CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA (15)

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Vetores e Álgebra Vetorial Prof. Júlio César TOMIO 
 
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## RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS DO MATERIAL BÁSICO DE ESTUDO ## 
 
 LISTA DE EXERCÍCIOS – Operações com Vetores na Forma Algébrica [Analítica] no ℝ2 [página 27] 
 
5) Dados os vetores 
jiu

 2
 e 
iw

3
, determine 
t
 de modo que: 






 wutwut

4
3
2
1
5)24(3
 
RESOLUÇÃO: 
 
Inicialmente, antes de substituir os vetores 
jiu

 2
 e 
iw

3
 dados, vamos simplificar a expressão. Assim: 
 






 wutwut

4
3
2
1
5)24(3
  Eliminando os parênteses: 
 
wutwut

4
15
2
5
5243 
  Unindo os termos semelhantes: 
 
wwuutt

2
4
15
2
5
453 
  Realizando o m.m.c. no 2º membro da equação: 
 
4
8151016
8
wwuu
t

 

  Reunindo os termos semelhantes: 
 
4
2326
8
wu
t

 

  Isolando o vetor 
t
 : 
 
32
2326 wu
t

 

  Agora, substituindo os vetores 
)1,2( u

 e 
)0,3(w

: 
 
32
)0,3(23)1,2(26 
t

  Multiplicando os vetores pelos respectivos escalares: 
 
32
)0,69()26,52( 
t

  Subtraindo os vetores e “ajustando” a expressão: 
 
)26,121(
32
1
32
)26,121(


t

  Multiplicando o escalar pelo vetor: 
 







32
26
,
32
121
t

  Simplificando a coordenada “y”: 
 







16
13
,
32
121
t

  Temos o vetor 
t
 procurado! 
 
 
 
6) Determine algebricamente o vetor resultante nos casos a seguir e, ao final, represente-o graficamente: 
 
a) RESOLUÇÃO: 
 
Observando o gráfico dado no exercício, temos que: 
)3,0(u

 , 
)1,4( v

 , 
)2,0( t

 e 
)2,3( w

. 
 
E o vetor resultante procurado, que chamaremos de 
R
 , 
 
é dado por: 
wtvuR


. Assim: 
 
wtvuR


 
 
)2,3()2,0()1,4()3,0( R
 
 
)2,1( R
 
 
A representação gráfica de 
R
 está apresentada ao lado. 
 
1 
–2 
0 
R
 
y 
x 
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9 
y 
x 
T 
–12 O 
 LISTA DE EXERCÍCIOS – Paralelismo [ou Colinearidade] de Vetores [página 35] 
 
2) Dado o vetor 
w
 = (3, 2, 5), determinar “a” e “b” de modo que os vetores 
u

= (3, 2, –1) e 
v
 = (a, 6, b)+2
w
 
sejam paralelos. 
 
RESOLUÇÃO: 
 
Inicialmente, vamos calcular o vetor 
v
 . 
 
wbav

2),6,( 
  
)5,2,3.(2),6,(  bav

  
)10,4,6(),6,(  bav

  
)10,10,6(  bav

 
 
Agora, como os vetores 
u
 e 
v
 devem ser paralelos, aplicamos a condição de paralelismo: 
 
n
z
z
y
y
x
x
2
1
2
1
2
1

  
1
10
2
10
3
6



 ba
 Observe que: 
5n
 
 
Resolvendo a expressão separadamente, temos: 
 
 
2
10
3
6

a
 
1
10
2
10



b
 
 
30122 a
 
10202 b
 
 
182 a
 
302 b
 
 
9a
 
15b
  Que são os valores procurados! 
 
 
 
 LISTA DE EXERCÍCIOS – Cálculo do Módulo de um Vetor + Vetor Unitário [página 39] 
 
6) Calcule a distância do ponto T(–12, 9) à origem. 
 
RESOLUÇÃO: 
 
O problema solicita o cálculo da distância do ponto 
)9,12(T
 até a origem 
)0,0(O
. 
Aplicando a fórmula da distância entre dois pontos no 2R , teremos: 
 
22 )()( OTOTTO yyxxd 
 
22 )09()012( TOd
 
22581144 TOd
 
15TOd
uc 
 
Observe na representação abaixo, que a distância do ponto 
)9,12(T
 até a origem 
)0,0(O
 é, na verdade, o módulo do 
vetor posição 
OT
. Então poderíamos calcular diretamente, considerando o vetor posição 
)9,12(OT
. 
Assim: 
 
22 )9()12(|| OT
 
81144|| OT
 
15|| OT
  
15TOd
uc 
 
 
 
 
 
 
 
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P
 
T
 3 
P
 
T
 3 
9) Dados os pontos A(3 , m – 1, – 4) e B(8 , 2m – 1, m), determinar “m” de modo que 
35|AB| 
. 
 
RESOLUÇÃO: 
 
Inicialmente vamos definir o vetor 
AB
. Então: 
)4,,5()4,1,3(),12,8(  mmmmmABAB
 
 
Como 
)4,,5(  mmAB
 e 
35|| AB
, aplicando a fórmula do módulo de um vetor, teremos: 
 
222|| zyxAB 
  
222 )4()()5(35  mm
 
Desenvolvendo os quadrados... 
1682535 22  mmm
 
Elevando ambos os membros ao quadrado.... 
   222 418235  mm 
418235 2  mm
 
Organizando a equação do 2º grau... 
0682 2  mm
 
)2(
  
0342  mm
 
Resolvendo-a, teremos: 
3m
 e 
1m
. 
 
Logo, os valores procurados para 
m
 formam o conjunto solução 
}1,3{ S
. 
 
 
 
11) Obter um ponto P, do eixo das cotas, cuja distância ao ponto T(–1, 2, –2) seja igual a 3. 
 
RESOLUÇÃO: 
 
Este exercício tem duas maneiras diferentes para ser resolvido, embora utilizem o mesmo raciocínio. 
 
1ª MANEIRA: Se um ponto 
P
 pertence ao eixo da cotas (eixo “z”) então ele tem a forma: 
),0,0( zP
 
 
Temos então que: 
3PTd
, conforme o enunciado da questão. 
Aplicando a fórmula da distância entre dois pontos, teremos: 
222 )()()( TPTPTPPT zzyyxxd 
 
Então, substituindo os valores... 
222 )2()20()10(3  z
 
Desenvolvendo os quadrados... 
44413 2  zz
 (*) 
Elevando ambos os membros ao quadrado...  222 94)3(  zz 
949 2  zz
  
042  zz
 
Resolvendo a equação do 2º grau, encontramos: 
0z
 e 
4z
 
 
Logo, o ponto 
P
 poderá ser: 
)0,0,0(P
 ou 
)4,0,0( P
. 
 
 
2ª MANEIRA: Se um ponto 
P
 pertence ao eixo da cotas (eixo “z”) então ele tem a forma: 
),0,0( zP
 
 
Podemos considerar então o vetor 
TP
, entre os pontos dados, que escreveremos: 
 
)2,2,1()2,2,1(),0,0(  zzTPTP
 
 
A distância entre os pontos 
T
 e 
P
 também é o módulo do vetor 
TP
, ou seja, 
3||  TPdPT
. 
 
Aplicando a fórmula do módulo de um vetor, temos: 
222 )2()2()1(||  zTP
 
 
44413 2  zz
 
 
E aí segue que a resolução é idêntica à anterior partindo da equação (*) – veja acima. 
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A 
B C 
[Exercício Resolvido Bônus] Prove que o triângulo cujos vértices são os pontos A(0, 5), B(3, –2) e C(–3, –2) é 
isósceles; e calcule o seu perímetro. 
 
RESOLUÇÃO: 
 
Primeiramente, queremos provar que o triângulo ABC (veja o “esquema” ao lado) é isósceles. 
 
Podemos então considerar os vetores sobre seus lados: 
 
ABu 
 , 
BCv 
 e 
CAw 
 . 
 
Então: 
 
)5,0()2,3(  ABABu
  
)7,3( u

 
)2,3()2,3(  BCBCv
  
)0,6(v

 
)2,3()5,0( CACAw
  
)7,3(w

 
 
Calculando as distâncias através dos módulos dos vetores, temos: 
 
58499)7()3(|| 22  udAB
 
6036)0()6(|| 22  vdBC
 
58499)7()3(|| 22  wdCA
 
 
Como 
BCCAAB ddd 
 temos que o triângulo 
ABC
 é isósceles [como queríamos provar]. 
 
Agora, o seu perímetro 
)2( p
 é: 
 
586582  CABCAB dddp
  
ucp 58262 
 
 
 
 
16) Determine as distâncias do ponto P(1, – 4, –2) aos eixos coordenados x, y e z, representando “P” no ℝ3. 
 
RESOLUÇÃO: 
 
Inicialmente representaremos o ponto “P” no ℝ3. 
 
Veja: 
 
 
 
 
Para determinarmos as distâncias solicitadas no 
exercício em questão, poderíamos utilizar uma relação 
[no ℝ3] que calcule a distância entre um ponto “
P
” e 
uma reta qualquer (que neste caso seria um dos eixos 
coordenados 
x
, 
y
 ou 
z
). Entretanto, neste 
momento, ainda não conhecemos tal relação. Todavia 
temos que: 
 
A distância do ponto 
P
 ao eixo 
x
 será a distância do ponto 
)2,4,1( P
 ao ponto 
)0,0,1(xP
. 
A distância do ponto 
P
 ao eixo 
y
 será a distância do ponto 
)2,4,1( P
 ao ponto 
)0,4,0( yP
. 
A distância do ponto 
P
 ao eixo 
z
 será a distância do ponto 
)2,4,1( P
 ao ponto 
)2,0,0( zP
. 
Veja na figura 
a seguir! 
Note que, inicialmente, não sabemos 
quais os lados do triângulo têm o 
mesmo comprimento, e também não 
estamos preocupados com a posição 
desse triângulo no sistema de 
coordenadas cartesianas. 
 
Assim, o triângulo [acima] do nosso 
esquema de raciocínio é genérico! 
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Desta forma, teremos os vetores: 
 
)2,4,1()0,0,1(  PPPP xx
 
)2,4,0(xPP
 
 
)2,4,1()0,4,0(  PPPP yy
)2,0,1(yPP
 
 
)2,4,1()2,0,0(  PPPP zz
)0,4,1(zPP
 
 
 
 
 
Calculando as distâncias através dos módulos dos vetores, temos: 
 
204160)2()4()0(|| 222  xxeixoaoP PPd
  
ucd xeixoaoP 52
 
 
5401)2()0()1(|| 222  yyeixoaoP PPd
  
ucd yeixoaoP 5
 
 
170161)0()4()1(|| 222  zzeixoaoP PPd
  
ucd zeixoaoP 17
 
 
PS: uma “boa” observação no ℝ3 permite verificar os valores diretamente através do “Teorema de Pitágoras”. 
 
 
 LISTA DE EXERCÍCIOS – Versor de um Vetor [página 42] 
 
2) Determinar o valor de “a” para que 
u

= (a, –2a, 2a) seja um versor. 
 
RESOLUÇÃO: 
 
Para que um vetor qualquer seja um VERSOR, ele deverá inicialmente ser unitário, ou seja, ter módulo 1. 
 
Se o vetor 
),2,( aaau 

 é um VERSOR, então ele deverá ser unitário. 
 
Assim, aplicando a fórmula do módulo de um vetor unitário, teremos: 
 
1222  zyx
  
1)2()2()( 222  aaa
 
144 222  aaa
 
19 2 a
 
9
12 a
  
9
1
a
  
3
1
a
 
 
 
3) Dados os pontos A(1 , 2 , 3), B(–6 , –2 , 3) e C(1 , 2 , 1), determinar o versor do vetor 
w
 , tal que 
BC2BA3w 
 . 
 
RESOLUÇÃO: 
Precisamos definir o vetor 
w
 . Para isso, escreveremos inicialmente os vetores BA e BC . Assim: 
Px 
Py 
Pz 
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A 
B 
C 
10 10 
10 
60º 60º 
60º 
)0,4,7()3,2,6()3,2,1(  BABA
 
)2,4,7()3,2,6()1,2,1(  BCBC
 
Agora, calcularemos o vetor 
w
 , pois: BCBAw 23  
)2,4,7.(2)0,4,7.(3 w

 
)4,8,14()0,12,21( w

 
)4,4,7(w

 
 
O exercício solicita determinar o VERSOR de 
w
 . Então, aplicando a fórmula do VERSOR de um vetor, teremos: 
 
|| w
w
wvers 



 
981161649)4()4()7(|| 222 w
 
9
)4,4,7(
wvers

 







9
4
,
9
4
,
9
7
wvers

  Que é a resposta procurada! 
 
 
5) Determinar o vetor de módulo 5, paralelo ao vetor 
v
 = (1, –1, 2). 
 
RESOLUÇÃO: 
 
Inicialmente, vamos calcular o módulo do vetor dado 
v
 . 
 
222 )2()1()1(|| v
  
411|| v

  
6|| v
 
 
Agora, calcularemos o seu VERSOR, que é unitário (tem módulo 1), que tem mesma direção (paralelo) e mesmo sentido. 
 
|| v
v
vvers 



  
6
)2,1,1( 
vvers

  





 

6
2
,
6
1
,
6
1
vvers

 
 
Como queremos um vetor de módulo 5, multiplicamos o 
vvers

 por (5) e teremos o vetor pedido que chamaremos de 
t
 . 
 
vverst

.5
  





 

6
2
,
6
1
,
6
1
5t
  





 

6
10
,
6
5
,
6
5
t
 
 
Entretanto, como o sentido do vetor procurado 
t
 não foi definido no problema, poderíamos ter multiplicado o 
vvers

 por 
(–5), e assim teríamos um outro vetor que também satisfaz as condições dadas. Então: 
 
vverst

.5
  





 

6
10
,
6
5
,
6
5
t
 Portanto, os 2 vetores possíveis são: 







6
10
,
6
5
,
6
5


t
 
 
 
 LISTA DE EXERCÍCIOS – Produto Escalar [página 50] 
 
4) Os pontos A , B e C são vértices de um triângulo equilátero com lado de 10 cm. Calcule o produto escalar 
entre 
A B
 e 
A C
. 
 
RESOLUÇÃO: 
 
Observando o esquema ao lado, podemos escrever: 
 
cos.||.|| ACABACAB  
º60cos.10.10 ACAB
 
)2/1(.100 ACAB
 
50 ACAB
  Que é a resposta procurada! 
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Obs.: Vale lembrar que o vetor 
j
 é o 
VERSOR do eixo 
y
 e, portanto é fato 
que 
)0,1,0(j
 e 
1|| j
 , tornando 
o cálculo do seu módulo (ao lado) 
desnecessário. 
6) Calcular “n” para que seja de 30º o ângulo entre os vetores 
u
 = (1, n, 2) e 
j
 . 
 
RESOLUÇÃO: 
 
Inicialmente vamos calcular o módulo dos vetores 
u
 e 
j
 . Então: 
222 )2()()1(||  nu
 222 )0()1()0(|| j 
41|| 2  nu
 
222 )0()1()0(|| j
 
5|| 2  nu
 
1010|| j
 
1|| j
 
 
Agora, calcularemos o produto escalar entre os vetores 
u
 e 
j
 . Então: 
212121 zzyyxxju 

 
)0.(2)1.()0.(1  nju

 
00  nju

 
nju 

 
 
Como sabemos (pelo enunciado) que o ângulo 

 entre os vetores dados é de 30º, aplicamos os valores encontrados 
anteriormente na definição geométrica do produto escalar. Assim: 
 
cos.. juju  
 
 
º30cos).1.(52  nn
 
2
3
.52  nn
  
2
153 2 

n
n
  
1532 2  nn
   222 153)2(  nn 
 
1534 22  nn
  
152 n
  
15n
  Que é a resposta procurada! 
 
 
7) Dados os vetores 
a
 = (2, 1, m), 
b
 = (m+2, –5, 2) e 
c
 = (2m, 8, m), determinar o valor de “m” para que o 
vetor 
ba


 seja ortogonal ao vetor 
ac


. 
 
RESOLUÇÃO: 
 
Inicialmente vamos calcular os vetores 
ba


 e 
ac


. Então: 
 
)2,4,4()2,5,2(),1,2(  mmmmba
 
)0,7,22(),1,2(),8,2( mmmmac

 
 
Agora, para que dois vetores sejam ortogonais, o produto escalar entre eles deve ser ZERO. 
Conforme o enunciado 
)( ba



)( ac


, então 
0][][  acba
 . 
Aplicando a definição algébrica do produto escalar, teremos: 
 
 
212121][][ zzyyxxacba 
 
Substituindo os valores... 
)0).(2()7).(4()22).(4(0  mmm
 
Efetuando as multiplicações... 
02888220 2  mmm
 
Organizando... 
36620 2  mm
 
)2(
 
01832  mm
 
 
Resolvendo a equação do 2º grau, teremos: 
3m
 e 
6m
. 
 
Logo, os valores procurados para 
m
 formam o conjunto solução 
}3,6{S
. 
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9) Sabendo que o ângulo entre dois vetores 
)1,1,2( u

 e 
)2,1,1(  mv

 é 
3/
, determinar “
m
”. 
 
 
 
11) Qual o valor de “m” para que os vetores 
k4j5ima


 e 
k4j2i1)(mb


 sejam ortogonais? 
 
 
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13) Determinar um vetor unitário ortogonal ao vetor 
)1,1,2( v

. 
 
 
 
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15) Determinar o vetor 
v

, sabendo que 
5|| v

, 
v

 é ortogonal ao eixo 
Oz
, 
6wv

 e que 
kjw

32 
. 
 
 
 
19) Dados os vetores 
)12,,1(  aau

, 
)1,1,(  aav

 e 
)1,1,(  aw

, determine o valor de “
a
” de 
maneira que 
wvuvu

 )(
. 
 
 
 
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17) Na torre da figura ao lado [veja a figura no Material Básico de Estudo], determine o ângulo formado entre 
os cabos AB e AC, e o ângulo agudo que o cabo AD forma com a linha vertical.