P1 2014 - Mecânica dos Fluidos para Engenharia Elétrica - POLI-USP

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LABORATÓRIO E APLICAÇÕES DE MECÂNICA DOS FLUIDOS (PME 2332) 
Gabarito Primeira Prova - 2014 
 
1. (3 pontos) No viscosímetro da figura, o cilindro externo gira com uma rotação ω 
constante. O cilindro interno é oco, sua parede tem espessura desprezível e está preso a 
um fio calibrado à torção. O cilindro interno torce o fio, até que nele se atinja um torque 
T, que mantém o cilindro interno em equilíbrio. Supondo um perfil de velocidades linear 
entre os cilindros, determine uma expressão analítica que relacione a viscosidade 
dinâmica µ do fluido com o torque T, a rotação ω, e as dimensões h, R1, R2 e R3. 
 
Lei de viscosidade de Newton: 
dy
duµτ = 
(adaptado de Mecânica dos Fluidos, Franco Brunetti, Pearson, 2008) 
Solução: 
Se o cilindro interno está em equilíbrio, o torque exercido pelo fio é igual ao torque 
viscoso. Chamando as tensões de cisalhamento nas superfícies interna e externa do 
cilindro oco de τi e τe: 
22 RARACT eeiiv ττ +== 
mas hRAAA ei 22π=== , portanto )(2
2
2 eihRT ττπ += . 
Pela lei da viscosidade de Newton, e admitindo perfil linear de velocidades: 
12
1
RR
R
i −
=
ωµτ e 
23
3
RR
R
e −
=
ω
µτ 
Portanto: 
 
T = 2π R2
2 h µω R1
R2 − R1
+
R3
R3 − R2
 
 
 
 
 
 . Isolando a viscosidade dinâmica: 






−
+
−
=
23
3
12
12
22 RR
R
RR
RhR
T
ωπ
µ 
 
2. (3,5 pontos) O tronco de cone da figura contém líquido incompressível e profundidade 
h. Um pistão sólido de diâmetro d penetra pela superfície, à velocidade v. Deduza uma 
expressão analítica para a taxa de elevação dh/dt da superfície do líquido. 
 
Conservação da massa: ( )dAd
t A∫∫ +∂
∂
= nV .0 ρυρ
υ
 ou ( )dAd
dt
d
A r∫∫ += nV
.0 ρυρ
υ
 
Solução: 
Considerando um volume 
de controle fixo: 
 
o primeiro termo da equação da conservação de massa 0d =⋅+ ∫∫
SCVCt
dAvρυρ
∂
∂ é nulo. 
Só há fluxo na superfície livre e na base do pistão e o fluido é incompressível. Assim: 
0dd
livre sup. pistão do base
=−∫ ∫ AvAvsl 
Mas 
 
vsl = dh /dt , então: 
( )[ ] 0
4
tg2
4d
ddd
d
d 222
pistão do baselivre sup.
=−−+=− ∫∫
dvdhD
t
hAvA
t
h π
θ
π 
Que resulta em: 
( )
1tg2
tg2d
d
222
2
−




 +
=
−+
=
d
hD
v
dhD
dv
t
h
θθ
 
 
3. (3,5 pontos) No escoamento de jato de líquido de massa específica 𝜌 descarregando na 
atmosfera, mostrado na figura, é conhecido o módulo da velocidade 𝑉𝐴 no ponto A, os 
diâmetros da tubulação ∅B e ∅C (respectivamente nos pontos B e C), as cotas 𝐻 e ℎ e a 
aceleração gravitacional 𝑔. Assumindo que o jato permaneça circular e com velocidade 
uniforme e desprezando as perdas e interação com o ar fora do jato, calcular 
analíticamente as velocidades 𝑉𝐵 e 𝑉𝐶 no duto e a pressão manométrica 𝑝𝐵𝑚 = 𝑝𝐵 − 𝑝𝑎 , 
onde 𝑝𝑎 é a pressão atmosférica. 
Dica: o jato se encontra a pressão constante 𝑝𝑎. 
Bernoulli: 𝑝 + 1
2
 𝜌 𝑉2 + 𝜌 𝑔 𝑧 = 𝑐𝑡𝑒 
(adaptado de Mecânica dos Fluidos, Noções e Aplicações, Sylvio R. Bistafa, Blucher, 
2010) 
 
Solução: 
Por continuidade: 𝑉𝐵 𝜋 ∅𝐵24 = 𝑉𝐶 𝜋 ∅𝐶24 ⇒ 𝑉𝐵 𝑉𝐶 = �∅𝐶 ∅𝐵 �2 
Aplicando Bernoulli entre a saida do jato (C) e (A): 
𝑝𝑎 + 12 𝜌 𝑉𝐶2 + 𝜌 𝑔 ℎ = 𝑝𝑎 + 12 𝜌 𝑉𝐴2 + 𝜌 𝑔 (ℎ + 𝐻) ⇒ 𝑉𝐶2 = 𝑉𝐴2 + 2 𝑔 𝐻 
Aplicando Bernoulli entre os pontos (B) e (C): 
𝑝𝐵 + 12 𝜌 𝑉𝐵2 = 𝑝𝑎 + 12 𝜌 𝑉𝐶2 + 𝜌 𝑔 ℎ ⇒ 𝑝𝐵 − 𝑝𝑎 = 12 𝜌 (𝑉𝐶2 − 𝑉𝐵2) + 𝜌 𝑔 ℎ 
𝑝𝐵 − 𝑝𝑎 = 12 𝜌 𝑉𝐶2 �1 − �𝑉𝐵 𝑉𝐶 �2� + 𝜌 𝑔 ℎ = 12 𝜌 𝑉𝐶2 �1 − �∅𝐶 ∅𝐵 �4� + 𝜌 𝑔 ℎ 
Substituindo a relação anterior, resulta: 
g H 
h 
ØC 
ØB 
pa 
𝑝𝐵 − 𝑝𝑎 = 12 𝜌 (𝑉𝐴2 + 2 𝑔 𝐻) �1 − �∅𝐶 ∅𝐵 �4� + 𝜌 𝑔 ℎ 
𝑉𝐵 = (𝑉𝐴2 + 2 𝑔 𝐻)1/2 �∅𝐶 ∅𝐵 �2