Notas de Aula - Cálculo 2 - aula4 Equação Diferencial de Segunda Ordem Linear e Coeficientes constantes

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Aula 4
Equac¸a˜o Diferencial de Segunda Ordem Linear e Coeficientes constantes:
E´ uma equac¸a˜o que pode ser escrita da forma:
ay′′ + by′ + cy = G(x),
onde a, b e c sa˜o constantes reais e G(x) e´ uma func¸a˜o cont´ınua em um dado
intervalo.
Primeiramente iremos estudar o caso em que G(x) = 0, dito homogeˆneo.
Exemplo 1. Considere a equac¸a˜o diferencial y′′ + 3y′ + 2y = 0. Vamos reescrever
esta equac¸a˜o utilizando o operador derivac¸a˜o D, tal que Dy = y′.
(D2 + 3D + 2)y = 0
(D + 1)(D + 2)y = 0
Se (D+2)y = 0, enta˜o (D+1)(D+2)y = 0. Logo, uma soluc¸a˜o para (D+2)y = 0,
tambe´m e´ soluc¸a˜o para (D + 1)(D + 2)y = 0. Temos
(D + 2)y = 0
⇔ y′ + 2y = 0
⇔ y′ = −2y
⇔ y1 = c1e−2x, c1 ∈ R
Assim, y1 = c1e
−2x e´ uma classe de soluc¸o˜es particulares da equac¸a˜o. Analoga-
mente, como (D+1)(D+2)y = 0⇔ (D+2)(D+1)y = 0, e resolvendo (D+1)y = 0,
obtemos a segunda classe de soluc¸o˜es particulares y2 = c2e
−x, c2 ∈ R. Note que y2
e´ linearmente independente de y1.
A soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o linear e´ obtida fazendo combinac¸a˜o linear destas
soluc¸o˜es particulares. Vamos verificar que y1 + y2 e´ soluc¸a˜o do problema.
(y1 + y2)
′′ + 3(y1 + y2)′ + 2(y1 + y2) = (y′′1 + 3y
′
1 + 2y1) + (y
′′
2 + 3y
′
2 + 2y2)
= 0 + 0 = 0.
A soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o e´ enta˜o dada por
y = c1e
−2x + c2e−x, c1, c2 ∈ R
Note que para resolver esta equac¸a˜o, e´ necessa´rio apenas resolver uma equac¸a˜o
alge´brica de segundo grau, chamada de equac¸a˜o caracter´ıstica:
r2 + 3r + 2 = 0
⇔ (r + 1)(r + 2) = 0
⇔ r = −1 ou r = −2
pois a fatorizac¸a˜o do operador de derivac¸a˜o D2 + 3D + 2 e´ igual a` fatorizac¸a˜o
da equac¸a˜o carater´ıstica. De fato, utilizamos este mecanismo para encontrar as
soluc¸o˜es destes tipos de equac¸o˜es como vemos a seguir.
Equac¸a˜o Diferencial de Segunda Ordem Linear de Coeficientes constan-
tes: caso Homogeˆneo
ay′′ + by′ + cy = 0
Para resolver esta equac¸a˜o diferencial, devemos considerar as ra´ızes da equac¸a˜o
caracter´ıstica:
ar2 + br + c = 0
1
2
onde a, b, c sa˜o os mesmos coeficientes da equac¸a˜o diferencial. Estas ra´ızes sa˜o dadas
por:
r1 =
−b+√b2 − 4ac
2a
e r2 =
−b−√b2 − 4ac
2a
Se estas ra´ızes sa˜o reais e distintas, enta˜o temos duas soluc¸o˜es reais linearmente
independentes e a soluc¸a˜o geral e´ obtida como no exemplo anterior. Caso contra´rio,
precisamos fazer outras considerac¸o˜es como veremos a seguir.
Caso 1) b2 − 4ac > 0 (Duas ra´ızes reais e distintas)
Neste caso, a soluc¸a˜o geral e´ dada por
y = c1e
r1x + c2e
r2x , c1, c2 ∈ R
Exemplo 2. Resolva a equac¸a˜o 2y′′ − y′ − y = 0.
Fazemos:
2r2 − r − 1 = 0
⇔ r = 1±
√
9
4
⇔ r1 = 1, r2 = −1
2
logo a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o diferencial e´:
y = c1e
x + c2e
− 12x, c1, c2 ∈ R.
-
Caso 2) b2 − 4ac = 0 (Uma u´nica raiz real)
Neste caso, temos uma u´nica raiz
r1 = − b
2a
.
Portanto, temos que y = c1e
r1x e´ uma classe de soluc¸o˜es particulares da equac¸a˜o
diferencial. Precisamos de uma outra soluc¸a˜o linearmente independente destas.
Utilizando a notac¸a˜o do operador derivac¸a˜o, escrevemos a equac¸a˜o como:
(D − r1)(D − r1)y = 0
Vamos fazer a mudanc¸a de varia´vel z = (D − r1)y. Com isso, a equac¸a˜o fica da
forma:
(D − r1)z = 0⇔ z = c2er1x
Voltando para y, temos:
(D − r1)y = c2er1x
⇔ y′ − r1y = c2er1x
Trata-se de uma equac¸a˜o diferencial de primeira ordem linear, cujo fator inte-
grante e´ I(x) = e−r1x. Assim, sua soluc¸a˜o e´ dada por:
(e−r1xy)′ = c2
⇔ e−r1xy = c2x+ c1
⇔ y = c1er1x + c2xer1x , c1, c2 ∈ R
3
Exemplo 3. Resolva a equac¸a˜o 16y′′ + 24y′ + 9y = 0.
Fazemos:
16r2 + 24r + 9 = 0
⇔ r = −24±
√
576− 576
32
⇔ r = −3
4
logo a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o diferencial e´:
y = c1e
− 34x + c2xe−
3
4x, c1, c2 ∈ R.
Caso 3) b2 − 4ac < 0 (Ra´ızes complexas conjugadas)
Seja i =
√−1, logo i2 = −1. Primeiramente, lembre-se de que o conjunto dos
nu´meros complexos C = {a + bi | a, b ∈ R} e´ um corpo, portanto, e´ fechado para
multiplicac¸a˜o. Isto e´, dados a+ bi, c+ di ∈ C,
(a+ bi)(c+ di) = ac+ adi+ bci+ bi2
= (ac− bc) + (ad+ bc)i ∈ C
Isto significa que toda a a´lgebra que fizemos em R se estende a C. Voltando ao
problema, as ra´ızes complexas sa˜o dadas por:
r1 =
−b
2a
+ i
√
4ac− b2
2a
e r2 =
−b
2a
− i
√
4ac− b2
2a
Para simplificar, vamos escrever:
r1 = α+ iβ e r2 = α− iβ
Note que este caso e´ similar ao caso 1, isto e´ podemos resolver da mesma maneira
mas em C. Enta˜o a soluc¸a˜o geral complexa e´ dada por
y = c1e
r1x + c2e
r2x, c1, c2 ∈ C.
Vamos extrair as soluc¸o˜es reais desta soluc¸a˜o geral. Isto e´, zerar a parte imagina´ria
de y.
y = (a+ bi)e(α+iβ)x + (c+ di)e(α−iβ)x, a, b, c, d ∈ R
= eαx[(a+ bi)eiβx + (c+ di)ei(−βx)]
Pela fo´rmula de Euler
eiθ = cos θ + isen θ,
podemos escrever
y = eαx[(a+ bi)(cos (βx) + i sen (βx)) + (c+ di)(cos (βx)− i sen (βx))]
= eαx[(a+ c) cos (βx) + (−b+ d) sen (βx) + i((b+ d) cos (βx) + (a− c) sen (βx))]
Como queremos apenas soluc¸o˜es reais, devemos ter
a− c = 0⇔ c = a
b+ d = 0⇔ d = −b
Portanto,
y = eαx(2a cos (βx)− 2b sen (βx)), a, b ∈ R
Podemos escrever
y = eαx (c1 cos (βx) + c2 sen (βx)) , c1, c2 ∈ R
4
Exemplo 4. Resolva o problema da mola com “pouco”atrito e sem forc¸a externa
modelado por:
y′′ + 4y′ + 6y = 0, y(0) = 2, y′(0) = 4.
Fazemos:
r2 + 4r + 6 = 0
⇔ r = −4± i
√
8
2
⇔ r1 = −2 + i
√
2, r2 = −2− i
√
2
⇒ y = e−2x(c1 cos (
√
2x) + c2 sen (
√
2x))
y(0) = 2⇔ c1 = 2
⇒ y(x) = e−2x(2 cos (√2x) + c2 sen (
√
2x))
⇒ y′(x) = −2e−2x(2 cos (√2x) + c2 sen (
√
2x)) + e−2x(−2√2 sen (√2x) + c2
√
2 cos (
√
2x))
y′(0) = 4⇔ 4 = −2(2) +√2c2 ⇒ c2 = 4
√
2
⇒ y(x) = e−2x(2 cos (√2x) + 4√2 sen (√2x))
Resumo
Para resolver a equac¸a˜o:
ay′′ + by′ + cy = 0,
encontre as ra´ızes r1 e r2 da equac¸a˜o caracter´ıstica:
ar2 + br + c = 0.
(1) Se r1 6= r2 ∈ R, enta˜o
y = c1e
r1x + c2e
r2x , c1, c2 ∈ R
(2) Se r1 = r2 ∈ R, enta˜o
y = c1e
r1x + c2xe
r1x , c1, c2 ∈ R
(3) Se r1 = α+ iβ e r2 = α− iβ ∈ C, enta˜o
y = eαx(c1 cos (βx) + c2 sen (βx)) , c1, c2 ∈ R
Exerc´ıcio 1) Existe soluc¸a˜o para o problema de contorno
y′′ + 5y′ − 6y = 0, y(0) = 0, y(2) = 1?
Exerc´ıcio 2) Considere o problema da mola com atrito e sem forc¸a externa mo-
delado, como visto anteriormente, por:
my′′ + ν0y′ + ky = 0
Qual a relac¸a˜o que as constantes positivas m, ν0 e k devem satisfazer de modo que
estejamos
(1) no caso 3? Note que neste caso, a mola oscila. O sistema se diz fracamente
amortecido.
(2) no caso 2? Este caso e´ intermedia´rio.
(3) no caso 1? Neste caso o sistema se diz fortemente amortecido e na˜o ha´
oscilac¸o˜es.
Resolva o problema em cada um dos casos.