Resistencia I EM 05 Vigas

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MECÂNICA DOS SÓLIDOS - Faculdade de Engenharia – DECivil - PUCRS Prof�ª Maria Regina Costa Leggerini 
CAPÍTULO V 
 
SOLICITAÇÕES INTERNAS EM ESTRUTURAS DE BARRA 
I. CONVENÇÕES: 
Conforme já vimos, se cortarmos uma estrutura por uma seção, nesta seção devem aparecer 
esforços que equilibrem o sistema isolado (solicitações internas). 
Vamos tratar de estruturas sujeitas à carregamento plano onde os esforços desenvolvidos são 
o esforço normal N (ΣΣΣΣFx), o esforço cortante Qy (ΣΣΣΣFy) ou simplesmente Q e o momento 
fletor Mz ou simplesmente M. Com o fim de uniformizarmos a nossa representação vamos 
representar graficamente as convenções para o sentido positivo destas solicitações. 
 
 
II. CÁLCULO DAS SOLICITAÇÕES EM UMA SEÇÃO ARBITRÁRIA 
Se desejarmos calcular a solicitação desenvolvida em uma seção qualquer de uma peça 
carregada, usamos o método das seções: 
Cortamos a peça na seção desejada e isolamos um dos lados do corte (qualquer um). 
Na seção cortada devem ser desenvolvidas solicitações que mantém o sistema isolado em 
equilíbrio. 
Exemplo: 
Calcule as solicitações desenvolvidas na seção intermediária da viga abaixo. 
 
VA = VB = 2
l.q
 
Cortando e isolando um dos lados do corte: 
 Aplicando as equações de equilíbrio, teremos: 
 ΣFx = 0 ∴ N = 0 
Σ Fy = 0 ∴ 02
l.q
2
l.q
Q =+− ∴ Q = 0 
Σ MS = 0 ∴ 02
l
.
2
l.q
4
l
.
2
l.q
M =





−





+ 
Ms = 8
l.q 2
 
 
III. METODO DAS EQUAÇÕES 
Supondo que queiram-se as solicitações desenvolvidas em diversas seções da viga, repete-se o 
procedimento acima exemplificado, em quantas seções quantas pretendidas. 
Ao serem efetuados esta sucessão de cortes, observa-se que as equações de equilíbrio 
formadas são as mesmas, com mudança apenas na distancia da seção cortada a referência. 
Pode-se generalizar este procedimento criando uma variável, por exemplo "x", que represente 
esta distância de uma forma genérica. 
 
 
 
 
 
 
 
onde 0 ≤ x ≤ l (limites de validade da variável x). 
Então: 
Σ Fx = 0 N = 0 
Σ Fy = 0 0x.q2
l.q
Q =+− ∴ 
2
l.q
x.qQ +−= 
Σ MS = 0 x.2
l.q
2
x
.x.qM −+ x
2
x.q
x.
2
l.q
M
2
−= 
Esta representação se constitui o que se chama de método das equações 
Tem-se a vantagem de trocar o estudo do fenômeno físico por um estudo matemático. 
 
 
 
 
 
 
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IV. PONTOS DE TRANSIÇÃO 
Iniciando-se com um exemplo, calculam-se as solicitações desenvolvidas nas seções S1 e S2 
da viga abaixo: 
 
 
 
 
 
VA = Pb/l VB = Pa/l 
 
S1: 0 ≤ x1 ≤ a 
 
 
 
 
 
 
 
Σ Fx = 0 N = 0 
Σ Fy = 0 Q-Pb/l = 0 Q = Pb/l 
Σ M = 0 M - Pb/l .x1 = 0 M = Pb/l . x1 
 
S2 : a ≤ x2 ≤ l 
 
 Σ Fx = 0 N = 0 
 Σ Fy = 0 Q + P - Pb/l = 0 Q = Pb/l - P 
 Σ M = 0 M + P (x
2 
- a) - Pb/l . x
2
= 0 
 M = Pb/l . x
2
 - P(x
2
 - a) 
Constata-se que x1e x2 nunca podem se sobrepor, pois dão origem a equações diferentes pois 
na 2ª não entra a carga P. A variável pode ser chamada genericamente se x e distinguir-se o 
trecho de validade da mesma. 
 1o trecho 2o trecho 
 0 ≤ x ≤ a a ≤ x ≤ l 
equações válidas para o primeiro trecho: equações válidas para o segundo trecho: 
 Q(x) = Pb/l Q(x) = Pb/l - P = -Pa/l 
 M(x) = Pb/l.x M(x) = Pb/l.x - P(x-a) 
No exemplo acima intuitivamente foi identificado um ponto de transição, que seria o ponto de 
aplicação da carga P, a partir do qual há a mudança na equação. 
Conforme foi visto há a necessidade de analisar-se um trecho antes e outro depois deste 
ponto de transição. 
 
 
 
 
O acima pode ser generalizado dizendo-se que sempre que houver um ponto de transição. 
De maneira análoga, todo o ponto em que há alteração no carregamento, constitui-se em um 
ponto de transição: 
 
-Ponto de força aplicada 
 
 
- Ponto de momento aplicado 
 
 
- Ponto de troca da taxa de carregamento. 
 
De acordo com o que foi visto, as solicitações podem ser calculadas como funções da variável 
x, com trecho de validade pré-estabelecido, obtendo-se equações gerais para as mesmas, com 
validade nos trechos respectivos. Quando desejar-se o valor da solicitação em uma seção em 
especial, de ordenada x conhecida, basta substituir nas equações o valor de x pela ordenada 
numérica desejada. 
Em geral interessa o valor máximo das solicitações em toda a estrutura e não apenas em 
pontos específicos da mesma. Lembrando cálculo diferencial o máximo de uma função ocorre 
quando a sua primeira derivada é nula. 
V. PROCEDIMENTO DE CÁLCULO 
Este procedimento de cálculo poderia ser sintetizado em um roteiro simples. 
 Dado o esquema estrutural da peça (vínculos, cargas ativas e vãos): 
1. Cálculo das reações externas 
2. Identificação dos pontos de transição criando trechos pré-estabelecidos 
3. Usar o método de corte de seções em cada um destes trechos, adotando como posição 
genérica desta seção a variável x, que valerá dentro dos limites dos trechos. 
4. Supor em cada seção cortada o aparecimento das solicitações previstas, que devem ser 
arbitradas com o sentido convencionado positivo. 
5. A aplicação das equações de equilíbrio estático em cada um dos cortes, nos leva a obtenção 
das equações desejadas. 
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6. Usa-se representar estas equações sob a forma de um diagrama, conforme convenção 
abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OBS: As cargas distribuídas não mais podem ser substituídas por suas resultantes totais, mas 
sim por resultantes parciais nos trechos considerados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
N 
x 
Q 
x 
M 
x 
 
TRAÇADO DO DIAGRAMA DAS SOLICITAÇÕES INTERNAS 
 
1. 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
 4. 
 
 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7.