Sistemas Ópticos e de Microondas - 02. Teoria de Fibras Ópticas - Prof. Walter - POLI-USP - Engenharia Elétrica

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PSI 3481 
SISTEMAS ÓPTICOS E DE MICRO-
ONDAS 
Fibras Ópticas 
Fibras Ópticas 
• Luz guiada: reflexão interna total (1854) 
• Fibra Óptica: multicamadas (1950). 
• Antes de 1970: perda  1000 dB/Km 
• Em 1970: perda  20 dB/Km 
• Em 1979: perda  0,2 dB/Km (1,55 m). 
 
Fibras Ópticas Multimodo 
Fibras Ópticas 
Fibra com perfil com perfil em 
degrau do índice de refração 
Fibra com perfil com perfil 
graduado do índice de refração 
Perfil em degrau do índice de refração 
Fibras Ópticas Multimodo 
Aproximação de óptica geométrica 
Apertura numérica 
Diferença relativa de índice 
Lei de Snell nas diferentes interfaces 
Interface de excitação 
Interface núcleo/camada externa 
𝑛1𝑠𝑖𝑛∅ = 𝑛2𝑠𝑖𝑛∅𝑟 
Condição critica para o guiamento da luz 
Tempo de atraso 
Figura de mérito BL da fibra 
Fibras Ópticas Multimodo 
Aproximação de óptica geométrica 
Perfil graduado do índice de refração: 
Aproximação para-axial 
Eliminação da dispersão modal 
: parâmetro do perfil do índice de refração 
Para  = 2 
Fibras Ópticas Multimodo 
Aproximação de óptica geométrica 
Perfil graduado do índice de refração 
Fibra multimodo na pratica 
Curva de dispersão intermodal T/L em função 
do parâmetro de perfil do índice de refração 
Mínimo da curva de dispersão intermodal 
em: 
Figura de mérito BL da fibra 
Representação da propagação da luz através de 
fibras multimodo e monomodo 
Fibras Ópticas 
Modelos ondulatórios 
• Equações de Mawell Equação de onda para meios homogêneos 
 
 
 
 
• Equações constitutivas 
• Fibra com perfil graduado do índice de refração 
Fibras Ópticas 
Modelos ondulatórios 
𝑛2 𝑟 = 𝑛2 1 −
𝑛2
𝑛
𝑟2 
𝛻2𝑬 + 𝑘2 1 −
𝑛2
𝑛
𝑟2 𝑬 = 0 
𝐸𝑙,𝑚 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝐸0𝐻𝑙 2
𝑥
𝜎
𝐻𝑚 2
𝑦
𝜎
exp −
𝑥2 + 𝑦2
𝜎2
 
𝛽𝑙,𝑚 = 𝑘 1 −
2
𝑘
𝑛2
𝑛
𝑙 + 𝑚 + 1
1
2 
 
𝜎 = 

𝜋
1
𝑛𝑛2
1
4 
 
Perfil do índice de refração 
Equação de onda 
Forma da onda 
Vetor de propagação 
Tamanho do feixe guiado 
Polinômios de Hermite 
𝑑2𝐻
𝑑𝑥2
− 2𝑥
𝑑𝐻
𝑑𝑥
+ 2𝑚𝐻 
𝐻𝑛+1 𝑥 = 2𝑥𝐻𝑛(𝑥) − 2𝑛𝐻𝑛−1(𝑥) 
Equação de Hermite 
Formula de recorrência 
H0(x) = 1 
H1(x) = 2x 
H2(x) = 4x 2 − 2 
H3(x) = 8x 3 − 12x 
H4(x) = 16x 4 − 48x 2 + 12 
Equação do Oscilador Harmônico 
𝑑2ψ
𝑑𝑥2
+ (2𝑚 + 1 − 𝑥2)ψ=0 
ψ 𝑥 = 𝐴𝐻𝑚
2
𝑎
𝑥 exp (−
𝑥2
𝑎2
) 
m= 0,1,2,3, .... 
Perfil da intensidade do campo elétrico 
para os modos normais de uma fibra óptica com índice de 
refração de perfil graduado 
Perfil da intensidade do campo elétrico para os modos normais de uma fibra 
óptica com índice de refração de perfil graduado 
Fibras Ópticas 
Modelos ondulatórios 
• Fibra cilíndrica de índice de refração com perfil em degrau 
Perfil do índice de refração 
Equação de Helmoltz em 
coordenadas cilíndricas 
 
 
y 
x 
z 
a 
Funções de Bessel do tipo Jn(x) e Yn(x) 
  022
2
2
2  ynx
dx
dy
x
dx
yd
x
y(x)= Jn(x) 
𝑌𝑛 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚𝛾→𝑛
cos 𝛾𝜋 𝐽𝑛 𝑥 − 𝐽−𝑛(𝑥)
sin (𝛾𝜋)
 
Funções de Bessel do tipo In(x) e Kn(x) 
  022
2
2
2  yx
dx
dy
x
dx
yd
x 
𝑦 𝑥 = 𝐼𝛾(𝑥) 
𝐾𝛾 =
𝜋
2
𝐼−𝛾 𝑥 − 𝐼𝛾(𝑥) 
sin (𝛾𝜋)
 
Fibras Ópticas 
Modelos ondulatórios 
• Fibra cilíndrica de índice de refração com perfil em degrau 
𝐸𝜌 = 
𝑖
𝑝2
𝛽
𝜕𝐸𝑧
𝜕𝜌
+ 𝜇0
𝜔
𝜌
𝜕𝐻𝑧
𝜕𝜑
 
𝐸𝜑 = 
𝑖
𝑝2
𝛽
𝜌
𝜕𝐸𝑧
𝜕𝜑
− 𝜇0𝜔
𝜕𝐻𝑧
𝜕𝜌
 
𝐻𝜌 = 
𝑖
𝑝2
𝛽
𝜕𝐻𝑧
𝜕𝜌
− 𝜀0𝑛
2
𝜔
𝜌
𝜕𝐸𝑧
𝜕𝜑
 
𝐻𝜑 = 
𝑖
𝑝2
𝛽
𝜌
𝜕𝐻𝑧
𝜕𝜑
+ 𝜀0𝑛
2𝜔
𝜕𝐻𝑧
𝜕𝜌
 
𝐸𝜌 = 
−𝑖
𝑞2
𝛽
𝜕𝐸𝑧
𝜕𝜌
+ 𝜇0
𝜔
𝜌
𝜕𝐻𝑧
𝜕𝜑
 
𝐸𝜑 = 
𝑖
𝑞2
𝜇0𝜔
𝜕𝐻𝑧
𝜕𝜌
−
𝛽
𝜌
𝜕𝐸𝑧
𝜕𝜑
 
𝐻𝜌 = 
𝑖
𝑞2
𝜀0𝑛
2
𝜔
𝜌
𝜕𝐸𝑧
𝜕𝜑
− 𝛽
𝜕𝐻𝑧
𝜕𝜌
 
𝐻𝜑 = 
−𝑖
𝑞2
𝛽
𝜌
𝜕𝐻𝑧
𝜕𝜑
+ 𝜀0𝑛
2𝜔
𝜕𝐻𝑧
𝜕𝜌
 
  a 
 > a 
Solução da equação de Helmoltz 
Jm, Km: Funções de Bessel 
As outras componentes dos campos elétrico e magnético são determinadas a partir 
das equações de Maxwell 
𝐸𝑧 = 
𝐴𝐽𝑚 𝑝𝜌 exp 𝑖𝑚∅ exp 𝑖𝛽𝑧 ; 𝜌 ≤ 𝑎
𝐶𝐾𝑚 𝑞𝜌 exp 𝑖𝑚∅ exp 𝑖𝛽𝑧 ; 𝜌 > 𝑎
 
𝐻𝑧 = 
𝐵𝐽𝑙 𝑝𝜌 exp 𝑖𝑙∅ exp 𝑖𝛽𝑧 ; 𝜌 ≤ 𝑎
𝐷𝐾𝑙 𝑞𝜌 exp 𝑖𝑙∅ exp 𝑖𝛽𝑧 ; 𝜌 > 𝑎
 
Fibras Ópticas 
Modelos ondulatórios 
• Fibra cilíndrica de índice de refração com perfil em degrau 
Equação de dispersão para a constante de propagação  
a partir das condições de fronteira na interface núcleo/camada externa ( = a) 
J´m e K´m são as primeiras derivadas das funções de Bessel Jm, Km respectivamente 
A solução desta equação para  é numérica. 
A existência de soluções de  para diferentes valores dos coeficientes: m e l = 1,2,3,.. 
dão origem aos diferentes modos de propagação: m,l 
𝐽′𝑚(𝑝𝑎)
𝑝𝐽𝑚(𝑝𝑎)
+
𝐾′𝑚(𝑞𝑎)
𝑞𝐾𝑚(𝑞𝑎)
𝐽′𝑚(𝑝𝑎)
𝑝𝐽𝑚(𝑝𝑎)
+
𝑛2
2
𝑛1
2
𝐾′𝑚(𝑞𝑎)
𝑞𝐾𝑚(𝑞𝑎)
=
𝑚2
𝑎2
1
𝑝2
+
1
𝑞2
1
𝑝2
+
𝑛2
2
𝑛1
2
1
𝑞2
 
Continuidade dos campos tangenciais 
Condições de Dirichlet 
𝑵𝑥 𝑬1 − 𝑬2 = 0 
𝑵𝑥 𝑯1 −𝑯2 = 0 
Continuidade dos campos normais 
Condições de Neumann 
𝑵. 𝐷1 − 𝐷2 = 0 
𝑵. 𝐵1 − 𝐵2 = 0 
N : vetor normal à interfase região 1/região 2 
• Fibra cilíndrica de índice de refração com perfil em degrau 
 
 
 
 
 
 
• Nomenclatura dos modos 
m,l : constante de propagação 
m, l : 1,2,3,.... 
Definem os diferentes modos de propagação 
𝑛 𝑚,𝑙 = 
𝛽𝑚,𝑙
𝑘0
 Índice de refração efetivo do modo (m,l) 
𝑛2 < 𝑛 𝑚,𝑛 ≤ 𝑛1 : 
Fibras Ópticas 
Modelos ondulatórios 
𝑛 𝑚,𝑛 ≤ 𝑛2 : 
Condição necessaria dos modos guiados 
Modos não guiados 
Hz, Ez  0 
𝐻𝐸𝑚,𝑙 → 𝐻𝑧 𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑡𝑒 
𝐸𝐻𝑚,𝑙 → 𝐸𝑧 𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑡𝑒 
Modos híbridos 
m = 0 
Modos transversais 𝐻𝐸0,𝑙 → 𝑇𝐸0,𝑙 𝑀𝑜𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑚𝑝𝑜 𝑒𝑙é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑜 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙 
𝐸𝐻0,𝑙 → 𝑇𝑀0,𝑙 𝑀𝑜𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑚𝑝𝑜 𝑚𝑎𝑔𝑛𝑒𝑡𝑖𝑐𝑜 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙 
Frequência normalizada: define a condição de corte e o número de modos guiados 
Numero de modos = V2/2 
Constante de propagação normalizada 
Fibras Ópticas 
Modelos ondulatórios 
• Fibra cilíndrica de índice de refração com perfil em degrau 
Condição de corte dos modos guiados “cut off” 
𝑘𝑚 𝑞𝜌 =
𝜋
2𝑞𝜌
1
2
exp (−𝑞𝜌) Perfil do campo região da camada 
externa 
𝑞 = 0 𝑜𝑢 𝑛 = 𝑛2 Limite para a condição de corte 
Fibras Ópticas 
Modelos ondulatórios 
• Fibra cilíndrica de índice de refração com perfil em degrau 
Curva da constante de propagação normalizada “b” em função da frequência 
normalizada “V” 
Fibras Ópticas 
Modelos ondulatórios 
• Fibra cilíndrica de índice de refração com perfil em degrau 
A fibra óptica mono modo suporta somente o modo HE11 : modo fundamental 
Regra de projeto para uma fibra mono -modo 
Modos TE0,1 e TM0,1 
na condição de corte 
m = 0 
 q = 0 
 pa = V 
𝑉 = 
2𝜋
λ
𝑎𝑛1 2Δ < 2,405 
Fibras para telecomunicação 
 λ = 1,55 µm, a = 4 µm 
• O modo HE11 é um modo linearmente polarizado conhecido também 
como modo LP01 
• Transformando os campos em coordenadas cartesiana (x,y,z) teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Sem perda de generalidade EY = 0 
Perfil do campo da luz guiada na fibra mono-modo 
𝐸𝑋 = 𝐸𝜌𝑐𝑜𝑠φ − 𝐸𝜑𝑠𝑒𝑛𝜑 
𝐸𝑌 = 𝐸𝜌𝑠𝑒𝑛φ + 𝐸𝜑𝑐𝑜𝑠𝜑 
𝐸𝑧 = 
𝐴𝐽𝑚 𝑝𝜌 exp 𝑖𝑚∅ exp 𝑖𝛽𝑧 ; 𝜌 ≤ 𝑎𝐶𝐾𝑚 𝑞𝜌 exp 𝑖𝑚∅ exp 𝑖𝛽𝑧 ; 𝜌 > 𝑎
 
𝐻𝑧 = 
𝐵𝐽𝑚 𝑝𝜌 exp 𝑖𝑚∅ exp 𝑖𝛽𝑧 ; 𝜌 ≤ 𝑎
𝐷𝐾𝑚 𝑞𝜌 exp 𝑖𝑚∅ exp 𝑖𝛽𝑧 ; 𝜌 > 𝑎
 
𝐸𝜌 = 
𝑖
𝑝2
𝛽
𝜕𝐸𝑧
𝜕𝜌
+ 𝜇0
𝜔
𝜌
𝜕𝐻𝑧
𝜕𝜑
 
𝐸𝜑 = 
𝑖
𝑝2
𝛽
𝜌
𝜕𝐸𝑧
𝜕𝜑
− 𝜇0𝜔
𝜕𝐻𝑧
𝜕𝜌
 
  a 
𝐸𝑥 = 𝐸0
𝐽0 𝑝𝜌 /𝐽0 𝑝𝑎 𝑒𝑥𝑝 𝑖𝛽𝑧 ; 𝜌 ≤ 𝑎
𝐾0 𝑞𝜌 /𝐾0 𝑞𝑎 𝑒𝑥𝑝 𝑖𝛽𝑧 ; 𝜌 > 𝑎
 
𝐸𝑦 = 0 
𝐸𝑧 ≈ 0 
𝐻𝑦 = 𝑛 
𝜀0
𝜇0
1/2
𝐸𝑥 
𝐻𝑥 = 0 
𝐻𝑧 ≈ 0 
Modo linearmente polarizado 
Tamanho do feixe na fibra óptica monomodo 
Perfil do campo: Aproximação de função Gaussiana: 
Expressão analítica para o tamanho do feixe 
Área efetiva do feixe 
Fator de confinamento 
Curva do tamanho normalizado do feixe em 
função da frequência normalizada 
𝑉 = 2 
?
 Γ = 0,75 
𝑉 = 1 
?
 Γ = 0,2 
Fibras para telecomunicação 
2 < 𝑉 < 2,4 
Índice de refração de grupo depende 
da frequência do sinal: 
Processos de Dispersão nas Fibras Ópticas 
Dispersão de velocidade de grupo : “GVD” 
Velocidade de grupo: 𝑣𝑔 = 
𝑑𝛽
𝑑𝜔
−1
= 
𝑐
𝑛𝑔
 
Alargamento do sinal pulsado 
: Parâmetro GVD 
 L: comprimento da fibra 
Δω: Largura espectral do pulso 
Processos de Dispersão nas Fibras Ópticas 
Dispersão de velocidade de grupo : “GVD” 
Alargamento do sinal pulsado: 
Parâmetro de dispersão: [ps/Km-nm] 
Efeito da dispersão na taxa de transmissão de bits 
𝐵𝑇 < 1; 𝐵𝐿 𝐷  < 1 
Fibra de sílica: D = 1ps/Km-nm 
Laser de semicondutor:  = 2 -4 nm 
BL < 500 (Gb/s) - Km 
Processos de Dispersão nas Fibras Ópticas 
Dispersão de velocidade de grupo : “GVD” 
Dispersão do material Dispersão da onda guiada 
Dispersão do material 
Processos de Dispersão nas Fibras Ópticas 
Dispersão de velocidade de grupo : “GVD” 
Variação do índice de refração “n” e índice de refração de 
grupo “ng” em função do comprimento de onda da luz 
para a sílica (Fused silica) 
𝑛𝑔 = 𝑛 + 𝜔
𝑑𝑛
𝑑𝜔
 
𝐷𝑀 = 
1
𝑐
𝑑𝑛𝑔
𝑑λ
 
𝐷𝑀 = 122 1 −
λ𝑍𝐷
λ
 
𝐷𝑀 λ𝑍𝐷 = 0 
Índice de refração do 
material 
Índice de refração de 
grupo 
Dispersão do material 
Dispersão do material 
obtida a partir das 
curvas da Figura 
λ𝑍𝐷 = 1,276 𝜇𝑚 Comprimento de onda 
para dispersão zero 
Dispersão de onda guiada 
Processos de Dispersão nas Fibras Ópticas 
Dispersão de velocidade de grupo : “GVD” 
DW < 0 (negativo) 
Curva valida no intervalo de comprimento de 
onda da luz compreendida entre 0 e 1,6 m 
Comportamento da Dispersão Total (GVD) 
Processos de Dispersão nas Fibras Ópticas 
• DW desloca ZD em 30 a 40 nm 
 
• Valores típicos em 1,55 m: D = 15 a 18 ps/(Km-nm) 
 
• Faixa de operação dos sistemas de comunicação óptica: 
1,3 – 1,6 m (DW < 0) 
 
• DW = DW(a,)  ZD pode ser deslocado por exemplo 
para 1,55 m: Fibra com deslocamento de dispersão 
 
• Projeto de fibra com  pequeno na faixa de 1,3 a 1,6 m 
 Fibra com dispersão achatada. 
 
Curvas da dispersão total, dispersão do material 
e dispersão de onda guiada respectivamente 
Curvas típicas da dispersão total fibras ópticas padrões, 
com deslocamento de dispersão e com dispersão 
achatada respectivamente. 
Processos de Dispersão nas Fibras Ópticas 
Dispersão de ordem superior 
Processo de terceira ordem governados por: 
Dispersão diferencial: 
Parâmetro de dispersão de terceira ordem: 
Limite do produto taxa de bits - distância “BL”: 
Exemplo: 
 = 2 nm (laser de semiconductor 
 = 1,55 m 
S= 0.05ps/(Km-nm2) BL = 5 (Tb/s)-Km 
Características de algumas fibras ópticas comerciais 
Processos de Dispersão nas Fibras Ópticas 
• Birrefringência: Índice de refração depende da direção promove batimento da intensidade do 
campo 
• Grau da birrefringência modal: 
• Período do comprimento do batimento: 
Processos de Dispersão nas Fibras Ópticas 
Efeito birrefringente 
Dispersão de modo-polarização: Efeito birrefringente 
Defeitos geométricos originam efeitos birrefringentes randômicos 
Degradação do pulso: efeito de aumento da largura do pulso 
Minimizar a degradação introduzindo birrefringência alta: Bm = 10
-4 
Processos de Dispersão nas Fibras Ópticas 
∆𝜏
𝐿
=
𝐵𝑚
𝑐
 
Dispersão birrefringente 
Valores típicos 
𝐵𝑚 = 10
−7 
∆𝜏
𝐿
= 3,3 𝑝𝑠/𝐾𝑚 
• Fibras com birrefringência constante: Tempo de retardo 
• Fibras ópticas com birrefringência randômica Induzem alargamento do pulso 
• Modelagem: seções pequenas de fibra com birrefringência definida e 
randômica entre seções: (T: alargamento do pulso) 
Similar ao da fibra com birrefringência constante 
Dispersão de modo-polarização: Efeito birrefringente 
Processos de Dispersão nas Fibras Ópticas 
T/L ate 1 ns/Km 
lc: Comprimento de correlação 
Dp: Parâmetro de dispersão modo polarização (PMD) 
𝐷𝑝 = 0.01 𝑎 10
𝑝𝑠
𝐾𝑚
 
 
Fibras modernas: 𝐷𝑝 < 0.1
𝑝𝑠
𝐾𝑚
 
Equações básicas de propagação: fibras mono-modo 
Limitações induzidas pela dispersão 
Onde: 
Equação básica de propagação 
Característica de um pulso com batimento 
Limitações induzidas pela dispersão 
Amplitude de um pulso com batimento: 
Transformada de Fourier: 
batimento 
Largura média espectral: 
Conclusão: A largura do pulso é magnificado por um fator igual a 𝟏 + 𝑪𝟐
𝟏/𝟐
 
Solução para 3 = 0: 
O batimento muda: 
Propagação de pulsos com batimento (CHIRP) 
Limitações induzidas pela dispersão 
Solução da equação de propagação: 
Conclusão: O pulso Gaussiano permanece Gaussiano durante a propagação, a largura 
e amplitude do pulso mudam segundo Q(z). 
Para: 
Expressão geral do alargamento do pulso para uma fibra monomodo de comprimento igual a L: 
Fator de alargamento do pulso: 
Propagação de pulsos com batimento (CHIRP) 
Limitações induzidas pela dispersão 
Comprimento de dispersão 
Fonte com largura espectral grande: 
Para o sistema operado em   ZD 
Então podemos considera 𝛽3 ≈ 0, 𝐶 = 0 
Propagação de pulsos com batimento (CHIRP) 
Limitação na taxa de dados “B” 
Limitações induzidas pela dispersão 
e 
Para o sistema operado em  = ZD 
Então podemos considera 𝛽3 ≠ 0 
Fonte com largura espectral estreita: 
Para o sistema operado em   ZD 
Então podemos considera 𝛽3 ≈ 0, 𝐶 = 0 
Para o sistema operado em  = ZD 
Então podemos considera 𝛽3 ≠ 0 
Propagação de pulsos com batimento (CHIRP) 
Limitação na taxa de dados “B” 
Limitações induzidas pela dispersão 
Curvas características da taxa de bits em função do comprimento da fibra para 
diferente larguras espectrais da fonte 
Propagação de pulsos com batimento (CHIRP) 
Limitação na taxa de dados “B”: efeito da frequência 
de batimento 
Limitações induzidas pela dispersão 
Largura de Banda das Fibras Ópticas 
Resposta de um sistema linear: 
Resposta para uma função de entrada impulso (t): 
Função de transferência espectral: (Filtro passa banda) 
Largura da Banda da fibra óptica: f3dB 
Função de transferência para um 
espectro Gaussiano (h(t) Gaussiano): 
Para Sistemas com   ZD  f1 << f2 Para Sistemas com  = ZD  f1  
Perdas nas Fibras Ópticas 
Coeficiente de atenuação: 
Lei de Beer: 
Potência na entrada da fibra 
Potência na saída da fibra 
Contribuições dominantes para 
o coeficiente de atenuação: 
• Espalhamento Rayleigh 
• Imperfeições geométricas da fibra óptica 
• Absorção do material 
Coeficiente de atenuação para a sílica em  = 1,55 m : 𝛼 = 0,16 𝑑𝐵/𝐾𝑚 
Espalhamento Rayleigh 
𝛼𝑅 = 𝑐 
4 
Flutuações randômicas do índice 
de refração: 
c= 0,7 a 0,9 (dB/Km)-m4𝜶𝑹 = 𝟎, 𝟏𝟐 𝒂 𝟎, 𝟏𝟔 𝒅𝑩/𝑲𝒎 
Para  = 1,55 m 
Imperfeições Geométricas 
Variação de forma (núcleo/cda externa): Espalhamento 
Mie 
Para 1% de variação:  < 0.03 dB/Km 
Deformação de curvatura 
𝜶 ~𝐞𝐱𝐩 (−𝑹 𝑹𝒄) 
R: Raio de curvatura 
𝑅𝑐 = 𝑎 𝑛1
2 − 𝑛2
2 
Fibra monomodo 
Rc = 0,2 – 0,4 m, R=5 mm 
 < 0,01 dB/Km 
Perdas nas Fibras Ópticas 
Curvas espectrais típicas da perdas em uma fibra óptica monomodo 
Curvas espectrais de atenuação e dispersão para a fibra 
monomodo convencional e fibra seca respectivamente