PROVA PRESENCIAL - 1 CHAMADA - ANÁLISE MATEMÁTICA

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Questão 1
Podemos avaliar as sequências de números reais tendo em vista a classificação das mesmas
de acordo com suas principais características.
Em relação a esse tema, considere as seguintes asserções e a relação proposta entre elas:
I. A sequência (xn) cujo termo geral é representado por
é monótona, podendo ser classificada como crescente e ilimitada.
PORQUE
II. Uma sequência é classificada como crescente quando xn < xn+1 para todo número n
natural.
Com base nas asserções apresentadas e na relação indicada, assinale a alternativa correta:
A) A asserção I é falsa, enquanto a II é verdadeira.
B) As asserções I e II são verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
C) As asserções I e II são verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
D) As asserções I e II são falsas.
E) A asserção I é verdadeira, enquanto a II é falsa.
Questão 2
Considerando as características dos conjuntos enumeráveis e não enumeráveis, analise as
afirmações apresentadas no que segue:
I. A partir de um conjunto X enumerável é possível identificar um conjunto Y não enumerável
contido em X.
II. Se um conjunto M é não enumerável, então seus subconjuntos podem ser classificados
como enumeráveis ou não enumeráveis.
III. Qualquer subconjunto limitado de um conjunto enumerável pode ser classificado como
enumerável, independentemente de sua cardinalidade.
A respeito das afirmações apresentadas, assinale a alternativa correta:
A) Apenas a afirmação III está correta.
B) Apenas as afirmações I e III estão corretas.
C) Apenas as afirmações II e III estão corretas.
D) Apenas as afirmações I e II estão corretas.
E) Apenas a afirmação II está correta.
Questão 3
A partir das propriedades da enumerabilidade de conjuntos, classifique as seguintes
afirmações como verdadeiras (V) ou falsas (F):
( ) Para provar que um conjunto X é não enumerável basta verificar que não existe bijeção
com o conjunto dos números naturais.
( ) Todo subconjunto Y de um conjunto infinito X não enumerável é também não enumerável.
( ) Se um conjunto infinito P é enumerável então qualquer subconjunto de P é também
enumerável.
Assinale a alternativa que indica a sequência correta:
A) F - F - V.
B) V - F - V.
C) F - V - F.
D) V - F - F.
E) V - V - F.
Questão 4
Considere a série definida por
Com base em Σyn, analise as seguintes afirmações, classificando-as como verdadeiras (V) ou
falsas (F):
( ) A série Σyn pode ser classificada como uma série divergente.
( ) O limite do termo geral yn quando n tende ao infinito não existe.
( ) A sequência das somas parciais de Σyn é uma sequência crescente.
Em relação às afirmações apresentadas, assinale a alternativa que indica a sequência correta:
A) V - F - V.
B) F - F - V.
C) V - V - F.
D) V - F - F.
E) F - V - F.
Questão 5
Considerando as características dos conjuntos finitos e enumeráveis, analise as seguintes
afirmações:
I. Todo conjunto finito é enumerável, ainda que nem todo conjunto enumerável seja finito.
II. Para que um conjunto X seja enumerável é necessário que X tenha cardinalidade infinita.
III. Todo conjunto infinito é não-enumerável, independentemente das características de seus
elementos.
A respeito das afirmações apresentadas, assinale a alternativa correta:
A) Apenas a afirmação III está correta.
B) Apenas a afirmação I está correta.
C) Apenas as afirmações I e II estão corretas.
D) As afirmações I, II e III estão corretas.
E) Apenas as afirmações II e III estão corretas.
Questão 6
Em relação ao conjunto de números reais e seus subconjuntos, analise as seguintes
afirmações:
I. Para que um conjunto seja limitado é necessário e suficiente que este admita uma cota
inferior e uma cota superior.
II. Se um subconjunto do conjunto de números reais admite supremo, então o conjunto em
questão é limitado superiormente.
III. Qualquer subconjunto dos números reais é limitado inferiormente, ainda que este não
admita ínfimo.
Com relação às afirmações apresentadas, assinale a alternativa correta:
A) Apenas a afirmação III está correta.
B) Apenas a afirmação II está correta.
C) Apenas as afirmações II e III estão corretas.
D) Apenas as afirmações I e II estão corretas.
E) Apenas as afirmações I e III estão corretas.
Questão 7
Com base no estudo da cardinalidade dos conjuntos finitos, analise as seguintes afirmações:
I. A partir de dois conjuntos A e B finitos, tais que ambos possuem a mesma cardinalidade, é
possível definir uma função bijetiva f: A → B.
II. Se dois conjuntos A e B são finitos, então a cardinalidade do conjunto correspondente à
união AUB é sempre maior que a soma das cardinalidades dos conjuntos A e B.
III. Se for possível estabelecer uma função bijetiva entre um conjunto X e um conjunto In,
para algum n natural, então é possível identificar e representar a cardinalidade do conjunto X
como um número natural.
Com base nessas afirmações, assinale a alternativa correta:
A) Apenas as afirmações I e II estão corretas.
B) Apenas as afirmações II e III estão corretas.
C) Apenas as afirmações I e III estão corretas.
D) Apenas a afirmação II está correta.
E) Apenas a afirmação III está correta.
Questão 8
Considerando as definições de pontos aderentes, pontos de acumulação e pontos isolados,
além das caracterizações dos conjuntos de acordo com seus pontos, analise as seguintes
afirmações, classificando-as como verdadeiras (V) ou falsas (F):
( ) Conjuntos compactos são compostos por pontos aderentes, enquanto que conjuntos
fechados são compostos por pontos de acumulação e pontos isolados.
( ) Qualquer conjunto discreto apresenta ao menos um ponto de acumulação, desde que seja
representado na forma de um intervalo de números reais.
( ) Para que um ponto seja classificado como ponto de acumulação de um conjunto é
necessário que exista uma sequência de elementos distintos do conjunto que convirja a ele.
Assinale a alternativa que indica a sequência correta, considerando a ordem de cima para
baixo:
A) F – V – V.
B) F – V – F.
C) V – F – F.
D) V – V – F.
E) F – F – V.
Questão 9
Com base nas propriedades das sequências monótonas e limitadas de números reais, analise
as seguintes afirmações, classificando-as como verdadeiras (V) ou falsas (F):
( ) Toda sequência monótona de números reais pode ser classificada como uma sequência
limitada.
( ) A sequência de números reais com termo geral
para todo n natural, é não crescente.
( ) A sequência de números reais com termo geral
para todo n natural, não é monótona.
Assinale a alternativa que indica a sequência correta, considerando a ordem de cima para
baixo:
A) F – V – F.
B) F – F – V.
C) V – F – F.
D) V – V – F.
E) F – V – V.
Questão 10
Seja o seguinte subconjunto do conjunto de números naturais:
Com base nesse conjunto, complete as lacunas da seguinte afirmação para que torne-se uma
interpretação correta de resultados relativos à enumerabilidade de conjuntos:
Sendo A um conjunto ________, se for possível definir uma função ________ f: X → A, então
podemos concluir que o conjunto X será ________. Por outro lado, se a função f: A → X for
sobrejetiva, podemos concluir que o conjunto X será ________.
Assinale a alternativa que apresenta os termos que completam corretamente as lacunas da
afirmação anterior, na ordem em que devem ser considerados:
A) não-enumerável - sobrejetiva – enumerável – não-enumerável.
B) não-enumerável - injetiva – enumerável – não-enumerável.
C) enumerável - injetiva – enumerável – enumerável.
D) enumerável - sobrejetiva – enumerável – não-enumerável.
E) enumerável - injetiva – não-enumerável – enumerável.
Questão 11
Com base nas definições de conjuntos abertos, fechados e discretos, analise as afirmações
apresentadas a seguir, classificando-as como verdadeiras (V) ou falsas (F):
( ) O intervalo [0, 1] de números reais é um conjunto discreto porque todos os seus pontos
podem ser classificados como pontos de acumulação.
( ) O intervalo (-1, 1) de números reais é um conjunto aberto porque todos os seus pontos
podem ser classificadoscomo pontos interiores.
( ) O intervalo [3, 7] de números reais é um conjunto fechado porque todos os seus pontos
podem ser classificados como pontos isolados.
Assinale a alternativa que indica a sequência correta das classificações, considerando a ordem
na qual as afirmações foram apresentadas:
A) V – F – F.
B) F – V – F.
C) V – V – F.
D) V – F – V.
E) F – F – V.
Questão 12
Considerando as propriedades das sequências e suas subsequências, analise as seguintes
afirmações e a relação proposta entre elas:
I. A sequência (hn) de números reais definida por
para todo n natural, admite uma subsequência convergente.
PORQUE
II. A sequência (hn) pode ser classificada como uma sequência convergente.
Em relação às afirmações apresentadas, assinale a alternativa correta:
A) As afirmações I e II são verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta para a I.
B) A afirmação I é verdadeira e a II, falsa.
C) As afirmações I e II são verdadeiras, e a II é uma justificativa correta para a I.
D) A afirmação II é verdadeira e a I, falsa.
E) As afirmações I e II são falsas.