Matematica modulo 7 8

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Centro Estadual de Educação Supletiva 
de Votorantim 
 
2
MÓDULO 7 
OBJETIVOS: 
- Adquirir conceitos de múltiplos, divisores e números primos; 
- Efetuar decomposição e mínimo múltiplo comum; 
- Conceituar, identificar e representar frações; 
- Associar fração como divisão de dois números; 
- Operar com frações (adição, subtração, multiplicação e divisão); 
- Aplicar as técnicas de operações com frações na resolução de 
situações - problemas. 
ROTEIRO DE ESTUDO: 
- leia com atenção e observe as resoluções dos exemplos; 
- faça os exercícios do módulo no caderno seguindo a seqüência 
de estudo; 
- confira as respostas no gabarito. 
NÃO ESCREVA NA APOSTILA. FAÇA OS EXERCÍCIOS EM SEU 
CADERNO. 
MÚLTIPLOS ( M ) E DIVISORES ( D ) 
 
3 
Duas frases pode ter o mesmo significado apesar de utilizarem 
palavras diferentes. 
Por exemplo: 
“Gabriel é filho de Marcelo”.Significa que “Marcelo é pai de Gabriel “ 
Na matemática isto também acontece como você pode ver no 
exemplo acima. 
Você sabe o que quer dizer divisível ? 
O conceito (idéia) de divisível vem da operação “divisão” 
Ex1 - 20 : 1 = 20 
 20 : 2 = 10 
 20 : 4 = 5 
 20 : 5 = 4 
 20 : 10 = 2 
20 : 20 = 1 
Ex 2 - Quais são os divisores do nº 42? 
É o conjunto D(42) = 1,2,3,6,7,14,21,42 
 Observe que nos dois exemplos o conjunto dos 
divisores começa com o nº 1 e termina no próprio nº. 
 EX 3 – E os divisores de 7? 
Conjunto D(7) = 1 , 7 pois 7 : 1 = 7 
 7 : 7 = 1 
Você reparou que no exemplo 3 os divisores são apenas dois: o nº 
1 e o próprio número? 
Você pode dizer que o nº 20 é 
divisível
 
por 1,2,4,5,10,20, pois em 
todas as divisões efetuadas o resto 
é zero ou 1,2,4,5,10,20 são divisores 
de 20. 
2 é divisor de 10 
significa 
10 é divisível por 2 
 é filho de 
 significa 
 é pai de 
 
4 
O nº que tem apenas 2 divisores ( o nº 1 e o próprio número) é 
chamado de NÚMERO PRIMO.
 
A seqüência de números primos é infinita. São eles: 
2,3,5,7,11,13,17,19,23,... 
Copie essa seqüência em seu caderno pois você vai usá-la mais 
adiante. 
MÚLTIPLOS 
São determinados efetuando a multiplicação do nº pela seqüência 
dos números naturais 0,1,2,3,4,5... 
EX 1 - Múltiplos de 5 ( começa sempre pelo nº zero) 
5 • 0 = 0 
5 • 1 = 5 
5 • 2 = 10 
5 • 3 = 15 
. . . 
. . . 
. . . 
portanto conjunto M5 = 0,5,10,15,20,... é infinito ( não tem fim) 
EX 2 – Qual o conjunto dos múltiplos de 3 
M3 = 0,3,6,9,12,15,18, ... seqüência de 3 em 3 
EX 3 – E o conjunto dos múltiplos de zero? 
M0 = 0 pois todo nº multiplicado por zero é zero. 
EXEMPLO PRÁTICO: 
 
5
Um bebê precisa mamar de 3 em 3 horas. Começa à zero hora. 
Quais serão os horários das mamadas do dia? 
M3 = 0,3,6,9,12,15,18,21,24 
Neste caso o conjunto dos múltiplos é finito pois o período foi pré 
determinado. 
DECOMPOSIÇÃO DE UM NÚMERO EM FATORES PRIMOS 
Decompor um número é escrever esse número em forma de 
multiplicação. 
EX 1 – decomponha o nº 12 
12 = 1 . 12 ou 
 2 . 6 ou 
 3 . 4 ou 
 2 . 2 . 3 
Você pode usar o método prático para efetuar a decomposição 
em fatores primos, dividindo o nº pela seqüência de nº primos já 
estudada anteriormente. 
Seqüência de nº primos 2,3,5,7,11,13,17,19,13,... 
EX 1 – Decomponha o nº 12 em fatores primos: 
 Divide apenas por nº primos. 
12 2 O resultado é escrito em forma de potência 
 6 2 
 3 3 R = 2² • 3 ( 2² porque é 2 • 2 ) 
1 
EX 2 – decomponha o nº 60 em fatores primos. 
 Método prático 
60 2 
30 2 
15 3 
 5 5 R = 2² . 3 . 5 
FATORES são os nº que se 
multiplicam. 
FATORES PRIMOS - 
multiplicação de nº primos. 
 
2² Divide o número por um número primo de 
modo que a divisão seja exata., 
O resultado da divisão escreve na linha 
debaixo, 
Divide novamente pelo mesmo número 
primo ou pelo próximo da seqüência 
 
6
EX 3 – decomponha o nº 108 
108 2 
54 2 
27 3 
 9 3 
 3 3 R = 2² . 3³ 
 1 não esqueça de escrever a resposta. 
Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C) 
 
 Menor múltiplo pertence a dois ou mais números 
Dado dois ou mais números você pode determinar qual é o menor 
múltiplo que pertence aos conjuntos dos múltiplos dos números dados. 
Qual é o mínimo múltiplo comum (m.m.c) dos números 12 e 4 
M12 = {0,12,24,36...} 
M4 = {0,4,8,12,16,20...} 
m.m.c (4,12) = 12 ( múltiplo que pertence aos dois números ) 
Unindo o conceito de múltiplo com a decomposição em fatores 
primos você pode usar uma técnica prática para calcular o m.m.c. 
EX. 1 4, 12 2 
 2, 6 2 
 1, 3 3 efetue a multiplicação 
 1, 1 12 = m.m.c 
Ex. 2 m.m.c (4,5,15) 
 4, 15, 5 2 Você percebeu que a divisão tem que 
 2, 15, 5 2 ser exata. Quando não der para dividir 
 1,15, 5 3 “ abaixa” o número. 
 1, 5, 5 5
 
 1, 1, 1 60 = m.m.c. 
APLICAÇÕES PRÁTICAS. 
2² 
 3³ 
 
7
1- Uma pessoa tem que tomar 3 remédios. Um de 2 em 2 horas; outro 
de 3 em 3 e o último de 4 em 4 horas. Após serem tomados à zero 
hora, depois de quanto tempo eles serão tomados novamente juntos? 
m.m.c (2,3,4) 2 , 3 , 4 2 
 1 , 3 , 2 2 
 1 , 3 , 1 3 
 1 , 1 , 1 12 
Depois de 12 horas. 
Resolva em seu caderno e confira as respostas pelo gabarito: 
1- Decomponha os nº 
a) 60 
b) 150 
c) 55 
2- Calcule o m.m.c. dos números: 
a) m.m.c. ( 12 , 8 ) c) m.mc.(6,3,9) e) m.m.c.( 8,5) 
b) m.m.c. ( 6 , 10 , 12 ) d) m.m.c.(10,8,160) f) m.m.c.( 2,3,6) 
3- Em um país as eleições para presidente são de 4 em 4 anos e para 
senadores de 6 em 6. 
Em 1990 houve eleição para os dois cargos. Depois de quanto tempo 
isto acontecerá novamente e em que ano? 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS - FRAÇÃO 
INTRODUÇÃO: 
 
8
Até agora você estudou e trabalhou com os números inteiros 
positivos e negativos. Agora, neste módulo você conhecerá os 
números fracionários, utilizados para representar quantidades não 
inteiras. 
O termo fração significa “pedaço” do inteiro dividido em partes 
iguais. 
Observe o exemplo: 
A figura abaixo representa um inteiro 
Dividindo-a em 3 partes iguais, cada uma desses partes (pedaço) 
representará a fração ( 
3
1 ) do inteiro. 
Observe os desenhos abaixo: 
 
 
 
3
1
 
3
2
 
3
3 
Observe que o número debaixomostra em quantas partes o 
inteiro foi dividido. E o número de cima quantas partes foram 
consideradas (pintadas). 
Cada número que compõe a fração recebe um nome especial. 
Ex.: 2 numerador (quantas partes considerei) 
 3 denominador (quantas partes o inteiro foi dividido) 
Agora é com você! Resolva os exercícios em seu caderno. 
4 - Veja a figura abaixo e responda:: 
É uma pizza dividida em 8 pedaços iguais. 
a) Qual a fração que representa 1 pedaço de 
pizza ? 
 
3
1
 ou 1/3 
 
9
b ) Na fração 
8
4
, quantas partes considerei? 
 c ) Qual é a fração que corresponde a pizza inteira? 
LEITURA:
 
Para ler uma fração você deve ler primeiro o numerador e depois 
o denominador. 
Observe: 
Ex.: 
5
3
 lê-se três quintos. 
Se o denominador for 2, lê-se meio (s) Ex 
2
3
 três meios 
Se o denominador for 3, lê-se terço (s) Ex 
3
2
 dois terços 
Se o denominador for 4, lê-se quarto (s) Ex 
4
1
 um quarto 
Se o denominador for 5, lê-se quinto (s) e assim por diante até o 
número 10 (décimo). A partir do número 11 fala-se o número 
acrescido da palavra “avos”. 
Exemplos: 
a) 4 = quatro onze avos b) 7 = sete treze avos 
 11 13 
FRAÇÃO É DIVISÃO:
 
O traço de fração ou barra ( 
 
) também significa “divisão” 
pois: 
4
4
 = 1 inteiro 4 4 
2
10
 = 5 inteiros 10 2 
 0 1 0 5 
SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES: 
Você pode simplificar uma fração, isto é, deixar os números 
menores, dividindo sucessivamente os termos (numerador e 
denominador) por um mesmo número. 
 
10
Observe: 48:2 = 24:2 = 12:2 = 6:3 = 2 
 
fração irredutível 
 72:2 36:2 18:2 9:3 3 
 FRAÇÕES SIMPLIFICADAS 
 ou 48:12 = 4:2 = 2 ou 48:24 = 2
 
 72:12 6:2 3 72:24 3 
Observe que há várias maneiras de se fazer a 
simplificação.Você pode utilizar o número que achar mais adequado 
desde que use sempre o mesmo número para dividir o denominador e 
o numerador e que o resultado seja sempre exato, não sobre resto nas 
divisões. 
Exercícios: Resolva em seu caderno e confira as respostas 
no gabarito : 
5-) Simplifique as frações até torná-las irredutíveis: 
a) 12 b) 9 c) 15 
 
16 18 20 
REDUÇÃO A UM MESMO DENOMINADOR: 
Há casos de frações cujos denominadores (n.º debaixo) são 
diferentes e precisam ser reduzidos (transformados) a um mesmo 
denominador. 
Para isso é necessário que você: 
1- Calcule o m.m.c. dos denominadores (você viu no início deste 
módulo ); 
2- O resultado do m.m.c. será o novo denominador; 
3- Divida o novo denominador pelo denominador de cada fração, 
4- Multiplique esse resultado pelos respectivos numeradores. 
Observe o exemplo abaixo: 
 Ex. Reduza ao mesmo denominador as frações: 
2 , 3 , 2
 
3 2 4 
Quando não 
dá mais para 
simplificar. 
 
 4º) Multiplica 2 , 3 , 2
 
 3 2 4 
 
 3º) Divide 
 8 , 18 , 6
 
 2º) 12 12 12 
2º
 
1º) m.m.c 3, 2, 4 2 
 3, 1, 2 2 
 3, 1,1 3 (multiplica) 
 1, 1, 1 12 
 novo denominador 
 
Modo prático 
Divide o novo denominador pelo nº 
 
 
11 
Resolva os exercícios em seu caderno e confira as respostas no 
gabarito. 
Exercícios: 
6-) Reduza ao mesmo denominador ( nº debaixo) as frações: 
a) 5 , 3 b) 7 , 2 , 5 c) 4 , 3 , 5 
 
 3 7 8 3 12 2 3 
 
Comparação de frações 
Comparar duas frações significa estabelecer uma relação de 
igualdade ( igual ) ou de desigualdade entre esses números. 
Para identificar a desigualdade você vai usar os símbolos < 
(menor) ou > (maior). 
1º caso: os números fracionários têm o mesmo denominador 
Observe os desenhos e compare:o pedaço “a” é maior (>) do que o 
pedaço “b” 
a) 
7 > 3 leia: sete oitavos é maior do que 
 8 8 três oitavos 
b) 
Observação: no exercício letra c, coloque o n.º 1 embaixo do 4 
como denominador para poder fazer a divisão 
 
7
 
8
 
3
 
8 
 
12
 
Quando duas frações têm o mesmo denominador, a maior é 
aquela que tem o maior numerador (nº de cima).. 
2º caso: os números fracionários têm denominadores diferentes: 
Para comparar é necessário que o inteiro esteja dividido na 
mesma quantidade de pedaços por isso, você deve reduzir ao mesmo 
denominador. 
 3 e 2 m.m.c de 6 e 3. = 6 6 , 3 3 
 3 6 3 2 , 1 2 
 
 6 1 6 
 3
 
 , 4 então 3 < 4 
 6 6 6 6 
 2
 
 3 
Exercícios: Faça em seu caderno e confira as respostas no gabarito. 
7-) Usando o conceito de igual, maior ou menor responda reduzindo 
ao mesmo denominador quando for necessário: 
a) Maria comeu 
3
2 de uma pizza e João comeu 
8
5
. Quem comeu 
menos? 
Para você responder com certeza terá que reduzir ao mesmo 
denominador as duas frações e depois compará-las. 
b) Complete com os sinais de igual (=), maior (>) ou menor ( < ) : 
I ) 3
 
------15 II ) 2
 
------ 1 III ) 2 ---- -7
 
 6 30 4 3 3 5 
Operações com frações: 
Você já aprendeu que fração é um número que representa 
parte(s) do inteiro. Agora você vai aprender a resolver situações 
problemas que envolvem números fracionários. Para isso terá 
que saber operar (fazer conta) com esses números. 
Adição e Subtração de Frações 
Quando vamos efetuar uma soma ou uma subtração de frações 
devemos considerar dois casos: 
 
13
1º caso – As frações têm o mesmo número em baixo, ou 
seja, mesmo denominadores: 
Exemplo: 
 Uma pizza foi dividida em 3 pedaços iguais. João comeu dois 
pedaços. Quanto sobrou? 
 3 
 
- 2 = 1
 
 3 3 3 
Logo, sobrou 1 da pizza. 
 3 
Conclusão: Quando as frações têm o mesmo denominador 
devemos somar ou subtrair apenas os números de cima, ou seja, 
os numeradores e manter o mesmo denominador. 
2º caso – As frações têm denominadores diferentes: 
TÉCNICA para ADIÇÃO e SUBTRAÇÃO 
1º) determine o m.m.c. dos denominadores (nºs debaixo) 
2º) o resultado do m.m.c. será o novo denominador 
3º) divida o novo denominador pelo nº debaixo e multiplique pelo nº 
de cima de cada fração 
4º) efetue a adição ou subtração dos numeradores (nºs de 
cima).conservando odenominador. 
Exemplo: 
Para fazer um trabalho escolar você usou dois terços de uma 
cartolina e sua irmã usou três quartos. Que fração de cartolina vocês 
dois usaram juntos? 
 
Resp: Usaram juntos 17 da cartolina ou 17 : 12 = 1,4 cartolinas. 
CONSIDERE A PIZZA 
INTEIRA COMO = 3
 
 3 
 
2 + 3 = 
3 4 
8 + 9 = 17
 
 12 12 12 
divide 
multiplica 
Você deve encontrar o m.m.c.
 
 dos denominadores 3 e 4 
3,4 2 
3,2 2 
3,1 3 2 •2 •3 =• m.m.c. = 12 
1,1 Observe as flechas ao lado. 
Elas mostram as operações que você 
deve fazer. 
 
 
14
 
 12 
Conclusão: Quando as frações têm denominadores 
diferentes, devemos primeiro reduzir as frações ao mesmo 
denominador para depois efetuar a soma ou subtração. 
Os dois exemplos a seguir mostram os dois casos e as 
maneiras diferentes de serem efetuados. 
1-) Um agricultor tem um sítio e quer plantar 
5
1
 da área com feijão e 
5
2
 com milho. Qual a fração que representará a área plantada? 
 
 Se você pensou 1 + 2 = 3 acertou! 
 5 5 5 
 ( se têm denominadores iguais, conserva o denominador e soma 
os numeradores.) 
2-) Esse mesmo agricultor após a colheita vai novamente plantar 
1/3 da área com feijão e 2/5 com milho. Qual a fração que 
representará a área plantada? 
Agora complicou! Você percebeu que os 
denominadores são diferentes portanto a área foi 
dividida em “pedaços de tamanhos diferentes. 
Pense. Você já aprendeu a fazer com que os 
denominadores fiquem iguais, então, calcule o m.m.c. 
dos denominadores. 
1 + 2 = 
3 5 para resolver reduza ao mesmo denominador: 
 3 , 5 3 
5 + 6 = 11 1 , 5 5 x
 
15 15 15 1 , 1 15 
Resposta. 
15
11
 é a fração que representará a área plantada. 
A subtração é efetuada usando a mesma regra da adição. 
3) Dos 
5
4 da área destinada ao plantio o agricultor vai deixar 
5
1 para 
plantar mandioca. Quanto irá sobrar para as outras plantações? 
4 – 1 = 3
 
Área destinada ao plantio 
 
 
Outras plantações
 
 
15
5 5 5 
 Resposta. 
5
3
 da área sobrará para as outras plantações. 
4) Dos 
4
2 da área destinada ao plantio o agricultor vai reservar 
5
1 para 
o pasto de animais. Qual a fração que representa a área destinada a 
outras plantações? 
2
 
– 1 = 4 , 5 2 
4 5 2 , 5 2 
 1 , 5 5
 
10
 
– 4 = 6 1 , 1 20 
20 20 20 
Resposta. Deixará 
20
6 ( simplificando por 2) a resposta será: 
10
3 para 
outras plantações. 
Para você fazer as adições e subtrações de frações negativas e 
positivas observe as regras dos sinais 
I-) Mesmo denominador. 
a-) 1 + 3 = 4 c-) 4 – 6 = –2
 
 6 6 6 5 5 5 
b-) 6 – 5 = 1 d-) –2 – 1 = –3 = -1 
 7 7 7 3 3 3 
Não se esqueça! 
Denominadores diferentes, 
calcule o m.m.c.para reduzir 
ao mesmo denominador 
 
O resultado foi 
negativo porque vale a 
regra de sinais onde o 
negativo é maior do 
que o positivo 
Quando o numerador 
é igual ao 
denominador a 
fração representa o 
inteiro, pois fazemos 
a divisão de 3 por 3 
= 1
 
“Juntando” duas frações 
negativas resulta negativo 
 
16 
 II -) Denominadores diferentes ( não esqueça do m.m.c. para 
reduzir ao mesmo denominador): 
a) 3 + 2 = b) -1 - 3 = 
 6 5 8 5 
 
30
15
+ 
30
12
 = 
30
27
 – 
40
5
 – 
40
24
 = – 
40
29
 
 
c) – 7 + 1 = 
 9 5 
– 
45
35
 + 
45
9
 = – 
45
26 
Exercícios: 
8) De acordo com o que você aprendeu até agora, resolva as adições 
e subtrações de frações: 
a) 1 + 4 = c) 9
 
- 2 = 
 3 3 2 3 
b) 7 + 2 = d) – 1
 
– 3 = 
 5 8 2 4 
Multiplicação de frações 
Regra Prática: 
- multiplique os numeradores (nºs de cima) 
- multiplique os denominadores (nºs debaixo) 
- observe os sinais das frações para usar a regra: 
sinais iguais resulta positivo 
sinais diferentes resulta negativo. 
1-) Um fazendeiro tem 5 fazendas. Dessas, 3 são produtivas. 
 7 
 Qual é a fração que representa toda a terra produtiva? 
Observe os sinais das frações: o negativo é 
maior do que o positivo portanto, “sobra” 
negativo. 
Ex: 
5
4
 • 
7
2
 = 
35
8 
– 
6
3
 • – 
5
8
 = + 
30
24 
 
17 
DICA IMPORTANTE! 
Quando aparece no problema a palavra “de”, “dessa”, a operação 
usada é a multiplicação e a resposta representa a fração em 
relação ao inteiro 
 
7
3
 de 5 então: 
7
3
 • 
1
5
= 
7
15
 Resposta: 
7
15
 representa a parte produtiva das 5 
 fazendas. 
 
2-) Um fazendeiro vai plantar 
5
3 da área da fazenda. Já plantou 
6
2 dessa
 
área com soja. Qual a fração que representa a área de 
plantação de soja em relação a área da fazenda? 
3 • 2 = 6 multiplique os numeradores 
5 6 30 multiplique os denominadores 
Resposta:A fração que representa a parte plantada com soja em 
relação a fazenda inteira é 
30
6
 ( ou simplificando por 6) apenas 
5
1
. 
Divisão de frações 
Regra Prática 
- Copie a primeira fração; 
- Mude o sinal de divisão ( : ) para o de multiplicação (•); 
- Copie a segunda fração invertendo os lugares do numerador com o 
denominador; 
- Multiplique os numeradores; 
- Multiplique os denominadores; 
- Observe os sinais das frações aplicando a regra de sinais que é a 
mesma da multiplicação. 
Exemplo: 
Nas operações com frações 
colocamos o n.º 1 embaixo do 
n.º inteiro 
 
18
1º) A metade (
2
1 ) da área de uma fazenda vai ser dividida em 6 
partes iguais. Qual a fração que representa cada parte? 
1
 
: 6 = 1 . 1 = 1 
 
2 1 2 6 12 
R. Cada parte é representada por 
12
1
. 
Exercícios: 
9) Efetue as multiplicações e divisões de frações: 
a) 2 • 5 = c) 2 : 1 = 
 3 8 5 3 
b) 1• 3 • 5 = d) 7 : 4 = 
 2 4 7 10 6 
Potenciação (multiplicação com o mesmo número) 
Regra prática 
- efetue a potenciação do numerador, multiplicando pelo mesmo 
número tantas vezes quanto for o número do expoente 
- efetue a potenciaçãodo denominador 
1-) Qual é a área de um quadrado cujo lado é ½ m de lado? 
 A área do quadrado é: A = L² 
½ m A = (1/2)² = 1² = 1• 1= 1 m² 
 2² 2•2 4 
Para efetuar a potenciação de fração você deve elevar o 
numerador e o denominador ao expoente dado e calcular o 
resultado: 
Observe que 
1-
 
a divisão foi transformada em 
multiplicação 
2- a segunda fração foi invertida 
 
 
19
Ex. 5 ³ = 5³ = 5 • 5• 5 = 125
 
 4 4³ 4 • 4 •4 64 
Radiciação de frações: 
Regra prática 
- Determinar a raiz do numerador; 
- Determinar a raiz do denominador . 
- 
Exemplo: 
16
9
= 
16
9
 = 
4
3
 pois 
4.4
3.3 
Exercícios: 
10) Calcule: 
a) 
2
5
2
= b)
3
10
7
 = 
c) 
16
9
= d) 
4
25
 = 
 
Usando o conceito de fração onde o denominador identifica em 
quantas partes está dividido o inteiro e o numerador quantas partes 
está sendo tomado. 
 Pense no problema abaixo e veja como foi resolvido. 
Uma granja tem 2400 aves. Destas 
5
3
 são galinhas. 
a)Qual a quantidade de galinhas? 
b) Qual a fração que representa os frangos? 
c) Qual a quantidade de frangos? 
Resolução: 
a) 2400 5 480 
480 x 3 
 
20
1440 galinhas 
 representa o inteiro 
b) 
5
5
 - 
5
3
 = 
5
2
 representa os frangos 
d) 2400 – 1440 = 960 frangos 
Você percebeu que para cada tipo de operação com 
frações há uma técnica específica. 
No quadro a seguir você terá um resumo dessas técnicas 
para usar em cada operação usada para resolver os 
exercícios e problemas a seguir. 
RESUMO DAS TÉCNICAS DE OPERAÇÕES DE FRAÇÕES 
 
: 
Adição e subtração 
(tem que ter o mesmo 
denominador) 
- m.m.c. dos denominadores 
- o resultado do m.m.c. será o 
novo denominador 
- divida o novo denominador 
pelo nº debaixo e multiplique 
pelo nº de cima de cada 
fração 
- efetue a adição ou subtração 
 
Divisão 
- copie a primeira fração 
- transforme a divisão em 
multiplicação 
- inverta a segunda fração 
- multiplique os numeradores 
- multiplique os denominadores 
 
21
dos numeradores 
conservando
 
o nº do 
denominador 
Multiplicação 
- multiplique os numeradores 
(nºs de cima) 
- multiplique os denominadores 
(nºs debaixo) 
- 
Potenciação 
- efetue a potenciação do 
numerador, multiplicando pelo 
mesmo número tantas vezes 
quanto for o número do 
expoente 
- efetue a potenciação do 
denominador 
Radiciação 
- determine a raiz do 
numerador 
- determine a raiz do 
denominador 
11) Resolva os problemas em seu caderno lembrando que cada 
operação com fração tem uma regra própria. Confira as respostas no 
gabarito: 
I) Um aluno já executou 
7
4
 da tarefa de matemática. Qual a fração 
da tarefa que resta fazer? 
 LEMBRE-SE!! 
 
A fração que representa o inteiro tem denominador 
igual ao numerador. Neste caso o inteiro é 
7
7 
II) Tenho uma divida de R$ 250,00. Já paguei 
10
7
. Quanto estou 
devendo? 
Observação: A dívida está dividida em 10 prestações 
 
 
22
III) Em uma panela há 
8
6 do Kg (quilograma) de pipoca estourada. 
Quero repartir (dividir) em saquinhos de 
4
1 do Kg. Quantos 
saquinhos devo comprar? 
IV) Em um pomar há três tipos de árvores frutíferas sendo que 
4
1 
são laranjeiras, 
5
2 são jabuticabeiras e 
10
2 são limoeiros. Qual a 
fração que corresponde ao total (soma) de árvores desse 
pomar? 
v-) João Carlos é operário e ganha R$ 1400,00 por mês. Gasta 
4
1 desse dinheiro com aluguel e 
5
2 (desse dinheiro) com a 
alimentação da família. 
a) Qual é a fração que representa o total de gastos de João 
Carlos ? 
b) Quanto dinheiro ela representa? 
c) Qual o valor do aluguel? (
4
1 desse dinheiro)? 
d) Quanto gasta com a alimentação? ( 
5
2 de R$1400,00) 
GABARITO 
1) a) 2² . 3 . 5 
 b) 2 . 3 . 5² 
 c) 5 . 11 
2) a) 24 c) 18 e) 40 
 b) 60 d) 160 f) 6 
3) 12 anos em 2002 
 
23
4) a)1/8 b ) 4 partes c ) 8/8 
5 ) a ) 3/4 b ) 1/2 c ) 3/4 
6 ) a ) 35 , 9
 
b ) 21, 16, 10
 
c) 24, 9,10
 
 21 21 24 24 24 6 6 6 
7) a ) João 
8) a) 
3
5 
 b)
40
66 
c)
6
23 d) -
4
5 
9) a)
24
10
 b) 
56
15
 c) 
5
6
 d) 
40
42 
10) a) 
25
4
 b) 
1000
343
 c) 
4
3
 d) 
2
5 
11) I ) 3/7 II ) R$ 75,00 III ) 3 saquinhos IV ) 17/20 
V ) a ) 
20
13
 b) R$ 910,00 c) R$ 350,00 d) R$ 560,00 
MÓDULO 8 
OBJETIVOS: 
No final desta Unidade de Ensino (U.E.), o aluno deverá : 
 
entender uma razão como o quociente de dois números 
racionais em que o segundo é diferente de zero; 
 
reconhecer se duas razões formam uma proporção; 
 
resolver problemas simples que envolvem escalas; 
 
24
Simplificando, isto é 
dividindo por um mesmo 
número
 
resolver uma situação problema envolvendo grandezas 
proporcionais, utilizando a regra de três; 
 
resolver problemas simples de porcentagem e problemas que 
envolvem cálculo de juros simples; 
ROTEIRO DE ESTUDO: 
- leia com atenção observando e acompanhando as 
resoluções dos exemplos. 
- faça os exercícios do módulo no caderno seguindo a 
seqüência de estudo, 
- confira as respostas no gabarito. 
NÃO ESCREVA NA APOSTILA. FAÇA OS EXERCÍCOS EM 
SEU CADERNO 
RAZÃO, UMA GRANDE INVENÇÃO 
Dos 50 alunos de uma sala de computação, 
20 são homens e 30 são mulheres. Qual é a 
relação entre o número de homens e o número 
de mulheres? 
número de homens = 20 : 10 = 2 
número de mulheres= 30: 10 3 
 
25
 
Você pode concluir que: 
- para cada 2 homens há 3 mulheres que estão na sala,ou o 
número de homens (2) está para o número de mulheres (3) ou 
simplesmente 2 está para 3. 
. 
A expressão 2 está para 3 é chamada de razão entre 2 e 3 e é 
indicada por 
3
2
 ou 2 : 3. 
RAZÂO serve para comparar quantidades entre duas grandezas. 
No exemplo acima as duas grandezas são: HOMENS e MULHERES. 
Veja o exemplo abaixo: 
Se você comparar as 
quantidades de gatos com as 
quantidade de cães, você têm as 
grandezas: GATOS e CÃES e a 
razão 
4
3 ou seja: três está para 
quatro(para cada 3 gatos têm 4 
cães) 
EXERCÍCIOS: Resolva em seu caderno: 
1)Escreva a razão simplificando quando for possível: 
a) 20 para 50 b) 10 para 40 
2) Em um hospital tem 16 pacientes para 2 enfermeiros. Qual a 
razão entre o número de pacientes e o número de enfermeiros? 
RAZÕES INVERSAS 
Para determinar a razão entre o número de homens (20) e o 
número de mulheres (30) da sala de computação do primeiro 
exemplo, você fez 
30
20
, que depois de simplificado ficou a mesma 
coisa que 
3
2 (dois está para três). 
 
26
Se você quer determinar a razão entre o número de mulheres (30) 
e o número de homens (20), é só fazer 
20
30
, que simplificandopor 10 é 
a mesma coisa de 
2
3 (três está para dois). 
As razões 
2
3
 e 
3
2
 são chamadas de inversas entre si. 
O produto (multiplicação) de duas razões inversas é igual a 1. 
2
3
•
3
2
= 
6
6
 = 1 
 
EXERCÍCIO: 
3) Pedro fez uma prova que continha 10 questões de Português e 20 
de Matemática. 
a) Qual a razão entre as questões de Português e Matemática? 
b) Qual a razão entre as questões de Matemática e Português? 
4) Ache a razão inversa de: 
a) 3 b) 2 : 5 c) 4 : 1 
 4 
ALGUMAS RAZÕES ESPECIAIS 
Você já deve ter ouvido falar ou lido em algum lugar os termos 
velocidade média, densidade demográfica e escala. 
Na verdade, elas são razões especiais, que utilizamos com 
freqüência no dia-a-dia. Vamos então ver qual o significado de cada 
uma. 
VELOCIDADE MÉDIA 
Velocidade média de um móvel é a razão entre o espaço 
percorrido e o tempo gasto para percorrê-lo. 
EXEMPLO: 
A velocidade média de um carro que percorre 300 Km em 5 horas 
é dada pela razão: 
 
27
horas
km
5
300
= simplificando por 5 = 
hora
km
1
60 ou 60 Km/h (sessenta km por 
hora) 
 
EXERCÍCIOS: 
5)Calcule a velocidade média de um carro que percorreu 210 Km 
em 3 horas. 
DENSIDADE DEMOGRÁFICA 
Densidade demográfica é a razão entre o número de habitantes de 
uma região e a área dessa região. 
Exemplo: A cidade de Votorantim (SP) tem uma área aproximada 
de 177Km² e segundo os dados de 2003 do IBGE a população 
está aproximada em 110000 habitantes. Portanto, a densidade 
demográfica de Votorantim é dada por: 
 População = 110000 = 621 hab/Km² 
 Área 177 
110000 177 faça esta operação na calculadora 
EXERCÍCIO: 
6) O censo de 2000 estimou a população do estado de 
São Paulo em 36351316 habitantes. Calcule a densidade demográfica 
desse estado da região Sudeste, sabendo que a área total é de 
248811Km². 
Faça na calculadora. 
ESCALA 
Escala é a razão entre a medida do comprimento no desenho e 
a medida do comprimento real. 
Isto significa 
que têm 621 hab. 
em 1 Km² 
 
 
28 
Exemplo: 
Se a planta ou croqui (desenho) de uma casa está na escala de 1:100 
ou 
100
1 (1 para 100), significa que para cada 1cm do desenho 
corresponde a 100 cm na dimensão real. 
Observe:
 
A planta a seguir foi desenhada na escala 1:100cm: 
 
 
Agora, responda: 
Quais são as dimensões reais (comprimento e largura) da cozinha, 
da sala e do quarto A dessa casa. 
Se você respondeu que as dimensões reais da cozinha são 3m 
por 6m, da sala são 6m por 3,5m e do quarto são 3m por 2,5m, 
acertou!!! 
PROPORCIONALIDADE 
A proporção no dia-a-dia 
Fernando e Alex apostaram juntos numa loteria esportiva e foram 
premiados. Como eles devem dividir o prêmio de R$ 500 000,00, se 
as importâncias que Fernando e Alex apostaram estão na razão 2 
para 3? 
 
quarto A 
banh. 
2,5cm 
 sala 
 
2,5cm 
 
cozinha
 
quarto B 
 
 
3cm
 
Lembre-se!! 
100cm=1m 
6cm 
1cm corredor
 
4,5cm
 
3,5cm
 
6cm
 
3cm 1,5cm 
 
29
Você observou que o 
resultado da divisões (3:4 e 
6:8) são iguais? 
Isto mostra que as fotos tem 
tamanhos proporcionais. 
Como as quantias que eles apostaram estão na razão de 
3
2 é fácil 
concluir que: 
- Fernando vai receber 2 partes portanto R$ 200 000,00 
- Alex vai receber 3 partes portanto R$ 300 000,00. 
A igualdade entre as razões 
3
2
 = 
300000
,200000
 é uma proporção. 
A proporção também pode ser indicada da seguinte maneira: 
2 : 3 = 200000,00 : 300000,00 
Veja um exemplo prático de proporção: 
Você sabe que uma foto 3 X 4 tem 3cm de base (largura) e 4 cm 
de altura (comprimento) . Do mesmo modo, uma foto 6 X 8 tem 6 cm 
de base e 8 cm de altura. 
Observe as fotos da figura abaixo: 
Qual é a razão entre a base e a altura da foto menor? E entre a 
base e a altura da foto maior? 
Base da foto menor = 3 = 0,75 (3 dividido por 4) 
Altura da foto menor 4 
Base da foto maior = 6 = 0,75 
Altura da base maior 8 
Como 
4
3 
= 
8
6
, ou seja, três está para quatro assim como seis está 
para oito, podemos concluir que existe uma proporção entre as 
medidas das duas fotos. 
 
 
30
 
A igualdade entre as razões 
4
3
 = 
8
6
 forma uma proporção. 
Na proporção 3 : 4 = 6 : 8, os números e 4 e 6 são chamados de 
meios: e 3 e 8 são chamados de extremos 
 
 
 
DESAFIO: 
Medindo os lados das 2 fotos, verifique se elas são proporcionais 
(use a régua) e responda as questões abaixo: 
a) Os lados são proporcionais? . 
......... 
b) ABCD é ampliação de EFGH? .... 
 
31 
Propriedade fundamental das proporções 
Em toda proporção, o produto (multiplicação) dos meios é 
igual ao produto dos extremos. 
Exemplo: 
3 = 6 
 
4 8 O produto dos extremos é 3 • 8 = 24 
 O produto dos meios é 4 • 6 = 24 
Os dois produtos são iguais portanto, formam uma proporção. 
EXERCÍCIO: (Faça em seu caderno) 
7) Verifique se as razões formam uma proporção. Utilize a propriedade 
fundamental das proporções: 
a) 2 e 10 b) 2 = 3
 
 5 25 8 4 
CÁLCULO DE UM TERMO DESCONHECIDO OU APLICAÇÃO 
DA “ REGRA DE TRÊS” 
Com a propriedade fundamental das proporções (o produto dos 
meios é igual ao produto dos extremos), tornou-se simples 
determinar o valor desconhecido de um dos termos da 
proporção. 
Veja qual o valor de X (termo desconhecido) nas proporções a 
seguir: 
a) 3 = X 
 
Multiplique 
cruzado 
 
32
 4 8 
Pela propriedade fundamental: Produto dos meios = produto dos 
extremos 
 4 . X = 3 . 8 (calculando o valor de X) 
Então: 4 . X = 24 
 X = 24 : 4 
 X = 6 
EXERCÍCIO:Resolva em seu caderno 
8) Copie e calcule em seu caderno o valor desconhecido (X) nas 
proporções: 
a) 2 = X c) 12 = 15
 
8 12 X 5 
b) 5 = 25 d) X = 9
 
 
 6 X 6 2 
GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS 
O que são grandezas diretamente proporcionais? 
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando ambas 
aumentam ou diminuem seus valores ou quantidades. 
1 º Exemplo: 
Se um padeiro faz 60 pães com 5 Kg de farinha, quantos pães 
ele fará com 8 Kg de farinha? 
É fácil perceber que, aumentando a quantidade de farinha 
(primeira grandeza), a quantidade de pães (segunda grandeza) 
também aumentará. 
Use a operação inversa 
da multiplicação que é a 
divisão. 
 
33
Logo, as duas grandezas:quantidade de farinha de trigo e 
quantidade de pães são diretamente proporcionais. 
Para resolver esse problema você deve: 
- montar uma tabela com duas colunascorrespondentes a cada 
grandeza; 
- escrever os números nas respectivas colunas; 
- analisar se as grandezas são diretamente ou inversamente 
proporcionais; 
- resolver para calcular o termo desconhecido. 
Veja a montagem: 
Quantidade de pães Quantidade de farinha 
 60 5 Kg 
 X terá que aumentar 8 Kg aumentou 
 
Assim, podemos escrever a seguinte proporção: 
X
60
 = 
8
5 
Aplicando a propriedade fundamental das proporções, temos: 
 60 = 5 5• X = 60 • 8 
 X 8 5• X = 480 
 X = 480 X = 96 
 5 
Com 5 Kg de farinha o padeiro fará 96 pães 
2º Exemplo: 
Um padeiro faz 80 pães com 20Kg de farinha de trigo. Quantos 
pães fará com 3 Kg de farinha? 
Quantidade de pães Quantidade de farinha 
 80 20 Kg 
 X terá que dimimuir 
 
 3 Kg diminuiu 
 
É fácil perceber que diminuindo a quantidade de farinha (primeira 
grandeza), a quantidade de pães (segunda grandeza) também 
diminuirá. 
As duas grandezas: quantidade de farinha de trigo e quantidade de 
pães são diretamente proporcionais. 
 
34
Então: 
X
80
 = 
3
20
 20 • X = 80 • 3 
 20 • X = 240 
 X = 
20
240
 X = 12 
O padeiro fará 12 pães. 
EXERCÍCIOS: Resolva em seu caderno. 
9) Resolva os problemas de acordo com os exemplos: 
a) Roberto comprou 15 lápis por R$ 5,00. Se comprasse 36 lápis, 
quanto pagaria? 
b) Uma torneira leva 5 horas para encher uma caixa d’água de 
1000 litros de capacidade. Quantas horas levará essa torneira para 
encher uma caixa d’água de 3000 litros de capacidade? 
 GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS 
O que são grandezas inversamente proporcionais? 
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando uma 
grandeza aumenta e a outra diminui ou vice-versa: uma diminui e a 
outra aumenta. 
1º Exemplo: 
Mário fez uma viagem de carro em 20 horas com uma 
velocidade média de 60Km/h. Qual será a velocidade média para 
fazer essa mesma viagem em 15 horas? 
 Tempo gasto (h) Velocidade média 
(Km/h) 
 20 60 
 15 diminuiu X terá que aumentar 
 
Observe que: 
Duas grandezas são diretamente proporcionais 
quando as duas aumentam ou as duas 
diminuem. 
 
35 
Você percebeu que para diminuir o tempo de viagem (horas) a 
velocidade média do carro deve aumentar portanto enquanto 
uma grandeza diminui a outra grandeza aumenta. 
Dizemos então, que as grandezas velocidade e tempo são 
inversamente proporcionais. Para resolver o problema temos que 
inverter uma das razões correspondente a uma das grandezas. 
Pode ser a coluna do X ou a outra. 
15
20
 = 
X
60
 invertendo uma das colunas 
20
15
 = 
X
60
 = 15 • X = 20 • 60 
 15 • X = 1200 
 X = 
15
1200
 então X = 80 
A velocidade média do carro será de 80Km/h. 
2º Exemplo: 
Para reformar a quadra de esportes de uma escola, 2 pedreiros vão 
trabalhar 24 dias. Em quantos dias 6 pedreiros poderão fazer esse 
mesmo serviço? 
Temos: 
 Número de 
pedreiros 
 Tempo (dias)
 
 2 24 
 6 X 
 
 aumentou diminuiu tem que inverter a razão 
Se você aumentar a quantidade de pedreiros vai diminuir a 
quantidade de dias gastos na reforma. 
Uma grandeza (pedreiros) está aumentando enquanto que a 
outra (dias) está diminuindo. 
 Uma grandeza é inversa da outra, 
logo são inversamente proporcionais. 
 
36 
Invertendo uma das razões da proporção 2 = 24 
 
 2 = X 6 X 
6 24 
6 • X = 2 • 24 
 
6 • X = 48 
 X = 
6
48
 X = 8 
 
Assim, 6 pedreiros podem fazer o mesmo serviço em 8 dias. 
ATENÇÃO! DICA IMPORTANTE! 
Quando uma das grandezas for o TEMPO (horas, dias, etc) 
geralmente é inversamente proporcional. 
EXERCÍCIOS: 
10) Resolva os problemas em seu caderno de acordo com os 
exemplos: 
a) 6 homens constroem uma casa em 90 dias. Quantos homens 
são necessários para construir essa casa em 60 dias, no mesmo 
ritmo de trabalho? 
b) Um automóvel a 50Km/h vai de uma cidade a outra em 6 horas. 
Qual deve ser a velocidade do automóvel para percorrer a mesma 
distância em 4 horas? 
PORCENTAGEM 
A expressão por cento é familiar. Você a vê, praticamente em 
todos os dias nos jornais e na televisão. 
A expressão por cento quer dizer “por um cento ou cem”. Assim 
quando você lê ou escuta uma afirmação como “grande liquidação 
de verão com 40 por cento de desconto em todos os artigos”, 
significa que você tem um desconto de 40 reais para cada 100 reais 
do preço do artigo. 
 
37
Isto nos leva então a estabelecer a razão 
100
40
. 
Assim : 40% é o mesmo que 
100
40 
Qual é o significado do símbolo %? 
O símbolo % usado nas manchetes desse jornal, significa por 
cento. Acompanhando um número indica a centésima parte desse 
número. 
Assim: 
6 % ou 
100
6
 = 0,06 
 
16,85% ou 
100
85,16
= 0,1685 
5,82% ou 
100
82,5
 = 0,0582 
 
Qual é o valor de 80% de 60? 
Veja o exemplo abaixo: 
Em uma partida de basquete Hortência acertou 80% dos 60 
arremessos que efetuou. Quantos arremessos ela acertou? 
Resolver esse problema significa responder a questão: Quanto vale 
80% de 60? 
Solução: 
Como 80% = 
100
80
 ou 0,80 você pode calcular usando a fração ou 
o nº decimal fazendo: 
100
80
 • 60 = 
100
4800
 = 48 ou 0,80 . 60 = 48 
Você também pode usar a regra de três ou propriedade 
fundamental da proporção 
 
38 
100
80
 = 
60
X
 
100 • X = 80 • 60 
100 • X = 480 
 X = 
100
480
 X = 48 
Hortência acertou 48 arremessos que correspondem aos 80%. 
EXERCÍCIOS: 
11) De acordo com o exemplo resolva os problemas de 
porcentagem: 
a) 70% dos alunos da classe de Laura sabem nadar. Quantos 
alunos sabem nadar, se a classe de Laura tem 40 alunos? 
b) De um total de 30 alunos, 20% foram reprovados. Quantos 
alunos foram reprovados? 
c) O preço de um aparelho de som é R$500,00. Durante uma 
liquidação, a loja anunciou um desconto de 20%. Nessas 
condições: 
 I) Qual é a quantia que corresponde ao desconto? 
II) Qual é o preço do aparelho com o desconto? 
Confira as respostas no final do módulo. 
JUROS 
Os juros fazem parte do nosso dia-a-dia 
Uma ótica está vendendo óculos nas seguintes condições: 
R$ 200,00 à vista ou em 4 parcelas de R$ 70,00. Desse modo o 
preço dessa mercadoria a prazo sobe. Por que isso acontece? 
O preço dessa mercadoria, à vista, é diferente do preço a prazo, 
porque estão sendo cobrados juros pelo parcelamento da dívida. 
O juro é uma compensação em dinheiro que a empresa cobra 
por estar parcelando a dívida para o cliente. 
No caso das aplicações financeiras (poupança), o cliente é que 
empresta dinheiro ao banco e, por esse empréstimo, recebe uma 
quantia de juros. 
 
39 
A dívida que uma pessoa contrai quando compra uma 
mercadoria a prazo ou, a quantia que investe quando faz uma 
aplicação financeira é chamada de capital. 
A soma do capitale juros é chamada de montante. 
Assim, podemos dizer que: 
Juro (j) é uma compensação para mais ou para menos, em 
dinheiro, que se paga ou que se recebe. 
O capital (c) é o dinheiro que se empresta ou que se pede 
emprestado. 
A taxa (i) é o índice de porcentagem que se paga ou que se recebe 
pelo aluguel do dinheiro. 
O tempo (t) é o tempo pelo qual o capital fica emprestado. 
Exemplo: 
Sérgio emprestou R$2 000,00 de um banco por 4 meses a uma 
taxa de 3% ao mês. 
a) Qual a quantia que ele pagará de juros? 
b) Qual o total que terá de pagar no final do empréstimo? 
Solução: 
a) Vamos calcular quanto de juros por mês: 
3% de 2000,00 = 3 = X ou 3 . 2000,00 
100 2000,00 100 
X = (3 . 2000,00) : 100 
X = 60,00 
Como o empréstimo foi feito em 4 meses, temos: 
 4 • 60,00 = 240,00 
b) Ao todo irá pagar: 
 
40
2000,00 + 240,00 = 2240,00 
R.: Sérgio pagará R$240,00 de juros num total de R$2 240,00. 
EXERCÍCIOS: 
12) Resolva em seu caderno os problemas e confira as respostas 
no final deste módulo: 
a) Qual o juro produzido por R$ 2800,00 em 3 meses da aplicação, 
a 7% ao mês? 
b) Marcos comprou uma bicicleta por R$ 180,00. Pagará em 6 
meses, por isso o vendedor cobrará juros à base de 3% ao mês. 
Quanto ele pagará de juros e qual o total que pagará pela bicicleta? 
GABARITO: 
1) a) 2 b) 1
 
 5 4 
2) 16 = 8 3) a) 10 = 1 b) 20 = 2 
2 20 2 10 
4) a) 4 b) 5 c) 1
 
 3 2 4 
5) 70 Km/h 
6) 146,1 hab/Km² 
7) a) Sim formam proporção, porque 50 = 50 
 
41
 b) Não formam proporção, porque 8 24 
 8) a) X = 3 c) X = 4 
 b) X = 30 d) X = 27 
8) a) Pagaria R$12,00 b) Levará 15 horas 
 
9) a) Pagaria R$12,00 b) Levará 15 horas 
10) a) São necessários 9 homens. 
 b) A velocidade deve ser de 75Km/h. 
11) a) Sabem nadar 28 alunos. 
 b) Foram reprovados 6 alunos. 
 c) I )desconto de R$100,00. 
 II ) Preço do aparelho R$ 400,00. 
12) a) Juro de R$ 588,00. 
 b)Pagará de juros R$ 32,40 e total de R$ 212,40. 
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