resistividade de um fio de níquel-cromo e ponte de wheatstone (1)

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS
DEPARTAMENTO DE FÍSICA
Resistividade de um fio de níquel-cromo e ponte de Wheatstone
Engenharia Química – Física Experimental III 
Maringá, PR
23/04/2014
INTRODUÇÃO
	A resistividade está presente em todo nosso cotidiano, não da forma como a mecânica está, pois de fato muitos dos fenômenos elétricos são invisíveis aos nossos olhos, ou estão dentro dos aparelhos eletrônicos em nossas casas, a forma como cada material reage a eletricidade cria o conceito de resistividade. A resistividade é especifica de cada material por sua capacidade de conter a corrente transmitida por entre seus átomos, criando então o conceito de resistência que depende também de fatores como comprimento e área da secção transversal. De modo que os objetivos deste experimento são: analisar a dependência da resistência de um fio condutor, com o comprimento e área de seção reta, calcular a resistividade de um fio de níquel-cromo e medir resistências pelo método da comparação, através da ponte de fio.
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
RESISTIVIDADE
	Para podermos avaliar a influência que os materiais de que são constituídos os corpos exercem sobre suas resistências elétricas, tomamos amostras dos mesmos com dimensões (comprimento e área de seção reta), escolhidas, todas na mesma temperatura, e medimos suas resistências. Os valores encontrados são resistências correspondentes a comprimentos e seção reta conhecidos, e como sabemos que a resistência é diretamente proporcional ao comprimento e inversamente proporcional à área de seção reta será fácil determinar a resistência de um corpo feito de um determinado material e com área de seção reta e comprimento conhecidos.
	Não é difícil concluir que a resistência de um corpo é diretamente proporcional à sua resistividade, que denominamos com a letra grega ρ.
	Do exposto acima, podemos escrever que:
 (2.1)
	Onde o índice “T”, indica a resistência de um corpo a uma determinada temperatura.
PONTE DE FIO (PONTE DE WHEATSTONE)
	A ponte de Wheatstone tradicional é um arranjo de resistores que não pode ser transformado em um resistor equivalente, como é o caso das associações comuns em série, paralelo ou mista. A resolução do circuito deve ser feita, entre outras possibilidades, pelas aplicações das leis de Kirchhoff. Todavia, é um circuito, cujo arranjo especial de resistores permite uma acurada medida da resistência ôhmica de resistores. 
Eis a configuração clássica:
Figura 1: Ponte de Wheatstone
	A ponte de Wheatstone é 'equilibrada' mediante o ajuste dos valores de resistência em R3 e R4 de modo que não flua corrente através do galvanômetro. Quando essa situação é conseguida, os potenciais elétricos em C e D tornam-se iguais (VC = VD) ou seja, UCD = 0 volts. Assim, como consequência, as diferenças de potenciais entre os terminais de R1 e R3 são iguais e, do mesmo modo, serão iguais entre si as diferenças de potenciais entre os terminais de R2 (no caso, Rx, a resistência incógnita) e R4. 
	A intensidade de corrente através de Rx é igual à aquela através de R1 (i2 = i1), assim como aquela através de R4 é igual à através de R3 (i4 = i3).
Assim, como já vimos que as d.d.p. sobre R1 e R3 são iguais, escrevemos: i1.R1 = i3.R3 . Do mesmo modo, como as d.d.p. entre Rx e R4 são iguais, escrevemos: i1.Rx = i3.R4 . Dividindo-se essas duas expressões, membro a membro, têm-se: 
 (2.2)
ou, para finalizar:    
 (2.3)
	Expressão que nos permite calcular Rx conhecendo-se os valores de R1, R3 e R4.
MÉTODO DE INVESTIGAÇÃO
Materiais Utilizados
Trena 5m;
Multímetro;
Cabos e jacarés;
Fonte de tensão;
Placa de Bornes
Galvanômetro de escala a , de forma a facilitar o encontro do ponto onde ;
Resistores;
Pontes de níquel-cromo: constituídas de um trilho de 1,20m graduado, com um terminal soldado em cada extremidade e um fio de níquel-cromo esticado e conectado entre os terminais;
Procedimentos
3.2.1.	Resistividade
Mediu-se a área da seção reta e calculou-se valor teórico da resistividade para o fio de níquel-cromo fornecido;
Com a função ohmímetro do multímetro, mediu-se a resistência do fio gradualmente a cada 20cm, partindo de um dos terminais;
Mediu-se a resistência correspondente a 1m de distância de um dos terminais para os 5 demais fios fornecidos;
	3.2.2.	Ponte de Wheatstone
Com a função ohmímetro do multímetro e a placa de Bornes, mediu-se a resistência experimental dos resistores;
Montou-se, com o auxílio da placa de Bornes, o circuito equivalente a aquele da Figura 1, incluindo a ponte de Wheatstone no sistema:
Figura 2: Determinação de resistores com a Ponte de Wheatstone
onde Rp é o resistor padrão escolhido e Rx o resistor a ser medido.
 3) Montado o sistema, deslizou-se a ponta de prova no trilho, observando a tendência do ponteiro do galvanômetro, tomando nota das distâncias dos terminais no ponto no qual esse indicasse zero.
 4) Repetiu-se o processo para todos os resistores, com excessão do de número 5.
RESULTADOS
Tabela 4.1 – Resistências dos resistores utilizados.
	Ordem
	R (kΩ)
	1
	(0,560±0,001)
	2
	(0,794±0,001)
	3
	(1,012±0,001)
	4
	(1,193±0,001)
	5*
	(2,194±0,001)
	6
	(2,196±0,001)
	7
	(3,96±0,01)
	8
	(6,92±0,01)
*Não foi utilizado, pois é igual ao resistor 6.
Tabela 4.2 – Dados de resistência para um fio de níquel-cromo (equipamento 9).
	L (cm)
	R (Ω)
	20
	(3,2±0,1)
	40
	(4,3±0,1)
	60
	(6,0±0,1)
	80
	(7,3±0,1)
	100
	(8,8±0,1)
	Diâmetro = (0,445±0,001) mm
	Área = (1,555x10-7) m2
Tabela 4.3 – Dados de resistência para outros fios.
	Equipamento
	R (Ω)
	Área de seção reta (m2)
	3
	(5,5±0,1)
	(2,957x10-7)
	18
	(5,5±0,1)
	(4,162x10-7)
	8
	(8,8±0,1)
	(1,626x10-7)
	7
	(10,4±0,1)
	(1,255x10-7)
	6
	(4,8±0,1)
	(5,039x10-7)
	L (cm) = (1,00±0,05)
	
	
Tabela 4.4 – Determinação do valor de resistores com a ponte de Wheatstone.
	Rx (Ω)
	Rpadrão (Ω)
	x (cm)
	(L-x) (cm)
	Desvio (%)
	(556±32)
	(794±1)
	(69,60±0,05)
	(48,80±0,05)
	0,71
	(802±83)
	(560±1)
	(48,70±0,05)
	(69,70±0,05)
	1,01
	(980±64)
	(1193±1)
	(65,00±0,05)
	(53,40±0,05)
	3,16
	(1207±107)
	(1012±1)
	(54,00±0,05)
	(64,40±0,05)
	1,17
	(2169±105)
	(3960±10)
	(76,50±0,05)
	(41,90±0,05)
	1,23
	(3922±482)
	(2196±1)
	(42,50±0,05)
	(75,90±0,05)
	0,96
	(6648±791)
	(3960±10)
	(44,20±0,05)
	(74,20±0,05)
	3,93
	L = (118,40±0,05) cm
	
	
	
	
ANÁLISE DOS RESULTADOS
RESISTIVIDADE DE UM FIO DE NÍQUEL-CROMO
	Utilizando os dados da Tabela 4.3 e fazendo um gráfico de R x A, temos:
Figura 5.2 - Gráfico R x A, obtido com os dados da Tabela 4.3.
	Verifica-se que a reta não se ajusta com os dados, pois o coeficiente R quadrado é 0,80. O próximo passo é verificar se a resistência é proporcional ao inverso da área. Com os dados da Tabela 4.3, vem:
Figura 5.3 - Gráfico R x A-1, obtido com os dados da Tabela 4.3.
	Neste caso, verifica-se que R é proporcional ao inverso da área, pois o coeficiente R quadrado (que quando mais próximo de 1, melhor é o ajuste da reta aos dados), é de 0,96. Portanto temos:
 (5.1)
 (5.2)
	A unidade de C é:
 (5.3)
	Sabendo disso, e que a unidade de resistividade é [Ω.m] e a de comprimento do fio é [m], concluímos que C é:
 (5.4)
	Então, aplicando a equação 5.4 na 5.2:
 (5.5)
	Para encontrar a resistividade (ρ), isolamos ρ na equação 5.4,como L = 1 m, a resistividade do fio de níquel-cromo é numéricamente igual à inclinação da reta na Figura 5.2:
ρ = (1,04x10-6) Ω.m
	Comparando com o valor teórico fornecido pelo equipamento (ρ = (1,14x10-6)), temos que o desvio percentual é de 8,77%. 
	O desvio não é o ideal, a provável causa é a composição de cada fio, não temos como garantir que todos os fios sejam compostos da mesma liga níquel-cromo, tanto que observamos dois fios com resistências iguais e áreas de seção reta completamente diferentes. Outra causa plausível é devido à oxidação, nos foi informado que as medidas teóricas originais de resistividade foram feitas no ano de 2004, portanto estes fios já estão há 10 anos expostos ao ar atmosférico, o fator determinante é o tempo de exposição ao ar, já que ligas de níquel-cromo são pouco reativas e tendem a sofrer mínima oxidação em temperaturas ambientes.
PONTE DE FIO DE NÍQUEL-CROMO
	Para calcular o valor da resistência elétrica do resistor desconhecido (Rx) basta ajustar o valor de pelo menos uma das três resistências de forma que o galvanômetro meça 0 Volt, situação na qual a relação de proporcionalidade da eq. 2.2 é respeitada.
	Utilizando a Lei de Kirchhoff das correntes pode-se encontrar a corrente nos nós C e D:
Então, A Lei de Kirchhoff das tensões é utilizada para encontrar a tensão nas malhas BCD e ACD:
Quando a ponte está em equilíbrio , logo o segundo conjunto de equações pode ser escrito como:
Assim, dividindo-se as equações e rearranjando tem-se:
Da Lei de Kirchhoff das correntes, e . Desta forma o valor desejado de pode ser calculado por:
 				(5.6)
Em nosso experimento, utilizamos as resistências que apresenta o fio de níquel-cromo em diferentes pontos como R1 e R2, um resistor padrão Rp no lugar de R3 e, a aquele cuja resistência desejamos calcular, o R4 da equação 5.6, chamaremos de Rx. Desta forma, de acordo com a eq. 5.5, considerando a distância entre o terminal esquerdo e a ponta de prova como , e aquela entre o terminal direito e a ponta como ,:
Substituindo em 5.6:
Usando Rp e Rx como R3 e R4,
 		 		 (5.7)
Conforme queríamos demonstrar.
O desvio percentual para as resistências calculadas desta forma se manteve abaixo de 4%. Parece-nos que este tende a ser maior quanto maior for a diferença entre a resistência padrão Rp e a resistência a ser calculada Rx. Contudo, haja vista a pequena quantidade de variáveis e a alta confiabilidade dos valores dados pelo ohmímetro para as resistências, A mais provável fonte de erro é a paralaxe, tanto para medir as distâncias L e x com a trena, quanto para observar o ponto no qual o galvanômetro zera.
BIBLIOGRAFIA
[1] HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; KRANE, K. S. Física 3. 5ª Ed. Rio de Janeiro, Editora LTC, 2011.
[2] CAVALCANTI, P. J. M. Fundamentos de eletrotécnica. 17ª Ed. Rio de Janeiro, Livraria Freitas Bastos S.A.