidade de garrafas por caixa? 
 
 
QUESTÃO 23. Pense em um número natural e em seu dobro. Diga qual é 
o mmc dos dois e dê um exemplo. 
 
 
QUESTÃO 24. Três torneiras estão com vazamento: 
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 da primeira cai uma gota de 4 em 4 minutos; 
 da segunda, uma gota de 6 em 6 minutos; 
 e da terceira, uma gota de 10 em 10 minutos. 
 
 Exatamente às 2 horas cai uma gota de cada torneira. A próxima vez 
em que pingarão juntas 
novamente será às (Faça os cálculos e assinale a opção correta.) 
 
 
a) 4 horas. 
b) 3 horas. 
c) 2 horas e 30 minutos. 
d) 3 horas e 30 minutos. 
 
 
QUESTÃO 25. Feira de Santana e Alagoinhas são cidades próximas de 
Salvador, a capital da Bahia. Suponha 
que de Salvador partam ônibus para Alagoinhas de 30 em 30 minutos, e 
para Feira, de 25 em 
25 minutos. Suponha também que às 6 horas da manhã saíram juntos 
um ônibus para Feira e 
outro para Alagoinhas. Nessas condições, responda às perguntas: 
 
a) Quantos minutos depois das 6 horas os dois ônibus sairão juntos 
novamente pela primeira vez? 
b) A que horas do dia isso vai acontecer?