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Os símbolos de Christoffel Recentemente, revendo relatividade geral, pois preciso ver de diversos pontos de vista o problema de curvas fechadas do tipo tempo, deparei-me com os chamados símbolos de Christoffel. Eles são necessários para calcular o tensor de Riemann, que é necessário para escrever as equações de Einstein. Mas essa é outra história. O que pretendo aqui é apresentar uma maneira rápida de fazer surgir os símbolos de Christoffel. Basta que abordemos a equação da curva geodésica em um espaço que tem uma métrica de componentes gµν . Para facilitar os cálculos, vou já usar a equação de Euler e Lagrange: d dτ ( ∂L ∂x˙α ) − ∂L ∂xα = 0, (1) onde L é a função lagrangeana e x˙α ≡ ∂x α ∂τ , (2) onde τ é o parâmetro da curva. Como ação, temos o comprimento entre dois pontos fixos da curva que queremos encontrar entre esses pontos, mas que seja a mais curta (a geodésica), ou que extremize a ação. Então, para essa ação, a lagrangeana deve ser tomada como o elemento de caminho ao longo da curva parametrizada por τ. Portanto, usando ds2 = gµνdx µdxν , (3) obtemos a ação: S = ˆ τ2 τ1 dτ √ gµν dxµ dτ dxν dτ (4) e, assim, da Eq. (4) vemos que a lagrangeana para este problema deve ser tomada como sendo L = √gµν x˙µx˙ν , (5) onde estou usando a notação da Eq. (2). Substituindo a Eq. (5) na Eq. (1), obtemos: d dτ ( ∂ √ gµν x˙µx˙ν ∂x˙α ) − ∂ √ gµν x˙µx˙ν ∂xα = 0, isto é, d dτ ( gαν x˙ ν + gµαx˙ µ 2L ) − 1 2Lgµν,αx˙ µx˙ν = 0, (6) onde estamos usando a notação: gµν,α ≡ ∂gµν ∂xα (7) 1 Para simplificar as coisas, vamos usar uma parametrização afim, escolhendo dτ = ds c , (8) onde c é uma constante (não é por acaso que estou usando o mesmo símbolo que o da magnitude da velocidade da luz no vácuo!). Nesse caso, sobre a curva, vemos das Eqs. (2) e (5) que L = √ gµν dxµ dτ dxν dτ = c √ gµν dxµ ds dxν ds = c √ gµνdxµdxν ds2 = c, (9) onde usamos a Eq. (3). Com o resultado da Eq. (9), a Eq. (6) fica: d dτ (gαν x˙ ν + gµαx˙ µ)− gµν,αx˙µx˙ν = 0. (10) Mas, d dτ (gαν x˙ ν + gµαx˙ µ) = gαν,µx˙ µx˙ν + gµα,ν x˙ µx˙ν + gαν x¨ ν + gµαx¨ µ = gαν,µx˙ µx˙ν + gµα,ν x˙ µx˙ν + 2gµαx¨ µ, (11) onde usamos a simetria da métrica, gαµ = gµα (12) e dgαν dτ = ∂gνα ∂xµ dxµ dτ = gνα,µx˙ µ, (13) com as notações das Eqs. (2) e (7). Note também que x¨µ ≡ dx˙ µ dτ = d2xµ dτ2 . (14) Substituindo a Eq. (11) na Eq. (10), obtemos a equação da geodésica: gαν,µx˙ µx˙ν + gµα,ν x˙ µx˙ν + 2gµαx¨ µ − gµν,αx˙µx˙ν = 0, ou seja, gµαx¨ µ + 1 2 (gαν,µ + gµα,ν − gµν,α) x˙µx˙ν = 0. (15) Como gβαgµα = δ β µ , (16) já levando em conta a Eq. (12), podemos reescrever a Eq. (15) assim: x¨β + Γβµν x˙ µx˙ν = 0, (17) onde os símbolos de Christoffel são definidos como: Γβµν ≡ 1 2 gβα (gαν,µ + gµα,ν − gµν,α) . (18) Pronto! 2
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