TEORIA DE PROBABILIDADE e ESTATÍSTICA

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GRADUAÇÃO 
 
ENGENHARIA CIVIL 
 
 
 DOCENTE: Ms. ADRIANA EMA NOGUEIRA 
ESTATÍSTICA 
O que é a Estatística? 
  Considerada um ramo da matemática aplicada, a estatística 
trabalha com dados numéricos relativos, fenômenos sociais ou 
naturais, objetivando medir ou estimar a extensão desses 
fenômenos e suas inter-relações. 
 
 A palavra Estatística surge, pela primeira vez, no séc. XVIII. 
Alguns autores atribuem esta origem ao alemão Gottfried 
Achemmel (1719-1772), que teria utilizado pela primeira vez o 
termo statistik, do grego statizein; outros dizem ter origem da 
mesma raiz latina da palavra Estado (organização política): 
status: pois as estatísticas eram coletadas para as finalidades 
relacionadas com o Estado (objetivos militares, tributários, 
recenseamentos, entre outros). 
ESTATÍSTICA: 
 
É uma ciência que tem por base a coleta dos 
dados, do passado ou presente, os quais 
submetidos a um tratamento científico, a 
transformam numa ciência de previsão para o 
futuro. 
Evolução histórica da Estatística 
O primeiro dado disponível sobre um levantamento estatístico foi 
referido por Heródoto, que afirmava ter-se efetuado em 3050 a. C. 
um estudo das riquezas da população do Egito com a finalidade 
de averiguar quais os recursos humanos e econômicos 
disponíveis para a construção das pirâmides. 
 
 Há também notícia de que no ano 2238 a. C. se realizou um 
levantamento estatístico com fins industriais e comerciais 
ordenado pelo imperador chinês Yao. 
 
 Existem indícios, que constam na Bíblia, relativamente a 
recenseamentos feitos por Moisés (1490 a.C.). 
 
Outra estatística referida pelos investigadores foi feita no ano 
1400 a. C., quando Ramsés II mandou realizar um 
levantamento das terras do Egito. 
 
 Também os romanos faziam o recenseamento dos cidadãos e 
dos bens. Eram os censores, magistrados romanos, que 
asseguravam o censo dos cidadãos. 
 
 
Guilherme, “O Conquistador”, que reinou entre 1066 e 1087, 
ordenou que se fizesse um levantamento estatístico da 
Inglaterra. Este levantamento deveria incluir informações sobre 
terras, proprietários, uso da terra, animais... e serviria de base, 
também, para o cálculo de impostos. 
 
 Para responder ao desenvolvimento social surgiram estas 
primeiras técnicas estatísticas: classificar, apresentar e 
interpretar os dados recolhidos foram para os censos e são 
para a Estatística um aspecto essencial do método utilizado. 
 
 
 
A Estatística é dividida em duas áreas: 
 
 ESTATÍSTICA INDUTIVA (Inferência Estatística) 
 
 ESTATÍSTICA DESCRITIVA 
 
ESTATÍSTICA INDUTIVA 
 
 É A PARTE DA ESTATÍSTICA QUE TEM POR OBJETIVO 
OBTER E GENERALIZAR CONCLUSÕES PARA A 
POPULAÇÃO A PARTIR DE UMA AMOSTRA, ATRAVÉS 
DO CÁLCULO DE PROBABILIDADE. A TAIS 
CONCLUSÕES ESTÃO SEMPRE ASSOCIADAS A UM 
GRAU DE INCERTEZA E CONSEQUENTEMENTE, A UMA 
PROBABILIDAE DE ERRO. 
ESTATÍSTICA DESCRITIVA 
 É A PARTE DA ESTATÍSTICA QUE PROCURA 
SOMENTE DESCREVER E AVALIAR UM CERTO 
GRUPO, SEM TIRAR QUAISQUER CONCLUSÕES 
OU INFERÊNCIAS SOBRE UM GRUPO MAIOR. 
A Estatística Descritiva pode ser resumida nas seguintes 
etapas: 
 
 Definição do problema; 
 Planejamento; 
 Coleta dos dados; 
 Crítica dos dados. 
 Apresentação dos dados; 
 Tabelas 
 Gráficos 
 Descrição dos dados. 
ATRIBUIÇÕES: 
 A obtenção ou coleta de dados: é normalmente feita através 
de um questionário ou de observações direta de uma 
população ou amostra; 
 
 A organização dos dados: consiste na ordenação e crítica 
quanto à correção dos valores observados, falhas humanas, 
omissões, abandono de dados duvidosos; 
 
 A representação dos dados: através de gráficos e tabelas, 
que permitem a visualização instantânea de todos os dados. 
 
 
 
Estatística descritiva teremos dois métodos 
para a apresentação dos dados: 
 
Métodos gráficos (apresentação gráfica e tabular); 
 
Métodos Numéricos (apresentações de medidas de 
posição e/ou dispersão). 
Apresentação gráfica e tabular 
Gráficos: mais eficientes para apresentar dados; 
 
 Indicadores de situações; 
 
 Visão mais rápida e fácil dos dados; 
 
 Um gráfico é uma figura construída a partir de uma tabela; 
 
 Tabelas: mais precisas e possibilitam um rigor maior. 
 
ARREDONDAMENTO : PRECISÃO DESEJADA 
I. NÚMEROS APROXIMADOS 
 
 Valores discretos ou descontínuos: são as variáveis que 
podem tomar um número finito ou uma infinidade numerável 
de valores. 
 
 Valores contínuos: são as variáveis que podem tomar 
qualquer valor de um determinado intervalo. 
 
ARREDONDAMENTO DE DADOS 
Resolução nº 886/66 da Fundação IBGE (Instituto Brasileiro 
de Geografia e Estatística) 
 
 0,1,2,3,4 : Inaltera o último algarismo 
ex: 53,24 = 53,2 
 
 6, 7, 8, 9 : Aumenta-se uma unidade ao algarismo que 
permanecer. 
ex:42,87 = 42,9 
 
Quando terminar em 5, existirá 2 soluções: 
 
Antes do nº 5 (nº par) = permanece inalterado 
ex: 25,65 = 25,6 
 
Antes do nº 5 (nº ímpar) = aumenta-se uma casa 
decimal 
ex: 25,75 = 25,8 
 
 
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA 
 Apresenta alguns requisitos: 
 
1) Uso de escalas: divide o eixo em partes iguais; 
2) Sistema de coordenadas: plano cartesiano; 
3) Simplicidade: destituído de detalhes (secundários); 
4) Clareza: interpretação correta dos valores; 
5) Veracidade: expressa a verdade do dado estudado. 
GRÁFICOS 
II. GRÁFICOS 
 Os gráficos mais utilizados são: 
 
1. Gráficos de informação: 
 
 Público em geral; 
 
Objetivo: clareza e rapidez; 
 
 Expositórios. 
2. Gráficos de análise: 
 
 Análise estatística; 
 Acompanhado de tabela; 
 Texto: atenção pontos principais. 
 
TIPOS DE GRÁFICOS 
 
Classificação dos gráficos: 
 Diagramas 
 Estereogramas 
 Cartogramas 
 Pictogramas 
 
DIAGRAMAS 
Gráficos geométricos dispostos em duas dimensões; 
 
 São os mais usados em análises estatísticas. 
 
 Podem ser: 
 
a) Gráfico em Linha 
 
• Utiliza a linha poligonal para representar uma série estatística; 
 
 
 • São freqüentemente usados para representação de séries 
cronológicas com um grande número de períodos de tempo. 
 
• Objetivo: Mostrar a tendência do fenômeno ao longo do 
tempo 
 
• As linhas são mais eficientes do que as colunas, quando 
existem intensas flutuações nas séries ou quando há 
necessidade de se representarem várias séries em um 
mesmo gráfico. 
 
• Para construí-lo, basta marcar os pontos e uni-los por meio 
de segmentos de reta. 
 
Produção Brasileira de Carvão 1987-92 
0
10
20
30
40
50
60
70
80
19
87
19
88
19
89
19
90
19
91
19
92
anos
qu
an
tid
ad
e 
(1
.0
00
t)
 
b) Gráfico em colunas ou em barras: 
 
 Representação de uma série por meio de retângulos, dispostos 
verticalmente (Coluna ou Histograma) ou horizontalmente 
(Barras); 
 
 Retângulos têm a mesma base e as alturas são proporcionais aos 
respectivos dados. 
 
 Histograma: é um gráfico de barras em que a área destas é 
proporcional à frequência, não havendo espaço entre as mesmas. 
Só se utiliza em variáveis quantitativas contínuas. 
 
0 20 40 60 80 100
Minas Gerais
Parana
Rio de janeiro
São Paulo
População do Brasil
População do
Brasil
 
c) Gráfico em colunas ou em barras múltiplas: 
 
 Usado para empregar, simultaneamente, 2 ou mais fenômenos, 
com o propósito de comparação; 
 
 
d) Gráfico emsetores 
 
 Utilizado para ressaltar a participação total; 
 
 Dados qualitativos; 
 
 Somente deve ser empregado quando há, no máximo, 7 dados. 
 
e) Gráfico polar: 
 
 Ideal para representar séries temporais cíclicos. 
 
 
 
 
ESTEREOGRAMAS 
 São gráficos geométricos em 3 dimensões (volume); 
 Utilizados em tabelas de dupla entrada ou de contingência. 
 
 
CARTOGRAMAS 
 Representações sobre uma carta geográfica (mapas); 
Objetivo: figurar dados estatísticos relacionados a áreas 
geográficas ou políticas; 
PICTOGRAMAS 
 Representação gráfica contém figuras. 
III. TABELAS 
 TABELA: É uma unidade autônoma e deve ser de acordo com IBGE 
(Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística), resumindo um conjunto 
de observações. 
 
 As tabelas servem para apresentar séries estatísticas. 
 
 Constitui-se dos seguintes elementos: 
 
• Legenda: ordem e título da tabela; 
• Cabeçalho: conjunto de títulos de cada coluna; 
• Corpo da tabela: linhas e colunas separados por traços verticais 
• Coluna indicadora: 1ª coluna indica conteúdo de cada uma delas; 
• Rodapé: fonte e dados explicativos em NOTA, mais de um (1,2,..). 
 
IV. SÉRIES ESTATÍSTICAS 
 SÉRIE ESTATÍSTICA: É qualquer tabela que apresenta a 
distribuição de um conjunto de dados estatísticos em função da 
época, do local ou da espécie. 
 
Os três caracteres presentes na tabela que as apresenta são: 
 
O Fenômeno (espécie do fato ou fator especificativo) – que é 
descrito; 
O Local (fator espacial ou geográfico) – onde o fenômeno 
acontece; 
 A Época (fator temporal ou cronológico) – a que se refere o 
fenômeno analisado; 
 
As séries são divididas em dois grupos: 
 
 Séries Homógradas: aquelas em que a variável descrita 
apresenta variação discreta ou descontínua. São séries 
homógradas a série temporal, a série geográfica e a série 
específica. 
 
 Séries Heterógradas: aquelas nas quais o fenômeno ou o 
fato apresenta gradações ou subdivisões. Embora fixo, o 
fenômeno varia em intensidade. A distribuição de freqüências 
é uma série heterógrada. 
 
 
Tipos de Séries Estatísticas 
As séries estatísticas diferenciam-se de acordo com a variação de um dos três elementos: 
época, local e fenômeno. 
Série Temporal 
Também chamada de série cronológica, série histórica, série evolutiva ou marcha, 
identifica-se pelo caráter variável do fator cronológico. 
Elemento variável: Época 
Elementos Fixos: Local e Fenômeno 
Tabela 1 
 ABC VEÍCULOS LTDA. Vendas no 1º bimestre de 1996 
PERÍODO UNIDADES VENDIDAS 
JAN/96 20000 
FEV/96 10000 
TOTAL 30000 
Fonte: Relatório da empresa 
Série Geográfica 
Também chamada de série territorial, série espacial ou série de localização, identifica-se 
pelo caráter variável do fator geográfico. 
Elementos variável: Local 
Elementos Fixos: Época e Fenômeno 
Tabela 2 
ABC VEÍCLULOS LTDA. Vendas no 1º bimestre de 1996 
FILIAIS UNIDADES VENDIDAS * 
São Paulo 1 3 
Rio de Janeiro 1 7 
TOTAL 3 0 
Fonte: Relatório da empresa 
* Em mil unidades 
Série Específica 
Também chamada de série categórica, série por categoria, identifica-se pelo caráter 
variável de fator especificativo. 
Elemento variável: Fenômeno 
Elemento Fixos: Local e Época 
Tabela 3 
ABC VEÍCLULOS LTDA. Vendas no 1º bimestre de 1996 
MARCA UNIDADES VENDIDAS * 
FIAT 1 8 
GM 1 2 
TOTAL 3 0 
Fonte: Relatório da empresa 
* Em mil unidades 
Tabelas de Dupla Entrada = Séries Conjugadas 
São apropriadas à apresentação de duas ou mais séries de maneira conjugada, havendo 
duas ordens de classificação: uma horizontal e outra vertical. 
Exemplos: 
A) Série específico-temporal 
B) Série geográfico-temporal 
Tabela 4 
ABC VEÍCLULOS LTDA. Vendas no 1º bimestre de 1996 
FILIAIS Janeiro/96 Fevereiro/96 
São Paulo 1 0 3 
Rio de Janeiro 1 2 5 
TOTAL 2 2 8 
Fonte: Relatório da empresa 
* Em mil unidades 
Tabela 5 
População economicamente ativa por setor de atividades – Brasil 
Setor 
População ( 1 000 Hab.) 
1940 1950 1960 
Primário 8 968 10 255 12 163 
Secundário 1 414 2 347 2 962 
Terciário 3 620 4 516 7 525 
Fonte : IPEA 
V. DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA 
 Constitui-se no tipo de tabela importante para a Estatística 
Descritiva. 
 
Tabela primitiva ou dados brutos 
 
 Após a coleta, os dados são registrados de forma 
desordenada. Portanto, sendo difícil extrair os dados. 
 
Organizasr, retirar informações e conclusões sobre o fenômeno 
estudado. 
 
 Organização dos dados. (crescente ou decrescente). 
 ROL: é quando os dados da tabela são organizados. 
 
 
 
Distribuição de frequência sem intervalo de classe 
 
Frequência: nº de indivíduos que fica relacionado a um 
determinado intervalo fixado. Obtemos uma tabela que recebe 
o nome de distribuição de frequência. 
 
 1º PASSO: Definir o nº de classes que a tabela terá; 
 
 2º PASSO: Amplitude; 
 
 3º PASSO: Limites dos intervalos de classe. 
Sem intervalo de classe 
Tabela 6 
Número de acidentes por dia na rodovia X em Janeiro de 2007 
N° de acidentes por dia N° de dias 
0 10 
1 7 
2 4 
3 5 
4 3 
5 2 
Fonte: DNER 
Com intervalo de classe 
Tabela 87 
Retiradas diárias no Banco do Brasil na cidade X em Janeiro de 2006. 
Retirada Freqüência 
500 ├ 600 12 
600 ├ 700 36 
700 ├ 800 63 
800 ├ 900 81 
900 ├ 1.000 77 
1.000 ├ 1.100 42 
1.100 ├ 1.200 24 
Fonte: Arquivos do BB 
OBTENÇÃO DO Nº DE CLASSES 
 
 As classes podem ser obtidas de 3 formas: 
 
a) Regra de Sturges; 
 
b) Truman L. Kelley; 
 
c) Para n≤ 25 e para n≥ 25 
 
 
REGRA DE STURGES 
Dados: i = intervalo de classes e n = nº total de dados 
 
i= 1+ 3,3. log n 
 
i = 1+ 3,3. log 40 
i = 1+ 3,3. 1,60206 
i = 1+ 5,2868 
i = 6,2868 
i = 7 classes 
TRUMAN L. KELLEY 
n 5 10 25 50 100 200 500 1000 
i 2 4 6 8 10 12 15 15 
n = 40 
 
i = sugere o nº total de observações 
 
i = 8 classes 
PARA n≤25 e para n≥25 
 Para n≤ 25 , o i = 5 
 
 Para n ≥ 25, o i = √n 
 
 i = √40 
 i = 7 classes. 
 
Mesmo utilizando algumas sugestões é necessário ajustar o número 
de classes que a tabela terá, englobando todas as variáveis em 
estudo. 
AMPLITUDE DO INTERVALO DE CLASSE (h) 
 
REGRA DE STURGES 
 
i = nº classes 
 
h = AT/ i 
 
h = (173 – 150)/7 
h = 3,29 
h = 4 (amplitude do intervalo de classe) 
 
Sempre arredondamos para cima, sem levar em consideração as 
regras de arredondamento. 
CONSTRUÇÃO DA DISTRIBUIÇÃO DE 
FREQUÊNCIA COM INTERVALO DE CLASSE 
ELEMENTOS DE UMA DISTRIBUIÇÃO 
DE FREQUÊNCIA 
Tipos de Frequências 
Representação gráfica de uma 
distribuição de frequência 
Representada por: 
 
 Histograma; 
 
 Polígono de frequência; 
 
 Polígono de frequência acumulada (Ogiva de Galton). 
 
 
Histograma: 
 
• Retângulos justapostos; 
 
• Amplitude proporcional a soma das frequências; 
 
• Frequências relativas: área unitária; 
 
• Comparar 2 distribuições, histograma de frequência 
relativa. 
 
 Polígono de Frequência: gráfico em linha; marca-se o 
ponto médio das classes e depois é só traçar a linha. 
POPULAÇÃO 
 
 População: conjunto da totalidade dos indivíduos sobre o 
qual se faz uma inferência. 
 
 Linguagem mais formal: é o conjunto constituído por todos 
os indivíduos que apresentam pelo menos uma 
característica comum, cujo comportamento interessa 
analisar(inferir). 
 
A população pode ser: 
 
 Finita: quando apresenta um número limitado de indivíduos; 
 
 ex: população constituída por todos os parafusos produzidos 
em uma empresa; nascimento de crianças em Rondônia; 
 
 Infinita: quando o número de observações for infinito. 
 
 ex: população de todos os resultados de cara e coroa em 
sucessivos lances de uma moeda. 
AMOSTRA 
 É um conjunto de elementos retirados de uma 
população, ou seja, o processo (criterioso) de escolha 
da amostra, constituindo a parte inicial de qualquer 
estudo estatístico. 
 
 Através da análise dessa amostra estaremos aptos para 
analisar os resultados da mesma forma que se 
estudássemos toda a população. 
 
 A amostra é sempre FINITA. Quanto maior for a amostra , 
mais significativa é o estudo. 
PARÂMETRO 
 
 É UMA CARACTERÍSTICA NÚMERICA ESTABELECIDA 
POR TODA UMA POPULAÇÃO. 
 
 
 
DADO ESTATÍSTICO 
 É SEMPRE UM NÚMERO REAL. 
 
Pode ser: 
 
 Primitivo ou Bruto: é aquele que não sofreu nenhuma 
transformação matemática. Número direto. 
 
 Elaborado ou secundário: é aquele que sofreu transformação 
matemática. Ex: porcentagem, média, etc. 
Preparação de dados para a análise 
estatística 
DEFINIÇÃO DO PROBLEMA 
 
 Formulação correta do problema a ser estudado ou a 
informação a ser obtida; 
 
 Além do problema o analista fará outros levantamentos já 
realizados a campo. 
PLANEJAMENTO 
 
 Determinar o procedimento para resolver o problema; 
 
 Perguntas: que dados deverão ser obtidos? Como obtê-
los? 
 
 Fase que será escolhido o tipo de levantamento a ser 
utilizado. Sob esse aspecto, pode haver dois tipos de 
levantamento: 
 
1) Levantamento censitário: quando a contagem for 
completa, abrangendo todo o universo; 
 
2) Levantamento por amostragem: quando a contagem for 
parcial. 
 
 Outros elementos importantes deverão ser trabalhados 
nessa fase, como: cronograma das atividades, custos, 
examinar as informações disponíveis, delineamento da 
amostra e a forma como serão escolhidos os dados. 
 
 
 Coleta contínua: os dados são obtidos ininterruptamente, por 
um determinado período: um ano,por exemplo; 
 
 Coleta periódica: realizada em períodos curtos; 
 
 Coleta ocasional: dados coletados esporadicamente, 
atendendo a uma emergência. 
 
 COLETA INDIRETA: é inferida através da coleta direta, ou 
através do conhecimento de outros fenômenos que, estejam 
relacionados com o fenômeno estudado. 
APURAÇÃO DOS DADOS 
 
 
 Apuração dos dados ou sumarização, consiste em resumir os 
dados, através de sua contagem e agrupamento. 
ANÁLISE E INTERPRETAÇÃO DOS 
DADOS 
 Última fase e a mais importante e a mais delicada, onde o 
interesse maior está em retirar conclusões que auxiliem o 
pesquisador a resolver o problema, ou responder a 
informação que se deseja obter. 
 
AMOSTRAGEM E TÉCNICAS DE 
AMOSTRAGEM 
 AMOSTRAGENS OU SONDAGENS: são procedimentos 
de seleção de subconjuntos de populações- as amostras-, 
destinados ao conhecimento de uma ou várias 
características dos universos investigados. Quando se 
estuda uma população por sondagens, é necessário 
selecionar suas amostras representativas, a fim de que os 
resultados obtidos possam ser inferidos para o conjunto 
objeto da investigação. 
 
 
 Essa técnica será definida na fase do planejamento, e será 
aplicada na fase da coleta dos dados. 
 
 As amostragens dividem-se em dois grupos: 
 
a) Amostragens probabilísticas; 
 
a) Amostragens não-probabilísticas. 
Amostragens Probabilísticas 
 São amostragens em que a seleção é aleatória de tal 
forma que cada elemento da população tem uma 
probabilidade conhecida de fazer parte da amostra. Assim 
se N é o tamanho da população e se todos os elementos 
da população possuem igual probabilidade, teremos que 
1/N é a probabilidade de cada elemento participar da 
amostra. 
Amostragens Não-Probabilísticas 
 
 Não-probabilística ou intencional: são amostragens em 
que há uma escolha deliberada dos elementos da amostra. 
Para se fazer inferências estatísticas, ou seja, tirar 
conclusões sobre a população, a partir de observações da 
amostra, há necessidade de que o processo seja 
probabilístico, pois somente neste caso poderemos avaliar 
a probabilidade de erro. 
Tipos de Amostras Probabilísticas 
1) AMOSTRAS ALEATÓRIAS SIMPLES: São aquelas cujos 
indivíduos foram obtidos ao acaso da população, tendo 
cada amostra a mesma chance de ser escolhida dentre 
todas aquelas possíveis do mesmo tamanho. 
 
 Os termos aleatório, randômico, casual e ao acaso são 
sinônimos. As amostras aleatórias simples podem ser 
obtidas por sorteio, em tabelas de números aleatórios e 
por computação. 
 
3) AMOSTRAS ESTRATIFICADAS: Trata-se de amostras 
obtidas de subconjuntos de uma população designados por 
estratos ou grupos, sem superposição de unidades entre 
eles, retirando-se amostra randômica de cada um. 
 
 Há maior homogeneidade dos elementos dentro de cada grupo 
e maior diversidade entre os estratos, possibilitando maximizar 
as informações sobre todo o universo investigado. 
 
 Deve-se definir cuidadosamente a quantidade de estratos, os 
limites de cada um e o número de variáveis a investigar. 
 
 ex: A população de uma cidade de 600 habitantes foi dividida 
em dois estratos: urbano e rural, com a finalidade de se 
estudar a incidência de malária em cada grupo de seus 
residentes. 
 
O estrato urbano possui 400 habitantes e o rural, 200. 
 
O tamanho total da amostra deve compreender 60 pessoas. 
 
 Deve-se notar que o tamanho da amostra retirada de cada 
subconjunto é proporcional ao tamanho de cada estrato em 
relação ao tamanho da população. 
4) AMOSTRAS POR CONGLOMERADOS: Os elementos 
simples das amostras são obtidos de unidades coletivas 
denominadas conglomerados ou cluters. 
 
Os conglomerados têm acentuada similitude á variação de 
seus indivíduos, como as colméias, blocos residenciais, as 
aldeias de um mesmo grupo indígena, etc. 
 
 Por esse procedimento é possível a listagem de todos os 
cluters, a escolha randômica de alguns, a relação completa 
das unidades simples daqueles já sorteados e, finalmente, 
a obtenção casual dos indivíduos dos conglomerados 
selecionados. 
 A retirada da amostra pode ser efetuada em dois ou mais 
estágios: duplo, triplo, múltiplo, conforme o caso. 
 
 ex: Calcular o peso médio de estudantes da quinta série do 
ensino fundamental das escolas públicas de um município. O 
total de estabelecimentos de ensino é de 52 escolas 
(conglomerados do 1º estágio), cada uma com 10 turmas da 
quinta série (conglomerados do 2º estágio), e cada turma 
apresentando 40 alunos matriculados (unidades simples, 3º 
estágio). Foram selecionadas, 5, 4 e 8 unidades dos estágios 
1º, 2º e 3º, respectivamente, constituindo, ao final, amostra de 
160 discentes (5x4x8). 
VARIÁVEIS 
 Uma variável é qualquer característica de um elemento 
observado (pessoa, objeto ou animal). 
 
 Algumas variáveis como o sexo, enquadram os indivíduos em 
categoriais; 
 
Outras, como altura, peso, tomam valores numéricos com os 
quais podemos fazer cálculos; 
 
 As variáveis podem ser: Qualitativa e Quantitativa 
Tipos de Variáveis 
QUALITATIVA: quando seus valores são expressos por 
atributos: 
 
Sexo: masculino, feminino. 
Cor da pele: branca, preta, amarela. 
Tipo sanguíneo: A, O, AB B. 
 
Ou seja, quando trabalhamos com letras. 
QUANTITATIVA: quando seus valores são expressos em 
números (salários, idadedos alunos de uma escola, número de 
filhos, etc.). 
 
 Uma variável quantitativa que pode assumir, teoricamente, 
qualquer valor entre dois limites recebe o nome de variável 
contínua (altura, peso, etc.); 
 
 Uma variável que só pode assumir valores pertencentes a um 
conjunto enumerável recebe o nome de variável discreta ( 
número de filhos, números de vitórias, etc.). 
 
 Portanto, variável quantitativa mexe com números e estes 
podem ser quantitativos contínuos ou discretos).