Notas de Aula - Cálculo 2 - aula3 Equação Diferencial de 1a ordem

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AULA 3
Vamos relembrar a definic¸a˜o de equac¸a˜o diferencial de 1a ordem linear, vista na
Aula 2 e deduzir seu me´todo de resoluc¸a˜o.
Equac¸a˜o Diferencial de 1a ordem Linear
E´ uma equac¸a˜o que pode ser escrita da forma:
y′ + P (x)y = Q(x),
onde P (x) e Q(x) sa˜o func¸o˜es cont´ınuas em um dado intervalo.
Me´todo do Fator Integrante
Vamos multiplicar ambos os lados da equac¸a˜o por uma func¸a˜o I(x) 6= 0, que
sera´ chamada de fator integrante,
I(x)y′ + I(x)P (x)y = I(x)Q(x).
Note que o lado esquerdo da equac¸a˜o se assemelha a` derivada do produto:
(I(x)y)′ = I(x)y′ + I ′(x)y. De fato e´, se I(x) for escolhida de modo que
I ′(x) = I(x)P (x)
⇔ dI
dx
= IP (x)
⇔ dI
I
= P (x) dx
⇔
∫
dI
I
=
∫
P (x) dx
⇔ ln |I| =
∫
P (x) dx
⇔ |I(x)| = e
∫
P (x) dx
Temos enta˜o, que um fator integrante e´ dado por
I(x) = e
∫
P (x) dx
O me´todo do fator integrante consiste enta˜o em
(1) Determinar o fator integrante I(x) = e
∫
P (x) dx
(2) Multiplicar ambos os lados da equac¸a˜o por I(x) e resolver:
I(x)y′ + I(x)P (x)y = I(x)Q(x)
⇔ (I(x)y)′ = I(x)Q(x)
⇔ I(x)y =
∫
I(x)Q(x) dx+ C
⇔ y = 1
I(x)
∫
I(x)Q(x) dx+
C
I(x)
.
O primeiro exemplo a ser resolvido sera´ a equac¸a˜o do problema de misturas na˜o
solucionado na Aula 2.
1
2 AULA 3
Exemplo 1.
y′ = 2− 8y
1.000 + 2t
, y(0) = 0.
Escrevendo no formato de equac¸a˜o linear de primeira ordem, temos
y′ +
8
1.000 + 2t
y = 2.
Como, P (t) = 81.000+2t , obtemos,
I(t) = e
∫
8
1.000+2tdt
= e4 ln(1.000+2t)
= (1.000 + 2t)4.
Multiplicando ambos os lados da equac¸a˜o por I(t), temos
(1.000 + 2t)4y′ + 8(1.000 + 2t)3y = 2(1.000 + 2t)4
⇔ ((1.000 + 2t)4y)′ = 2(1.000 + 2t)4
⇔ (1.000 + 2t)4y =
∫
2(1.000 + 2t)4 dt
⇔ (1.000 + 2t)4y = (1.000 + 2t)
5
5
+ c
⇔ y = 1.000 + 2t
5
+
c
(1.000 + 2t)4
.
Considerando que y(0) = 0⇔ c = −2× 1014.
Note que, nos problemas de misturas, se alguma das taxas de entrada ou sa´ıda
for uma func¸a˜o de t, enta˜o a equac¸a˜o diferencial correspondente ainda e´ linear.
Em seguida, resolveremos o problema de queda livre com atrito da Aula 1.
Exemplo 2.
x′ +
ν0
m
x = −gt+ c.
Encontrando o fator integrante:
I(t) = e
∫ ν0
m dt
= e
ν0t
m .
Multiplicando o fator integrante em ambos os lados da equac¸a˜o:
e
ν0t
m x′ + ν0m e
ν0t
m x = (−gt+ c)e ν0tm
⇔ (e ν0tm x)′ = (−gt+ c)e ν0tm
⇔ e ν0tm x = −g
∫
te
ν0t
m dt+
cm
ν0
e
ν0t
m
⇔ e ν0tm x = −g
(
t
m
ν0
e
ν0t
m − m
ν0
∫
e
ν0t
m dt
)
+
cm
ν0
e
ν0t
m
⇔ e ν0tm x = −tgm
ν0
e
ν0t
m +
gm2
ν20
e
ν0t
m +
cm
ν0
e
ν0t
m + d
⇔ x = −tgm
ν0
+
gm2
ν20
+
cm
ν0
+ de−
ν0
m t,
onde c e d sa˜o constantes que podem ser determinadas em func¸a˜o da posic¸a˜o e
velocidade iniciais. Note que a velocidade da queda livre se aproxima de − gmν0 ,
para t grande.
AULA 3 3
Exemplo 3.
xy′ + 2y = ex
2
, x > 0.
Escrevemos:
y′ +
2
x
y =
1
x
ex
2
.
O fator integrante e´ dado por
I(x) = e
∫
2
xdx
= e2 ln x
= x2.
Resolvemos:
x2y′ + 2xy = xex
2
(x2y)′ = xex
2
x2y =
∫
xex
2
dx.
⇔ y = 1
x2
(
ex
2
2
+ c
)
.
Exemplo 4. Considere um corpo de massa m ligado a uma mola horizontal. Ao
corpo e´ aplicada uma forc¸a externa de 10sen (ωt). Assim, ale´m desta forc¸a, sa˜o
consideradas no sistema a forc¸a da mola e a forc¸a de atrito.
Se x(t) representa a posic¸a˜o da part´ıcula no instante t (com posic¸a˜o de equil´ıbrio
na origem), k a constante ela´stica da mola e ν0 o coeficiente de atrito viscoso, enta˜o
a resultante das forc¸as que atuam no corpo e´ enta˜o dada por:
mx′′ = −kx− ν0x′ + 10 sen (ωt)
ou
mx′′ + ν0x′ + kx = 10 sen (ωt).
Note que esta equac¸a˜o diferencial na˜o e´ de primeira ordem e nem pode ser reduzida,
por simples integrac¸a˜o, a uma equac¸a˜o diferencial de primeira ordem, como no caso
da queda livre com atrito. Este tipo de equac¸a˜o diferencial e´ dito de segunda ordem
linear e com coeficientes constantes, e sera´ estudado na pro´xima aula.
Exerc´ıcio 1) Considere um tanque que conte´m inicialmente 200 L de a´gua e 30 g
cloro dissolvido. Adiciona-se a´gua com 3 g de cloro por litro a uma taxa de 2+sen t L
por minuto. Depois de misturada, a a´gua com cloro sai do tanque a uma taxa de
2 L por minuto. Seja y(t) a quantidade de cloro no tanque no instante t. Monte a
equac¸a˜o diferencial para dydt .
Exerc´ıcio 2) Resolva as seguintes equac¸o˜es diferenciais:
(1) y′ + 3x2y = x2, y(0) = 1.
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(2) (1 + x2)y′ = xy.
(3) y′ =
x+ y
x
.
(4) y′ + 3y = x+ e−2x, y(1) = 0.
(5) y′ + 2cotg x = sen x, y(pi2 ) = 1.