Símbolos de Christoffel na Relatividade Geral

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Os símbolos de Christoffel
Recentemente, revendo relatividade geral, pois preciso ver de diversos pontos de
vista o problema de curvas fechadas do tipo tempo, deparei-me com os chamados
símbolos de Christoffel. Eles são necessários para calcular o tensor de Riemann,
que é necessário para escrever as equações de Einstein. Mas essa é outra história.
O que pretendo aqui é apresentar uma maneira rápida de fazer surgir os símbolos
de Christoffel. Basta que abordemos a equação da curva geodésica em um espaço
que tem uma métrica de componentes gµν . Para facilitar os cálculos, vou já usar
a equação de Euler e Lagrange:
d
dτ
(
∂L
∂x˙α
)
− ∂L
∂xα
= 0, (1)
onde L é a função lagrangeana e
x˙α ≡ ∂x
α
∂τ
, (2)
onde τ é o parâmetro da curva. Como ação, temos o comprimento entre dois
pontos fixos da curva que queremos encontrar entre esses pontos, mas que seja
a mais curta (a geodésica), ou que extremize a ação. Então, para essa ação, a
lagrangeana deve ser tomada como o elemento de caminho ao longo da curva
parametrizada por τ. Portanto, usando
ds2 = gµνdx
µdxν , (3)
obtemos a ação:
S =
ˆ τ2
τ1
dτ
√
gµν
dxµ
dτ
dxν
dτ
(4)
e, assim, da Eq. (4) vemos que a lagrangeana para este problema deve ser
tomada como sendo
L = √gµν x˙µx˙ν , (5)
onde estou usando a notação da Eq. (2). Substituindo a Eq. (5) na Eq. (1),
obtemos:
d
dτ
(
∂
√
gµν x˙µx˙ν
∂x˙α
)
− ∂
√
gµν x˙µx˙ν
∂xα
= 0,
isto é,
d
dτ
(
gαν x˙
ν + gµαx˙
µ
2L
)
− 1
2Lgµν,αx˙
µx˙ν = 0, (6)
onde estamos usando a notação:
gµν,α ≡ ∂gµν
∂xα
(7)
1
Para simplificar as coisas, vamos usar uma parametrização afim, escolhendo
dτ =
ds
c
, (8)
onde c é uma constante (não é por acaso que estou usando o mesmo símbolo
que o da magnitude da velocidade da luz no vácuo!). Nesse caso, sobre a curva,
vemos das Eqs. (2) e (5) que
L =
√
gµν
dxµ
dτ
dxν
dτ
= c
√
gµν
dxµ
ds
dxν
ds
= c
√
gµνdxµdxν
ds2
= c, (9)
onde usamos a Eq. (3). Com o resultado da Eq. (9), a Eq. (6) fica:
d
dτ
(gαν x˙
ν + gµαx˙
µ)− gµν,αx˙µx˙ν = 0. (10)
Mas,
d
dτ
(gαν x˙
ν + gµαx˙
µ) = gαν,µx˙
µx˙ν + gµα,ν x˙
µx˙ν + gαν x¨
ν + gµαx¨
µ
= gαν,µx˙
µx˙ν + gµα,ν x˙
µx˙ν + 2gµαx¨
µ, (11)
onde usamos a simetria da métrica,
gαµ = gµα (12)
e
dgαν
dτ
=
∂gνα
∂xµ
dxµ
dτ
= gνα,µx˙
µ, (13)
com as notações das Eqs. (2) e (7). Note também que
x¨µ ≡ dx˙
µ
dτ
=
d2xµ
dτ2
. (14)
Substituindo a Eq. (11) na Eq. (10), obtemos a equação da geodésica:
gαν,µx˙
µx˙ν + gµα,ν x˙
µx˙ν + 2gµαx¨
µ − gµν,αx˙µx˙ν = 0,
ou seja,
gµαx¨
µ +
1
2
(gαν,µ + gµα,ν − gµν,α) x˙µx˙ν = 0. (15)
Como
gβαgµα = δ
β
µ , (16)
já levando em conta a Eq. (12), podemos reescrever a Eq. (15) assim:
x¨β + Γβµν x˙
µx˙ν = 0, (17)
onde os símbolos de Christoffel são definidos como:
Γβµν ≡
1
2
gβα (gαν,µ + gµα,ν − gµν,α) . (18)
Pronto!
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