Redes de Antenas de microfita

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INSTITUTO TECNOLÓGICO DE AERONÁUTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bernardo Moscardini Fabiani 
 
 
Redes de antenas de microfita com apontamento de feixe 
 
 
 
 
 
Trabalho de Graduação 
2015 
 
 
 
 Eletrônica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CDU: 621.396.67 
 
 
 
Bernardo Moscardini Fabiani 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Redes de antenas de microfita com apontamento de feixe 
 
 
 
 
 
 
Orientador 
Prof. Dr. Daniel Chagas do Nascimento (ITA) 
 
 
 
 
 
 
 
Engenharia Eletrônica 
 
 
 
 
 
 
SÃO JOSÉ DOS CAMPOS 
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE AERONÁUTICA 
 
 
2015 
 
 
 
 
 
Dados Internacionais de Catalogação-na-Publicação (CIP) 
Divisão de Informação e Documentação 
Fabiani, Bernardo M. 
Redes de antenas de microfita com apontamento de feixe. 
São José dos Campos, 2015. 
136f. 
 
Trabalho de Graduação – Eletrônica – 
Instituto Tecnológico de Aeronáutica, 2015. Orientador: Prof. Dr. Daniel Chagas do Nascimento. 
 
1. Rede de antenas; 2. Antenas de microfita; 3. Polarização circular; 4. Diagramas de irradiação de antenas; 5. 
Telecomunicações; 6. Engenharia eletrônica; 7. I. Instituto Tecnológico de Aeronáutica. II. Redes de antenas de 
microfita com apontamento de feixe. 
 
 
 
 
 
 
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA 
 
FABIANI, Bernardo M. Redes de antenas de microfita com apontamento de feixe. 2015. 
136f. Trabalho de Conclusão de Curso. (Graduação) – Instituto Tecnológico de Aeronáutica, 
São José dos Campos. 
 
 
 
 
 
 
 
CESSÃO DE DIREITOS 
 
NOME DO AUTOR: Bernardo Moscardini Fabiani 
TÍTULO DO TRABALHO: Redes de antenas de microfita com apontamento de feixe 
TIPO DO TRABALHO/ANO: Graduação / 2015 
 
 
É concedida ao Instituto Tecnológico de Aeronáutica permissão para reproduzir cópias deste 
trabalho de graduação e para emprestar ou vender cópias somente para propósitos acadêmicos 
e científicos. O autor reserva outros direitos de publicação e nenhuma parte desta monografia 
de graduação pode ser reproduzida sem a autorização do autor. 
 
 
 
_____________________ 
Bernardo Moscardini Fabiani 
Rua H8B, número 204 – Campus CTA 
CEP 12228-461 – São José dos Campos - SP 
 
 
iv 
 
REDES DE ANTENAS DE MICROFITA COM APONTAMENTO DE FEIXE 
 
 
Essa publicação foi aceita como Relatório Final de Trabalho de Graduação 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bernardo Moscardini Fabiani 
Autor 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
__________________________________________________ 
 
Coordenadora do Curso de Engenharia Eletrônica 
 
 
 
 
 
São José dos Campos, 26 de novembro de 2015 
 
 
 
 
 
v 
 
AGRADECIMENTOS 
À minha família, cujo amor incondicional me acompanha desde sempre. Ao professor 
Daniel, capaz de suportar aconselhados mesmo em domingos e feriados… até onze da noite. 
Ao professor Gefeson, que possibilitou este trabalho pela difícil obtenção dos defasadores. A 
toda equipe do LAP, particularmente aos professores Alexis, Bianchi e ao engenheiro 
Eduardo, cujo auxílio durante construção e medida foram valiosos. Ao engenheiro Marcus, 
que disponibilizou a câmara do LIT durante todo um final de semana para a realização da 
medida do phased-array. Ao professor Lacava, que mesmo frente a toda adversidade 
conseguiu criar e aparelhar o LAP. À Força Aérea Brasileira, à qual devo o teto, o alimento, a 
segurança e a formação gratuita de qualidade que recebi durante os últimos anos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
vi 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
“A grandeza não consiste em receber honras, 
mas em merecê-las.” 
(Aristóteles) 
vii 
 
Resumo 
 
 
Neste trabalho são apresentadas a especificação, o projeto, a construção e a medida de 
uma rede de antenas de microfita circularmente polarizadas com controle eletrônico do feixe 
(phased-array). O phased-array é composto por dois subsistemas, – a rede de antenas e o seu 
circuito ativo dinâmico de alimentação – que são projetados e caracterizados separadamente. 
Também é proposto um modelo circuital capaz de caracterizar o comportamento de todo o 
sistema a partir das matrizes espalhamento dos subsistemas e dos diagramas ativos dos elementos 
da rede. O trabalho é concluído com medidas de diagramas de irradiação do protótipo operando 
em diversas condições de apontamento de feixe e controle de lóbulos secundários, tendo sido as 
excitações da rede calculadas por um algoritmo de mínimos quadrados com restrições lineares. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
viii 
 
Abstract 
 
 
In this work, the specification, design, construction and measurement processes of a 
circularly polarized phased array composed by six-element microstrip antenna and a 
microwave beamforming network is presented. Those processes are independently conducted 
for each part of phased array system. Next, a circuit model characterization of an antenna 
array connected to a microwave beamforming network is derived in order to clarify the 
system operation. Finally, the phased array prototype is tested in an anechoic chamber under 
several simulated beamforming conditions, whose antennas’ excitations were determined 
using a least square linear constraints algorithm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ix 
 
LISTA DE SIGLAS E SÍMBOLOS 
AWACS Airborne Warning and Control System 
MESSENGER MErcury Surface, Space ENvironment, GEochemistry, and Ranging 
MIMO Multiple Input, Multiple Output 
RFID Radio-Frequency Identification 
DoA Direction of Arrival 
MSBF Microwave sampling beamforming 
LAP Laboratório de Antenas e Propagação 
ITA Instituto Tecnológico de Aeronáutica 
SLL Sidelobe level 
A/D Analog/digital 
DSP Digital signal processor 
LNA Low Noise Amplifier 
IF Intermediate Frequency 
MMIC Monolithic Microwave Integrated Circuit 
bb banda base 
RF Radio frequency 
OF Optical frequency 
E/O Eletro-Optic 
HFSS High Frequency Structure Simulator 
CP Circularly polarized 
AR Axial Ratio 
PWM Pulse Width Modulation 
LIT Laboratório de Integração e Testes 
INPE Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais 
RHCP Right handed circular polarization 
LHCP Left handed circular polarization 
IFI Instituto de Fomento à Indústria 
DCTA Departamento de Ciência e Tecnologia Aeroespacial 
VNA Vector Network Analyser 
ABS Acrilonitrila butadieno estireno 
 ⃗⃗ 
 Campo distante do i-ésimo elemento gerado por corrente/ 
tensão/ onda de tensão 
 ⃗⃗ 
 Dependência angular do campo distante do i-ésimo elemento 
gerado por corrente/ tensão/ onda de tensão 
 
 Coeficiente de reflexão ativo do n-ésimo elemento 
 ⃗⃗ Dependência angular do campo distante da rede 
[S] Matriz de espalhamento 
[Z] Matriz impedância 
[Sdiv] Matriz imperfeição do divisor 
[Sdivisor] Matriz de espalhamento do divisor 
[pesos] Vetor de pesos de apontamento 
 
 
x 
 
LISTA DE FIGURAS 
FIGURA 2.1 – Rede linear e uniformemente espaçada ...................................................... 21 
FIGURA 2.2 – Fatores de rede para redes lineares e uniformes ......................................... 22 
FIGURA 2.3 – Redes Chebyschev ....................................................................................... 23 
FIGURA 2.4 – Controle de feixe em estágio digital (banda base) ...................................... 25 
FIGURA 2.5 – Controle de feixe em estágio de micro–ondas (alta frequência) ................. 27 
FIGURA 2.6 – Apontamento de feixe local (frequência intermediária) ............................. 27 
FIGURA 2.7 – Apontamento de feixe aéreo .......................................................................28 
FIGURA 2.8 – Apontamento de feixe óptico ...................................................................... 29 
FIGURA 2.9 – Rede de dipolos ........................................................................................... 39 
FIGURA 2.10 – Notação da matriz impedância de um N-portas, com a porta adicional 
para representação do campo distante .......................................................................................... 40 
FIGURA 2.11 – Modelagem circuital de duas portas do sistema completo do phased array ....... 43 
FIGURA 2.12 – Rede de monopolos no ambiente HFSS ..................................................... 45 
FIGURA 2.13 – Diagramas ativos individuais dos monopolos ............................................ 45 
FIGURA 2.14 – Diagramas ativos da rede de monopolos com divisor casado .................... 49 
FIGURA 2.15 – Diagramas ativos da rede de monopolos com divisor descasado ............... 50 
FIGURA 3.1 – Patch circularmente polarizado retangular de cantos truncados ................ 52 
FIGURA 3.2 – Patchs circularmente polarizados ............................................................... 54 
FIGURA 3.3 – Impedância de entrada para o modelo analítico do patch quase-quadrado 54 
FIGURA 3.4 – Elemento de cantos truncados no ambiente do HFSS ................................ 55 
FIGURA 3.5 – Parâmetros da antena projetada no HFSS ................................................... 55 
FIGURA 3.6 – Diagramas de irradiação (Etheta e Ephi) ........................................................ 56 
FIGURA 3.7 – Razão axial vs ângulo polar para =90° .................................................... 56 
FIGURA 3.8 – Rede linear de seis elementos de cantos truncados no ambiente HFSS ..... 58 
FIGURA 3.9 – Coeficientes de reflexão para os elementos da rede ................................... 60 
FIGURA 3.10 – Razão axial para os pares de elementos da rede ......................................... 60 
FIGURA 3.11 – Razão axial dos elementos da rede vs ângulo polar .................................... 61 
FIGURA 3.12 – Diagramas de irradiação da rede broadside e 15° ...................................... 62 
FIGURA 3.13 – Diagramas de irradiação da rede 30° e 45° ................................................ 63 
FIGURA 3.14 – Razão axial na direção de apontamento ...................................................... 63 
FIGURA 3.15 – Componentes dos diagramas ativos dos elementos em rede ...................... 64 
FIGURA 3.16 – Gráficos das amplitudes de coeficientes de excitação ................................ 65 
FIGURA 4.1 – Esquemática do circuito (controle e micro–ondas) ..................................... 71 
FIGURA 4.2 – Topologia de integrador ativo inversor ....................................................... 75 
FIGURA 4.3 – Módulo do espectro de sinal PWM unitário com diferentes duty-cycles ... 76 
FIGURA 4.4 – Integrador ativo inversor com ganho DC de –0,5 ....................................... 77 
FIGURA 4.5 – Integrador ativo não– inversor com ganho 6 para DC ................................ 78 
FIGURA 4.6 – Divisor T simétrico com 25 Ω de impedância de entrada .......................... 79 
FIGURA 4.7 – Esquemática do divisor 1:6 com 50 Ω de impedância de entrada .............. 80 
FIGURA 4.8 – Circuito divisor 1:6 no ambiente HFSS ...................................................... 81 
FIGURA 4.9 – Parâmetros S do divisor 1:6 projetado no HFSS ........................................ 82 
FIGURA 4.10 – Módulo defasador ....................................................................................... 83 
FIGURA 4.11 – Módulo do amplificador ............................................................................. 84 
FIGURA 4.12 – Módulo do atenuador .................................................................................. 84 
FIGURA 4.13 – Módulo do casador ativo ............................................................................. 85 
FIGURA 4.14 – Fluxograma da cascata do atenuador e do defasador .................................. 85 
FIGURA 4.15 – Diagrama de disposição dos componentes ativos ....................................... 87 
xi 
 
FIGURA 4.16 – Esquemático das placas de circuitos de micro–ondas e de controle ........... 88 
FIGURA 5.1 – Vista frontal da rede CP .............................................................................. 90 
FIGURA 5.2 – Vista traseira da rede CP ............................................................................. 90 
FIGURA 5.3 – Coeficiente de reflexão ............................................................................... 91 
FIGURA 5.4 – Circuito defasador ....................................................................................... 92 
FIGURA 5.5 – Módulo defasador finalizado ...................................................................... 92 
FIGURA 5.6 – Parâmetros S do defasador .......................................................................... 93 
FIGURA 5.7 – Módulo amplificador prototipado ............................................................... 93 
FIGURA 5.8 – Módulo amplificador finalizado ................................................................. 94 
FIGURA 5.9 – Circuito atenuador ....................................................................................... 94 
FIGURA 5.10 – Módulo atenuador prototipado .................................................................... 95 
FIGURA 5.11 – Módulo atenuador finalizado ...................................................................... 95 
FIGURA 5.12 – Parâmetros S do atenuador vs tensão de controle ....................................... 96 
FIGURA 5.13 – Processo de metalização de furos ............................................................... 97 
FIGURA 5.14 – Placa final do atenuador com os furos metalizados .................................... 98 
FIGURA 5.15 – Atenuador com todos os terminais curto– circuitados ................................ 99 
FIGURA 5.16 – Atenuador após a remoção do excesso de solda ......................................... 99 
FIGURA 5.17 – Vista superior da placa de controle prototipada .......................................... 100 
FIGURA 5.18 – Vista superior da placa de baixa frequência ............................................... 100 
FIGURA 5.19 – Vista superior da placa micro–ondas .......................................................... 101 
FIGURA 5.20 – Vista superior da placa RF da placa de micro–ondas ................................. 102 
FIGURA 6.1 – Componentes do sistema transmissor ......................................................... 107 
FIGURA 6.2 – Setup transmissor (configuração RHCP) .................................................... 108 
FIGURA 6.3 – Parâmetros S da branch line ....................................................................... 108 
FIGURA 6.4 – Medidas do casamento e isolação das portas da antena transmissora ........ 109 
FIGURA 6.5 – Caracterização da antena transmissora ....................................................... 109 
FIGURA 6.6 – Coeficiente de transmissão do circuito ativo vs frequência ........................ 112 
FIGURA 6.7 – Coeficiente de reflexão nas entradas do circuito ativo vs frequência ......... 113 
FIGURA 6.8 – Coeficiente de reflexão da saída do circuito ativo ...................................... 114 
FIGURA 6.9 – Setup de medida .......................................................................................... 115 
FIGURA 6.10 – Phased-array e circuito ativo posicionado na base de sustentação ............ 116 
FIGURA 6.11 – Medidas e simulações do HFSS para apontamento broadside ................... 117 
FIGURA 6.12 – Medidas e simulações do HFSS para apontamento 40° ............................. 117 
FIGURA 6.13 – Medidas e simulações do HFSS para apontamento –20° ........................... 118FIGURA 6.14 – Diagramas CP expandidos para apontamento em broadside ...................... 119 
FIGURA 6.15 – Campo total apontado em 0° ....................................................................... 120 
FIGURA 6.16 – Campo total apontado em 40° ..................................................................... 121 
FIGURA 6.17 – Campo total apontado em –20° ................................................................... 121 
 
 
 
 
 
 
 
 
xii 
 
SUMÁRIO 
 
 
1 INTRODUÇÃO ......................................................................................... 15 
 1.1 Motivação ............................................................................................................ 15 
 1.2 Introdução ............................................................................................................ 16 
 
2 REDES DE ANTENAS COM APONTAMENTO DE DIAGRAMA .. 18 
 2.1 Introdução ............................................................................................................ 18 
 2.2 Teoria de redes ..................................................................................................... 19 
 2.2.1 Métodos de cálculo para os coeficientes de excitação ................................. 22 
 2.2.2 Técnicas de alimentação de redes ativas ...................................................... 24 
 2.2.2.1 Controle em banda base .................................................................. 25 
 2.2.2.2 Controle no estágio de microondas ................................................. 26 
 2.2.2.3 Controle local de feixe .................................................................... 27 
 2.2.2.4 Apontamento de feixe aéreo ............................................................ 28 
 2.2.2.5 Apontamento de feixe óptico .......................................................... 29 
 2.3 Diagramas de redes ativas................................................................................... 29 
 2.3.1 Coeficiente de reflexão ativo ....................................................................... 31 
 2.3.2 Ganho realizado da rede ............................................................................... 32 
 2.3.3 Relação entre diagramas de excitação livre e forçada.................................. 36 
 2.4 Análise do apontamento de feixe de uma rede .................................................. 39 
 2.5 Controle do diagrama de uma rede de monopolos ........................................... 45 
 2.5.1 Cálculo dos ativo para diversos apontamentos ............................................. 46 
 2.5.2 Tensões induzidas por ondas planas ............................................................ 47 
 2.5.3 Divisor casado e sem termos cruzados ......................................................... 48 
 2.5.4 Divisor descasado e sem termos cruzados ................................................... 49 
 
3 PROJETO DA REDE DE ANTENAS .................................................... 51 
 3.1 Introdução ............................................................................................................ 51 
 3.2 Escolha e projeto do elemento irradiador da rede ........................................... 51 
 3.3 Projeto da rede de elementos circularmente polarizados ................................ 57 
3.3.1 Desempenho do apontamento de feixe da rede CP projetada ...................... 61 
3.3.2 Avaliação do casamento ativo da rede CP projetada ................................... 66 
xiii 
 
 
4 PROJETO DO CIRCUITO DE ALIMENTAÇÃO DA REDE ............ 70 
4.1 Introdução ............................................................................................................ 70 
4.2 Especificações dos componentes de RF e de controle ....................................... 70 
4.2.1 Especificações dos componentes de RF ....................................................... 72 
4.2.2 Especificações dos componentes de controle .............................................. 73 
4.3 Projeto do circuito de controle ........................................................................... 74 
4.3.1 Circuito de controle do atenuador ................................................................ 74 
4.3.2 Circuito de controle do defasador ................................................................ 77 
4.4 Projeto do circuito de RF .................................................................................... 78 
4.4.1 Projeto do circuito passivo de RF ................................................................ 79 
4.4.2 Projeto do circuito ativo de RF .................................................................... 82 
 4.4.2.1 Projeto do módulo defasador .......................................................... 83 
 4.4.2.2 Projeto do módulo amplificador ...................................................... 82 
 4.4.2.3 Projeto do módulo atenuador .......................................................... 84 
 4.4.2.4 Projeto da placa com os componentes de RF .................................. 85 
 
5 PROTÓTIPOS ........................................................................................... 89 
5.1 Introdução ............................................................................................................ 89 
5.2 Rede de elementos CP .......................................................................................... 89 
5.3 Módulos de circuitos ativos ................................................................................. 91 
5.3.1 Módulo defasador ......................................................................................... 91 
5.3.2 Módulo amplificador .................................................................................... 93 
5.3.3 Módulo atenuador ........................................................................................ 94 
5.3.4 Furos metalizados e solda de componentes ................................................. 96 
 5.3.4.1 Furos metalizados ............................................................................ 96 
 5.3.4.2 Solda dos CIs ................................................................................... 98 
5.4 Placa de controle e RF ......................................................................................... 99 
 
6 MEDIDAS DO PHASED-ARRAY ......................................................... 106 
6.1 Introdução .......................................................................................................... 106 
6.2 Sistema transmissor ........................................................................................... 106 
6.2.1 Caracterização da híbrida ........................................................................... 107 
6.2.2 Caracterização do patch circularmente polarizado .................................... 108 
xiv 
 
6.3 Ajuste do circuito ativo ................................................................................... 110 
6.4 Setup experimental .......................................................................................... 114 
6.5 Medida dos diagramas de irradiação ............................................................. 116 
 
7 CONCLUSÃO ......................................................................................... 123 
7.1 Resumo do trabalho e principais resultados obtidos ...................................... 123 
7.2 Trabalhos futuros ............................................................................................... 124 
 
REFERÊNCIAS ................................................................................................................... 12515 
 
1 Introdução 
 
1.1 Motivação 
 
Redes de antenas com diagramas reconfiguráveis tem uma história de pouco mais de 100 
anos [1]-[3], encontrando aplicações diversas tanto no setor civil [4]-[30] quanto no militar [31]-
[36]. São empregadas em sistemas RADAR [2], [5]-[13], [18]-[22], [31]-[36] e de comunicação 
[37]-[38] com vantagens tais como agilidade de escaneamento do espaço, precisão angular e 
robustez do sistema de apontamento de feixe, visto ser todo processo de adaptação do diagrama 
realizado eletronicamente [1]-[3], [37]-[40]. Além da versatilidade propiciada pelo apontamento 
do lóbulo principal, phased-arrays permitem direcionar nulos do diagrama em direções 
específicas, de forma a suprimir sinais indesejados originados naturalmente ou artificialmente 
[37]-[40]. Outra peculiaridade é a capacidade de gerar e controlar lóbulos com amplitudes 
distintas. Isto, aliado à precisão de apontamento obtenível, permite a identificação e seguimento 
de diversos objetivos simultaneamente, seja para controle aéreo, engajamento de múltiplos alvos 
ou a gerenciamento de um teatro de operações [34]-[36]. Essas funcionalidades são bem ilustradas 
por diversos sistemas aviônicos tais como AN/APG-77, AN/APG-80 e AN/APG-81 [31]-[33]. 
Todavia, o mais famoso destes talvez seja o AN/APY-1 [34], conhecido metonimicamente por 
AWACS. Tal sistema serve como centro de comando e controle, permitindo detectar e classificar 
aeronaves, navios ou veículos terrestres a grandes distâncias [34]. Além de aparatos militares 
aerotransportados, redes de extrema complexidade com diagrama configurável são embarcadas 
em belonaves, tais como o Aegis Combat System [36] e o Herakles [35], capaz de identificar e 
seguir até 400 alvos simultaneamente, bem como realizar o guiamento de armamentos. 
A prática demonstrou que diagramas com apontamento dinâmico plenamente 
operacionais são extremamente versáteis [1]-[2], [37], [38]. Porém, outra vantagem conhecida é 
seu funcionamento tolerante a falhas [37]-[38], [41]-[48]. Mesmo na hipótese de falha catastrófica 
seguida de pane de parte dos elementos da rede, a identificação dos elementos não operacionais 
da rede permite ao sistema reconfigurar seu diagrama de forma a adaptar-se à ausência daqueles 
elementos [41], [42]. Sistemas tolerantes a falhas são de particular utilidade quando a manutenção 
é usualmente impossível, tal como no espaço. Exemplo de emprego da alta confiabilidade 
propiciada com o emprego de phased-arrays é a sonda espacial MESSENGER [48], cujo sistema 
de comunicações era capaz de falhar graciosamente. 
1. INTRODUÇÃO 
 
 
 
16 
 
O custo e nível tecnológico envolvidos no projeto e construção de phased-arrays 
mantiveram tais sistemas por muito tempo restritos à área militar e aeroespacial [1]-[3],[37]-[38]. 
Têm crescido, todavia, o número de aplicações civis nas quais se encontram diagramas 
reconfiguráveis, entre as quais incluem-se radares para pesquisa climática [6]-[13], smart 
antennas [14]-[17], sistemas MIMO [18]-[22] e leitoras de RFID [23]-[29], para citar algumas. 
Até mesmo projetos surgidos no meio militar, tais como DoA (Direction of Arrival) estimation, 
são agora empregados no ambiente civil [30]. 
 
 
1.2 Introdução 
 
O Laboratório de Antenas e Propagação do Instituto Tecnológico de Aeronáutica 
LAP/ITA possui sólidos conhecimento e experiência estabelecidos no projeto e construção de 
antenas de microfita e suas redes planas [49]-[55], cilíndricas [56]-[58] e esféricas [59]. Por outro 
lado, existe uma lacuna com respeito à linha de pesquisa de redes com apontamento eletrônico de 
feixe. O único trabalho concluído [60] nessa área construiu um phased-array com quatro 
elementos linearmente polarizados, tendo sido o controle do apontamento de feixe realizado por 
meio de uma estrutura convencional de amostragem do sinal recebido, denominada MSBF 
(Microwave Sampling Beamformer) [61]. Ressalta-se que em [60] não foi realizado o controle do 
nível dos lóbulos secundários. Com o presente trabalho, intentou-se dar prosseguimento à linha de 
pesquisa concernente a redes de antenas com apontamento dinâmico de feixe, uma necessidade 
comum tanto a sistemas de defesa quanto a espaciais e, pois, consoante com o papel institucional 
do ITA. Os objetivos principais, no presente trabalho, constituíram-se de projetar, construir e 
medir uma rede de antenas com apontamento dinâmico de feixe e um circuito ativo de micro-
ondas composto por amplificadores, defasadores e atenuadores, sendo esses dois últimos 
componentes controlados por um microcontrolador. Particularmente, impõe-se como 
especificação que sua polarização seja circular e mantida em todos os ângulos de apontamento. 
Para o cálculo dos coeficientes de excitação da rede, empregou-se um algoritmo baseado em 
mínimos quadrados com restrições lineares [62]-[63], com modificações propostas em [53] que 
são capazes de satisfazer as restrições impostas para o diagrama da rede. 
A fim de cumprir tal objetivo, um modelo que descreve harmonicamente uma rede de 
antenas associada a um circuito ativo de alimentação foi desenvolvido. Esse modelo 
sistêmico, bem como a metodologia canônica usada no modelamento de redes de antenas – e 
as deficiências desta que são quitadas pelo modelo proposto – estão presentes no Capítulo 2. 
1. INTRODUÇÃO 
 
 
 
17 
 
Neste Capítulo também se menciona o algoritmo numérico de apontamento de feixe com 
controle de campo total utilizado para o apontamento de feixe do phased-array. 
Desenvolvida a teoria que dará embasamento ao controle do diagrama, passou-se ao 
projeto da rede de antenas a ser empregada no phased-array. A rede foi projetada em tecnologia 
de microfita e é composta por irradiadores circularmente polarizados com geometria retangular de 
cantos truncados [53]. Com esse elemento, tem-se maior grande grau de liberdade no controle da 
impedância de entrada e boa razão axial em broadside, bem como grande robustez a incertezas no 
processo de construção, sendo tolerante a pequenos erros no processo de prototipagem. Com a 
rede de antenas projetada, realizou-se uma análise dos requisitos técnicos a serem cumpridos pelo 
circuito ativo de forma que certas condições de apontamento de feixe usando o phased-array 
sejam alcançadas. Tais requisitos foram gerados com auxílio do mencionado algoritmo de 
apontamento de numérico. O projeto da rede, o estudo de suas condições de apontamento e a 
geração de parâmetros do circuito ativo são relatados no Capítulo 3. Essa rede tem sua construção 
relatada no Capítulo 5, que também contém as medidas que a caracterizam. 
De posse do comportamento pretendido para o circuito ativo, passou-se à caracterização 
dos componentes de micro-ondas que compõem esse circuito. Para tanto, foram construídos 
módulos individuais com esses componentes a fim de que se pudesse adquirir experiência no 
processo de construção e obter as características elétricas dos componentes escolhidos. O projeto 
dos módulos é relatado no Capítulo 4, sendo a construção e as medidas endereçadas no Capítulo 
5. Com os requisitos do circuito ativo estabelecidos, realizou-se seu projeto com os componentes 
de micro-ondas anteriormente selecionados e caracterizados. A placa final é constituída por duas 
grandes partes – o circuito de micro-ondas propriamente dito (alta frequência) e a região destinada 
ao do controle (baixa frequência). Seu projeto é relatado no Capítulo 4, sendo construída e 
caracterizada no Capítulo 5. 
Finalmente, todos os subsistemas (rede de antenas, circuitos ativos, circuito de controle e 
microcontrolador) são unidos e a medida dos parâmetros que caracterizam o sistema total é 
descrita no Capítulo 6. Neste, descreve-se o sitede medidas utilizado, bem como a síntese do 
sistema transmissor necessário para a realização das medidas. Comparações entre os diagramas 
teóricos e aqueles medidos na câmara anecoica são comparados, demonstrando o correto 
funcionamento do phased-array proposto. No Capítulo 7, são apresentados os comentários finais 
com uma retrospectiva do trabalho e destaque ao cumprimento dos objetivos do trabalho. Listam-
se ainda os conhecimentos agregados ao LAP pelo estudo realizado e são elencadas as 
possibilidades de trabalhos futuros. 
18 
 
2 Redes de Antenas com Controle de Diagrama 
 
2.1 Introdução 
 
O projeto de redes de antenas com apontamento de feixe requer entendimento e 
consideração de fenômenos muitas vezes não manifestados quando considerado um único 
irradiador isolado [37]-[42], [64]-[70]. Nesse Capítulo, por meio de modelos teóricos, atenção 
especial é dedicada a tais fenômenos, geralmente ignorados, e seus efeitos em redes com 
apontamento de feixe. Técnicas para realizar a controle do diagrama de irradiação também 
são apresentadas [37]-[42]. 
O Capítulo inicia-se com uma breve introdução da teoria elementar de redes de 
antenas, que, embora apresente deficiências devido às hipóteses simplificadoras impostas para 
sua aplicação [37]-[42], demandam baixo esforço computacional e são úteis para o 
entendimento das técnicas de apontamento de feixe, bem como aplicáveis na especificação e 
pré-projeto de redes mais complexas [37]-[39]. Na sequência do trabalho, com o intuito de 
controlar o diagrama de campo distante da rede com elevada exatidão e quitar deficiências de 
métodos mais simples, são listados alguns algoritmos utilizados para a determinação dos 
coeficientes de excitação dos elementos da rede [71]-[86]. Menciona-se ainda brevemente o 
algoritmo para controle do campo total que é escolhido para ser empregado no 
desenvolvimento do trabalho [62]-[63]. Em seguida, discutem-se os diferentes tipos de 
eletrônica utilizada no sistema de alimentação da rede de antenas, bem como as relações de 
compromisso inerentes a cada uma delas [87]. Neste ponto, mostra-se também o que motivou 
a escolha da técnica de apontamento de feixe no estágio de micro-ondas. O Capítulo é 
finalizado com o desenvolvimento de um modelo circuital semelhante ao desenvolvido em 
[70] que descreve de forma precisa o comportamento do diagrama de irradiação de uma rede 
de antenas associada a um circuito de alimentação. O modelo leva em conta efeitos 
geralmente ignorados, tais como acoplamento mútuo e imperfeições do circuito ativo. O 
potencial do modelo proposto é demonstrado em uma rede linear de monopolos de alto 
acoplamento mútuo alimentada por um divisor imperfeito. 
 
 
2. REDES DE ANTENAS COM CONTROLE DE DIAGRAMA
 
 
 
19 
 
 
2.2 Teoria de redes 
 
Uma rede de antenas é composta por um conjunto de irradiadores independentes cujos 
campos distantes são combinados de forma a gerar um diagrama com formato desejado. 
Como o campo distante de cada elemento tem amplitude e fase proporcionais aos da excitação 
[37]-[42], o campo total da rede é controlado pela excitação (dada por uma amplitude e fase) 
em cada antena. O diagrama da rede estabelecido a partir das excitações de corrente (isto é, 
baseada em fontes de corrente) em cada elemento é uma forma simples de análise e, de forma 
geral, largamente abordada em outros textos [37]-[42]. No entanto, do ponto de vista de 
engenharia de um phased array, essa abordagem é pouco prática [37]-[38]. Nas seções 
seguintes serão discutidos outros modelos de excitação que tornam mais simples o projeto de 
uma rede acoplada a um circuito ativo dinâmico de alimentação. Essas excitações podem ser, 
além de fontes de corrente, fontes de tensão ou fontes de potência disponível (isto é, ondas 
incidentes). 
O campo distante gerado por um único irradiador pode ser escrito conforme 2.1.1, 
2.1.2, 2.1.3, dependendo da fonte de excitação considerada [37]. Nessas equações, 
são números complexos que representam as excitações da antena em módulos e fases (pesos 
de corrente, tensão e onda de tensão incidente, respectivamente) e, ⃗ ⃗ e ⃗ (do inglês 
open circuit, short circuit e active pattern, devido ao método de medida dessas funções) são 
funções vetoriais que descrevem a função diagrama de irradiação, associadas respectivamente 
ao tipo de excitação utilizada. Todavia, caso o elemento irradiador seja colocado em rede, as 
funções vetoriais que descrevem a dependência angular de seu diagrama são alteradas com 
respeito às obtidas com o elemento isolado [37]. Todavia, na Eq. 2.1.1 é usualmente assumido 
que o diagrama gerado por fonte de corrente do elemento não é modificado devido à presença 
dos outros irradiadores da rede [37]-[42], tacitamente assumindo-se um acoplamento mútuo 
baixo. Essa aproximação [37] não deve ser realizada em alguns casos específicos. O projeto 
de redes circularmente polarizadas é um caso clássico onde o efeito do acoplamento no 
diagrama não deve ser desprezado, dada a sensibilidade da razão axial. Já nas Eqs. 2.1.2 e 
2.1.3 os efeitos do acoplamento mútuo são mais pronunciados nos diagramas de irradiação, 
conforme discussão que será apresentada na seção 2.3.3. Por simplicidade, esses diagramas 
podem ser considerados iguais para todos os irradiadores da rede. Todavia, diferentemente da 
2. REDES DE ANTENAS COM CONTROLE DE DIAGRAMA
 
 
 
20 
 
aproximação comum realizada na Eq. 2.1.1, essa hipótese é razoável apenas em casos muito 
particulares, sendo o exemplo clássico o estudo de redes infinitas [67], [69]. 
 
 ⃗⃗ 
 ( ) 
 
 
 ⃗ 
 ( ) 
 ( ) 
 ⃗⃗ 
 ( ) 
 
 
 ⃗ 
 ( ) 
 ( ) 
 ⃗⃗ 
 ( ) 
 
 
 ⃗ 
 ( ) 
 ( ) 
 
em que C{oc/sc/at} são constantes que depende da frequência, do meio em torno da antena e do 
tipo de excitação considerada; os campos ⃗⃗ 
* + descrevem o campo distante do 
elemento em função do tipo de excitação utilizada – fontes de corrente, tensão ou tensão 
incidente. A relação entre campos distantes gerados por fontes de diferentes tipos é discutida 
em seção posterior. Finalmente, é a defasagem espacial gerada com respeito a um ponto de 
referência, adicionada por completude. Todavia, de forma geral, o diagrama do elemento será 
estabelecido já em sua posição de operação, abstraindo-se a defasagem espacial na função ⃗ . 
Desta forma o campo distante de uma rede composta por N elementos é a combinação do 
campo distante gerado por cada um de forma independente conforme Eq. 2.2. No restante da 
seção, usar-se-á o símbolo para denotar um peso complexo de excitação, podendo ser 
substituído por quaisquer de e , a fim de reduzir o número de equações mostradas. 
 
 ⃗⃗( ) 
 
 
∑ ⃗⃗⃗
 
( ) 
 
 
 
 
 
A Eq. 2.2 mostra que o emprego de vários irradiadores, com excitações independentes, 
permite o controle do diagrama de campo distante. Essa técnica de controle do campo distante 
constitui o bem-documentado assunto de redes de antenas [37]-[42]. Uma simplificação 
largamente aplicada na Eq. 2.2 é assumir que todos os elementos apresentam uma mesma 
função ⃗( ), resultando na Eq. 2.3 para o diagrama da rede. Essa simplificação é de grande 
utilidade na realização de pré-projeto de redes de antenas [37]-[42]. No entanto, em projetos 
mais elaborados, é aconselhável considerar o diagrama distinto de cada elemento [37], [38], 
[53],conforme procedimentos que serão apresentados no decorrer deste Capítulo. 
 
2. REDES DE ANTENAS COM CONTROLE DE DIAGRAMA
 
 
 
21 
 
 ⃗⃗( ) 
 
 
 ⃗⃗⃗( )∑ 
 
 
 
 
 
Por fim, as últimas hipóteses simplificadoras que podem ser empregadas são o 
equiespaçamento dos irradiadores ao longo de uma reta e que suas excitações apresentam 
módulos iguais e defasagem ( ) constante entre elementos ( ) [37]-[42]. Com isso, 
a Eq. 2.3 reduz-se à Eq. 2.4. Além disso, a defasagem espacial pode ser escrita como 
 , onde d é a distância entre elementos e é o ângulo entre o vetor ⃗⃗, que define a 
posição do observador, e o eixo da rede (Fig. 2.1). 
 
 ⃗⃗( ) 
 
 
 ⃗⃗⃗( ) ( ) 
 
em que ( ) 
 .
 
 
 /
 .
 
 
 /
 ( ) e 
 ...
1 2 N
d
R
g
Referência de 
fase da rede
 
FIGURA 2.1 – Rede linear e uniformemente espaçada. 
 
A Eq. 2.4 mostra que o campo distante de uma rede uniforme e linear é dado pelo 
produto de um fator de rede FR e do diagrama de seus elementos. Uma forma simples de 
calcular os coeficientes de excitação de uma rede é considerar somente a FR. Quando existe a 
necessidade de especificar uma rede de antenas, mesmo com erros quando considerado o 
diagrama real do elemento, essa simples abordagem é extremamente útil. Particularmente, 
quando aplicada em redes de antenas do tipo microfita, objeto desse trabalho, obtém-se 
resultados satisfatórios. Isso corre por conta de seu diagrama de baixo ganho e a ocorrência de 
2. REDES DE ANTENAS COM CONTROLE DE DIAGRAMA
 
 
 
22 
 
pequeno acoplamento mútuo entre elementos de rede dessa natureza [88], [89] (fazendo com 
que os diagramas do elemento em rede sejam próximos dos diagramas do elemento isolado). 
 
2.2.1 Métodos de cálculo para os coeficientes de excitação 
 
 Ilustrando o controle do fator de rede a partir do espaçamento entre elementos e de 
sua defasagem relativa, apresentam-se os fatores de redes traçados na Fig. 2.2 para uma rede 
end-fire simples (um único máximo ao longo do eixo da rede), uma rede em broadside e uma 
rede com ângulo de apontamento em 60 graus, todas utilizando seis elementos de 
espaçamento /3. As equações de projeto foram baseadas em [39], todas dedutíveis a partir da 
expressão encontrada para o fator de rede. 
 
-20
-15
-10
-5
0
0
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
-20
-15
-10
-5
0
 
 Apontamento em 60 graus
 Apontamento broadside
 Apontamento end-fire
F
R
 n
or
m
al
iz
ad
a 
[d
B
]
 
FIGURA 2.2 – Fatores de rede para redes lineares e uniformes. 
 
Outra abordagem canônica para redes de elementos iguais é aliviar a restrição das 
redes uniformes com respeito à igual amplitude de excitação. Com essa abordagem é possível 
manter o controle sobre os níveis de lóbulos secundários. Em modelos simples, assume-se 
que, embora não sejam iguais, os módulos das excitações são simétricos com respeito ao 
centro da rede [39]-[40]. Um exemplo é a técnica de Dolph-Chebyschev [37]-[42], útil para o 
pré-design de redes (determinação do número de elementos, tipo de elemento e espaçamento 
entre eles) ou para a síntese de redes estáticas com baixa mútua. 
Viu-se no exemplo anterior que a alteração da defasagem entre elementos permite o 
apontamento do feixe. Com a alteração das amplitudes entre elementos, pode-se realizar o 
2. REDES DE ANTENAS COM CONTROLE DE DIAGRAMA
 
 
 
23 
 
controle dos lóbulos secundários. As redes de Dolph-Chebyschev e binomiais (sendo estas um 
subcaso daquelas), em função da mudança nos módulos das amplitudes de excitação, mantêm 
o nível de todos os lóbulos secundários (SLL, sidelobe level) de seu fator de rede em um valor 
desejado. 
Os coeficientes de excitação para redes Chebyschev podem ser calculados segundo 
Barbiere [37], [39]. A fim de exemplificar o desempenho dessas redes, traçou-se na Fig. 2.3a, 
os diagramas de irradiação com lóbulos secundários especificados abaixo do principal em 20 
dB, 30 dB e 400 dB (binomial), para uma rede com 6 elementos e distância entre elementos 
de 0,5 . Pode-se notar dessa figura que a redução dos lóbulos secundários é realizada ao 
custo do aumento da largura do feixe principal. Além disso, como o espaçamento especificado 
é de meio comprimento de onda, todos os lóbulos secundários são controlados. No caso 
binomial, não há lóbulos secundários. Vale ressaltar que para espaçamentos maiores que , 
e dependendo do ângulo de apontamento, pode ocorrer o aparecimento do indesejado grating 
lobe [37]-[42]. Esse comportamento é ilustrado na Fig. 2.3b para um apontamento em 50º 
com respeito ao eixo da rede e espaçamento entre elementos de 0,57λ. 
 
-40
-30
-20
-10
0
0
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
-40
-30
-20
-10
0
 Chebyschev 20 dB
 Chebyschev 30 dB
 Binomial
F
R
 n
or
m
al
iz
ad
a 
[d
B
]
(a) 
-40
-30
-20
-10
0
0
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
-40
-30
-20
-10
0
F
R
 n
or
m
al
iz
ad
a 
[d
B
]
 
(b) 
FIGURA 2.3 – Redes Chebyschev: (a) – Controle de lóbulo secundário; (b) – grating lobe. 
 
Apesar de sua versatilidade e facilidade de entendimento, redes Chebyschev têm uma 
desvantagem que impede seu uso em aplicações mais sensíveis ao nível de lóbulo secundário 
– quando considerado o diagrama do elemento de rede, perde-se o controle dos lóbulos 
secundários [39]. Portanto, embora essas redes sejam interessantes para sistemas simples e 
para demonstração do conceito de apontamento de feixe e controle de nível de lóbulos 
2. REDES DE ANTENAS COM CONTROLE DE DIAGRAMA
 
 
 
24 
 
secundários, são necessárias outras soluções para sistemas em que a especificação do 
diagrama é crítica. 
Para quitar as deficiências acima citadas, são usadas técnicas mais elaboradas que, 
além de suprirem essas deficiências, permitem controlar o diagrama de irradiação de redes 
compostas por elementos diferentes, levando em consideração o efeito do acoplamento mútuo 
[37], [38], bem como com qualquer disposição espacial para os irradiadores. Esses algoritmos 
exigem grande capacidade de processamento, a exemplo de otimização via enxame de 
partículas (PSO) [71]-[75], redes neurais [76]-[81], algoritmos genéticos [82]-[86], descida 
em gradiente [62]-[63], entre outros. Todos os métodos apresentados podem ser empregados 
para redes alimentadas por fontes de corrente, tensão ou onda de tensão incidente, desde que 
os seus diagramas estejam estabelecidos para o tipo correto de alimentação. 
O algoritmo escolhido para ser empregado nesse trabalho baseia-se na minimização 
numérica iterativa de uma função erro para controle dos níveis de lóbulo secundário e 
apontamento do feixe [62]-[63]. Essa escolha deve-se a já haver no LAP/ITA trabalhos 
desenvolvidos empregando esse algoritmo [53], [54] e, bem como ele estar modificado para 
controlar o diagrama de campo total de uma rede circularmente polarizada [53], conforme 
requerido para esse trabalho. É resultado conhecido [39] que, na maior parte dos casos, o uso 
de N elementos em uma rede permite o controle de N-2 lóbulos secundários e o apontamento 
do lóbulo principal (ou, alternativamente, o controle de N-1 pontos do diagrama). Esse 
resultado é utilizado no algoritmo escolhido e, por conta disso, a qualidade do controle sobre 
os pontosdo diagrama depende do número de elementos da rede. 
 
 
2.2.2 Técnicas de alimentação de redes ativas 
 
Na seção anterior foram mencionadas metodologias para o cálculo dos coeficientes de 
excitação de uma rede. Nessa seção, são listadas as principais técnicas de implementação em 
hardware para impor, nos elementos da rede, as alimentações exigidas. A fim de controlar os 
pesos complexos (cujo módulo representa a amplitude de excitação e cuja fase representa seu 
atraso), diversas abordagens foram concebidas [87]. A seguir são apresentadas cinco dessas 
técnicas de implementação em hardware. 
 
 
2. REDES DE ANTENAS COM CONTROLE DE DIAGRAMA
 
 
 
25 
 
2.2.2.1 Controle em banda base 
 
A primeira das técnicas apresentadas, ilustrada na Figura 2.4, realiza o controle de feixe 
em banda base. Cada um dos elementos da rede possui um LNA, um conversor de frequência (de 
micro-ondas para uma frequência intermediária) e seu próprio conversor A/D. São precisamente 
esses sinais digitais que são fornecidos a um DSP (digital signal processor) para o ponderamento 
por pesos complexos (controle de ganho e de fase). O apontamento do feixe é, pois, realizado pelo 
próprio circuito digital, em processamento via software (ou seja, diretamente em banda base). 
Todavia, o fato dessa metodologia exigir calibração em tempo real [1] e custo altamente 
proibitivo (pois demanda um par de circuitos complexos, os conversores IF e AD) manteve sua 
aplicação restrita apenas a redes pequenas [1]. O conversor para frequência intermediária é 
necessário devido à ausência de conversores A/D que operem em micro-ondas. Apesar de 
custosa, todavia, essa técnica permite o controle dinâmico retroalimentado do diagrama com 
maior facilidade e precisão, dado que é fornecido ao processador o sinal de cada antena 
separadamente. É utilizada em aplicações nas quais performance de apontamento é mais 
importante do que o espaço, custo de projeto ou faixa dinâmica. 
 
A/D
A/D
A/D
W
W
W
Controle
∑
(bb) 
Sinal
 
FIGURA 2.4 – Controle de feixe em estágio digital (banda base). 
 
 
2. REDES DE ANTENAS COM CONTROLE DE DIAGRAMA
 
 
 
26 
 
2.2.2.2 Controle no estágio de micro-ondas 
 
A segunda técnica, controle de feixe no estágio de micro-ondas, baseia-se na 
combinação dos sinais obtidos pelas antenas por meio de defasadores, módulos de ganho 
variável e combinadores, todos operando em micro-ondas, conforme Fig. 2.5. Os defasadores 
e módulos de ganho variável são colocados diretamente em cada um dos braços dos 
elementos da rede. Logo, a defasagem e ganho variável são utilizados sobre o sinal captado 
pelo elemento. Essa abordagem apresenta diversas vantagens sobre a digital, concernentes ao 
consumo de energia e à faixa dinâmica. O menor consumo é explicado pela ausência de 
circuitos digitais e uso de circuitos passivos de micro-ondas tais como combinadores. A maior 
faixa dinâmica decorre da combinação coerente imediata das ondas de tensão advindas de 
cada um dos elementos (V-). Se o diagrama está apontado para uma direção específica, as 
ondas de tensão combinadas na saída do circuito de micro-ondas são dadas pela Eq. 2.5., na 
qual N denota o número de elementos da rede e , as ondas de tensão de sinal e de 
ruído, respectivamente, nos terminais de cada uma das antenas. É importante destacar que a 
onda de tensão de ruído é gerada tanto pela captação de ruído externo quanto pelo próprio 
circuito receptor [90]. 
 
 
 
 
A potência associada a esse sinal é, segundo Eq. 2.6, denotando por (potência de cada 
onda de tensão de sinal recebido) e a potência de cada onda de tensão de ruído, 
 
 
 
 
pois os sinais de ruído são descorrelacionados. Logo, a relação sinal-ruído para o apontamento 
de feixe em micro-ondas é 
 
, enquanto a relação sinal-ruído para apontamento digital, visto 
que não há combinação coerente dos sinais e cada sinal é processado independentemente, é 
 
 
, proporcionando assim uma faixa dinâmica superior. Finalmente, a dimensão do circuito 
pode ser reduzida utilizando MMICs quando comparada ao método de apontamento digital. 
 
 
2. REDES DE ANTENAS COM CONTROLE DE DIAGRAMA
 
 
 
27 
 
W
W
W
∑
(RF) SinalDecisor
 
FIGURA 2.5 – Controle de feixe em estágio de micro-ondas (alta frequência). 
 
 
2.2.2.3 Controle local de feixe 
 
Como terceira técnica, apresenta-se o apontamento de feixe local (Fig. 2.6). É, como a 
anterior, também uma técnica de apontamento analógica. Diferencia-se, contudo, por não ter 
módulos de ganho variável e pela defasagem ser introduzida em um oscilador local cujo sinal, 
fornecido a um misturador, é utilizado para reduzir a frequência do sinal captado pela antena 
para uma frequência intermediária. Nesta, é realizada a combinação dos sinais processados. 
Como vantagens, o apontamento de feixe local apresenta independência de variações de 
defasagem com a frequência, característica presente na maior parte dos defasadores, dado que 
a única frequência sobre a qual os defasadores agem é a do oscilador local. Por conta disso, o 
apontamento é efetuado mesmo para uma frequência recebida desconhecida, não sendo 
necessário tratamento distinto para diferentes frequências. Tal característica é particularmente 
vantajosa em sistemas banda-larga, para os quais o ajuste dos defasadores em uma dada 
frequência causa distorções nas demais [87]. Como desvantagem, esse método demanda um 
número de misturadores e defasadores igual ao número de elementos, tornando a estrutura 
complexa. 
 
2. REDES DE ANTENAS COM CONTROLE DE DIAGRAMA
 
 
 
28 
 
∑
(IF) 
Sinal
ø ø ø 
Decisor
 
FIGURA 2.6 – Apontamento de feixe local (frequência intermediária). 
 
 
2.2.2.4 Controle aéreo de feixe 
 
A penúltima técnica apresentada é peculiar pela grande redução de espaço e baixa 
complexidade do circuito de alimentação, que passa a estar presente em apenas um dos 
elementos do circuito. Ela é chamada de apontamento de feixe aéreo (Fig. 2.7), devido ao fato 
de o apontamento ser função da variação das cargas reativas nos terminais dos elementos da 
rede e, por conta disso, ser realizado no espaço das antenas, não no circuito. Inclusive, apenas 
um dos elementos é o receptor efetivo, sendo os demais parasitas de terminações variáveis 
utilizados apenas para direcionar potência com certo módulo e fase para o elemento ativo. 
 
Sinal
Decisor
 
FIGURA 2.7 – Apontamento de feixe aéreo. 
2. REDES DE ANTENAS COM CONTROLE DE DIAGRAMA
 
 
 
29 
 
2.2.2.5 Controle óptico 
 
O último tipo de apontamento utiliza a conversão eletro-óptica para realizar os atrasos 
na faixa óptica e reduzir novamente a frequência depois de realizada combinação coerente dos 
sinais (Fig. 2.8). Uma vez reduzido à frequência de banda base, o sinal é fornecido ao 
decisor/controlador para ajuste dos pesos complexos. Apesar de extremamente custosa e 
aparentemente contraproducente, essa topologia é vantajosa quando forçosamente o circuito 
de apontamento de feixe está longe das antenas. Nesse caso, as perdas extremamente baixas 
das fibras ópticas podem melhorar a figura de ruído do sistema com o uso de menor número 
de repetidores. Essa é, naturalmente, uma aplicação extremamente específica e, por conta de 
seu custo e complexidade, essa abordagem é usualmente preterida pelos demais métodos. 
 
E/O
?
(OF) 
Decisor
W
W
W
E/O
E/O
E/O
Saida
O/E
SFIGURA 2.8 – Apontamento de feixe óptico 
 
Por conta do conhecimento previamente adquirido em cursos da graduação, dos 
materiais disponíveis, da expertise do grupo do LAP na área e das claras vantagens do método 
em termos de complexidade de construção, manobrabilidade de feixe e relação sinal-ruído 
(para rede receptora), optou-se pela técnica de apontamento de feixe no estágio de micro-
ondas (seção 2.2.2.2). 
 
 
2.3 Diagramas de redes ativas 
 
A escolha clássica para escrita dos diagramas de irradiação, baseada em fontes de 
correntes, é decorrente da dedução da expressão dos campos distantes por meio da solução da 
2. REDES DE ANTENAS COM CONTROLE DE DIAGRAMA
 
 
 
30 
 
equação de Helmholtz no espaço livre [42]. Esse tipo de alimentação é chamada forçada [37], 
pois se admite uma fonte impondo a corrente desejada no irradiador. Todavia, embora 
conveniente para a análise da rede do ponto de vista de campo, a fonte de corrente é uma 
representação pouco útil da perspectiva circuital e, portanto, do ponto de vista sistêmico do 
phased-array. Os circuitos de alimentação nos quais se baseiam os phased-arrays dificilmente 
são fontes de corrente, mas sim fontes de potência disponível [37], [38], [67]. Por conta disso, 
torna-se conveniente a representação do diagrama de campo distante da rede não em termos de 
correntes nos seus elementos, mas sim de ondas de potência incidentes, conforme Eq. 2.1.3. 
Empregando o modelo de onda de potência incidente, o efeito do acoplamento mútuo 
está computado no diagrama ativo ⃗ ( ) do elemento. Note que para estabelecer um dado 
diagrama, basta impor os valores de em cada elemento, conforme coeficientes calculados 
por qualquer dos algoritmos citados na seção 2.2.1. Sendo assim, o diagrama da rede é 
independente da impedância ativa de cada elemento (uma vez imposto ), ou seja, não 
depende de conforme Eq. 2.2. Esse modelo é válido para redes transmissoras ou 
receptoras com ângulo de apontamento diferente do ângulo de cegueira scan blindness [2], 
[37], [38], [69]. A imposição de um dado a partir de um circuito ativo é simplificada se o 
circuito ou as antenas apresentarem impedância de entrada Z0. No caso das antenas essa 
condição pode ser satisfeita em redes de baixo acoplamento mútuo, mas dificilmente se o 
acoplamento mútuo for elevado, que leva a um coeficiente de reflexão grande e 
variável com o ângulo de apontamento (a ser explicado na Seção 2.3.1). Já no caso do circuito 
ativo de alimentação, tal condição é dificilmente alcançada devido ao descasamento variável 
da cascata dos amplificadores, atenuadores e defasadores para cada condição de apontamento. 
Particularmente em redes receptoras, o uso de LNAs de figura de ruído muito baixa 
notoriamente têm coeficientes de reflexão elevados, degradando substancialmente a perda de 
retorno dos acessos. O desempenho do diagrama de irradiação, a depender do casamento do 
circuito divisor e da mútua, será discutido em mais detalhes ainda neste Capítulo. 
A modelagem utilizada indica ser conveniente trabalhar com um circuito ativo casado 
(impedância dos acessos igual a ), de forma a simplificar o cômputo do diagrama da rede. 
No entanto, existindo o descasamento do circuito ativo e dos elementos da rede de antenas, 
torna-se necessária a elaboração de um modelo para estimar os efeitos no diagrama de 
irradiação em função desse comportamento indesejado. A teoria proposta a seguir quantifica o 
diagrama de irradiação por meio da composição da matriz de espalhamento do circuito divisor 
2. REDES DE ANTENAS COM CONTROLE DE DIAGRAMA
 
 
 
31 
 
e da matriz espalhamento da rede de antenas, bem como de um entendimento circuital da 
geração dos campos distantes. 
No entanto, antes de apresentar o modelo para quantificar os efeitos de descasamento 
do circuito ativo com os irradiadores no diagrama de irradiação da rede, faz-se necessária a 
apresentação de algumas definições importantes de redes com apontamento dinâmico de 
feixe, tais como: coeficiente de reflexão ativo, ganho realizado e diagramas ativos de 
excitação livre versus diagramas de excitação forçada. 
 
 
2.3.1 Coeficiente de reflexão ativo 
 
Uma consequência prevista pelo modelo de excitação livre (isto é, considerando fontes 
de potência disponível) é a possível dificuldade de excitar a rede por conta do aumento do 
coeficiente de reflexão ativo na entrada dos irradiadores à medida que são alteradas a 
amplitude e fase das ondas de potência incidente em cada elemento. Em condições específicas 
de apontamento do feixe principal o coeficiente de reflexão ativo nos irradiadores pode ser tal 
que inviabiliza a transferência de potência para a rede. Essa condição é chamada de scan 
blindness, “cegueira de apontamento” [2], [37], [38], [69]. Mesmo que a situação de 
“cegueira” não seja alcançada, deve atentar-se para a possibilidade das antenas apresentarem 
elevado coeficiente de reflexão, evitando assim uma drástica redução no ganho realizado da 
rede e, consequentemente uma redução de alcance do enlace. 
O coeficiente de reflexão ativo do i-ésimo elemento da rede é dada pela Eq. 2.7 em função das 
excitações das ondas incidentes em cada elemento e da matriz espalhamento da rede de antenas. 
 
 
 ∑ 
 
 
 
 
 
 
 
 
O entendimento do efeito danoso do aumento do coeficiente de reflexão ativo é bem 
representado pelo desenvolvimento presente em [37]. 
 
 
 
2. REDES DE ANTENAS COM CONTROLE DE DIAGRAMA
 
 
 
32 
 
2.3.2 Ganho realizado da rede 
 
O ganho de uma antena é a sua capacidade de focar o sinal eletromagnético recebido 
em seus terminais em uma direção, considerando-se perdas. Matematicamente, a função 
ganho é o quociente entre a densidade de potência em uma dada direção e a densidade de 
potência obtida a partir da potência efetivamente transferida para a antena e irradiada 
isotropicamente. Conforme a definição do IEEE [91], a função ganho é: 
In a given direction, that part of the radiation intensity corresponding to a given polarization 
divided by the radiation intensity that would be obtained if the power accepted by the antenna were 
radiated isotropically. NOTE—The (total) gain of an antenna, in a specified direction, is the sum of 
the partial gains for any two orthogonal polarizations. 
 A função ganho realizado é o quociente entre a densidade de potência em uma dada 
direção e a densidade de potência obtida a partir da potência disponível para a antena e 
irradiada isotropicamente. Por conta disso, o conceito de função ganho realizado leva em 
consideração os efeitos do descasamento do elemento, enquanto o de função ganho os ignora. 
Segundo a definição do IEEE [91], a função ganho realizado é: 
The gain of an antenna reduced by the losses due to the mismatch of the antenna input 
impedance to a specified impedance. NOTE—The realized gain does not include losses due to 
polarization mismatch between two antennas in a complete system. 
Particularmente para redes, considera-se ⃗ ( ) a função de dependência angular do 
campo distante individual de cada elemento excitado por fonte de tensão com os demais 
terminados em curtos. Considera-se ⃗ ( ) a função de dependência angular do campo 
distante individual de cada elemento excitado por onda de tensão incidente com os demais 
terminados em cargas casadas. Por fim, consideram-se geradores de potência incidente 
casados às linhas de impedância característica . 
O modelo usual para o diagrama de irradiação assumindo excitação forçada indica que 
o feixe principal pode ser apontado para a posição se cada umdos elementos for excitado 
com tensões, cujas fases são dadas pela Eq. 2.8, na qual n denota o índice do elemento da rede 
e d a distância entre elementos da rede. 
 
 
 
 
A fim de simplificar os cálculos, as amplitudes são consideradas iguais, | | 
para todo n. 
2. REDES DE ANTENAS COM CONTROLE DE DIAGRAMA
 
 
 
33 
 
Todavia, conforme anteriormente mencionado, as fontes reais não fornecem tensão 
constante, mas sim uma onda de tensão incidente constante. A hipótese de correspondência 
entre as duas condições advém de tacitamente assumir-se o elemento casado. Porém, 
conforme no caso real, excitando-se-o com uma onda de tensão de amplitude e defasagem 
mencionadas e considerando descasamento, calcula-se o em cada um dos elementos da 
rede a partir da Eq. 2.9 [37], [38], [67]. 
 
 
 ( ) 
 ∑ 
 
 
 
 
 
Portanto, a tensão real em cada um dos elementos da rede é dada pela Eq. 2.10 
 
 ( 
 ( )) 
 
 
e o campo total gerado, pela sobreposição dos campos idênticos gerados por cada uma das 
tensões , tem dependência angular dada pela Eq. 2.11: 
 
 ⃗ ( ) ⃗ ( )∑ ( 
 ( )) 
 ( )
 
 
 
 
A fim de determinar o valor da função ganho realizado em função de uma dada 
direção de apontamento , determina-se o valor de ( ) Eq. 2.12: 
 
 ⃗ ( ) ⃗ ( )∑ 
 ( ) ⃗ ( ) ( ∑ 
 ( )
 
 
) 
 
 
 
 
Notando que a potência disponível para a rede é dada por 
 | |
 
 
, a função 
ganho realizado na direção é, portanto, dada por Eq. 2.13 
 
2. REDES DE ANTENAS COM CONTROLE DE DIAGRAMA
 
 
 
34 
 
 ( ) 
 (
 ⃗ ( ) ⃗ 
 ( )
 
)
 
 
 
 
 
 
 
 
| ⃗ ( )|
 
 
 
( |∑ 
 ( )
 
 
|
 
) 
 
A equação acima é crítica para o entendimento da importância do casamento dos 
elementos da rede. Se o acoplamento mútuo (manifestado por não desprezíveis) for 
elevado, o ganho realizado poderá diminuir apreciavelmente por conta justamente do aumento 
de . Vê-se, pois, que embora o uso de excitação forçada seja um fator simplificador 
interessante do ponto de vista teórico, ele não é uma boa representação no caso de redes reais 
por conta do acoplamento e descasamento existente nos elementos. 
Por outro lado, se forem utilizados os diagramas ativos, que são determinados por 
excitação por ondas de tensão e todos os elementos terminados por cargas casadas, segue que 
o campo total gerado pela rede excitada por ondas de tensão ( ) ou 
tem dependência angular segundo a Eq. 2.14. 
 
 ⃗ ( ) ⃗ ( )∑ 
 ( ) 
 
 
 
 
Para determinar a função ganho realizado na direção quando o diagrama está 
apontado nesta direção, segue-se o mesmo procedimento de dividir a densidade de potência 
nessa direção pela potência disponível distribuída isotropicamente, obtendo-se a Eq. 2.15: 
 
 ( ) 
 (
 ⃗ ( ) ⃗ 
 ( )
 
 
)
 
 
 
 
 
 
 
| ⃗ ( )|
 
 
Portanto, o cálculo do ganho realizado da rede por meio do diagrama ativo dos seus 
elementos é análogo ao cálculo do ganho da rede calculada por meio dos diagramas com 
excitação forçada. Isso denota a simplicidade matemática e a utilidade em aplicações reais, 
nas quais o acoplamento mútuo e descasamento dos elementos são fenômenos relevantes para 
2. REDES DE ANTENAS COM CONTROLE DE DIAGRAMA
 
 
 
35 
 
o desempenho da rede. Enquanto a teoria usual fornece o ganho – e, pois, tacitamente trata a 
antena como um elemento isolado – a teoria de campos ativos fornece o ganho realizado – 
permitindo o pronto emprego da antena como um subsistema de um circuito. Além disso, 
observa-se ser mais simples a medição dos diagramas ativos do que dos diagramas forçados, 
uma vez que as fontes disponíveis na realidade são excitadores livres, bem como o uso de 
cargas casadas em micro-ondas é um procedimento fácil se comparado com a garantia de um 
curto ou um aberto em um terminal. 
Uma última observação diz respeito à hipótese simplificadora de diagramas 
idênticos. Ela foi assumida não por conta de sua essencialidade, mas apenas para 
simplificar as deduções apresentadas até esse ponto. Empregando diagramas ativos 
distintos para os elementos, a teoria permanece válida e constitui a base para o 
apontamento de feixe realizado no Capítulo 3. A fim de generalizar o problema proposto, 
assumem-se { ⃗ 
 ( )}
 
 
 funções de dependência angular dos campos individuais dos 
elementos estabelecidos com curtos nos demais elementos e { ⃗ 
 ( )}
 
 
 funções de 
dependência angular dos campos individuais dos elementos excitados por ondas de tensão 
com os demais terminados em cargas casadas. No presente caso, todavia, considerar-se-ão 
os campos ativos e curtados (gerados por fontes de tensão) medidos com os elementos já 
em sua posição factual na rede (e, naturalmente, com todos os demais presentes). Isso 
elimina a necessidade de inserir um termo exponencial de correção de fase espacial, pois 
este já está incluído na função diagrama. O conjunto de excitações * 
 + 
 corresponde às 
ondas de tensão complexas da rede completa e não necessariamente têm mesmas 
amplitudes ou fases. Nesse caso, a Eq. 2.16 para a dependência do campo total é 
 
 ⃗ ( ) ∑ 
 ( 
 .{ 
 }
 
 
/) ⃗⃗⃗ 
 
( ) 
 
 
 
 
em que o coeficiente de reflexão ativo é dado pela Eq. 2.17: 
 
 
 (* 
 + 
 ) ∑ 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. REDES DE ANTENAS COM CONTROLE DE DIAGRAMA
 
 
 
36 
 
A partir dos diagramas usuais { ⃗ ( )} 
 
, da matriz de espalhamento da rede , - 
e do conjunto de excitações * + , obteve-se o diagrama de ganho realizado completo da 
rede (Eq. 2.16). Alternativamente e de forma mais simples, o mesmo resultado pode ser 
obtido com a Eq. 2.18 ignorando-se a matriz de espalhamento da rede e utilizando os 
diagramas ativos dos elementos da rede. 
 
 ⃗ ( ) ∑ 
 
 
 
 ⃗ 
 ( ) 
 
A expressão acima é útil para determinar o diagrama de uma rede genérica excitada 
por ondas de tensão quaisquer, tais como as utilizadas no HFSS, e é adequada para a 
abordagem da rede como um elemento circuital, conforme a seguir demonstrado. 
Incidentalmente, as Eq. 2.16 e 2.18 sugerem uma relação entre os campos de excitação livre e 
forçada, tema da próxima seção. 
 
 
2.3.3 Relação entre diagramas de excitação livre e forçada 
 
Outra demonstração necessária para a análise do apontamento de feixe é a escrita do 
conjunto de campos para um determinado tipo de excitação em função dos campos obtidos 
com outro tipo de excitação. A fim de exemplificar o cálculo, realiza-se o procedimento de 
escrita da dependência angular dos campos distantes ⃗ ( ) de um elemento excitado por 
fonte de corrente e com os demais elementos em aberto em função dos campos ativos 
 ⃗ 
 ( ) (isto é, campo estabelecidocom o elemento excitado por fonte de onda de tensão 
com os demais elementos casados). O procedimento baseia-se na superposição dos campos 
distantes de excitações idênticas, mas observadas sob óticas distintas. 
Para tal, inicialmente escreve-se as Eq. 2.19 e 2.20 que relacionam as correntes nos 
irradiadores com as ondas incidentes nos seus terminais. 
 
, - , -
 
 
(, - , -), -
 
 
 
2. REDES DE ANTENAS COM CONTROLE DE DIAGRAMA
 
 
 
37 
 
, - 
(, - , -), -
 
 
 
Invertendo-se a relação acima obtém-se a Eq. 2.21: 
 
, - (, - , -)
 ⏟ 
, -
, - 
 
em que [Id] é a matriz identidade. 
Se apenas um dos elementos é excitado com uma fonte de corrente, mantendo-se os demais 
elementos abertos, as ondas de tensão induzidas em cada um deles são dadas pela Eq. 2.22. 
 
 
 
 
Isto é, a excitação por uma fonte de corrente de amplitude no i-ésimo elemento é 
equivalente a excitações conforme acima calculadas. Por conta disso, pode-se equivaler 
os campos das duas configurações. Isto é, o campo gerado por uma fonte de corrente e demais 
elementos abertos pode ser calculada a partir da sobreposição dos campos ativos gerados 
pelas tensões incidentes a partir da Eq. 2.23. Esse resultado permite escrever os campos (com 
excitação forçada) em termos de campos ativos. 
 
 ⃗⃗ 
 ∑(
 
 
 
)
 
 
 
 ⃗⃗ 
 ∑ 
 
 
 ⃗⃗ 
 
 
ou, matricialmente pela Eq. 2.24, 
 
[ ⃗⃗ ] , -[ ⃗⃗ ] 
 
Resultado análogo é obtido considerando-se fontes de tensão forçadas. Porém, nesse 
caso, escreve-se a Eq. 2.25: 
 
, - (, - , -), - 2.25 
 
2. REDES DE ANTENAS COM CONTROLE DE DIAGRAMA
 
 
 
38 
 
da qual, invertendo-se a relação, segue a Eq. 2.26: 
 
, - (, - , -) , - 2.26 
 
e, excitando-se apenas uma das fontes de tensão forçada, segue a relação desejada, na Eq. 2.27: 
 
[ ⃗⃗ ] (, - , -) [ ⃗⃗ ] 
 
A fim de exemplificar o procedimento acima descrito, montou-se uma rede de dois 
dipolos de meia onda no HFSS. A frequência de operação é 300 MHz, os elementos tem 
comprimento de 50 cm e a distância entre irradiadores é d = 20 cm. A geometria simulada é 
mostrada na Figura 2.9a. Na sequência obtiveram-se, a partir da simulação no HFSS: a matriz 
de espalhamento [S] usada no cálculo das matrizes de conversão (Eq. 2.24 e Eq. 2.27), os 
campos ativos no plano H de cada um dos irradiadores rede (Fig. 2.9b) e também os 
diagramas para fontes de excitações forçadas de corrente e de tensão (curvas pretas e azuis 
das Fig. 2.9c e Fig. 2.9d, respectivamente) no plano H. Finalmente, aplicando as Eq. 2.24 e 
2.27 foram encontradas as curvas (vermelhas e verdes da Fig. 2.9c Fig. 2.9d), indicando a 
perfeita concordância entre os cálculos do HFSS e os do modelo proposto. 
 
20 cm
5
0
 c
m
1 2
 
(a) 
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
 HFSS - Antena 1
 HFSS - Antena 2
C
am
po
s 
at
iv
os
 n
or
m
al
iz
ad
os
 
(b) 
 
2. REDES DE ANTENAS COM CONTROLE DE DIAGRAMA
 
 
 
39 
 
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
 Calculado - Antena 1
 Calculado - Antena 2
 HFSS - Antena 1
 HFSS - Antena 2
 
D
ia
gr
am
as
 n
or
m
al
iz
ad
os
 p
ar
a 
fo
nt
e 
de
 c
or
re
nt
e
(c) 
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
D
ia
gr
am
as
 n
or
m
al
iz
ad
os
 p
ar
a 
fo
nt
e 
de
 te
ns
ão Calculado - Antena 1
 Calculado - Antena 2
 HFSS - Antena 1
 HFSS - Antena 2
 
(d) 
FIGURA 2.9 – Rede de dipolos: (a) – Geometria; (b) – diagramas ativos; (c) – diagramas 
gerados por fontes de corrente e (d) – diagramas gerados por fontes de tensão. 
 
Conforme previsto por [37], vale ressaltar que os diagramas de excitação forçada por 
corrente são diferentes daqueles calculados quando o elemento está isolado. Particularmente 
para o presente caso, no qual figura uma elevada mútua entre elementos, os diagramas são 
sensivelmente diferentes. Isso mostra que, em alguns casos específicos, a simplificação de 
diagramas idênticos não deve ser considerada, devendo ser computados conforme 
procedimento acima descrito. 
 
 
2.4 Análise do apontamento de feixe de uma rede 
 
As considerações do uso de fontes de potência disponível para alimentação dos 
elementos da rede e do uso de diagramas ativos constituem um apreciável avanço na 
modelagem do diagrama de uma rede de antenas. No entanto outra consideração faz-se 
necessária ao modelo: o fato de a fonte de potência disponível também não ser ideal. Isso se 
aplica também em uma estrutura receptora, onde os receptores não são ideais (casados e 
isolados). 
Dependendo da implementação do circuito de alimentação da rede, haverá diversas 
imperfeições não consideradas no modelo de excitadores casados independentes: 
descasamento nas portas que são ligadas às antenas, braços do divisor não-isolados 
(acoplamento entre as portas) e divisão de potência imperfeita. A fim de prever com precisão 
o diagrama de campo distante do phased-array, é necessário levar em consideração todos 
2. REDES DE ANTENAS COM CONTROLE DE DIAGRAMA
 
 
 
40 
 
estes efeitos, depreensíveis da matriz de espalhamento do circuito divisor. A fim de considerar 
os efeitos mencionados, é necessário antes introduzir uma notação circuital para o campo 
distante da rede. Nota-se que o diagrama ativo de um elemento nada mais é do que uma 
relação de transferência entre os campos distantes gerados por esse elemento e uma excitação 
por uma onda de potência. Nesse sentido, uma onda de tensão incidente no i-ésimo 
elemento da rede gera um campo distante proporcional a ⃗⃗ Isso segue de imediato a partir 
da definição de diagrama ativo. 
Por outro lado, resultado conhecido da teoria eletromagnética mostra que a tensão 
induzida nos terminais em aberto de um elemento da rede, gerada por uma onda plana 
incidente ⃗⃗ , é dada pela Eq. 2.28 [39]. 
 
 
 ⟨ ⃗⃗ | ⃗⃗ 
 ( )⟩ 
 
em que ⃗⃗ ( ) denota o campo gerado pelo i-ésimo elemento na direção ( ) da onda 
incidente e com todos os demais em aberto. A constante de proporcionalidade é função apenas das 
características do meio e da frequência de operação. Além disso, o modelo circuital de um N-
portas em termos de sua matriz impedância relaciona as correntes em cada um dos acessos com as 
correspondentes tensões induzidas em cada uma das portas. Isto é: se um conjunto de * + de 
correntes está em cada uma das portas, a tensão induzida no acesso j é dado por Eq. 2.29. 
 
 ∑ 
 
 
 
 
seguindo a notação da