Apostila Pontes de Concreto - UNESP

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unesp UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA 
CAMPUS DE GUARATINGUETÁ 
FACULDADE DE ENGENHARIA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PONTES DE CONCRETO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Notas de aulas 
 
 
 Prof. Yzumi Taguti 
 
 
 
2002 
 1. 
 
1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ÍNDICE 
 
 
 
 
 
páginas 
 
Capítulo I -Critérios de avaliação e bibliografia do curso ........................................... 1.2 
Capítulo II - Introdução ao curso de pontes................................................................... 2.1 
Capítulo III - Elementos de Projetos ........................................................................... 3.1 
Capítulo IV - Cargas em Pontes...................................................................................... 4.1 
Capítulo V - Exemplo de Pontes em Vigas Independentes ........................................... 5.1 
Capítulo VI - Cálculo das Vigas Principais .................................................................... 6.1 
Capítulo VII - Cálculo das Transversinas ........................................................................ 7.1 
Capítulo VIII - Cálculo das Lajes ...................................................................................... 8.1 
Capítulo IX - Cálculo dos Pilares ................................................................................... 9.1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1. 
 
1
CAPÍTULO I (2002) 
 
CURSO DE PONTES E CONCRETO PROTENDIDO 
 
AVALIAÇÃO 
 
 
 
�
�
�
�
�
=
=
=
=
 testesde notas melhores 05 das MédiaMT
MT a e Provas 4 as entre notas melhores 4 das MédiaMP
entoaproveitam de NotaNA
MPNA 
 
 Pontes: 2 provas e 3 testes 
 Protendido: 2 provas e 3 testes 
 
Calendário de Pontes: 
a) provas : P1 ; P2 ; 1a. época: ; 2a. época: 
b) testes : T1 ; T2 ; T3 
 
Calendário de Protendido: 
a) provas : P3 ; P4 ; 1a. época: ; 2a. época: 
b) testes : T4 ; T5 ; T6 
 
 
Bibliografia 
 
 Normas: NBR-7188 - Carga móvel em pontes rodoviárias e passarelas de pedestres - 1984. 
NBR-7189 - Carga móvel em pontes ferroviárias - 1985 
NBR-6118 - Projeto e execução de obras de concreto armado - 1978 
NBR-7187 - Projeto e execução de pontes de concreto armado e protendido - 
1986 (revisão) 
NBR-8681 - Ações e segurança nas estruturas - 1984 
 
 Livros: -LEONHARDT, F. Construções de concreto, vol 6 1979 
-PFEIL, N. Pontes de concreto armado, 2v. 1979 
-O'CONNOR C. Pontes, 2 vol, 1975 
-MASON, J. Pontes em concreto armado e protendido 1977 
 
 Apostilas: -EL DEBS, M.K. & TAREYA, T. Pontes de concreto - notas de aula - 5 
fascículos - EESC-USP-1990. 
-MARTINELLI, D.A.D. Pontes de concreto - EESC-USP-1971. 
-FREITAS, M. Introdução Geral. Pontes - EPUSP-1981 
-BERNARDO, GRAULO - Pontes - Grêmio Politécnico-1980. 
-HANAI, J.B. - Fundamentos do Concreto Protendido - Notas de Aulas, EESC-
USP, 1991 
2.1 
 
CAPÍTULO II (2002) 
 
2. CONCEITOS GERAIS 
 
 
2.1. Definições 
 
Ponte: obra necessária para manter a continuidade de uma via qualquer, através de um 
obstáculo natural ou artificial. 
 
 PONTE, VIADUTO, GALERIA, PASSARELAS 
 
2.2. Requisitos 
a) Funcionalidade . permitir tráfego atual com previsões para seu incremento. 
 . escoamento das águas sob ponte com o mínimo de perturbação. 
b) Segurança . considerar as tensões, deformações e duração. 
c) Estética . atender a boa aparência sem criar grandes contrastes com o ambiente. 
d) Economia . objetivo da engenharia, apresentar uma solução de menor custo. 
 
2.3. Elementos Constituintes 
• Superestrutura 
�
�
�
 
estrutura principal 
estrutura secundária 
• Aparelhos de apoios 
• Infra-estrutura 
�
�
�
 
suportes { 
 
fundações 
pPilares 
eEncontros 
 
a) Superestrutura: elemento suporte direto ( ver Fig. 2.1) 
 .Estrutura principal: - função de vencer o vão livre 
 - recebe as cargas que atuam na ponte 
 Ex: vigas, lajes, pórticos, arcos, pênseis estaiadas 
 .Estrutura secundária: .Recebe a ação direta das cargas e a transmite à estrutura principal 
 
 Ex: tabuleiro, pendurais, tímpanos, passeios 
 
 
 
2.2 
 
b) Aparelhos de apoio . Elementos colocados entre a infra e a superestrutura. Transmite 
reações de apoio e permite determinados movimentos da 
superestrutura. Fixo e móvel. 
viaduto de acesso ponte viaduto de acesso
aparelhos de
apoio
superestrutura
infra-estrutura
aterro
encontro
pilar
fundação
aterro
VISTA LONGITUDINAL
(infra e superestrutura)
. . ..
.
..
.
.
.
.
. . ...
.
. .
defensa
guarda-corpo
transversina longarina viga principal
passeioestrado = laje superfície de rolamento
CORTE TRANSVERSAL
(superestrutura)
Fig. 2.1 - Elementos constituintes de uma ponte
laje em balanço
 
 
N.A.
aterro
aterro
pista de rolamento
L
l l
l
l
h
h
1 2
3
5
4
l
c
l
Fig. 2.2 - Elementos geométricos de uma ponte
 
 
c) Infra-estrutura . Recebe as cargas e as transmite ao solo 
 
2.3 
 
 Fundações - tem por finalidade transmitir ao solo as reações provenientes dos 
diversos carregamentos da ponte. 
 
2.4. Elementos Geométricos ( ver Fig. 2.2 ) 
 
 
2.5. Sistema Estrutural 
 
 a) Isostática ou Hiperestática (estr. principal) 
 
 
Vigas �
�
�
�
� - Simplesmente apoiada
- Contínua
- Gerber
c / balanço
s / balanço
�
�
�
−
 
 
 
Lajes �
�
�
�
� - Simplesmente apoiada
- Contínua
- Em pórtico
c / balanço
s / balanço
�
�
�
−−−−
 
- Pórtico 
- Arcos e abóbodas 
- Pontes com sustentação por cabos{pênseisestaiadas 
 
 b) Seção Transversal 
 
 
- Lajes �
�
� - maciça - atá 15m
- vazada - protendida até 35m
 
2.4 
 
 - fácil execução formas e montagem das armaduras 
 - peso próprio elevado 
 
 
- Viga �
�
�
- aberta { - vigas
- grelha −−−> tabuleiro solidário
- celular láminas solidárias e rígido à torção−−−>
- treliça (metálica)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.1 
 
 
CAPÍTULO III (2002) 
 
3. ELEMENTOS NECESSÁRIOS PARA A ELABORAÇÃO DO PROJETO DE UMA PONTE 
 
3.1. Introdução 
 
 A elaboração de um projeto de pontes envolve o conhecimento de uma série de dados sobre 
as particularidades locais, tais como, condições topográficas, hidrológicas e geotécnicas. 
 
 Tais informações são fundamentais no processo de escolha do local de colocação dos pontos, 
as quais devem respeitar algumas normas gerais. Estas visam: 
 
 a) alcançar o menor custo para a obra 
 b) obter condições de boas fundações 
 c) não interferir no regime líquido ou, se preciso, alterar o mínimo possível 
 d) travessia perpendicular ao eixo do rio e sem pilares intermediários 
 e) escolher o local de modo que o rio tenha a menor largura 
 
3.2 - Fases principais para a elaboração do Projeto 
 
 Projeto de uma ponte é um conjunto de estudos, cálculos e gráficos que permitem definir, 
justificar e construir uma ponte: definir, quanto ao sistema estático e materiais a empregar; 
justificar, quanto às dimensões adotadas para o vão, outras partes da estrutura e o custo; construir, 
de acordo com os detalhes gráficos e especificaçõesdo memorial descritivo. 
 
 As fases, em geral, dos projetos são as seguintes: 
 
a) Estudos preliminares 
 
 Fundamentados nos estudos geológicos, hidrológicos e topográficos, definem-se o 
vão da ponte e sua localização. 
 
b) Ante-projeto 
 
 Aqui são formuladas as várias soluções técnicas que permitam respeitar as condições 
indicadas nos estudos preliminares. Estas soluções são acompanhadas de orçamento 
estimativo e do tempo necessário para a execução. Nesta fase a experiência, o conhecimento 
de outras obras e a intuição profissional do projetista exercem significativa relevância. 
 
c) Projeto definitivo 
 
 Entre os diversos ante-projetos procede-se a escolha daquele que melhor atenda os 
aspectos de economia, estética e execução. 
 
3.3 Documentos de Projeto 
 
 Em geral são os seguintes: 
 
a) Planta de situação do local da travessia, indicando as cidades ou regiões habitadas mais 
próximas (1:1000 a 1:2000); 
3.2 
 
b) Corte do conjunto estrada-ponte com escalas diferentes: alturas (1:100) e comprimentos 
(1:1000); 
c) Corte transversal indicando o sub-solo, com detalhes de sondagens; 
d) Elevação da ponte, podendo ser metade em vista e metade em corte longitudinal (1:50 a 
1:100); 
e) Seções transversais da superestrutura e plantas das mesmas (1:20 a 1:50); 
f) Plantas e elevações da mesoestrutura e infra-estrutura; 
g) Detalhes de construção (plantas de forma, de ferragem etc.); 
h) Memorial descritivo acompanhado da parte de cálculos estáticos e hidráulicos etc.) 
i) Orçamento 
j) Projeto de execução 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.1 
 
CAPÍTULO IV (2002) 
 
4. CARGAS EM PONTES (NBR-8681; NBR-7188; NBR-7189) 
 
4.1 INTRODUÇÃO 
 
 Para a análise da resistência e da estabilidade de uma estrutura, em geral, necessitam-se: 
 a) conhecer todas as forças que atuam ou poderão ser aplicadas na estrutura 
 b) determinar as reações destas forças e verificar se resulta em equilíbrio estável 
 c) determinar as tensões solicitantes e verificar se são admissíveis para o material que 
constitui a peça 
 
 As cargas externas podem ser agrupadas em: 
 * Ações permanentes 
 * Ações variáveis 
 * Ações excepcionais 
 
4.2 AÇÕES PERMANENTES 
 
 São aquelas que, uma vez, construída a ponte, mantêm-se atuantes. 
 
4.2.1 Peso próprio 
 
 - peso próprio dos elementos estruturais 
 - peso próprio dos elementos, tais como, pavimentação, passeios, guarda-corpo, trilhos, 
lastros etc. 
 
 O peso próprio dos elementos estruturais é avaliado em função do material a empregar, por 
meio de fórmulas empíricas, pela observação de estruturas anteriormente projetadas. Este 
procedimento é conhecido por PRÉ-DIMENSIONAMENTO. 
 
 As variações entre o peso próprio no dimensionamento final e aquele do pré-
dimensionamento, de acordo com a norma brasileira, são as seguintes: 
 
 Aço ............ 3% 
 Concreto ........... 5% 
 Madeira ............10% 
 
 
4.2.2) EMPUXOS DE TERRA E ÁGUA 
 
 
 - Empuxo de terra 
 
 Determinados conforme os princípios da Mecânica dos solos. 
 
 
•
≥
≤
�
�
�
��
 solo úmido 
peso específico 18kN / m
ângulo de atrito interno 30
3
o
 
 
• Considerar os empuxos ativos e de repouso nas situações mais desfavoráveis e o empuxo 
passivo quando sua ocorrência for garantida ao longo da vida útil da obra. 
4.2 
 
 - Empuxo da água 
 
 • estudo dos níveis máximo e mínimo do curso d'água e do lençol freático 
 • empuxo d'água é considerado se não houver sistema de drenos adequados. 
 
4.2.3 FORÇA DE PROTENSÃO 
 
 Consideradas de acordo com a NBR 7197 relativo às obras de concreto protendido. 
4.2.4 DEFORMAÇÕES IMPOSTAS 
 
 
a) ⋅
⋅
 Fluência (deformação lenta) 
b) Retração de concreto protendido, por causarperdas de protenção - NBR 7197
Importantes em concreto
 
 
 - estruturas isostáticas - permitem a deformação 
 - estruturas hiperestáticas - acréscimos de tensões devido ao impedimento das deformações 
 
 c) Deslocamentos de apoio (recalques) 
 
 É um dos critérios para a escolha do sistema estrutural. Quando são previstos recalques 
excessivos, evita-se estruturas hiperestáticas. 
 
4.3 AÇÕES VARIÁVEIS 
 
 São as que ocorrem com valores que apresentam variações significativas em torno de sua 
média, durante a vida da construção. 
 
4.3.1 FORÇA CENTRÍFUGA 
 
 Ocorrência - pontes de eixo curvo, através do atrito das rodas com o pavimento. 
 C = força centrífuga para cada eixo do veículo 
 
C Mv
R
=
2
 R = raio de curvatura do eixo da estrada 
 v = Velocidade do veículo 
 M = massa do veículo 
 
C Qv
R
=
0 0077 2,
 
onde, 
 Q = peso do veículo (kN) 
 v = km/h 
 R = m 
 
 Na prática admite-se, segundo a NBR-7187, as seguintes forças centrífugas, uniformemente 
distribuída: 
 
 a) pontes rodoviárias 
 C = 0,25 do peso do veículo-tipo para R ≤ 300 m. 
 C = 
R
75
 do peso do veículo-tipo para R > 300 m. 
 C atua na superfície de rolamento. 
 
 b) pontes ferroviárias 
 - bitola larga (1,60 m) 
 C = 0,15 da carga móvel para R ≤ 1200 m 
4.3 
 
 C = 
180
R
 da carga móvel apara > 1200 m 
 
 - bitola estreita (1,0 m) 
 C = 0,10 da carga móvel para R ≤ 750 m 
 C = 
R
75
 da carga móvel para R > 750 m 
 C atua no centro de gravidade do trem (suposto 1,60 m acima do topo do trilho). 
 
 
C
C
M
e M = C . e
seção transversal força C transferida ao C.G. da seção
Fig. 4.1 - Efeitos da força centrífuga
 
 
 Efeito da força centrífuga sobre a ponte - no caso, haverá aumento de solicitação nas vigas à 
direita da seção, e uma diminuição nas vigas situadas à esquerda. 
 
• solicitação vertical é pequena, exceto para estruturas leves. 
• solicitação horizontal requer contraventamento lateral, dada pela laje ou tabuleiro. 
 
4.3.2 IMPACTO LATERAL 
 
 Surge apenas nas pontes ferroviárias devido à folga entre o friso das rodas e o boleto do trilho. 
 
 I = 20% da carga do eixo mais pesado. 
 
 Carga concentrada contra o topo do trilho na situação mais desfavorável. 
 
 
4.3.3 EFEITO DA FRENAGEM E DA ACELERAÇÃO 
 
• São forças horizontais ao longo do eixo da ponte. 
• Flexão na infra-estrutura 
• Fração das cargas móveis 
 
pontes rodoviárias
(o maior dos dois)
5% do carregamento total móvel
 na pista de rolamento
30% do peso do veículo - tipo
�
�
�
��
 
 
 
pontes ferroviárias
(o maior dos dois)
15% de carga móvel para a frenagem
25% do peso dos eixos motores p / a aceleração
�
�
�
 
 
4.3.4 VARIAÇÃO DE TEMPERATURA (NBR 7187 - pág. 9) 
 
 variação uniforme C15ot ±=∆ 
 α = 10-5/oC - coeficiente de dilatação térmica 
 
 
efeitos uniforme →
→
�
�
�
 alteração dos comprimentos dos elementos
variação ao longo da altura da seção flexão
 
4.4 
 
4.3.5 AÇÃO DO VENTO (NBR 6123) 
 
 A ação do vento é traduzida por carga uniformemente distribuída horizontal, normal ao eixo 
da ponte. 
 
 
Duas situações
ponte descarregada p = 1,5 / m
ponte carregada p = 1,0 kN / m pontes
p = 0,7 kN / m passarelas
2
2
2
→
→
�
�
�
��
kN
 
 
 No caso de ponte de laje dispensa-se a consideração da ação do vento, pois, a área exposta é 
pequena e por haver grande rigidez à ação horizontal. 
 
 
Área de atuação
do vento
egada projeção da estrutura sobre
plano normal à ação do vento
ponte carregada Aquela projeção é acresc ida de umafaixa limitada superiorm
 linha paralela ao estrado, distante
 da superfície de rolamento de 3,50m, 
 2,00m, 1,70m, respectivamente, para
 pontes ferroviárias, rodoviárias e pe -
destres 
ponte carr
ente por
→
→
�
�
�
�
�
 
PRESSÃO DO VENTO SOBRE PONTES - NBR 6123 (ver Fig.4.2 ) 
 
PRESSÃO DE VENTO SOBRE PONTES . NBR 6123
.
.
. ..
.
.
.
.
.
.
.
..
. . . .
. .
.
.
.
.
.
.
.
.
. ..
.
.
.
.
.
.
.
..
. . . .
. .
.
.
.
.
.
.
a) b) c)
d) e)
Fig. 4.2 - Pressão de vento sobre pontes, segundo a NB2, para vigas de alma cheia :
a) ponte rodoviária descarregada ;
b) ponte rodoviária carregada ;
c) passarela de pedestres, carregada ;
d) ponte ferroviária descarregada ;
e) ponte ferroviária carregada.
3,50m
0,7 kN/m2
1,0 kN/m2
1,5 kN/m2
1,0 kN/m2
1,5 kN/m2
2,00 m
1,70 m
 
4.5 
 
 
4.3.6 - EMPUXO DE TERRA PROVOCADO POR CARGAS MÓVEIS 
 
 A passagem de um veículo sobre um aterro, vizinho à entrada da ponte, produz, na superfície 
vertical de encontros e cortinas, uma pressão lateral uniforme, dada por Ka. q , produzindo um 
empuxo: 
 
 
( )
E K qbh q
q q
q a
v p
p
= =
+ −
;
. , . ,3 0 3 0�
�
 
 
onde, p� = largura da ponte 
Ka = coeficiente de empuxo ativo 
qv = carga uniformemente distribuída, resultante da divisão do peso total do veículo-tipo pela 
área (3 x 6 m2) 
b,h = dimensões da cortina ou encontro 
q = cargas dos demais veículos 
 
 
3,0m
p
q qqv
Fig. 4.3 - Esquema para o cálculo da carga q equivalente
�
 
 
q
qKa.
h
encontro
q
qKa.
h
cortina
 Fig. 4.4 - Empuxo de terra provocado por cargas móveis
 
 
 
4.3.7 PRESSÃO D'ÁGUA EM MOVIMENTO (NBR - 7187 - pág. 13) 
 
 Esta solicitação deve ser considerada em pilares e elementos de fundação. 
 
 q = K .v2 
onde, 
 
 q = pressão estática equivalente em kN/m2 
 v = velocidade da água em m/s 
 K = é um coeficiente dimensional determinado experimentalmente 
 
4.6 
 
 
45 o
direção de fluxo
K = 0,34 K = 0,71 K = 0,54
Fig. 4.5 - Coeficiente de fluxo d'água
 
 
4.3.8 CARGAS DE CONSTRUÇÃO 
 
 Equipamentos e estruturas provisórias de montagem e lançamento de elementos estruturais. 
 
4.3.9 AÇÕES EXCEPCIONAIS 
 
 São ações de curta duração e baixa probabilidade de ocorrência: choque de veículos contra 
elementos estruturais, explosões, enchentes, sismos etc. 
 
4.3.10 CARGAS MÓVEIS 
 
4.3.10.1 - INTRODUÇÃO 
 
 A transposição de obstáculos pelos veículos é a função principal das pontes ou dos viadutos. 
Como se sabe, existem vários tipos de veículos transitando nas estradas. Por motivos 
econômicos, as pontes são construídas para determinadas classes de veículos. Fica a critério 
dos órgãos governamentais, fundamentadas em dados sobre a circulação de veículos, a 
escolha da classe das pontes. Para cada classe de ponte, esses mesmos órgãos estabelecem 
cargas máximas por eixo, na chamada "lei da balança". 
 
 A ABNT fixa as cargas móveis a serem consideradas no cálculo de pontes, por meio 
das seguintes normas: 
 
 Pontes rodoviárias NBR 7188 
 Pontes ferroviárias NBR 7189 
 
4.3.10.2 - PONTES RODOVIÁRIAS ( Ver Figs. 4.6 e 4.7) 
 
 Segundo a NBR-7188 as cargas de veículos utilizadas no cálculo de pontes são de três classes: 
 
classe 45 . veículo-tipo de três eixos com peso total de 450 kN, sendo 150 kN por eixo. 
 . carga uniformemente distribuída em toda a pista de rolamento, inclusive no 
acostamento, e exceto na área ocupada pelo veículo-tipo igual a q = 5kN/m2 
 
classe 30 . veículo-tipo de três eixos com peso total de 300 kN, sendo 100 kN por eixo. 
 . carga uniformemente distribuída q = 5 kN/m2 
 
classe 12 . veículo-tipo de dois eixos, com peso total de 120kN, sendo 40 kN para o eixo 
dianteiro e 80 kN para o eixo traseiro. 
 . carga uniformemente distribuída q = 4 kN/m2 
 
OBS.: . Todos os veículos tipos têm 3m de largura e 6m de comprimento 
 . O conjunto das cargas do veículo-tipo e a carga "q" é denominada TREM-TIPO. 
4.7 
 
 . Nos passeios das pontes considera-se uma carga uniformemente distribuída 
q' = 3 KN/m2, relativos a multidão, desde que essa carga produza efeitos desfavoráveis 
no elemento estudado. 
 
IMPORTANTE - O veículo tipo, q e q' serão colocados na posição mais desfavorável para 
o cálculo do elemento estrutural, não considerando a porção do carregamennto que 
provoque redução das solicitações 
 
 
veículo-tipo
2 ou 3 eixos
6,0 m
3,0 m
6,0 m
3,0 m
q
q
q
qA A PLANTA
o o o
qq
cargas por eixo do veículo-tipo
CORTE A-A
Fig. 4.6 - Trem - tipo de ponte rodoviária
 
 
 
1,50 1,50 m1,50 m1,50 m
2,0m
0,5m
0,5m
6,0 m
3,0 m
0,2 m 0,2 m 0,2 m
150 kN
100 kN
150 kN
100 kN
150 kN
100 kN
( classe 45 )
( classe 30 )
1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m
40 kN 80 kN
2,0m
0,5m
0,5m
6,0 m
3,0 m
0,2 m 0,2 m 0,2 m
1,5 m 3,0 m 1,5 m
0,2 0,3 m
0,3 m0,2
( classe 12 )
Fig. 4.7 - Veículo- tipo rodoviário - NBR - 7188
b
b
; b = 0,50m
; b = 0,40m
 
 
CARGAS RODOVIÁRIAS EXCEPCIONAIS 
 
 São constituídas por carretas de grandes dimensões, destinadas a transportes de turbina, 
transformadores, e os caminhões "fora de estradas" com cargas totais entre 1000 kN a 2000 
kN. (ver exemplos em PFEIL - VOL.1) 
 
4.3.10.3 - PONTES FERROVIÁRIAS ( Ver Fig. 4.8) 
 
 A norma NBR-7189 estabelece quatro classes de trens brasileiros: 
4.8 
 
TB 360 - Ferrovias para transportes de minérios ou equivalentes (cimento areia) 
TB 270 - Ferrovias para transportes de cargas em geral 
TB 240 - adotado para verificação e projeto de reforço de obras existentes 
TB 170 - Ferrovias para transportes de passageiros em regiões urbanas ou suburbanas. 
 
Q Q Q Q
q'
q q q'
a b c b a
Q = carga por eixo da locomotiva
q e q' = cargas dos vagões carregados e descarregados, respectivamente
Fig. 4.8 - Trem- tipo ferroviário
 
 
 CARACTERÍSTICAS DAS CARGAS FERROVIÁRIAS 
 
TB Q (kN) q (kN/m) q' (kN/m) a (m) b (m) c (m) 
360 360 120 20 1,00 2,00 2,00 
270 270 90 15 1,00 2,00 2,00 
240 240 80 15 1,00 2,00 2,00 
170 170 25 15 11,00 2,50 5,00 
 
4.3.10.4 PASSARELAS 
 
 Carga uniformemente distribuída q = 5 kN/m2 
 
4.3.10.5 - COEFICIENTE DE IMPACTO φ ( Efeito dinâmico das cargas móveis) 
 
 O deslocamento das cargas ao longo de uma estrutura produz oscilações desfavoráveis à sua 
estabilidade. As causas, em geral, são as irregularidades das pistas e a aplicação bruscas das 
cargas. 
 
 Embora, a análise dos efeitos deva ser feita pela teoria da dinâmica das estruturas, permite-se 
majorar as cargas móveis, através do coeficiente de impacto, e considerá-las como se fossem 
aplicadas estaticamente. 
 
 A NBR 7187 adota as seguintes expressões empíricas do coeficiente de impacto: 
 
 Pontes rodoviárias 
 
φ = − ≥1 4 0 007 1 0, , ,� �com em metros
 
 
 para φ =1, tem-se � =57m 
 
 Pontes ferroviárias 
 
( )φ = − + ≥0 001 1600 60 2 25 1 2, , ,� � �com em metros
 
 
 p/ φ = 1,2, tem-se � = 169 m 
 
onde: 
4.9 
 
 a) viga simplesmente apoiada 
 � = vão teórico 
 
 b) viga contínua 
 
 Se xmá nmí �� 70,0≥ , então, usa-se a média dos comprimentos dos tramos, caso contrário, 
� = vão teórico de cada tramo 
 
 
l l l l l1 2 3 4 5
Fig. 4.9 - Fixação do vão " l " , relativo ao coeficiente φφφφ ,,,, para vigas contínuas51,�� = vãos teóricos dos balanços 
 42a�� = vãos teóricos dos tramos internos 
 
 c) vigas em balanço 
 � = o dobro do vão teórico do balanço 
 
 d) lajes com vínculos nos quatro lados 
 � = menor vão teórico, a favor da segurança 
 
 O coeficiente de impacto é desconsiderado nos seguintes casos: 
 - Nos passeios 
 - Nos cálculos das fundações 
 - Empuxo de terra provocado por cargas móveis - maciço atenua os efeitos dinâmicos 
 
 
4.4 COMBINAÇÃO DAS AÇÕES 
 
4.4.1 INTRODUÇÃO 
 
 
 Um conjunto de ações atuando sobre uma estrutura, em geral, tem probabilidade não 
desprezível de atuarem simultaneamente, durante o período de sua vida útil. 
 
 A fim de que possam ser determinados os efeitos mais desfavoráveis para a estrutura, aquelas 
ações devem ser combinadas corretamente. 
 
 Segundo a NBR 8681, consideram-se, para as combinações últimas, os seguintes critérios: 
 
 a) Ações permanentes 
 Devem figurar em todas as combinações 
 
 b) Ações variáveis 
 Em cada combinação última, uma das ações variáveis é considerada como a principal, 
admitindo-se que ela atue com seu valor característico FK; as demais ações variáveis são 
consideradas como secundárias, admitindo-se que elas atuam com seus valores reduzidos de 
combinação 0Ψ FK. 
 
4.10 
 
 A verificação da segurança é feita considerando-se as seguintes combinações: 
 
 Estado limite último (ELU) : Combinações últimas das açoes 
 Estado limite de utilização : Combinações de utilização 
 
 
4.4.2 - COMBINAÇÕES ÚLTIMAS DAS AÇÕES 
 
 Para as combinações últimas normais, o valor de cálculo vale: 
 
 � �
= =
ψ+γ+γ=
m
1i
n
2j
k,Qjj0k,1Qqk,Gigid )F.F(F.F 
 
onde, 
FGi,k = valores característicos das ações permanentes. 
k1QF = valor característico da ação variável admitida como principal. 
ojψ QjkF = valor reduzido de combinação de cada uma das demais ações variáveis 
qgi , γγ = coeficientes de ponderação, respectivamente, das ações permanentes e das ações 
variáveis 
 
 
4.4.2.1 COEFICIENTES DE PONDERAÇÃO DAS COMBINAÇÕES ÚLTIMAS 
NORMAIS 
 
 
a) Para as ações permanentes formadas pelos pesos próprios 
 
 • Peso da estrutura < 75% do peso total permanente 
 
 γg = 1,4 para efeitos desfavoráveis 
 γg = 0,9 para efeitos favoráveis 
 
 • Peso da estrutura > 75% do peso total permanente 
 (situação mais comum em pontes) 
 
 γg = 1,3 para efeitos desfavoráveis 
 γg = 1,0 para efeitos favoráveis 
 
 
b) Para as ações permanentes formadas pelas deformações impostas (recalque de apoio, 
retração, fluência) 
 
 γ γεg = = 1,2 para efeitos desfavoráveis 
 γ γεg = = 1,0 para efeitos favoráveis 
 
 
c) Para as ações variáveis 
 
 cargas móveis : γq = 1,4 
4.11 
 
 efeitos de temperatura: γ γ εq = = 1,20 
 
 
4.4.2.2 - FATORES DE COMBINAÇÃO 
 
 • pontes de pedestres: ψo = 0,4 
 • pontes rodoviárias : ψo = 0,6 
 • pontes ferroviárias : ψo = 0,8 
 
OBS.: Nos casos particulares de combinações últimas excepcionais, especiais ou de construção, a 
norma NBR 8681 fornece outros valores de 
 
4.4.3 COMBINAÇÕES DE UTILIZAÇÃO 
 
4.4.3.1 - INTRODUÇÃO 
 
 Nestas combinações não se consideram os coeficientes de majoração γ γ γεg q e, , 
retratando-se, com estas providências, as condições reais de utilização da obra. 
 
 Os itens 1.1 e 1.2 do anexo da NBR 6118 estabelecem uma combinação de utilização para 
cada verificação do estado limite de utilização, tais como: 
 
a) Para verificação do estado limite de fissuração (abertura de fissuras) - Combinação frequente 
de utilização. 
b) Para verificação de estado limite de formação de fissuras - Combinação rara de utilização. 
c) Para verificação de estado limite de deformação excessiva (flecha) - Combinação quase-
permanente de utilização. 
 
 
 
4.4.3.2 COMBINAÇÕES QUASE-PERMANENTE (longa duração) DE UTILIZAÇÃO 
 
 
 k,Qj
n
1j
j2
m
1i
k,Giuti,d FFF ��
==
ψ+= 
 
4.4.3.3 COMBINAÇÕES FREQÜENTES (QUE SE REPETEM MUITAS VEZES) DE 
UTILIZAÇÃO 
 
 
 k,Qj
n
2j
j2k,1Q1
m
1i
k,Giuti,d FFFF ��
==
ψ+ψ+= 
 
4.4.3.4 COMBINAÇÕES RARAS DE UTILIZAÇÃO 
 
 k,Qj
n
2j
j2k,1Q
m
1i
k,Giuti,d FFFF ��
==
ψ++= 
onde, 
 os valores dos fatores de combinações são os seguintes: 
4.12 
 
 
 pontes de pedestres 2,0e3,0 21 =ψ=ψ 
 pontes rodoviárias 2,0e4,0 21 =ψ=ψ 
 pontes ferroviárias 40e60 21 ,, =ψ=ψ 
 
OBS.: Os fatores de combinação ψ ψ ψo e, 1 2 levam em conta que é muito baixa a 
probabilidade de ocorrência simultânea dos valores característicos de duas ou mais ações 
variáveis de natureza diferentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.1 
 
CAPÍTULO V (2002) 
 
EXEMPLO DE PONTE DE CONCRETO ARMADO, COM DUAS VIGAS PRINCIPAIS 
 
ROTEIRO DE CÁLCULO 
 
I - DADOS 
 
Ponte rodoviária. classe 45 (NBR-7188) 
Planta, corte e vista longitudinal (Anexo) 
Fôrma da superestrutura e da infra-estrutura 
Concreto : fck = 18 MPa 
Aço : CA-50 
Pesos específicos : concreto simples : 24 kN/m3 
 concreto armado : 25 kN/m3 
 pavimentação : 24 kN/m3 
 recapeamento : 2 kN/m2 
Viga principal - pré-dimensionamento : 
 valores do índice de esbeltez l / h = vão / altura ( Martinelli - 1971) 
tipo de ponte concreto armado concreto protendido 
pedestres 15 a 20 20 a 25 
rodoviária 10 a 15 15 a 20 
ferroviária 8 a 10 10 a 15 
 
II - CÁLCULO DAS VIGAS PRINCIPAIS 
 
1 - Cálculo dos esforços devidos à carga permanente (g) 
1.1 - Cálculo da carga permanente g 
1.2 - Cálculo do momento fletor devido a g 
1.3 - Cálculo do esforço cortante devido a g 
1.4 - Cálculo das reações de apoio devidas a g 
 
2 - Cálculo dos esforços devidos à carga móvel (q) 
2.1 - Determinação do trem-tipo para a viga principal 
2.2 - Momentos fletores máximo e mínimo devido a q 
2.3 - Cálculo dos esforços cortantes máximo e mínimo devidos a q 
2.4 - Reações de apoio máxima e mínima devidas a q 
 
3- Esforços totais 
3.1 - Momentos fletores extremos 
3.2 - Esforços cortantes extremos 
3.3 - Reações de apoio extremas 
 
4- Dimensionamento das armaduras 
4.1 - Verificação do pré-dimensionamento da seção 
4.2 - Cálculo da armadura de flexão 
4.3 - Cálculo da armadura de cisalhamento 
4.4 - Verificação da fadiga da armadura de flexão 
4.5 - Verificação da fadiga da armadura de cisalhamento 
 
III - CÁLCULO DAS TRANSVERSINAS 
 
IV - CÁLCULO DAS LAJES DO TABULEIRO 
5.2 
 
 
V - CÁLCULO DA INFRA-ESTRUTURA 
 
VI – ANEXO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.3 
 
 
Corte e Vista longitudinal da ponte 
 
 
5.4 
 
 
 
Seção Transversal no apoio e no meio do vão 
 
5.5 
 
Vista inferior e Locação da Fundação 
 
 
5.6 
 
 DADOS DO PROJETO DE PONTES (2007) [cm] 
 
 
 GRUPOS 
1a. 
N 
O 
T 
A 
2a. 
N 
O 
T 
A 
3a. 
N 
O 
T 
A 
4a. 
N 
O 
T 
A 
C 
L 
A 
S 
S 
E 
 
 
 
L1
 
 
 
 
L2
 
 
 
 
L3
 
 
 
 
L4
 
 
 
 
L5
 
 
 
 
L6
 
 
 
 
�a
 
 
 
 
� b
 
 
 
 
 
�c
 
 
 
 
h1 
 
 
 
h2 
 
 
 
h3
 
 
 
 
h4h5
 
 
 
 
h6
 
 
 
 
b1 
 
 
 
b2
 
 
 
 
b3 
 
 
b4 
 
 
b5 
 
 
D1 
 
 
 
D2 
 
 
 
D3 
 
 
 
hp1 
 
 
hp2
 
0 - Aulas-Apostila 45 1300 610 330 350 250 600 250 500 1000 80 25 225 225 200 120 40 100 30 50 25 100 140 300 500 700 
I- 12 700 310 150 165 105 270 140 300 400 60 15 80 50 35 40 30 40 25 30 15 60 100 200 540 600 
II- 30 1000 460 260 275 215 490 160 315 450 60 16 80 60 44 50 30 50 25 30 15 65 80 200 580 700 
III- 12 750 335 200 212 147 359 150 340 600 62 16 100 65 49 50 24 50 28 30 16 65 80 210 640 900 
IV- 30 1030 475 275 289 219 508 170 350 650 64 17 110 70 53 60 28 60 24 30 16 70 90 240 660 850 
V- 12 800 360 210 223 173 396 160 350 750 68 19 130 80 61 60 26 65 22 36 18 50 100 250 700 400 
VI 30 1050 485 250 263 208 471 180 360 800 70 20 140 85 65 70 26 70 22 36 18 55 110 260 720 450 
VII- 12 820 370 200 214 160 374 180 380 900 70 22 160 100 78 70 28 70 24 38 22 54 130 280 760 600 
VIII- 30 1080 500 300 316 256 572 200 390 950 72 23 170 110 87 80 32 75 25 38 23 60 140 290 780 650 
IX- 12 860 390 240 255 193 448 190 410 1080 72 24 190 130 106 80 30 75 25 40 21 62 100 250 820 950 
X- 30 1120 520 320 335 267 602 210 420 1100 74 26 200 140 114 90 30 80 26 42 23 68 140 280 840 920 
XI- 12 900 410 260 277 211 488 200 440 1150 80 26 215 150 124 90 34 80 28 42 23 66 90 210 880 700 
XII- 30 1150 535 280 298 224 522 220 450 1200 82 27 205 160 133 100 36 85 29 44 24 74 110 230 900 720 
XIII- 12 940 430 270 288 208 496 210 470 1300 82 27 200 170 143 100 36 85 31 44 25 80 100 240 940 600 
XIV- 30 1180 550 330 349 267 616 230 480 1320 84 28 235 180 152 110 38 90 32 46 26 82 110 260 960 550 
XV- 12 960 440 290 309 219 528 220 500 1300 86 29 235 190 161 110 38 90 32 46 26 90 120 270 1000 450 
XVI- 30 1200 560 340 359 264 623 240 510 1300 88 30 240 210 180 130 38 95 33 48 27 95 130 280 1040 650 
 
 onde, 
 a) hp1 e hp2 são, respectivamente, as alturas dos pilares 1 e 2 
 b) h3 = altura da viga principal = distância da face superior da laje até a face inferior da viga 
 c) h4 = altura da transversina = distância da face superior da laje até a face inferior da transversina 
 d) h2 = espessura da laje 
 e) h5 = h4 - h2 
 f) os aparelhos de apoio dos pilares 1 e 2 são, respectivamente, de neoprene e de Freyssinet 
 g) as demais dimensões estão indicadas na planta, cortes e vista longitudinal 
 
6.1 
 
 
CAPÍTULO VI (2002) 
 
 
6) CÁLCULO DAS VIGAS PRINCIPAIS 
 
6.1) REPARTIÇÃO DAS CARGAS TRANSVERSALMENTE 
 
 
 No caso de pontes sobre duas vigas principais, há basicamente, três esquemas estáticos de 
cálculo: 
 
 
 
 
Seções transversais monolíticas Esquemas de cálculo das vigas principais
a
laje
vigas
P
c
laje
vigas
P
transversina
b
laje
vigas
P
transversina
P
I vigas independentes
II grelhas
ααααP (1−α)(1−α)(1−α)(1−α) P
d
P P
III seção celular
P. e
e
e
simplificação satisfatória
simplificação menos satisfatória
Fig. 6.1 - Esquemas de cálculo das vigas principais
 
 
 
 
Obs.: NBR-6118 - seções transversais com três ou mais vigas principais devem ser calculadas como 
grelha. 
6.2 
 
 
 
 
 
6.2 CÁLCULO DAS VIGAS PRINCIPAIS 
 
 
6.2.1 CÁLCULO DOS ESFORÇOS DEVIDO À CARGA PERMANENTE 
 
 A carga permanente pode ser considerada uniformemente distribuída, igualmente para cada 
viga, inclusive o peso próprio das transversinas. 
 
 Somente o peso próprio da cortina será considerado como concentrado na extremidade da 
viga, porém, sem o momento fletor correspondente. 
 
 
 
6.2.2 CÁLCULO DOS ESFORÇOS DEVIDO ÀS CARGAS MÓVEIS 
 
 
 Os esforços serão obtidos através de cálculo como vigas independentes. 
 
 
 
 
 
P Pp'
p'
1 2
ηηηη
1
A LI de R
1(reação da viga )
Fig. 6.2 - Esquema de cálculo - como vigas independentes
11
R = P. + p'. Aηηηη
1
R = P . + p' . Aηηηη
(parcelas das cargas P e p'
suportadas pela viga 1 )
 
 
 
 
As cargas P e p' atuando sobre o tabuleiro, correspondem às cargas Pη + p'A sobre um determinado 
ponto da viga 1 . 
 
 Considerando-se todas as seções transversais, ao longo da ponte, obtêm-se todas as cargas 
sobre a viga 1 , correspondentes àquelas atuantes sobre o tabuleiro. Esse carregamento obtido 
sobre a viga 1 é denominado TREM-TIPO da viga principal. 
 
 
 
 
 
 
6.3 
 
 
 
 
 
 
6.2.3 ESQUEMA PARA A DETERMINAÇÃO DO TREM-TIPO DAS VIGAS PRINCIPAIS 
 
 
 
+ +
+ +
+ +
φ q
φ q
φ q
q'
q'
φφ Q qφ Q
φ q
q'
q'
A
A
AAA
A
12
3
4
5
6
.
..
.
.
. .
.
1
y y21
Q
Q
Q
q
q
q
2
1
2
1
1
1
TREM-TIPO DA VIGA V
A A
B
B
C C
V V21
1
(devido à simetria o trem-tipo da viga V2 é igual ao da V1)
PLANTA
SEÇÃO TRANSVERSAL
CORTE A-A = CORTE C-C
CORTE B-B
LINHA DE INFLUÊNCIA ( LI )
DOS QUINHÕES DE CARGA SOBRE A VIGA V1
Q1 = 
Qφ
Qφ
Qφ
Qφ ( y1 y2+ )
q1
q2
φ
φ
=
=
q
q (
A1 + q' A6
A2 A3 A4 A5A1 + + + ) + q' ( + A6 )
Fig. 6.3 - Esquema para a determinação do trem-tipo das vigas principais
 
OBS. Para se obterem os máximos valores de Q q e q1 1 2, , observando a LI, deve-se colocar o 
veículo-tipo tão próximo quanto possível da viga 1 . 
 
 
6.2.4 VALORES EXTREMOS DOS ESFORÇOS DEVIDO ÀS CARGAS MÓVEIS 
 
6.4 
 
 Determinado o TREM-TIPO da viga principal, pode-se obter, através das linhas de 
influências, os valores máximos e mínimos dos esforços solicitantes ( M e V) 
 
 Exemplo: Extremos de Mc 
 
C
Q1Q1Q1
q1
q2
Q1 Q1 Q1
q1
q2
q2
1
-
+
-
C LI de Mc
Posição do trem- tipo para o cálculo de
Posição do trem- tipo para o cálculo de
Viga principal V 1
( Mc,mín = máximo momento fletor negativo na seção C)
( Mc,máx = máximo momento fletor positivo na seção C)
Fig.6.4 - Linha de influência do momento fletor na seção C e as posições do trem-
 
 
6.3 ENVOLTÓRIA DE ESFORÇOS 
 
 São os valores máximos e mínimos dos esforços em cada seção transversal da viga. Esses 
valores são determinados pela combinação das cargas permanentes e móveis. 
 
 O número de seções adotadas em cada tramo varia com o vão do mesmo, podendo adotar-se: 
 
 
 
L = 26 m
vão dividido em 10 partes
Recomenda-se : 5 seções para vão L entre 5 e 10 m
10 seções para vão L entre 20 e 30 m
Fig. 6.5 - Número de seções para cada tramo da viga
 
 
 
 
6.4 CÁLCULO DAS VIGAS PRINCIPAIS - RESOLUÇÃO DO PROJETO 
 (Dados referentes ao grupo "0") 
 
6.5 
 
 
 
6.4.1 CÁLCULO DOS ESFORÇOS DEVIDO À CARGA PERMANENTE 
 
 
 
6.4.1.1 Cálculo das cargas permanentes 
 - Peso próprio de meia seção transversal 
 
 
 
2
1
6
3
4
540
40
15
5 15 5 15
40 260 cm 40 80 230 cmcm
12
25
200 cm
10 cm
Fig. 6.6 - Seção transversal da ponte
5 cm
 
 
elemento descrição peso / m 
 1 alma da viga : 0,40x2,25x25 22,50 
 2 laje interna : 0,25x3,10x25 19,37 
 3 
mísula : 
0 10 0 80
2
25
, ,x
x 
 
1,00 
 4 
laje em balanço : 0 15 0 35
2
3 00 25
, ,
,
++++
x x 
 
18,75 
 5 
defensa : 
0,225x40,0x
2
25,015,0
25,325x40,0x
2
25,040,0
=
+
=
+
 
 
 
5,25 
 6 
pavimentação : 
0 05 0 12
2
6 10 24 12 44, , , ,++++ ====x x 
recapeamento : 6,10x2,00 = 12,2 
 
24,64 
 7 alargamento da alma : 
5,0 m
0,40
0,602,0 m
 
0 60 5 0
2
2 0
4
30
25 10 0, , , ,x x x x ==== 
 
 
 
10,0 
6.6 
 
 � m/kN51,1011g == 
 
 
 
- Peso próprio das transversinas (considerando unif. distrib. ao longo da viga, l = 30m) 
 
50 30 50 cm
200
10
25 cm
cm
laje já considerada
Fig.6.7 - Seção transversal da transversina
cm
 
 
.
, ,
,
.
alma: 0,30x2,00x3,10x25 = 45,5kN
.mísula: 2 0,10x0,50
2
 nos apoios: 0,30x2,00x0,60x25 = 9,00kN
 total = 3x50,37 - 2x9,00 = 133,11kN
�
�
�
	
� =
�
�
�
�x x kN
kN
descontos
310 25 3 87
50 37
 
 
5,0 m
0,40
0,60
2,0 m transversina
viga principal
Fig. 6.8 - Desconto nos apoios
 
carga distribuída ao longo da viga g2 = =
13311
30
4 44, , /kN m 
-carga distribuída total m/kN95,105ggg 21 =+= 
- Peso próprio das cortinas 
6.7 
 
0,25
0,10
2,0 m
2,25 0,25
0,25
0,50 m
1,65 m
0,25
0,50 m
0,25
12,50 m
0,25
0,25 m
laje já considerada
Ala
cortinaAla
cortina
Fig. 6.9 Dimensões das cortinas e alas 
 
 
ALA: 0 50 2 25
2
2 25 0 25 0 50 2 25 0 25 25 26 37, , , , , , , ,+ +�
�
�
	
� =x x x x x kN 
CORTINA: 0 25 0 25 0 25 2 0 0 10 0 50
2
6 25 25 91 80, , , , , , , ,x x x x kN+ +�
�
�
	
� = 
 
G = 26,37 + 91,80 = 118,17 kN carga concentrada 
nas extremidades 
 dos balanços 
 
 
- CARGA PERMANENTE TOTAL - Vigas principais 
 
G = 118,17 kN G = 118,17 kNg = 105,95 kN/m
5,0 m 20,0 m 5,0 m
Fig. 6.10 - Cargas permanentes da viga principal
 
 
- Seções para cálculo dos esforços solicitantes 
 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
2,5 m 2,5 m 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 2,5 m2,5 m
Fig. 6.11 - Fixação das seções ao longo da viga principal
 
 
6.4.1.2 - REAÇÕES DE APOIO 
 
Rg Rg kN2 12 1703 37= = , 
6.8 
 
 
 
 
6.4.1.3 - DIAGRAMA DE Mg : (convenção: tração embaixo: positivo) 
 
- -
+
627
1915
8
1475
2535
3170
3382
Mg [ kN . m ]
Fig. 6.12 - Diagrama de M devido às cargas permanentes
 
 
 
6.4.1.4 - DIAGRAMA DE Vg (convenção: horário positivo) 
 
-
-
+
118
383
648
1060
848
636
424
212 +
Vg [kN]
Fig. 6.13 - Diagrama de V devido às cargas permanentes
0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6.4.2 - CÁLCULO DOS ESFORÇOS DEVIDO ÀS CARGAS MÓVEIS 
 
 6.4.2.1 - Obtenção do TREM-TIPO das vigas principais (ver Fig. 6.15) 
 
 Hipótese de cálculo: vigas independentes 
 
 coeficiente de impacto: φ=1,4 - 0,007� 
 no balanço : φ= 1,4 - 0,007(2x5) = 1,33 
 no vão central : φ= 1,4 - 0,007 x 20 = 1,26 
 
6.9 
 
 
 
φ q
V V 21
SEÇÃO TRANSVERSAL
CORTE A-A = CORTE C-C
CORTE B-B
LINH A DE INFLUÊNCIA ( LI )
+ +
0,40 0,40
0,40 2,80 6,60 m 2,80 m 0,40 m
+ +
+ +
+ +
0,40 2,00 m 0,40 m
veículo-tipo
classe 45
++
-
.
...
...
0,97 (w x6,4)
1,00 (w x6,6) 1,35 (w x 8,9)
1,48 (w x 9,8)
0,48
w = 1 / 6,60 =
(quinhão de carga para a viga V1 )
DA REAÇÃO DO APO IO 1
φ Q φ Q
1,05 (w x6,9)1,42 (w x 9,4)
φ q
0,4 2,0 m 0,5 6,40 m0,5
9,40 m
3,20 m
CARREG AM ENTO DO TAB ULEIROPLANTA -
Q = 450 / 6 = 75A A
B B
C
C 0,5 2,0 m 0,5
q = 5 kN/m 2
Fig. 6.15 - Esquema para o cálculo do TREM -TIPO da viga
φ q
1,5 m
1,5 m
1,5 m
1,5 m
q = 5 kN/m 2
Q 1
Q 1
Q 1
q 2
q
1
q 2
TREM -TIPO
6,4 m
6,6 m
6,9 m
8,9 m
9,4 m
9,8 m
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6.10 
 
TREM-TIPO - VIGA PRINCIPAL 
 
 
Q1 Q1 Q1
q1
q2
q2
Fig. 6.16 - TREM-TIPO da viga principal
 
 
 
Q kN
CARGAS q kN m
1 →
→1 /
 
Balanço 
φ=1,33 
vão central 
φ=1,26 
Q x x1 75 1 35 1 05= +φ ( , , )
 
239,40 226,80 
q x x x1 5
0 97 6 40
2= φ (
, , ) 20,64 19,56 
q x x x2 5
1 42 9 40
2= φ (
, , ) 44,38 42,05 
 
 
6.4.2.2 REAÇÕES DE APOIOS 
 
 
 
Rq x x x x KN2 239 40 0 10 0 175 0 25 20 64
0 025 0 25
2
4 5 44 38 0 025 0 5
2
138 74
,
, ( , , , ) , , , , , , , ,mín = − + + −
+�
�
�
	
� −
�
�
�
	
� = −
 
A B5,0 m 20,0 m 5,0 m
0 1 2 12 13 147
q1
q2
Q1 Q1 Q1q2
Q1 Q1 Q1 q1
+
-
.
.
.
.
.
.
.
. .
1,25
1,175
1,10
1,025
1,00
0,250,1750,10
0,025
1,5 1,5 1,5
0,50 m 0,50 m
1,5 1,5 1,520,0 m
Linha de Influência da reação do apoio A
ou da seção 2 ,
Posicionamento do TREM-TIPO para
a obtenção da máxima reação do apoio A ou
Posicionamento do TREM-TIPO para
a obtenção da mínima reação do apoio A ou
Viga principal
Fig. 6.17 - Reações máxima e mínima da viga principal, causadas pelas cargas móveis
R qA,máx
R qA,mín
da seção 2 , Rq2,máx=
R q2,mín=da seção 2 ,
RA = R2
6.11 
 
Rq x x x KN2 239 40 1 25 1175 110 20 64
1 025 1 25
2
4 5 42 05 1 025 20 5
2
1391 33
,
, ( , , , ) , , , , , , , ,máx = + + +
+�
�
�
	
� +
−�
�
�
	
� =
 
 
 
6.4.2.3 MOMENTOS FLETORES 
 
 
Exemplo: seção 1 - balanço - φ = 1,33 
 
 
 
A B5,0 m 20,0 m 5,0 m
0 1 2 12 13 147 Viga principal
.
.
1,5 2,5
1,0
1
2.5
1,0
-
Linha de influência do momento
fletor da seção 1 , Mq1
Fig. 6.18 - Momentos fletores extremos, causados pelas cargas móveis
Posicionamento do trem-tipo para o cálculo de Mq1,mín
239,4 kN
20,64 kN
 
 
 
 
M x kN m
M
q mín
q máx
1
1
239 4 2 5 1 0 20 64 2 5 2 5
2
902 40
0
,
,
, ( , , ) , ( , , ) , .==== −−−− ++++ −−−− ==== −−−−
====
 
 
 
 
Momentos fletores Mq (kNm) 
Seção Mq máx, 
Mq mín, 
0 0 0 
1/13 0 -902,40 
2/12 0 -2.774,67 
3/11 1.682,21 -2.552,68 
4/10 2.952,74 -2.330,68 
5/9 3.836,88 -2.108,69 
6/8 4.397,61 -1.886,70 
7/7 4.590,81 -1.664,71 
 
 
 
 
6.4.2.4 - ESFORÇOS CORTANTES (Vq) 
 
6.12 
 
Exemplo: seção 1 - balanço - φ = 1,33 
A B5,0 m 20,0 m 5,0 m
0 1 2 12 13 147 Viga principal
. .
1,5 2,5
1,0
1,0
Linha de influência do esforço
cortante da seção 1 , q1
Fig. 6.19 - Esforços cortantes extremos, causados pelas cargas móveis
Posicionamento do trem-tipo para o cálculo de V q1,mín
239,4 kN
20,64 kN/m
-
1,0
V
 
 
 
 
ESFORÇOS CORTANTES Vq (kN) 
Seção 
máx,qV mín,qV 
0/-14 0 -239,40 
1/-13 0 -530,40 
2e/-12d 0 -833,27 
2d/-12e 986,45 -138,74 
3/-11 850,00 -142,94 
4/-10 720,57 -155,15 
5/-9 599,58 -199,70 
6/-8 487,00 -287,06 
7/7 382,82 -382,82 
 
 
 
6.4.3 - ESFORÇOS TOTAIS (ver combinações de ações) 
 
 O peso próprio da estrutura > 75% do peso próprio total, então, 
 
γ
γ
γ
g =
=
=
1 3
1 0
1 4
,
,
,
 para efeitos desfavoráveis
 para efeitos favoráveisg 
q
 
 
6.4.3.1 - MOMENTOS FLETORES de CÁLCULO (Md) 
 
 
 
M Mg M
M Mg M
d g q q
d g q q
, ,
, ,
máx máx
mín mín
= +
= +
γ γ
γ γ
 
 
 
 Exemplo: seção 1 Mg kN m
M M kNmq q
= −
= = −
�
�
�
626 0
0 902 4
, /
; ,
, ,máx mín
 
 
 
6.13 
 
 Md,máx = 1,3 (-626) + 1,4 x 0 = -813,8 kNm 
 Md,mín = 1,3 (-626) + 1,4 (-902,4) = -2077,16 kNm 
 
 
 
MOMENTOS FLETORES DE CÁLCULO Md (kN.m) 
Seção 
 Mg Mq máx, 
 
Mq mín, 
 
γ g 
 
γ q Md máx, 
 
γ g 
 
 
γ q 
 
Md mín, 
0,14 0 0 0 - - 0 - - 0 
1/13 -627 0 -902,40 1,3 - -815,10 1,3 1,4 -2078,46 
2/12 -1915 0 -2774,67 1,3 - -2489,50 1,3 1,4 -6374,043/11 -8 1682,21 -2552,68 1,0 1,4 2347,09 1,3 1,4 -3584,15 
4/10 1475 2952,74 -2330,68 1,3 1,4 6051,34 1,0 1,4 -1787,95 
5/9 2535 3836,88 -2108,69 1,3 1,4 8667,13 1,0 1,4 -417,17 
6/8 3170 4397,61 -1886,70 1,3 1,4 10277,65 1,0 1,4 528,62 
7/7 3382 4590,81 -1664,71 1,3 1,4 10823,73 1,0 1,4 1051,41 
 
 
6.4.3.2 - ESFORÇOS CORTANTES (Vd) 
 
V V V
V V
d g g q q
g g q q
, ,
,
máx máx
d,mín mínV
= +
= +
γ γ
γ γ
 
 
ESFORÇOS CORTANTES DE CÁLCULO Vd (kN) 
Seção Vg Vq máx, 
Vq mín, γg γq Vd máx, γg γq Vd mín, 
0 -118 0 -239,440 1,3 1,4 -153,40 1,3 1,4 -488,62 
1 -383 0 -530,40 1,3 1,4 -497,90 1,3 1,4 -1240,46 
2e -648 0 -833,27 1,3 1,4 -842,40 1,3 1,4 -2008,98 
2d 1060 986,45 -138,74 1,3 1,4 2759,03 1,0 1,4 865,76 
3 848 850,00 -142,94 1,3 1,4 2292,40 1,0 1,4 647,88 
4 636 720,57 -155,15 1,3 1,4 1835,60 1,0 1,4 418,79 
5 424 599,58 -199,70 1,3 1,4 1390,61 1,0 1,4 144,42 
6 212 487,00 -287,06 1,3 1,4 957,40 1,0 1,4 -189,88 
7 0 382,82 -382,82 1,3 1,4 535,95 1,3 1,4 -535,95 
8 -212 287,06 -487,00 1,0 1,4 189,88 1,3 1,4 -957,40 
9 -424 199,70 -599,58 1,0 1,4 -144,42 1,3 1,4 -1390,61 
10 -636 155,15 -720,57 1,0 1,4 -418,79 1,3 1,4 -1835,60 
11 -848 142,94 -850,00 1,0 1,4 -647,88 1,3 1,4 -2292,40 
12e -1060 138,74 -986,45 1,0 1,4 -865,76 1,3 1,4 -2759,03 
12d 648 833,27 0 1,3 1,4 2008,98 1,3 1,4 842,40 
13 383 530,40 0 1,3 1,4 1240,46 1,3 1,4 497,90 
14 118 239,40 0 1,3 1,4 488,56 1,3 1,4 153,40 
 
 
6.4.3.3 - REAÇÕES DE APOIO (Rd) 
 
kN18,1513)744,138(4,142,1707x0,1
kN51,416733,1391x4,142,1707x3,1RdRd
,12,2
=−+==
=+==
nmí12,nmí2,
xmáxmá
RdRd
 
 
6.4.3.4 - ENVOLTÓRIAS DOS ESFORÇOS SOLICITANTES (Md e Vd) 
6.14 
 
- -
+
Md [ kN . m ]
Fig. 6.20 - Envoltórias dos esforços solicitantes
mínimos
máximos
máximos
mínimos
Vd [kN]
488,62
153,40
+
+
-
-
1240,46
497,90
2008,98
842,40
865,76
2759,03
2292,40
1835,60
1390,61
647,58
418,79
144,42
189,88
535,95
957,40
1390,61
1835,60
2292,40
2759,03
865,76
647,58
189,88
418,79
144,42
535,95
153,40
488,56
1240,46
2008,98
842,40
497,90
815,10
2078,46
6374,04
2489,50 3584,15
1787,95
417,17
528,62
1051,41
10823,73
10277,65
8667,13
6051,34
2347,09
528,62
417,17
1787,95
3584,15
6374,04
2489,50
2078,46
815,10
2347,09
6051,34
8667,13
10277,65
 
 
6.4.4 - DIMENSIONAMENTO DAS ARMADURAS 
 
 Nas regiões submetidas a momentos fletores positivos, tração na alma, as vigas ao se 
deformarem são acompanhadas pelas lajes. Portanto, as lajes coloboram na resistência aos 
esforços de compressão. Conseqüentemente, a seção resistente é a seção T. 
 
 Segundo a NBR-6118, a largura colaborante, bf, da laje é dada por: 
 
 - Largura colaborante 
b
b b b
ou
b bw
b bw
f
a
=
+ +
+
+
�
�
�
�
�
�
�
1 3
1
3
2
2
 
 
onde, 
 
b
a
h
b
b
a
hf f
1
2
3
0 10
8
0 5
0 10
6
≤
�
�
�
�
�
≤
�
�
�
,
,
,
 
 
onde, 
a = � , viga simplesmente apoiada 
a ====
3
4
� , tramo com momento em uma só extremidade 
a ====
3
5
� , tramo com momento nas duas extremidades 
a ==== 2� , viga em balanço 
6.15 
 
 
b b b
b b b b
b
b
b
b b
b b
f f f
3 1 1 1 3 3
www
a
2
f f
h h
Fig. 6.21 - Largura colaborante das lajes
 
 
 
6.4.4.1 - VERIFICAÇÃO DO PRÉ-DIMENSIONAMENTO DA SEÇÃO 
 
 Verificam-se as seções onde ocorrem os máximos esforços solicitantes. No projeto, essas 
seções são as seguintes: 
 
 momento máximo positivo: seção 7 ; Md,máx = 10823,73 kN.m 
 momento máximo negativo: seção 2 ou 12; Md,máx = - 6374,04 kNm 
 cortante máxima : seção 2d ou 12e: Vd,máx = 2759,03 kN 
 
a) Seção 7 
 
 Tembaixo traçãomáx →= ;m.kN73,10823M ,d 
 
h = 225 cm
hf = 25
10 cm
40 cm
10 cm10 cm
120 cm120 cm 60 cm
b2 = 620 - 20 = 600 cm
hf = 25 cm
10 cm
10 cm 10 cm
40 cm
120 cm 60 cm 120 cm
Fig. 6.22 - Cálculo da largura coraborante
viga V1 viga V2
 
 
b
a x x cm
hf x cm
b x cm
1
2
0 10 0 10 3
5
2000 120
8 8 25 200
0 5 0 5 600 300
≤
= =
= =
= =
�
�
�
�
�
�
�
, , | |
, ,
 
b a cm
h cm
b cm
f
f
3
0 10 120
6 150
120 60 120 300
≤
=
=
�
�
�
= + + =
, | |
| |
 
 
Supondo-se d = 0,9h = 202,5 cm, tem-se: 
6.16 
 
37,11
373.082.1
)5,202(x300
M
dbK
2
d
2
f
c === 
f MPa tabela x
d
x x cm
entao x h cm L N na laje
CK
f
= → → = ≅ � = =
< = ∴
18 0 10 0 10 202 50 20 25
25
ξ , , , ,
, . .
 
 
CA A Kc
xd
d cm h
d
cm
x
d
x x cm h
L N
f
− → = = � = � = =
= = � = = > =
50 2 4 300
1082373
93
0 9
104
0 6283 0 6283 93 58 43 1 25 31 25
2
lim ,
,
, , , , ,
. .
ξ
 corta a alma.
>
 
 
OBS.: A princípio, a altura da seção poderia ser diminuída, entretanto, será mantida a altura 
inicial, por se tratar de exercício didático. 
 
b) Seção 2: Md,máx = −637.404 kNcm 
 tração em cima ∴seção retangular 
 
verificação inicial : bw = 40 cm (sem alargamento no apoio) 
 
CA A
f mPa
K M bwd
Kc
x kNcm
CK
c d
−
=
�
�
= � = = =
50
18
2 4 40 202 5
2 4
683438
2 2
lim ,lim
lim
,
,
,
. 
 
Md,máx < Md,lim então, não é necessário alargar a seção,porém, 
essa conclusão é válida somente após a 
verificação da cortante máxima. 
 
c) cortante máxima: Vd,máx = 2759,03 kN 
 
Segundo a NBR-6118 item 6.1.4.1 tem-se : 
 
τ τwd
d
w
wu
cdV
b d
f
do eixo)= ≤ =
�
�
�
0 25, (estribos verticais)
0,30f (estribos a 45cd o
 
f f cm
x kN
cd
ck
wu
= = =
= =
1 4
1 8
1 4
1 2857
0 25 1 2857 0 3214
2
,
,
,
, /
, , ,
 kN
/ cm2τ
 
V b d x x
V
du wu w
du
= = =
> �
τ . . , , ,0 3214 40 202 5 2603 57 kN
V necessário alargar a seçãod,máx
 
 
OBS.: As dimensões iniciais, deste exercício didático, serão mantidas, porém, nota-se que é 
possível modificá-las. Se, no entanto, forem feitas modificações deve-se refazer os cálculos, 
desde que a variação do peso próprio seja maior que 5%. 
 
 
6.4.4.2 - CÁLCULO DA ARMADURA DE FLEXÃO 
 
6.17 
 
 Para cada seção preestabelecida, calcular-se-ão as armaduras. Note-se que, caso os momentos 
Md,máx e Md,mín forem de sinais contrários, determinar-se-ão duas áreas de armaduras. 
 
 
 Exemplo: 
Seção bw ou 
(bf) 
(cm) 
Md+ 
kN.cm 
Md
-
(kN.cm)
 KC KS As1+ 
(cm2) 
As2 - 
(cm2) 
3 76 
(336) 
 
(234.709) 
358.415 8,70 
(58,70) 
0,024 
(0,023) 
 
(27,244) 
442,55 
 
Kc bd
Md
Ks As Ks Md
d
= → → =
2
tabela
 
 
.....
.....
A
A s1
s2
Fig. 6.23 - Armaduras superior e inferior
d = 202,5 cm
 
 
 
6.4.4.3 - CÁLCULO DA ARMADURA DE CISALHAMENTO 
 
 
τ τ τ
τ ψ
τ
d wd c
c ck
wd
w
f MPa
Vd
b d
= − >
=
=
115 0
1
,
( ) 
 
 
ρw =
τ
fyd
d
 
ρw mínimo =, 0,14 % para aço CA-50
 
 
onde, 
 ψ1 0 15= →, flexão simples e flexo-tração 
 ψ1 0 15 1= +
�
�
�
�
	
�
� →,
,
M
M
o
d máx
flexo-compressão ou flexão com protensão 
 ψ1 0= → Flexo-tração (LN fora da seção) 
 Mo = momento fletor que anula a tensão normal na borda menos comprimida 
 
 
Exemplo 
 
6.18 
 
Seção 
bw ou 
(cm) Vd (kN) τwd
kN
cm
( )2 τd
kN
cm
( )2 
ρw (%) 
5 40 1391 0,172 0,134 0,31 
 
 
2
c
2
2
w
d
wd
cm/kN0637,0MPa637,01815,0
cm
kN
cm/kN172.05,202x40
1391
d.b
V
===τ
===τ
 
 
 
τ τ τ
ρ τ
wd wd c
yd
yk
w
d
yd
x
f
f
f
x
==== −−−− ==== −−−− ====
==== ====
==== ==== ==== ====
1 15 1 15 0 172 0 0637 0 134
1 15
50
1 15
0 134
50
1 15 0 0031 0 31
, . , , , ,
, ,
,
, , , %
 
 
6.4.4.4 - VERIFICAÇÃO DA FADIGA DAS ARMADURAS 
(NORMA ALEMÃ - DIN-1045) 
 
 
 Os ensaios de flexão revelam que após 2 x 106 de ciclo de flutuações de carga, a armadura 
pode romper com tensão inferior à medida em ensaio estático. Este fenômeno denomina-se fadiga 
de armadura. 
 
 - Limites máximos da amplitude das variações de tensões: 
 
 
∆σs =
18 kN/cm2 para barras retas com pequena curvatura
14 kN/cm2 para barras com grandes curvaturas (estribos)
 8 kN/cm2 para barras soldadas e emendas com soldas
 
 
 - Elementos que devem ser verificados à fadiga: 
 vigas e lajes do tabuleiro de pontes 
 
 - Fator de fadiga 
 
 É o fator pelo qual devem ser multiplicadas as áreas de armadura de uma seção, para atender 
as flutuações de tensões. 
 
 Fator de fadiga = ∆
∆
σ
σ
s
s
≥≥≥≥ 1 0, 
Se, ∆
∆
σ
σ
s
s
> 1 0, , então, corrige-se a armadura calculada, 
A As corrig s
s
s calculado, ,.=
∆
∆
σ
σ
 
 
onde, 
6.19 
 
 
∆σs = variação de tensões calculadas 
∆σs iação de tensões admissíveis= var 
 
OBS.:As tensões σs devem ser calculadas com esforços solicitantes de serviços, isto é, sem 
majorá-los com os coeficientes de majoração. 
 
 
6.4.4.5 - VERIFICAÇÃO DA FADIGA DA ARMADURA DE FLEXÃO 
 
 Solicitações de serviço: 
 
M M M
M M
g q
g q
máx máx
mín mínM
= +
= +
,
,
 
 
 Cálculo das tensões nas armaduras 
 
 - armadura tracionada (As) 
 
 
σs
M
ZAs
=
 ; 
�
�
�
�
�
��
�
�
�
=
mín
máx 
f
M
ou
M
=M
 
 0) > (m T seção 
2
h
-d
0)<(M retangular seção d87,0
Z
 
 
 - armadura comprimida 
 
ic
eces
y
I
M
 
10 ; 
=σ
≅ασα=σ
 
; 
is yI
M10=σ
 
onde, 
 I = momento de inércia 
 σc = tensão no concreto 
 σs = tensão na armadura comprimida 
 yi = distância do C.G. da seção até a armadura comprimida 
 
 
EXEMPLO 
 
Seção 3 
 
6.20 
 
cm.kN268.255M
cm.kN221.168M
cm.kN800M
mín,q
máx,q
g
−=
=
−=
 
 bf = 336 cm 
 bw = 76 cm 
 h = 225 cm 
 hf = 25 cm 
 
 � Mmáx = 167. 421 kN.cm 
 Mmín = - 256.068 kN.cm 
.....
.....
A
As1
s2
d = 202,5 cm+
25 cm
200 cm
b f = 336 cm
= 42,55 cm2
C.G.
= 27,24 cm276 cm
y2 = 72,5
y1 = 117,5
85 cm
140 cm
I = 1.1957 x 10 8 cm 4
z = 
0,87.d = 176,18 cm
d - h f = 190 cm/ 2
Fig. 6.24 - Características geométricas da viga principal
 
 
 
a) armadura superior, As2 
 a.1) momento, M = Mmáx = 167. 421 kN cm (armadura será comprimida) 
 
 
2
82s cm/kN015,15,72x10x1957,1
421.167
x10y
I
M10 ===σ 
 
 a.2) momento, M = Mín = -256. 068 kN cm (armadura será tracionada) 
 
 
2
2
s cm/kN16,3455,42x18,176
068.256
As.z
M
===σ 
 
 a.3) variação das tensões na armadura As2 
 
 1818,3516,34015,1 ss =σ∆>=+=σ∆ 
 
2
.corrig,2 cm16,8355,42x18
18,35As == 
 
b) armadura inferior, As1 
 
 b.1) momento, M = Mmáx = 167. 421 kN cm (armadura será tracionada) 
 
6.21 
 
 
2
1
s cm/kN35,3224,27x190
421.167
As.z
M
===σ 
 
 b.2) momento, M = Mín = -256. 068 kN cm (armadura será comprimida) 
 
 
2
81s cm/kN52,25,117x10x1957,1
068.256
x10y
I
M10 ===σ 
 b.3) variação das tensões na armadura As1 
 
 
2
s
2
s cm/kN18cm/kN87,3452,235,32 =σ∆>=+=σ∆ 
 ∴ 
 
2
1s
s
s
corrig,1s cm.77,5224,27x18
87,34AA ==
σ∆
σ∆
= 
 
OBS.: Nos cálculos das variações ∆σs , as parcelas foram adicionadas, pois, o que se procura é a 
amplitude total das tensões. Caso os momentos máximos e mínimos forem de mesmo sinal, 
as parcelas que compõem ∆σs devem ser subtraídas uma da outra. 
 
6.4.4.6 VERIFICAÇÃO DA FADIGA DA ARMADURA DE CISALHAMENTO 
 
 Solicitação de serviço: 
 
V V V
V V
g q
g q
máx máx
mín mínV
= +
= +
,
,
 
�
=
=
�
�
�
V1 maior valor em módulo
V menor valor em módulo2
 
 
 V1 e V2 com mesmo sinal 
 
 ∆σ
ρs w w
V V
d b
=
−1 15 1 2, ( )
. .
 
 
 caso contrário 
 
 ∆σ τ
ρs
c w
w w
V b d
d b
=
−1 15 1, . .
. .
 
 
 Se∆ ∆σ σ ρ ρs s w corrig wkN cm≤ = → =14 2/ , . 
 Se ∆ ∆σ σs s kN cm≥ = 14
2/ → ρ σ
σ
ρw corrig s
s
w, . .=
∆
∆
 
Exemplo: 
 
seção bw (cm) ρw (%) V1 (kN) V2 (kN) ∆σs kN cm( / )2 ρw corrig, (%) 
5 40 0,31 1023,58 224,30 36,6 0,81 
 
 Vmáx = 424 + 599,58 = 1023,58 kN = V1 
 Vmín = 424 - 199,70 = 224,30 kN = V2 
 
 
2
s cm/kN6,360031,0x40x5,202
)30,22458,1023(15,1
=
−
=σ∆ 
6.22 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
==ρ 31,0x
14
6,36
.corrig,w 0,0081 → 0,81% 
7.1 
 
 
CAPÍTULO VII (2002) 
 
7. CÁLCULO DAS TRANSVERSINAS 
 
 7.1. Cálculo dos esforços devidos à carga permanente 
 
 Calculam-se os esforços solicitantes para cada transversina, tendo como base as seguintes 
considerações: 
 
 - carga uniformemente distribuída sobre o tabuleiro; 
- os pesos próprios da laje e da pavimentação, suportada pela transversina, são proporcionais à sua 
área de influência, obtida a partir das bissetrizes entre a transversina e as vigas principais; 
- Consideram-se as transversinas como vigas biapoiadas sobre as vigas principais e sem a 
consideração da largura colaborante da laje. 
 
 7.1.1. Áreas de influência 
 
 
3.2
3.2
6.6
5.0 10.0 10.0 5.0
45 o45
o
T1 T2 T3 T4 T5
transversinaviga principal
cortina
área de influência da transversina T1
 
 
 
 transversina área de influência (m2) 
 T1=T5 (6,60+1,60)x2,50/2 =10,25 
 T2=T4 10,25 + (6,60x3,30)/2 =21,14 
 T3 2(6,60x3,30)/2 = 21,78 
 
 - peso próprio da laje ... 0,25x25 = 6,25 
 - pavimentação .......... (0,12+0,05)24/2 = 2,04 
 (altura média x peso específico) 
 - recapeamento = 2,00 
 total = 10,29kN/m2 
 
 - peso próprio da transversina ...0,30x2,0x25 = 15,00kN/m 
7.2 
 
 
 7.1.2.Carga uniformemente distribuída ao longo das transversinas 
 
 transversina área de influência (m2) carga distribuída ao longo da 
transversina "g"(kN/m) 
 T1=T5 (cortinas) 10,25 [ (10,25x10,29)/6,60] +15 = 30,98 
g=30,98 distribuída em toda a 
cortina 
G=26,37kN (peso da ala aplicada 
em cada extremidade da cortina) 
 T2=T4 21,14 [ (21,14x10,29)/6,60] +15 = 47,96 
 T3 21,78 [ (21,78x10,29)/6,60] +15 = 48,96 
 
 
 7.1.3 -Cálculo de M e V devidos a "g" 
 
 
Seções de cálculo
Cortina .........
Transversina ....
1.60 1.60 1.65 1.65 1.65 1.65 1.60 1.60m
A B 0 1 2 3 4 C D 
0 1 2 3 4
 
 
 transversina 
g(kn/m) 
 seção M(kN.m) V(kN)T1=T5 
 g=30,98kn/m 
 
 G=26,37kn 
 A 
 B 
 0 { 
 
 1 
 2 
 3 
 4 { 
 
 C 
 D 
 0,00 
 -81,85 
 -243,00 
 
 -116,49 
 -74,32 
 -116,49 
 -243,00 
 
 -81,85 
 0,00 
 -26,37 
 -75,94 
 -125,50 V0,esq
.
 
 102,23 V0,dir
.
 
 51,11 
 0,00 
 -51,11 
 -102,23 V4,esq
.
 
 125,50 V4,dir
.
 
 75,94 
 26,37 
 T2=T4 
 g=47,96kn/m 
 
 0 
 1 
 2 
 3 
 4 
 0,00 
 195,86 
 261,14 
 195,86 
 0,00 
 158,27 
 79,14 
 0,00 
 -79,14 
 -158,27 
 T3 
 g=48,96kn/m 
 0 
 1 
 2 
 3 
 4 
 0,00 
 200,00 
 266,59 
 200,00 
 0,00 
 161,57 
 80,79 
 0,00 
 -80,79 
 -161,57 
 
 7.2. Cálculo dos esforços devidos à carga móvel 
 
 7.2.1. Coeficiente de impacto 
 
7.3 
 
 ϕ = 1,4-0,007x6,60 = 1,354 
 
 
 
 7.2.2. Cálculo do trem-tipo 
 
 Hipótese : lajes simplesmente apoiadas sobre as trasnversinas 
 
 
 exemplo: T3 
 
 
laje
transversina
T1 T2 T3 T4 T5
para o c cálculo das reações
Esquema estático
das transversinas
T2 T3 T4
B B
A A
q q
q2
q1Q1
Q1
q2
q
q
PLANTA
do tabuleiro TREM-TIPOda transversina
1
0.85
0.70
laje
q qQ Q Q
CORTE A-A
LI DE T3
(região c/veículo-tipo)
7.00 1.50 1.50 1.50 1.50 7.00
(1*10)/2=5
q
1
10.00 10.00
CORTE B-B
LI DE T3
(região s/veículo-tipo)
 
 
 
 Q1=1,354x75x(1+2x0,85) = 274,2kN 
 q1 =1,354x5x[2x(0,70x7)/2] = 33,17kN/m 
 q2 =1,354x5x[2x(1x10)/2] = 67,7kN/m 
7.4 
 
 
 
 
 7.2.3. Cálculo de M e V 
 Exemplo: seção 1 das transversinas T2 , T3 e T4 
 
0 1 2 3 4
1.65 1.65 1.65 1.65
1.65
1.24
0.86
0.74
1
0.25
Q1 Q1q 2 q 1
q 2
LI de Mq
(seção 1 )
Seções de
Cálculo
0.61
1.15 0.50 2.00 0.50 2.45
q 2 Q1
Q1 Q1q 1
q 2
q,mín
q,máxp/ V
p/ V
0.250.17
0.45 0.37
1.00
0.75
0.15++
_
q 1
LI de Vq
(seção 1)
 
 
 Mq(1)=274,2(1,24+0,74)+33,17[2,5x(1,24+0,61)/2+0,50x(1,24+0,86)/2]+ 
 +67,7[(0,86x1,15)/2+ (0,61x2,45)/2] = 721,10 kN.m
 
Vq,máx(1)=274,2(0,75+0,45)+33,17x2,50(0,75+0,37)/2+67,7(0,37x2,45)/2=406,16kN 
Vq,min(1)=-274,2x0,25-33,17x0,50(0,17+0,25)/2-67,7(0,17x1,15)/2=-78,65kN 
 
 OBS.: - Construir tabelas idênticas àquelas das cargas permanentes 
 - - Para cada transversina obter o TREM-TIPO correspondente 
 
 
7.5 
 
 
 
 7.3. Esforços totais (NBR-8681,ítem 5.1.4) 
 Nota-se pelos cálculos que: 
 o peso próprio da transversina < 75%da carga permanente total, 
 então, 
 γg = 1,4 ou 0,90 e γq = 1,4 
 Md
 
= γgMg+γqMq 
 Vd
 =
 γgVg+γqVq 
 OBS.: Elaborar as tabelas de Md
 
, Vd
 
 com os valores máximos e mínimos 
 
 7.4. Envoltória de esforços 
 
 Para a envoltória de momentos fletores deve-se considerar nos apoios os seguintes valores:
 
 
1/3 M
máx
1/4 M
máx
M
máx M máx
 
 
 Esta providência visa a considerar momentos que podem ocorrer,caso as vigas principais tenham 
deslocamentos diferentes. 
 
 
viga principal
transversina
tração
tração
 
 
 
 
 
8.1 
 
CAPÍTULO VIII (2002) 
 
8. CÁLCULO DAS LAJES DO TABULEIRO 
 
 8.1 Introdução 
 
 Os esforços solicitantes de lajes são obtidos através da Teoria das Placas. Embora as lajes , 
em geral , têm comportamento anisotrópico , isto é , rigidez diferente nas duas direções , considera-se , 
para efeito de cálculo de solicitações , que seja elástica e isotrópica . Existem também o cálculo à ruptura, 
onde se abandona o comportamento elástico da laje, e outros procedimentos alternativos que não serão 
objeto deste curso. 
 Encontram-se na literatura , em forma de tabelas , as soluções de placas elásticas , tais 
como as de Czarny e Marcus . Porém , estas são válidas apenas para cargas distribuídas . No caso de lajes 
de pontes , as principais solicitações são provocadas pelas cargas concentradas das rodas dos veículos, 
que além de serem preponderantes em relação às outras cargas , são móveis . Com isso , faz-se necessário 
outras tabelas. As tabelas , freqüentemente utilizada , são as de Rüsch , que serão aquí adotadas . 
 Vale salientar que em lajes de pontes , o problema resume-se em encontrar as posições das 
cargas que produzam as solicitações mais desfavoráveis para as lajes . Este cálculo é extremamente 
trabalhoso. Para facilitá-lo foram desenvolvidos diversos procedimentos , tal como o de Rüsch. 
 
 8.2 Esquema Estático 
 
 Adotam-se , para o cálculo das lajes do tabuleiro , os esquemas estáticos resultantes da 
divisão do tabuleiro em vários painéis , contornados por vigas principais , transversinas e cortinas . Cada 
painel será considerado apoiado sobre estas estruturas lineares(vigas , transversina ,etc.) . Quando houver 
continuidade da laje , na linha de apoio sobre aquelas estruturas lineares , esta será considerada engastada 
na posição desta linha. Para visualizar estas considerações , observe-se a figura abaixo : 
 
 
 
cortina transversina viga principal extremidade livre
A A
B
BPLANTA DO TABULEIRO CORTE B-B
CORTE A-A
L1
L2 L3 L4 L5
L6
L1
L4
L6
L2
L3
L4
L5
 
 Figura 8.1 
 
8.2 
 
 Os esquemas estáticos foram adotados como lajes isoladas para que se possam utilizar as tabelas 
de Rüsch , que foram elaboradas como tais . Após os cálculos dos esforços solicitantes das lajes isoladas 
consideram-se a continuidade da estrutura por meio de um coeficiente α . Estes coeficientes afetam 
apenas os esforços devidos às cargas móveis , cujos esforços são preponderantes em relação àqueles 
devidos às cargas permanentes. 
y
x
l
l
x
y
x = direção da continuidade
 
 
 Valores de αo para momentos de carga móvel e momentos de engastamento MA da viga 
de borda, para o cálculo aproximado de placas contínuas. 
 
 
 Modos de apoio das lajes 
 isoladas 
 
 
 extrema ou marginal 
 
 
 
 interna 
 
 
 
 
 
A 1 B 2 CValores para os pontos :
 
 
 
 yl xl 
 
 
 MA 
 
 constante αo 
Pontes 
 Placas 
 
 ≤ 0,80 
 
 
 
 1,00 
 
 1,00 
 
 1,05 
 
em 
 vinculadas 
 
 = 1,0 
 
 1/2 MB 
 
 1,05 
 
 0,96 
 
 1,13 
 
vigas 
 nos quatro 
 
 = 1,20 
 
 1,07 
 
 0,94 
 
 1,18 
 
 
 lados 
 
 = ∞ 
 
 1/3 MB 
 
 1,10 
 
 0,92 
 
 1,23 
 
 1,00 
 
Pontes 
 
 Placas 
 
 = ∞ 
 
 1,10 
 
 0,92 
 
 1,23 
 
 
em 
 
 vinculadas em 
 
 = 1,0 
 
 1/3 MB 
 
 1,14 
 
 0,89 
 
 1,30 
 
 
lajes 
 
 dois lados 
 
 = 0,50 
 
 1,22 
 
 0,82 
 
 1,45 
 
 
 opostos 
 
 = 0,25 
 
 calculam-se como vigas contínuas 
 
 
 Correção de ao para vãos menores que 20,0 metros : 
8.3 
 
 1,20 
 αααα =  . ααααo1 + 0,01 . lx 
 
 Conseqüentemente , os momentos fletores de cálculo serão obtidos da seguinte forma : 
 
 M M Md g g q q= +γ γ α. . . 
 
 
Nos apoios internos serão obtidos dois valores de momentos fletores, porém será utizado ,para 
dimensionamento, apenas o maior valor , o qual corresponde o caso mais desfavorável ,pois, este é aquele 
em que somente a laje correspondente ao maior momento sofre a ação do trem-tipo . 
 
OBS. : Na prática utilizam-se, freqüentemente, as transversinas intermediárias desligadas da laje . Neste 
caso a laje apoia-se apenas nas vigas principais e nas transversinas de extremidade (cortinas) . 
 
 8.3 Tabelas de Rüsch 
 
 As tabelas de Rüsch foram obtidas para veículos-tipo com cargas de rodas e cargas 
uniformemente distribuídas unitárias. Ou seja, os esforços solicitantes das tabelas resultaram da aplicação 
deste carregamento unitário sobre a superfície de influência destes esforços. O conceito de superfície de 
influência é o mesmo do de linha de influência das estruturas lineares, isto é, cada ordenada da superfície 
,no ponto de aplicação da carga unitária, é o valor do esforço solicitante em uma determinada seção. 
 Graças à coincidência dos trens-tipo da norma brasileira NBR 7188 daqueles da norma 
alemã DIN 1075 ,utilizadas por RÜSCH, pode-se utilizar as referidas tabelas nas pontes brasileiras. 
Entretanto, deve-se considerar nestas tabelas a carga distribuída p' = p ,pois na norma brasileira a carga 
distribuída ao redor do veículo-tipo é igual à carga p (no curso é "q") ,enquanto que na norma alemã , 
atrás e em frente ao veículo-tipo a carga distribuída é p e nos lados a carga distribuída é p' ., conforme 
Fig. 8.2 . 
 
NOTA : A nomenclatura utilizada no curso e nas tabelas de Rüsch é a seguinte : 
 
 Tabela 8.2 Nomenclatura 
 carga curso Rüsch 
distribuída na faixa do veículo q p 
distribuída na faixa lateral do veículo q' p' 
concentrada da roda Q L 
permanente g g 
 
+ + +
+ + +
 q
qq
q
faixa do
veículo
lateral do
veículo
lateral do 
veículo
+ + +
+ + +
pp
faixa do
veículo
lateral do
veículo
lateral do 
veículo
Norma brasileira
(q' apenas no passeio)
Norma alemã
p'
p'
- cargas móveis sobre o tabuleiroFigura 8.2
a) b)
 
 
 
 
 8.3.1 Condições de contorno 
8.4 
 
 
 As tabelas de Rüsch foram obtidas para condições de vinculações prefixadas, tais como : 
 
 
borda livre
borda apoiada
borda engastada
 
 
 Identificados o tipo de vinculação, a direção do tráfego e determinado a relação ly/lx , 
localiza-se a tabela correspondente no índice de tabelas ,ou melhor, no índice de placas , pois, Rüsch 
colocou números nas placas , conforme a Fig. 8.3 . 
 
 
y
x l l
xy 0,80 direção de tráfego
l
x
l y
Núm.
86
Figura 8.3
 
 
OBS. Não existe uma convenção para lx e ly . 
 
 8.3.2 Parâmetros para a utilização das tabelas 
 No uso das tabelas de Rüsch são necessários os parâmetros: xl
a
 e 
t
a
 , onde , 
 a = distância entre as rodas de um mesmo eixo, no caso dos veículos-tipo brasileiros, 
 a=2,0m , 
 t = lado do quadrado de área equivalente à do retângulo de contato de roda , propagado até 
 a superfície média da placa , Fig.8.4 , 
 lx = vão da laje na direção x . 
 
 
contato da roda
com a laje
b
0,20m
direção de tráfego
superfície 
equivalente
quadrada
t'
t'
projeção a 45o
t
45 45 oo h/2
h/2
e
t'
laje
pavimentação
t'
t'
t
t
plano médio
Figura 8.4
planta da projeção
no plano médio
 
 
 
 Da Fig. 8.4 , tem-se : t ' = 0,20 . b e t = t ' + 2e + h . 
 
 Segundo a NBR 7188 a largura "b" do contato da roda com a laje depende da classe da 
ponte : 
 - classe 45 → b = 0,50m 
 - classe 30 → b = 0,40m 
 - classe 12 → b = 0,20m (roda dianteira) 
 b = 0,30m (roda traseira) 
8.5 
 
0,20m
0,50m
2,00m
0,50m
1,50m 1,50m 1,50m 1,50m
0,20m
0,50m
2,00m
0,50m
1,50m 1,50m3,00m
0,20m
0,20m
0,30m
Figura 8.5
veículo-tipo / classe 45 e 30 veículo-tipo / classe 12
b
b
 
 
 No caso de trem-tipo classe 12 (dois eixos, com cargas diferentes) , Rüsch considera como 
efeito mais desfavorável um segundo veículo-tipo , colocado lateralmente ao existente , porém 
considerando-se apenas as rodas traseiras(mais pesadas) de ambos os veículos . Isso implica em utilizar 
somente um valor de t/a , o correspondente ao eixo traseiro . 
 
 8.3.3 Cálculo dos momentos fletores 
 
 8.3.3.1 Momentos provocados por cargas permanentes " g " 
 
 São calculados pela expressão , gM = K . g . x
2l , sendo , 
 K = coeficiente fornecido pela tabela , em sua parte superior , depende da 
 relação ly/lx e dos vínculos , 
 g = carga permanente uniformemente distribuída . 
 
 8.3.3.2 Momentos provocados por cargas móveis 
 
 As tabelas de Rüsch fornecem , conforme o caso , os valores dos momentos 
no centro , no meio da borda engastada e no meio da borda livre das lajes . Nas tabelas estes valores são 
fornecidos em três parcelas : a primeira devida à pressão unitária de cada roda do veículo-tipo (coluna L 
da tabela) , a segunda devida à carga distribuída unitária na faixa do veículo (coluna p) e a terceira devida 
à carga distribuída unitária na faixa lateral ao veículo (coluna p') . Neste curso, estas parcelas são 
denominadas , respectivamente , mL , mq
 
e mq' , por se tratarem de momentos fletores devidos a 
carregamentos unitários. 
 Portanto , para se obter o efeito global das cargas do trem-tipo(veículo-tipo 
mais as cargas distribuídas ao redor do veículo-tipo) , num determinado ponto , utiliza-se a seguinte 
expressão : 
 qM = ( Q . mL + q . mq + q . mq'ϕ. ) 
 
 onde , 
 Mq = momento total devido à carga móvel 
 ϕ = coeficiente de impacto, 
 Q = carga de uma roda do veículo-tipo ( no caso de ponte classe 12 , roda traseira), 
 q = carga distribuída ao redor do veículo, 
 mL = momento fletor provocado pelo veículo-tipo com cargas das rodas unitárias, 
 mq = momento fletor provocado por carga distribuída unitária na faixa do veículo, 
 mq' = momento fletor provocado por carga distribuída unitária nas faixas laterais do 
 veículo . 
OBS. : No caso de ponte classe 12 há uma quarta parcela (coluna L' da tabela) ,correspondente ao veículo 
lateral . Com isso , a expressão anterior fica da seguinte forma : 
8.6 
 
 
 qM = Q ( mL + mL' ) + q . mq + q . mq 'ϕ.[ ] 
 onde , 
 Q = carga de uma roda do eixo traseiro do veículo-tipo, 
 mL = momento fletor provocado pelas cargas unitárias do eixo traseiro do veículo-tipo, 
 mL' = momento fletor provocado pelas cargas unitárias do eixo traseiro do veículo 
 lateral(na realidade é idêntico ao veículo-tipo), 
 os demais termos têm o mesmo significado da expressão anterior . 
 
 A seguir indica-se a forma das tabelas de Rüsch que fornecem os extremos 
dos momentos fletores, devido ao carregamento unitário , em alguns pontos da laje . Estes extremos são 
obtidos a partir da posição mais desfavorável do trem-tipo, composto de cargas unitárias , observando-se a 
forma da superfície de influência . 
 Salienta-se que a tabela abaixo corresponde à uma parte das tabela original 
de uma laje engastada nos bordos , com ly/lx = 1 , já com a nomenclatura do curso . 
 
 
 Tabela 8.3 
 
 No 
 
 97