Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
A colisão elástica de duas esferas rígidas Na postagem Seção de choque diferencial, considerei o problema da colisão elás- tica entre uma partícula pontual e uma esfera rígida de raio finito. No entanto, quando apresentei o conceito de seção de choque, na postagem Seções de choque, mencionei a colisão entre duas esferas rígidas de raios finitos. Na presente opor- tunidade, mostro como calcular a seção de choque diferencial clássica para a colisão elástica entre duas esferas rígidas, de raios finitos e, depois, por inte- gração, calculo a seção de choque total. Dessa forma, ilustro aqui os conceitos das duas postagens, Seção de choque diferencial e Seções de choque, em um caso mais complexo do que o de uma partícula incidente puntiforme. Para simpli- ficar, vou supor que a esfera alvo permanece sempre imóvel, na mesma posição, antes e depois da colisão. A primeira providência é expressar a relação entre o parâmetro de impacto, s, da esfera incidente, de raio r, e o ângulo de espalhamento para a colisão com a esfera alvo, de raio R. A Fig. 1 abaixo ilustra a situação inicial, em que a esfera incidente, verde, se aproxima com velocidade v da esfera alvo, vermelha. Note que, como na postagem Seções de choque, o parâmetro de impacto é a distância entre o centro da esfera alvo e a reta paralela ao vetor velocidade inicial e que, assintoticamente, passa pelo centro da esfera incidente. Veja também que adotei o eixo z como na postagem Seção de choque diferencial, com a origem do sistema de coordenadas escolhida no centro da esfera alvo. Figura 1: A situação inicial, em que a esfera incidente, verde, se aproxima com velocidade v da esfera alvo, vermelha. A Fig. 2 a seguir mostra a situação no instante em que a esfera incidente toca a superfície da esfera alvo. Veja que defini um sistema de coordenadas auxiliar em que o plano x′z′ é paralelo à velocidade inicial da esfera incidente e contém os centros das duas esferas, com a origem desse sistema auxiliar, O′, escolhida sobre o centro da esfera incidente neste instante da colisão. Além disso, em termos do ângulo de incidência, α, a velocidade inicial pode ser escrita como v = xˆ′ |v| senα+ zˆ′ |v| cosα, (1) onde xˆ′ e zˆ′ são os versores com os sentidos dos eixos auxiliares x′ e y′. 1 Figura 2: A situação no instante em que a esfera incidente toca a superfície da esfera alvo. Como a colisão é elástica, a componente normal da velocidade, |v| cosα, deve mudar de sinal após a colisão e a velocidade final da esfera verde fica v1 = xˆ ′ |v| senα− zˆ′ |v| cosα, (2) onde, como afirmado acima, estou supondo que a esfera alvo permanece sempre imóvel. A Fig. 3 ilustra, de forma ampliada, a geometria envolvida na obtenção da velocidade após a colisão. Fica evidente na Fig. 3 que a lei de reflexão para colisões elásticas decorre do fato de que, em uma colisão elástica, é a compo- nente normal da velocidade que sofre inversão de sentido, mas sem mudança de magnitude. Veja que essa lei vale tanto para o caso em que r é finito como para quando temos uma partícula incidente puntiforme, como é o caso apresentado no exemplo da postagem Seção de choque diferencial. Figura 3: Ampliação dos detalhes envolvidos na geometria que determina o vetor velocidade v1 após a colisão. 2 A Fig. 4 a seguir mostra a esfera verde seguindo sua trajetória com veloci- dade v1, após a colisão elástica com a esfera vermelha, que é sempre suposta imóvel. O que fiz na Fig. 4 foi transladar o vetor v1 determinado na Fig. 3 para o ponto O′, onde o centro da esfera incidente se encontra no instante da colisão. Note que o ângulo de espalhamento, θ, é duas vezes o ângulo de incidência, α, isto é, θ = 2α. (3) Das Figs. 2, 3 e 4 fica evidente que o parâmetro de impacto pode ser escrito em termos dos raios das duas esferas, r e R, e do ângulo de incidência com a normal, α, ou seja, s = (r +R) senα, (4) conforme fica evidente do triângulo violeta indicado na Fig. 4. Figura 4: Trajetória final da esfera verde, após a colisão com a esfera vermelha, que, por hipótese, sempre permanece imóvel. O triângulo violeta ilustra a re- lação do parâmetro de impacto, s, com os raios das esferas, r e R, e o ângulo de incidência, α. Usando a mesma metodologia da postagem Seção de choque diferencial, a única diferença no raciocínio que o presente caso implica é a relação do parâmetro de impacto com o ângulo de espalhamento, isto é, usando as Eqs. 3 (3) e (4), s = (r +R) sen ( θ 2 ) . (5) Então, a única mudança na Eq. (15) da postagem Seção de choque diferencial para sua utilização no presente exemplo é trocar R por r +R naquela fórmula, resultando na seção de choque diferencial dσ (θ) dΩ = (r +R) 2 4 . (6) Com isso, a seção de choque total para a colisão entre as duas esferas é obtida pela integração sobre todo o ângulo sólido de 4pi da Eq. (6) e o resultado fica ˛ 4pi dσ (θ) dΩ dΩ = pi (r +R) 2 , (7) como explicado na postagem Seções de choque (veja lá, a Eq. (2)). Referências [1] Nuclear Reactions. Some Basics, por Demetrius J. Margaziotis. [2] Keith R. Symon, Mechanics , terceira edição (Addison Wesley, 1971). 4
Compartilhar