prova2GAMecA2014-1

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UNIVERSIDADE DO VALE DO RIO DOS SINOS - UNISINOS NOTA
CIEˆNCIA EXATAS E TECNOLO´GICAS - FI´SICA
F´ısica Mecaˆnica A - 2a Verificac¸a˜o- 53 - Grau A
Data: Prof. Vilarbo da Silva Ju´nior
Aluno: .
1) (0.8p.t.) As posic¸o˜es de um ele´tron que se move ao longo do eixo x sa˜o dadas em func¸a˜o
do tempo por x(t) = A t e−βt (x em m e t em s).
(a) Afim de que a func¸a˜o posic¸a˜o acima seja fisicamente correta, determine as unidades
de medida de A e β.
(b) Mostre que a func¸a˜o velocidade deste ele´tron vem a ser dada por
v(t) = Ae−βt(1− βt).
(c) Qual a velocidade inicial deste ele´tron? Conclua que o instante t∗ no qual o ele´tron
para vale
t∗ =
1
β
.
(d) Para A = 10 e β = 1 calcule o limite limt→∞ v(t) e esboce o gra´fico v(t) × t para
t ∈ [0, 1]s.
[Dica: v(t) = dx(t)/dt:. d
dt
[eat] = aeat:. d
dt
[tn] = ntn−1 :. d
dt
[f(t)g(t)] = f(t) d
dt
g(t) +
g(t) d
dt
f(t).]
2) (0.8p.t.) As posic¸o˜es ao longo do eixo x de um mo´vel A sa˜o descritas em func¸a˜o do
tempo por xA(t) = −4 + 20t (SI) e as posic¸o˜es de outro mo´vel B sa˜o descritas pela func¸a˜o
xB(t) = 10t+ 3t
2 (SI).
(a) Os mo´veis executam um MRU ou um MRUV (Justifique)? Posicione os mo´veis A e
B sobre o eixo x no instante inicial t = 0s e mostre (utilizando vetores) o correto sentido
da velocidade inicial de cada um. Voceˆ diria que A e B ira˜o se cruzar em algum momento
(Justifique)?
(b) Determine (se ocorrer) o (s) instante (s) e a (s) localizac¸a˜o (o˜es) em que ha´ o encontro
entre os mo´veis A e B.
(c) Construa o gra´fico (no mesmo plano) das posic¸o˜es de A e B para t ∈ [0, 3s].
[Dica: x(t) = xo + vt:. x(t) = xo + vot +
at2
2
:. v(t) = dx(t)/dt :. d
dt
[tn] = ntn−1
:.xeq2 =
−b±√b2−4ac
2a
.]
3) (0.8p.t.) Os Jogos Ol´ımpicos de Inverno de 2014, oficialmente Jogos da XXII Olimp´ıada
de Inverno, aconteceram entre 6 e 23 de fevereiro e teve como sede principal So´chi e como
subsede o resort da Clareira Vermelha, localizados no krai de Krasnodar, na Ru´ssia. Esta
foi a segunda vez que a Ru´ssia sediou as Olimp´ıadas e a primeira vez que sediou os Jogos
Ol´ımpicos de Inverno.
Um dos eventos mais prestigiados foi a competic¸a˜o de biatlo que e´ composta por uma
corrida de esqui em que os competidores realizam um sistema de trilhas denominado cross-
country, e onde a distaˆncia total e´ dividida por dois ou quatro rodadas de tiro, metade
em posic¸a˜o prona (deitados), a outra metade em pe´. Dependendo do desempenho de tiro,
distaˆncia ou tempo extra e´ adicionado a corrida do competidor. Como na maioria das corri-
das, o competidor com o menor tempo total vence.
Considere que um competidor de biatlo esteja na posic¸a˜o prona e realize seus disparos
sob um aˆngulo de 2o com a horizontal, e que o rifle utilizado seja capaz de liberar o proje´til
com uma velocidade inical de mo´dulo 300m/s. Sabe-se que o alvo a ser atingido esta´ a 50m.
(a) Represente a problema´tica em uma figura, deixando claro o sistema de coordenadas
xy, bem com os dados relevantes para o bom desenvolvimento desta questa˜o.
(b) Determine o instante em que o proje´til atinge o alvo.
(c) Estime que altura o alvo se encontra do solo.
(d) Escreva uma equac¸a˜o para a trajeto´ria deste proje´til (y = y(x)).
[Dica: y(t) = yo + voyt− gt22 :. x(t) = xo + voxt :. voy = vo sin (θ) e vox = vo cos (θ).]
4) (0.8p.t.) Um projetil e´ lanc¸ado na origem de um sistema de um coordenadas, sob aˆngulo
de elevac¸a˜o θ e velocidade inicial de mo´dulo vo.
(a) Mostre que o tempo necessa´rio para atingir o solo e´ dado por
t =
2vo sin (θ)
g
.
(b) Conclua que o alcance R (distaˆncia horizontal ate´ encontrar o solo) vale
R =
v2o
g
sin (2θ).
(c) Para qual valor de θ o alcance e´ ma´ximo (Justifique)? Quanto vale este alcance Rmax?
(d) Se todas quantidades envolvidas neste problema estiverem no SI mostre, utilizando o
item (b), que [R] = m.
[Dica: y(t) = yo + voyt − gt22 :. x(t) = xo + voxt :. voy = vo sin (θ) e vox = vo cos (θ):.
2 sin (θ) cos (θ) = sin (2θ):. d/dθ[sin (2θ)] = 2 cos (2θ).]
5) (0.8p.t.) A figura abaixo representa o instante inicial do movimento de duas part´ıculas
A e B. A part´ıcula A pode se mover apenas ao longo do eixo x com velocidade de mo´dulo
constante vo, enquanto que a part´ıcula B e´ abandonada (sob ac¸a˜o da gravidade) na posic¸a˜o
(xo, yo).
(a) Apresente as func¸o˜es posic¸a˜o de A e B respectivamente, isto e´, apresente xA(t) e yB(t).
(b) Mostre que o tempo t∗ necessa´ro para que a part´ıcula A assuma a posic¸a˜o xo vale
t∗ =
xo
vo
.
(c) Conclua que as part´ıculas A e B so´ podem colidir se a velocidade de A for
vo = xo
√
g
2yo
.
(d) Por fim, se todas quantidades f´ısicas envolvidas neste problema estiverem no SI,
comprove que [vo] = m/s (pelo item (c)).
[Dica: x(t) = xo + vt:. y(t) = yo + vot− gt22 .]
(Extra) (1.0 p.t.) Considere um proje´til lanc¸ado da origem de um sistema de coordenadas
cartesianas ortogonais com velocidade inicial de mo´dulo vo formando um aˆngulo θ com o eixo
x que define a direc¸a˜o horizontal. Levando em conta que a acelerac¸a˜o da gravidade jaz
ao longo do eixo y e aponta no sentido negativo deste eixo, as equac¸o˜es cinema´ticas do
movimento de proje´teis se escrevem como
x(t) = vo cos (θ)t; y(t) = vo sin (θ)t− 1
2
gt2. (1)
(a) Mostre que o alcance R e a altura ma´xima H obtidas para θ fixo valem, respectiva-
mente,
R =
v2o sin (2θ)
g
; H =
v2o sin
2 (θ)
2g
(2)
[Dica: 2 sin (θ) cos (θ) = sin (2θ)].
(b) Considere agora que θ seja uma varia´vel e vo seja uma constante. Para cada θ ∈ [0, pi/2]
obtemos uma trajeto´ria parabo´lica como mostrado na figura abaixo (linhas com tracejados
curtos). Elimine a varia´vel θ entre as equac¸o˜es (2) para mostrar que os pontos no plano xy
que da˜o as alturas ma´ximas H dessas trajeto´rias parabo´licas em relac¸a˜o ao alcance R esta˜o
sobre a elipse
4g2
v4o
(
R
2
)2
+
16g2
v4o
(
H − v
2
o
4g
)2
= 1. (3)
[Dica: Note que as alturas ma´ximas y = H ocorrem sempre para x = R/2 (pontos de
intersecc¸a˜o na figura). Ale´m disso devem utilizar as identidades trigonome´tricas sin2(θ) =
(1− cos (2θ))/2 e cos2(2θ) + sin2 (2θ) = 1].
(c) Mostre que no limite R → 0, temos H → v2o
2g
. Interprete o significado f´ısico deste
limite.
Bom trabalho!