1 DESAFIO PROFISSIONAL Matemática. 4 sériedocx

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UNIVERSIDADE ANHANGUERA – UNIDERP 
CENTRO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA 
POLO SANTA CRUZ DO RIO PADO - SP 
CURSO LICENCIATURA EM MATEMÁTICA 
 
 
 
Desafio Profissional 
DISCIPLINAS NORTEADORAS: Pré-Cálculo, Matemática do Ensino Fundamental, 
Teoria dos Números, Álgebra, Direitos Humanos, Geometria Analítica e Vetores. 
 
 
 
 ANA PAULA DA SILVA 
 RA: EAD3383587480 
 
 
 
 
CONTRIBUIÇÃO DE RECURSOS TECNOLÓGICOS PARA O ENSINO E A 
APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA DOS ALUNOS DO ENSINO MÉDIO 
ENVOLVENDO A FÍSICA 
 
 
 
 
 
NOME DO TUTOR A DISTÂNCIA: TIAGO BORGES 
 
 
SANTA CRUZ DO RIO PARDO / SP 
10/11/2017 
 
 
 
1. RECURSOS COMPUTACIONAIS E O ENSINO DE MATEMÁTICA. 
 
O uso de ferramentas computacionais nos permite vivenciar mudanças em 
vários aspectos do processo de aprendizado dos alunos. Através deste podemos 
vivenciar a capacidade de interação com o computador, permitindo a visualização 
imediata e real de respostas formuladas pelos alunos. 
Nos dias de hoje, o computador faz parte e se tornou uma ferramenta de uso 
para a motivação ao estudo. Não precisamos de muito esforço para compreender que 
a inclusão dos recursos computacionais é muito pequena na maioria das áreas no 
processo ensino-aprendizagem. 
Ainda que o uso das tecnologias para os problemas do ensino e da 
aprendizagem da matemática não seja a solução, tudo indica que mesmo que 
lentamente ocorrerá mudança na educação matemática. Com o uso do computador 
podemos obter e oferecer resultados diferentes das conseguidas com o uso de papel 
e lápis, proporcionando ao aluno simulações dinâmicas de objetos matemáticos. 
O GeoGebra é um software de matemática dinâmica apoiando o ensino e a 
aprendizagem em Ciência, Tecnologia, Engenharia e Matemática. 
Podemos destacar a interatividade que leva à motivação e comprometimento 
do aluno em sala de aula, pois, procura novos conhecimentos e habilidades tornando 
o aluno mais participativo para procurar novas alternativas para os problemas 
matemáticos. 
Com uso do computador em sala de aula, a tecnologia que é colocada ao nosso 
alcance para aprendizado leva a resolução de problemas com softwares 
computacionais. 
Um dos grandes desafios, não é criar novas tecnologias, mas sim de usá-las 
de forma a permitir ao aluno a troca de coadjuvante para ator principal. Logo o 
professor passa a ser o moderador que com sua experiência conduzirá seus alunos 
de uma forma criativa e inovadora. Os professores de modo geral precisam se adaptar 
a esse ambiente novo e buscar ferramentas para haja o interesse do aluno em 
aprender de uma maneira fácil e diferenciada. 
 
 
 
 
 
2. RESOLUÇÃO DO PROBLEMA. 
 
Em um jogo de futebol, um jogador irá bater uma falta diretamente para o gol. 
A falta é batida do ponto P, localizado a certa distância D da barreira. Suponha que a 
trajetória da bola seja parabólica, com ponto de máximo em Q, exatamente acima da 
barreira, como ilustra a figura apresentada no que segue: 
 
 
 
 
 
 
 
A bola é lançada a uma velocidade v  20 m/s e segundo um ângulo  tal que sen( ) 
 0,8 e cos( )  0, 6 . Assuma a força gravitacional g  10 m/s. 
A partir desta situação, temos a seguinte resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Determine expressões para x e y em função do tempo, onde x indica o deslocamento 
horizontal e y o deslocamento vertical da bola na situação descrita. 
Tomando V com a inclinação indicada e decompondo V no sistema cartesiano, temos 
Componente horizontal da velocidade 
 
 
 
 
 
 
y
x

VY
V
VX
Dados do enunciado 
V= 20m/s 
sen α = 0,8 
cos α = 0,6 
g= 10m/s² 
 
Vx = V cos α 
Vx = 20 cos α 
Vx = 20 x 0,6 
Vx= 12m/s 
 
 
 
Componente vertical da velocidade 
 
 
 
 
 
 
 
Na direção horizontal a bola descreve movimento constante(MRU) durante todo o 
tempo do percurso. A duração desse movimento equivale ao tempo gasto para que 
na vertical ela atinja a altura máxima (Ts = tempo de subida) e retorne ao solo (Td = 
tempo de descida). Sabemos ainda que Ts = Td a posição na horizontal (D), é dada 
pela expressão (MRU): 
 
 
 
 
 
 
T é o tempo total do movimento (subida + descida). Na vertical, desprezando-se a 
resistência do ar, o móvel se desloca com movimento constante variado (MRUV), cuja 
velocidade inicial Voy, é a componente vertical de V no eixo das ordenadas: 
 
 
 
 
 
 
b) Em qual instante a bola atinge a altura máxima? Qual o maior valor de altura 
alcançada pela bola? Estude estas questões por meio dos máximos e mínimos de 
funções de uma variável real. 
 
 
Vy = V sen α 
Vy = 20 sen α 
Vy = 20 x 0,8 
Vy= 16m/s 
X = X0 + Vx T 
D = 0 + 12T 
onde ... T = Ts + Td 
Q = X0 + V0Y ts - 
10𝑡𝑠
2
2
 
Q = 0 + 16ts – 5 𝑡𝑠
2 
Q = 16ts – 5 𝑡𝑠
2 
 
 
 
Sabemos que no instante em que atinge Hmax, sua velocidade é nula (Vy = 0). 
Tomando a equação da velocidade no MRUV: 
 
 
 
 
 
 
 
Substituindo na expressão do deslocamento vertical teremos: 
 
 
 
 
 
 
c) Conhecendo as expressões que caracterizam os deslocamentos horizontal e vertical 
em função do tempo, determine uma expressão que relaciona o deslocamento vertical 
da bola em função do deslocamento horizontal da mesma. 
 
Essa equação é a Equação da Trajetória, onde eliminamos a variável “tempo”. 
Retomando o par de equações do movimento para “X” e “Y” e isolando o valor de “t” 
em cada uma delas, teremos: em X, que substituindo em Y, teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑡 =
𝑋
20 𝑥 0,6
 
𝑌 = 20 × 0,8 ⋅
𝑋
20 × 0,6
−
10 (
𝑋
20 × 0,6 )
2
2
 
𝑌 = 16 ×
𝑋
12
− 5 (
𝑋
12
)
2
 
𝑌 = 𝟖𝑿 −
𝟓𝑿
𝟏𝟒𝟒
𝟐
 
 
Vy = V0y – gts 
0 = 16 – 10ts 
10ts = 16 
ts = 
16
10
 
ts = 1,6s 
Q = 16ts – 5 𝑡𝑠
2 
Q = 16(1,6) – 5 (1,6)² 
Q = 12,8m 
 
 
 
d) Qual a distância D percorrida pela bola, no sentido horizontal, desde seu lançamento 
até a barreira? 
 
Sabendo que o tempo de percurso horizontal é 2 x Ts (tempo de subida + o tempo de 
descida) e substituindo na expressão do deslocamento: 
 
 
 
 
 
 
 
e) Suponha agora que sejam conhecidas apenas as coordenadas dos pontos P, Q e R, 
conforme os itens anteriores, sabendo também que a posição R é atingida quando 
tivermos y = 0. Considerando apenas as coordenadas dos pontos P, Q e R, como 
poderíamos determinar uma expressão que indica o deslocamento vertical da bola em 
função de seu deslocamento horizontal? 
 
 
 
 
 
 
Sabendo que a parábola é dada por ax²+bx+c, vamos fazer as substituições: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
D = 0 + 12T 
onde... T = Ts + Td 
D = 12 (1,6 + 1,6) 
D = 38,4m – até a bola. 
Ponto P (0,0) 
Ponto R (38,4 , 0) 
Ponto Q (19,2 , 12,8) 
R (38,4 , 0 ) 
0= a.(38,4)²+b.38,4 +0 
1.474,56a + 38,4b = 0 
P (0,0) 
0= a.0²+b.0+c 
C=0 
A distância até a 
barreira é: 
D= 
38,4
2
 
D= 19,20 m 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como já temos o ponto c, vamos montar um sistema com os pontos R e Q para 
definir os pontos a e b. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Substituindo a na primeira equação temos: 
 
 
 
 
 
 
Agora definidos os pontos a, b e c, vamos montar a nossa equação geral: 
 
 
 
 
 
 
 
1.474,56a+38,4b=0 (:38,4) 
368,64a+ 19,2b=12,8 x(-1) (:19,2) 
 
38,4a+ b=0 
-19,2a –b = -0,6666 
 
-19,2a=-0,666 
a= 0,666/-19,2a= - 0,03468 
 
38,4(-0,03468)+b=0 
-1,3317+b=0 
b= 1,3317 
ax²-bx+c=0 
-0,3468x² + 1,3317x=0 
 
Q (19,2 , 12,8) 
12,8= a.(19,2)²+b.(19,2)+0 
368,64a +19,2b=12,8 
 
 
 
3. PROPOSTA PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA E FÍSICA. 
 
O ensino de Matemática tem passado por mudanças desde as últimas décadas 
do século XX. A abordagem teórica majoritariamente expositiva, desvinculada de 
interações com outras áreas do conhecimento, tem dado lugar a uma abordagem mais 
pratica, sem perder a apropriação dos principais conceitos matemáticos. 
A Física é responsável pelos acontecimentos ao nosso redor e sua relação com 
a matemática nos mostra a utilização da elaboração de formulas e expressões 
algébricas e matemáticas que determinam em números os fundamentos teóricos, 
onde podemos notar que nos MUV (movimento uniformemente variado), há equações 
que nos mostram os problemas e que através delas podemos determinar as respostas 
conclusivas referente as tais situações. 
Na disciplina de matemática a metodologia de ensino tem usado muito a 
resolução de problemas, contextualização e à multi e interdisciplinaridade, que 
depende da automotivação e da ação investigativa do aluno fazendo com que os 
alunos sejam os autores principais do seu próprio conhecimento. Mas para se 
trabalhar com essa metodologia temos que ter bem definido que, o educador é o 
mediador do conhecimento e não o transmissor. Caso os alunos errem, o professor 
tem que mostrar o erro de uma maneira positiva para que possam assim entender e 
aprender com os erros sem se frustrarem. 
Para que o resultado seja satisfatório, o professor tem que ter o conhecimento 
de que os problemas em questão precisam sim de dificuldades para a sua resolução, 
pois assim, os alunos discutirão e resolverão a questão, esse é o ponto para um 
avanço no desenvolvimento dos conceitos apresentados na matemática, além de 
proporcionar aos alunos uma aula diferente e interessante. 
Hoje em dia existem muitos métodos de ensino aprendizagem na disciplina de 
matemática. A evolução nos trouxe a informatização e ou (TIC), o uso de 
computadores e internet que faz parte dos currículos escolares. O uso das tecnologias 
tem aumentado gradativamente sua presença na rotina da sala de aula em momentos 
de aprendizado, aproximando a Matemática cada dia das ferramentas de uso dos 
estudantes. 
 
 
 
 
Plano de Aula: Ensino de Matemática e Física 
 
Duração: 2 aulas 
Tema: Matemática e Velocidade 
 
Pré-requisitos: 
- Função de 2º Grau 
- Verificar se o resultado obtido e a solução do problema; 
- Conceitos básicos da Física; 
- Cálculos de equações baseados no conceito da física; 
 
Objetivos: 
Mostrar a relação entre conceitos da matemática e da física para a interpretação de 
problemas, discutir sobre o procedimento do cálculo percentual para poder analisar o 
decréscimo e o acréscimo do valor de uma medida. 
 
Desenvolvimento: 
Usar o quadro o Datashow; lousa ou quadro branco para fazer as explicações dos 
cálculos; usar as TICs para desenvolver as funções e fazer gráficos. 
 
Recursos: 
Livros didáticos; Caderno do Professor/Aluno; internet, Software e vídeos. 
 
Avaliação: 
A avaliação será feita durante as aulas através de atividades e provas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Conteúdo Teórico do Plano de Aulas 
Gráfico da Função de 2º Grau 
Em Matemática função é uma relação entre duas ou mais grandezas. Quando 
o valor de uma grandeza varia, varia também o valor da outra. Nesse caso, se diz que 
uma varia em função da outra. 
Em uma função podemos definir seu domínio, seu contradomínio e sua 
imagem. Podemos definir uma função do 2º grau pela lei de formação: f(x) = ax² + bx 
+ c e,ou y = ax² + bx + c, onde a, b e c são números reais e a ≠ 0. No plano cartesiano 
é representado por uma parábola, porque o valor do coeficiente a, tem sua 
concavidade para cima ou para baixo. Ela, a função, tem três possíveis resultados, 
que são determinadas quando f(x) ou y for igual a zero, a transformando em uma 
equação de grau 2. 
 
Gráfico da função de uma parábola 
concavidade para cima - Coeficiente a > 0 
concavidade para baixo - Coeficiente a < 0 
 
A função terá duas raízes reais e distintas pois a equação de grau 2 possui duas 
soluções distintas, assim, a parábola cruza o eixo das abscissas (x) em dois pontos. 
a > 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A função terá apenas uma raiz real. A equação de grau 2 possui uma única solução, 
assim, a parábola irá cruzar o eixo das abscissas (x) em apenas um ponto. a = 0 
 
 
A equação não possui soluções reais, logo, a sua função não cruzará o eixo das 
abscissas (x). a < 0 
 
 
 
Pontos do gráfico de uma função do 2º grau 
 
De acordo com o valor do coeficiente a, os pontos serão definidos conforme o 
vértice da parábola. 
• valor máximo, quando o valor do coeficiente for a < 0. 
 
 
 
 
 
• valor mínimo, quando o valor do coeficiente for a >0. 
 
 
 
 
Na função de grau 2 encontraremos outro fator, onde, o ponto da parábola corta o eixo 
y. Se analisarmos, veremos que o valor do coeficiente c, onde a parábola o cruza, 
corresponde ao valor do eixo y. 
 
 
 
 
 
 
Conceitos Básicos da Física 
Função da velocidade determinada no MRUV 
αm=ΔV/Δt 
• Δv: Variação de velocidade 
• Δt: Variação de tempo 
 
 
 
 
 
 
Função Horária do MRUV 
A fórmula constitui uma função quadrática (2ºgrau). Já na Física é dada pela 
expressão S = S0 + V0t + (at2)/2, onde, é a expressão que relaciona o espaço em 
função do tempo. 
 
 
 
 
 
 
 
Equação de Torricelli 
Se substituirmos a equação V=vo+at na equação S=So+Vot+at2/2, teremos a equação 
de Torricelli. 
V2=v02+2αΔs 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a = aceleração, 
S = espaço, 
V = velocidade 
t = tempo 
 
 
 
 
 
REFERÊNCIAS 
 
MATEMÁTICA JUNIOR, Gráfico da Função de 2º Grau. Disponível em: 
https://matematicajunior301.wordpress.com/2012/05/30/grafico-de-funcao-do-2o-
grau-8a-serie/ >Acesso em 02 de Outubro de 2017. 
 
Brasil Escola, Gráfico da Função de 2º Grau. Disponível em: 
http://brasilescola.uol.com.br/matematica/grafico-funcao.htm >Acesso em 02 de 
Outubro de 2017. 
 
Função do 2º Grau, exercícios sobre gráficos e estudos. Disponível 
em:https://doutormatematico.blogspot.com.br/2015/10/exercicios-sobre-grafico-e-
estudo-dos.html > Acesso em 02 de Outubro de 2017. 
 
BRASIL. Ministério da Educação (MEC). Secretaria de Educação Média e Tecnológica 
(SemTec). PCN+ Ensino Médio: orientações educacionais complementares aos 
Parâmetros Curriculares Nacionais – Ciências da Natureza, CAVALCANTE, N. I. dos 
S. O Ensino de Matemática e o Software GeoGebra: discutindo potencialidades dessa 
relação como recurso para o ensino de funções.Disponível em: 
http://www.pucrs.br/famat/viali/tic_literatura/artigos/pacotes/RE-12419073.pdf > 
Acesso em 07 de Outubro de 2017. 
 
Uso do Software GeoGebra: uma proposta no ensino da Matemática”, elaborada por 
Luciane Giongo Vargas. Trabalho disponível em: 
<http://acervodigital.ufpr.br/bitstream/handle/1884/33561/LUCIANE%20GIONGO%2
0VARGAS.pdf?sequence=1> Acesso em 10 de Outubro de 2017. 
 
Youtube, GeoGebra - Interface e Construções iniciais. Disponível em 
https://www.youtube.com/watch?v=JXyv_Dd_mM8 > Acesso em 10 de Outubro de 
2017. 
 
Movimento Retilíneo Uniforme: Física Ensino Médio. Disponível em: 
https://www.infoescola.com/fisica/movimento-retilineo-uniformemente-variado/>>>> 
Acesso em 16 de Outubro de 2017. 
 
Movimento Uniformemente Variado:Só Física. Disponivel em: 
http://www.sofisica.com.br/conteudos/Mecanica/Cinematica/muv.php >Acesso em 16 
de Outubro de 2017. 
 
Youtube, Aceleração e Movimento retilíneo uniformemente variado, Física Ensino 
Médio. Disponivel em: https://www.youtube.com/watch?v=vGR0dbqc464 > Acesso 
em 16 de Outubro de 2017. 
 
 
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