CÁLCULO APLICADO Atividade 4

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CÁLCULO APLICADO � VÁRIAS VARIÁVEIS
Atividade 04 
1 De acordo com Stewart (2016, p. 543), “a técnica para resolver as equações diferenciais separáveis foi primeiro usada por James Bernoulli (em 1690) para resolver um problema sobre pêndulos e por Leibniz (em uma carta para Huygens em 1691). John Bernoulli explicou o método geral em um artigo publicado em 1694”.
 
STEWART, J. Cálculo. São Paulo: Cengage Learning, 2016. 2 v.
2 Um problema de valor inicial (PVI), para equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem, consiste em determinar uma solução  que satisfaça às condições iniciais da forma  e . Por meio dessas condições, é possível determinar o valor das constantes obtidas na solução geral.
3 A lei de resfriamento de Newton nos permite calcular a taxa de variação da temperatura de um corpo em resfriamento. Considere a seguinte situação: Um cozinheiro fez um bolo de chocolate. Ao retirar do forno, o bolo apresentava uma temperatura de 150°C. Passados quatro minutos, essa temperatura caiu para 90 °C. Sabendo que a temperatura do ambiente é de 25°C, calcule quanto tempo levará para que o bolo esfrie até a temperatura de 30 °C.
 
4Uma equação diferencial linear de primeira ordem pode ser expressa na forma , onde  e  são funções contínuas em um dado intervalo. A solução geral para equações diferenciais lineares de primeira ordem é dada pela expressão .
5Uma equação diferencial linear de segunda ordem tem a forma , onde  e  são funções contínuas” (STEWART, 2016, p. 1028). Se , a equação é dita linear homogênea, caso contrário, se  a equação é dita linear não homogênea. STEWART, J. Cálculo.
São Paulo: Cengage Learning, 2016. 2 v.
6As equações diferenciais podem ser classificadas de acordo com alguns critérios. Por exemplo, podemos classificar uma equação diferencial de acordo com sua ordem e grau. No caso da classificação pela ordem, temos que esta é definida pela ordem da mais alta derivada que aparece na equação, e a classificação pelo grau é dada pelo expoente da derivada de maior ordem que aparece na equação.
 
7As equações diferenciais lineares e homogêneas de segunda ordem podem ser expressas por meio da seguinte forma: , onde  e  são funções contínuas. Para resolvermos equações desse tipo, precisamos escrever uma equação auxiliar, a qual é uma equação de segundo grau.
 
8 A meia-vida é o tempo gasto para metade dos átomos de uma quantidade inicial  se desintegrar ou se transmutar em átomos de outro elemento. Uma substância é dita mais estável quando a meia-vida possui um valor elevado. Esse tipo de problema pode ser modelado pela seguinte equação diferencial: , onde  representa a quantidade de átomos presente na substância e é uma função do tempo . Uma substância radioativa teve sua quantidade inicial  reduzida em 0,043% após 15 anos.
 
9As equações diferenciais não possuem exatamente uma regra de resolução. O método de resolução de uma equação diferencial depende de algumas características apresentadas pela mesma. Por exemplo, equações diferenciais escritas na forma  são ditas equações diferenciais separáveis e resolvidas usando a integração em ambos os membros da igualdade.
10Considere uma mola com uma massa de 3 kg e de comprimento natural 0,5 m. Para esticá-la até um comprimento de 0,8 m, é necessária uma força de 22,5 N. Suponha que a mola seja esticada até o comprimento de 0,8 m e, em seguida, seja liberada com velocidade inicial nula. O movimento realizado obedece à equação diferencial: , onde  é uma função do tempo  que indica a posição da massa  e  é a constante elástica.