Cap+¡tulo 2- Representa+º+úo gr+ífica

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Estatística para os cursos de Engenharia, 
 Ciências da Computação e Biomedicina. Anotações de Aula prof. Machado 
3 
Capítulo 2: Representações Gráficas 
 
 A representação gráfica das séries estatísticas tem por finalidade representar os 
resultados obtidos, permitindo chegar-se a conclusões sobre a evolução do fenômeno ou 
sobre como se relacionam os valores da série. Não há uma única maneira de representar 
graficamente uma série estatística. A escolha do gráfico mais apropriado ficará a critério 
do analista. Contudo, os elementos: simplicidade, clareza e veracidade devem ser 
considerados quando da elaboração de um gráfico. 
 Em nossos meios de comunicação os gráficos são apresentados com bastante 
criatividade, cuja finalidade é chamar atenção para o fenômeno apresentado. 
 Costuma-se representar no eixo das abscissas (variável x) a grandeza tempo e os 
valores observados no eixo das ordenadas (y). 
 
 
Princípios para a construção de gráficos 
 
 Além de saber analisar e extrair informações de um gráfico, se faz necessário, 
muitas vezes, que se saiba construir um gráfico a partir, por exemplo, de dados tabulados. 
 Alguns princípios que devem ser seguidos na construção de gráficos são: 
• Estética - Uma vez que o aspecto marcante de um gráfico, como um meio de 
apresentação de dados, é o visual, deve-se fazê-lo com “capricho”, isto é: sem 
rasuras, sem elementos desnecessários, com curvas diferenciadas, 
centralizado, etc. 
• Título - Todo gráfico deve ter um título, informando sobre o que diz respeito os 
dados ali representados. Junto ao título, caso seja esta uma informação 
importante, deve ser mencionada a data em que os dados foram colhidos. 
• Eixos - Os nomes das variáveis (juntamente com as respectivas unidades), 
cujos valores serão lidos nos eixos do gráfico, devem ser colocados junto aos 
mesmos: Sob o eixo das abscissas, o nome e unidade de medida da variável 
independente e, ao lado do eixo das ordenadas, o nome e unidade da variável 
dependente. 
• Legenda - Quando, em um mesmo gráfico, estiverem sendo representadas 
duas ou mais distribuições ou grandezas diferentes, deve haver uma legenda 
que possibilite distingüí-las. 
• Escalas - A elaboração da escala horizontal e vertical deve seguir as seguintes 
regras: 
• Todos os valores assumidos pelas variáveis devem estar contidos no 
intervalo que vai do menor ao maior valor marcados na escala. 
• As marcações devem ser feitas de maneira uniforme, isto é, os valores 
marcados nos eixos devem estar uniformemente espaçados. 
• Quando se tratar de variáveis cardinais, as marcações devem representar 
intervalos uniformes destas variáveis. 
• Não é necessário indicar na escala os valores das variáveis de uma em 
uma unidade. Pelo contrário, o excesso de informação pode dificultar a 
leitura do gráfico. Conforme for o caso (e aqui deve-se seguir o bom 
senso), marca-se a escala a intervalos equiespaçados de 3 em 3 
unidades, 5 em 5, 10 em 10, 100 em 100, etc. 
• Indicação de cortes - Quando o tamanho do papel não possibilitar que se 
represente todos os valores, desde a origem ao maior valor a ser marcado na 
escala, deve-se indicar isto colocando-se no eixo, entre a origem e o próximo 
valor o seguinte “símbolo”: 
 
 
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Exemplo Ilustrativo – Considere 5 laboratórios de Biofísica de uma universidade fictícia, 
denominados de L1, L2, L3, L4 e L5. Foi realizada uma pesquisa na qual listaram-se os 
nomes de cada um dos alunos(as) nos laboratórios e suas alturas, em cm. Essas 
informações estão resumidas nas tabelas 2.1 a 2.5. (p. 9 da apostila) 
 
Tabela 2.1: Laboratório L1 Tabela 2.2: Laboratório L2 Tabela 2.4: Laboratório L4 
Nome do 
Aluno(a) 
Altura 
(cm) 
 Nome do 
Aluno(a) 
Altura 
(cm) 
 Nome do 
Aluno(a) 
Altura 
(cm) 
Alice Machado 162 Alexandre Souto 158 Alex Franco 158 
Caio Ferreira 175 Ana Silva Dias 160 Beatriz Bento 160 
Luiz Eduardo Santiago 180 Elias Fontes 162 Carina Freitas 161 
Marcelo Silva 165 Fábio Dantas 175 Fábio Oliveira 163 
Patrícia Villas 168 Marcos Freitas 176 Marcos Vieira 170 
 Ricardo Reis 162 Ricardo Ramos 172 
 Sérgio Crivo 175 
 
 Tabela 2.3: Laboratório L3 Tabela 2.5: Laboratório L5 
Nome do 
Aluno(a) 
Altura (cm) Nome do 
Aluno(a) 
Altura 
(cm) 
André Freitas 157 Alexandre Freitas 162 
Caio Cameron 160 Ana Maria Louveiro 170 
Fernando Sampaio 163 Fabrício Zacarias 171 
Fernando Zarindi 171 Fernando Silva 168 
Luiz Carlos Figueira 180 Luciano Madeira 163 
Luiz Fernando Dias 158 Luiz Gustavo Arias 177 
Mário Maltez 162 Márcio Gouveia 183 
Pedro Farias 170 Murilo Vias 153 
Renato Longo 171 Renata Andrade 160 
Ricardo Ribeiro 157 Ricardo Rudge 165 
Sidney Alves 158 
Zenon da Silva 180 
 
Supondo que ni represente o número de alunos no laboratório i, temos: 
i = 1 (laboratório L1) n1 = 5 i = 2 (labor. L2) n2 = 6 i = 3 (labor. L3) n3 = 12 
i = 4 (laboratório L4) n4 = 7 i = 5 (labor. L5) n5 = 10 
Assim, o número total de alunos, denominado de n, é dado pela soma do número de 
alunos de cada laboratório, ou seja: 
Total de alunos: n = ∑
=
5
1i
in = n1 + n2 + n3 + n4 + n5 = 5 + 6 + 12 + 7 + 10 = 40 
Podemos determinar a porcentagem do número de alunos por laboratório a partir da 
freqüência relativa, ou seja: 
 
Tabela 2.6: Número de alunos por laboratório e sua porcentagens. 
 x 100 
 
Laboratório Nº de alunos (fi) fr f% 
L1 5 5/40 = 0,125 12,5% 
L2 6 6/40 = 0,15 15,0% 
L3 12 12/40 = 0,30 30,0% 
L4 7 7/40 = 0,175 17,5% 
L5 10 10/40 = 0,25 25,0% 
Total (∑∑∑∑) 40 1,00 100% 
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 Podemos classificar os alunos em função da variável altura, independente do 
laboratório a que ele pertence. 
 
 Tabela 2.7: Altura e número de alunos 
 
Alturas (cm) Nº de alunos 
153 1 
157 2 
158 4 
160 4 
161 1 
162 5 
163 3 
165 2 
168 2 
170 3 
171 3 
172 1 
175 3 
176 1 
177 1 
180 3 
183 1 
Total 40 
 
 Para simplificar o tamanho da tabela, podemos agrupar as alturas dos alunos por 
CLASSES. Assim: 
1º) número de classes: k ≅ n ≅ 40 ≅ 6,32. Podemos adotar k = 6 ou k = 7 
2º) amplitude total (ou Range): H = Xmáx. – Xmín. = 183 – 153 = 30 
3º) amplitude de classe: h ≅ 
k
H
 ≅ 
6
30
 = 5 
4º) Construção da tabela: 
 
 Tabela 2.8: Classes e distribuição das freqüências de alturas. 
 
Classes de 
alturas (cm) 
Nº de alunos 
 por classe (fi) 
Ponto 
Médio (PM) 
Freqüência 
Relativa (fr) 
Freqüência 
Porcentual (f%) 
Frequencia 
Acumulada (fa) 
150 |--- 155 1 152,5 0,025 2,5% 1 
155 |--- 160 6 157,5 0,150 15,0% 7 
160 |--- 165 13 162,5 0,325 32,5% 20 
165 |--- 170 4 167,5 0,100 10,0% 24 
170 |--- 175 7 172,5 0,175 17,5% 31 
175 |--- 180 5 177,5 0,125 12,5% 36 
180 |--- 185 4 182,5 0,100 10,0% 40 
∑∑∑∑ 40 ----- 1,000 100% ----- 
 
 
5º) Construção do Histograma dos dados da tabela 2.8 
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6 
 
6
4
7
5
4
1
13
0
2
4
6
8
10
12
14
1
alturas (cm)
fr
e
q
ü
ê
n
c
ia
s
 
 
6º) Construção doPolígono de freqüências simples das classes de alturas. 
 
6
4
7
5
4
1
13
0
2
4
6
8
10
12
14
1
alturas (cm)
fr
e
q
ü
ê
n
c
ia
s
 
7º) Construção do Polígono de freqüências acumuladas das classes de alturas (Ogiva de 
Galton) 
 
1
7
20
24
31
36
40
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
1 2 3 4 5 6 7
 
 
 
 150 155 160 165 170 175 180 185 
150 155 160 165 170 175 180 185 
152,5 157,5 162,5 167,5 172,5 177,5 182,5 
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GRÁFICOS ESTATÍSTICOS (DESCRITIVOS) 
 
 
 PRINCIPAIS TIPOS DE GRÁFICOS : 
 
 
1. GRÁFICOS LINEARES OU DE CURVAS 
 
 São gráficos em duas dimensões, baseados na representação cartesiana dos 
pontos no plano. Servem para representar séries cronológicas ou de localização (os 
dados são observados segundo a localidade de ocorrência), sendo que o tempo é 
colocado no eixo das abscissas (x) e os valores observados no eixo das ordenadas (y). 
 
 Vendas da Companhia Delta 
 1971 a 1977 
 
 Ano Vendas (Cr$ 1.000,00) 
 
1971 230 
1972 260 
1973 380 
1974 300 
1975 350 
1976 400 
1977 450 
 Fonte: Departamento de Marketing da Companhia 
 
Vendas da Companhia Delta
230 260
380
300
350
400
450
0
100
200
300
400
500
1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977
Anos
V
en
d
as
 
(C
r$
1.
00
0,
00
)
 
 
 
 
 
 
2. GRÁFICO EM COLUNAS OU BARRAS 
 
 São representados por retângulos de base comum e altura proporcional à magnitude 
dos dados. Quando dispostos em posição vertical, dizemos colunas; quando colocados 
na posição horizontal, são denominados barras. Embora possam representar qualquer 
série estatística, geralmente são empregados para representar as séries específicas ( os 
dados são agrupados segundo a modalidade de ocorrência). 
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PRODUÇÃO DE ALHO - BRASIL- 1988
0 5.000 10.000 15.000
Santa Catarina
Minas Gerais
Rio Grande do Sul
Goiás
São Paulo
E
s
ta
d
o
s
toneladas
 A) Gráfico em Colunas 
 
 População Brasileira ( 1940 – 1970) 
 
Ano População 
1940 41.236.315 
1950 51.944.398 
1960 70.119.071 
1970 93.139.037 
 Fonte: Anuário Estatístico - 1974 
 
População do Brasil
0
20000000
40000000
60000000
80000000
100000000
1940 1950 1960 1970
ANOS
P
o
p
u
la
çã
o
 
 
B) Gráfico em Barras 
 
 Produção de Alho – Brasil (1988) 
 
ESTADOS QUANTIDADES (t) 
Santa Catarina 13.973 
Minas Gerais 13.389 
Rio Grande do Sul 6.892 
Goiás 6.130 
São Paulo 4.179 
 Fonte: IBGE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3. GRÁFICO EM COLUNAS OU BARRAS MÚLTIPLAS 
 
 Este tipo de gráfico é geralmente empregado quando queremos representar, 
simultaneamente, dois ou mais fenômenos estudados com o propósito de comparação. 
 
 
 BALANÇA COMERCIAL 
 BRASIL – 1984 - 1988 
 
 VALOR (US$ 1.000.000) 
 ESPECIFICAÇÃO 
 1984 1985 1986 1987 1988 
 Exportação (FOB) 27.005 25.639 22.348 26.224 33.789 
 Importação 13.916 13.153 14.044 15.052 14.605 
 Fonte: Ministério das Economia 
 
 
1
9
8
4
1
9
8
5
1
9
8
6
1
9
8
7
1
9
8
8
exportação
importação0
10.000
20.000
30.000
40.000
U
S
$
 M
IL
H
Ã
O
ANOS
BALANÇA COMERCIAL 
BRASIL - 1984-88
 
 
 
 
 
4. GRÁFICO EM SETORES 
 
 É a representação gráfica de uma série estatística, em um círculo, por meio de 
setores circulares. É empregado sempre que se pretende comparar cada valor da série 
com o total. 
 O total é representado pelo círculo, que fica dividido em tantos setores quantas são 
as partes. Para construí-lo, divide-se o círculo em setores, cujas áreas serão 
proporcionais aos valores da série. Essa divisão poderá ser obtida por meio de uma regra 
de três simples e direta. 
 
 Total ___________ 360º 
 Parte___________ x º 
 
 
 
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 REBANHOS BRASILEIROS 
 1988 
ESPÉCIE QUANTIDADE 
(milhões de cabeça) 
Bovinos 140 
Suínos 32 
Ovinos 20 
Caprinos 11 
Total 203 
 Fonte: IBGE 
 
 Temos: 
 
 Para Bovinos: 203 -------------360º 
 140 ------------- x x = 248,2º x = 248º 
 
 Para Suínos: 203 ------------360º 
 32 ----------- y y = 56,7º y = 57º 
 
 Para Ovinos: 203 -----------360º 
 20 ---------- z z = 35,4º z = 35º 
 
 Para Caprinos: 203 ----------360º 
 11 ---------- w w = 19,5º w = 20º 
 
REBANHOS BRASILEIROS - 1988
16%
10%
5%
69%
Bovinos
Suínos
Ovinos
Caprinos
 
 
 
5. GRÁFICO POLAR 
 
 É a representação de uma série por meio de um polígono. É o gráfico ideal para 
representar séries temporais cíclicas, isto é, séries temporais que apresentam em seu 
desenvolvimento determinada periodicidade, como, por exemplo, a variação da 
precipitação pluviométrica ao longo do ano ou da temperatura ao longo do dia, a 
arrecadação da Zona Azul durante a semana, o consumo de energia elétrica durante o 
mês ou o ano, o número de passageiros de uma linha de ônibus ao longo da semana, 
etc. 
 O gráfico polar faz uso do sistema de coordenadas polares. 
 
 
 
 
 
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 PRECIPITAÇÃO PLUVIOMÉTRICA 
 MUNICÍPIO DE RECIFE – 1989 
MESES PRECIPITAÇÃO (mm) 
Janeiro 174,8 
Fevereiro 36,9 
Março 83,9 
Abril 462,7 
Maio 418,1 
Junho 418,4 
Julho 538,7 
Agosto 323,8 
Setembro 39,7 
Outubro 66,1 
Novembro 83,3 
Dezembro 201,2 
 Fonte: IBGE 
 
PRECIPITAÇÃO PLUVIOMÉTRICA 
MUNICÍPIO DE RECIFE - 1989 
0
200
400
600
Janeiro
Fevereiro
Março
Abril
Maio
Junho
Julho
Agosto
Setembro
Outubro
Novembro
Dezembro
 
 
6. ligamos os pontos encontrados com segmentos de reta; 
7. se pretendemos fechar a poligonal obtida, empregamos uma linha interrompida. 
 
6. CARTOGRAMA 
 
 O cartogramaé a representação sobre uma carta geográfica. 
 Este gráfico é empregado quando o objetivo é o de figurar os dados estatísticos 
diretamente relacionados com áreas geográficas ou políticas. 
 
 Distinguimos duas aplicações: 
 
a) Representar dados absolutos (população) – neste caso, lançamos mão, em geral, 
dos pontos, em número proporcional aos dados. 
 
b) Representar dados relativos (densidade) – neste caso, lançamos mão, em geral, 
de Hachuras. 
 
1. traçamos uma circunferência de 
 raio arbitrário (em particular, da- 
 mos preferência ao raio de com- 
 primento proporcional à média 
 dos valores da série; neste caso, 
 x = 124,5); 
2. construímos uma semi-reta ( de 
 preferência na horizontal) partin- 
 do de O (pólo) e com uma esca- 
 la (eixo polar); 
3. dividimos a circunferência em 
 tantos arcos quantas forem as 
 unidades temporais; 
4. traçamos, a partir do centro O 
 (pólo), semi-retas passando pe- 
 los pontos de divisão; 
5. marcamos os valores correspon- 
 dentes da variável, iniciando pe- 
 la semi-reta horizontal (eixo polar); 
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POPULAÇÃO PROJETADA DA REGIÃO SUL DO BRASIL – 1990 
ESTADO POPULAÇÃO (hab.) ÁREA (km2) DENSIDADE 
Paraná 9.137.700 199.324 45,8 
Santa Catarina 4.461.400 95.318 46,8 
Rio Grande do Sul 9.163.200 280.674 32,6 
Fonte: IBGE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. GRÁFICOS PICTÓRICOS 
 
 São gráficos através de figuras que simbolizam fatos estatísticos, ao mesmo tempo 
que indicam as proporcionalidades. 
 Por serem representados por figuras, tornam-se atraentes e sugestivos, por isso, são 
largamente utilizados em publicidades. 
 
 Regras fundamentais para a sua construção: 
 
a) Os símbolos devem explicar-se por si próprios; 
b) As quantidades maiores são indicadas por meio de um número de símbolos, mas 
não por um símbolo maior; 
c) Os símbolos comparam quantidades aproximadas, mas detalhes minuciosos; 
d) Os gráficos pictóricos só devem ser usados para comparações, nunca para 
afirmações isoladas. 
 
 
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 PRODUÇÃO BRASILEIRA DE VEÍCULOS 
 1972 – 1975 (dados fictícios) 
 
ANO PRODUÇÃO 
1972 9.974 
1973 19.814 
1974 22.117 
1975 24.786 
 
 ANOS 
 
 1975 
 
 
 1974 
 
 
 1973 
 
 
 1972 
 
 PRODUÇÃO 
 = 5.000 unidades 
 
 
GRÁFICOS ANALÍTICOS 
 
 Os gráficos analíticos são usados tipicamente na representação de distribuições de 
freqüências simples e acumuladas. 
 
1. HISTOGRAMA 
 
 É a representação gráfica de uma distribuição de freqüências por meio de retângulos 
justapostos, onde no eixo das abscissas temos os limites das classes e no eixo das 
ordenadas os valores das freqüências absolutas (fi) 
 
2. POLÍGONO DE FREQÜÊNCIAS 
 
 É um gráfico de linhas que se obtém unindo-se os pontos médios dos patamares dos 
retângulos do HISTOGRAMA . 
 
Classes PM f i fr f% fa fra f%a 
30 |--- 40 35 4 0,08 8 4 0,08 8 
40 |--- 50 45 6 0,12 12 10 0,20 20 
50 |--- 60 55 8 0,16 16 18 0,36 36 
60 |--- 70 65 13 0,26 26 31 0,62 62 
70 |--- 80 75 9 0,18 18 40 0,80 80 
80 |--- 90 85 6 0,12 12 46 0,92 92 
90 |--- 100 95 4 0,08 8 50 1,00 100 
ΣΣΣΣ 50 1,00 100 
 
 
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14 
• 
 
freqüências 
simples (fi) 
 15 
 HISTOGRAMA 
 
 12 POLÍGONO DE 
 FREQÜÊNCIAS 
 
 
 9 
 
 
 6 
 
 
 3 
 
 
 
 30 |--- 40 |--- 50 |--- 60 |--- 70 |--- 80 |--- 90 |---100 Classes 
 PM: 35 45 55 65 75 85 95 
OBSERVAÇÕES: 
 
a) O HISTOGRAMA e o POLÍGONO DE FREQÜÊNCIAS, em termos de fi , fr e f% têm 
exatamente o mesmo aspecto, mudando apenas a escala vertical; 
 
b) Observe que, como o primeiro valor da tabela é bem maior que zero, adotamos 
aproximá-lo do zero através da convenção: 
 
 
 30 
 
3. POLÍGONO DE FREQÜÊNCIAS ACUMULADAS OU OGIVA DE GALTON 
 
 É a representação gráfica que tem no eixo das abscissas os limites das classes e no 
eixo das ordenadas as freqüências acumuladas (fa ou f%a ) 
 
 NOTA: Para obtermos o valor da mediana de uma série de valores em dados 
agrupados usamos uma fórmula, porém, através do gráfico de freqüências 
acumuladas (OGIVA DE GALTON) podemos obter esse valor. 
 
 
 EXEMPLO: Seja a distribuição: 
Classes fi fa 
02 |---- 04 3 3 
04 |---- 06 5 8 
06 |---- 08 10 18 
08 |---- 10 6 24 
10 |---- 12 2 26 
 
 Construir a OGIVA DE GALTON e, a partir dos dados, determine a valor da mediana da 
distribuição. 
Construir a OGIVA DE GALTON e, a partir dos 
dados, determine o valor da mediana da série. 
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 f% fa 
 OGIVA DE GALTON 
100 26 
 24 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 0 2 4 6 8 10 12 (Classes) 
 Md = 7 
 
Para obtermos a mediana, a partir 
da OGIVA DE GALTON, tomamos 
em fa = 26 a freqüência percentual 
que irá corresponder à 100% ou 
seja, f%a = 100. 
Como a mediana corresponde ao 
termo central, localizamos o valor 
da fa que corresponde à 50% da 
f%a, que neste caso, é fa = 13. A 
mediana será o valor da variável 
associada a esse valor no eixo das 
abscissas ou seja, Md = 7 
 
18 
50 13 
8 
3