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UNIVERSIDADE DO VALE DO RIO DOS SINOS 
 Escola Politécnica 
CEQ – Profª Karla Faccio 
 1 
 
UNIVERSIDADE DO VALE DO RIO DOS SINOS - UNISINOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONTROLE ESTATÍSTICO DA 
QUALIDADE 
 
Profa. Karla Faccio 
 
 
 
 
 
 
NOTAS DE AULA 
Material PARTE I 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Março, 2021 
_____________________________________________________________________________________ 
 
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1. INTRODUÇÃO 
 
Estuda-se a estatística para aplicar seus conceitos como auxílio na tomada de decisão 
diante de incertezas, justificando cientificamente as decisões. A estatística é uma parte 
da matemática aplicada que fornece métodos para a coleta, organização, descrição, 
análise e interpretação de dados e para a utilização dos mesmos na tomada de decisões. 
 
A Estatística é a ciência que estuda os fenômenos multicausais, coletivos ou de massa e 
procura inferir as leis que os mesmos obedecem. 
 
Método estatístico é um processo para se obter, apresentar e analisar características ou 
valores numéricos para uma melhor tomada de decisão em situações de incerteza. 
Os passos da metodologia estatística são os seguintes: 
• Definição do problema; 
• Formulação de um planejamento para a coleta das unidades de observação. É 
nessa fase que será escolhido o tipo de levantamento a ser utilizado. Podem 
existir dois tipos de levantamentos: o censitário, quando a contagem for 
completa, abrangendo todo o universo (população) e o levantamento por 
amostragem, quando a contagem for parcial; 
• Coleta, resumo e apresentação das unidades de observação ou de seus valores 
numéricos; 
• Análise dos resultados; 
• Divulgação de um relatório com as conclusões, de tal modo que estas sejam 
facilmente entendidas por quem as for usar na tomada de decisões. 
 
Como as informações provêm de um conjunto menor do que a população, erros são 
cometidos ao se fazer uma inferência. Esses erros podem ser quantificados por um valor 
numérico, denominado de probabilidade. O conhecimento das probabilidades 
associadas a uma situação fornece a base para o desenvolvimento de técnicas para a 
tomada de decisão. 
 
 
 
 
 
 A estatística descritiva e a probabilidade são ferramentas para a inferência estatística, a 
qual interpreta de duas maneiras os resultados obtidos a partir das amostras: ou fazendo 
uma estimação a respeito de uma característica da população cujo valor se desconhece 
ou realizando um teste sobre essa característica, da qual se afirma ter um determinado 
valor. 
 
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Em geral, a estatística divide-se em dois grupos: estatística descritiva e indutiva. 
 
Descritiva: corresponde aos procedimentos relacionados com a coleta, elaboração, 
tabulação, análise, interpretação e apresentação dos dados, ou seja, inclui técnicas que 
dizem respeito à sintetização e à descrição de dados numéricos. Tais métodos podem ser 
gráficos e envolvem a utilização de recursos computacionais. 
 
Indutiva (ou inferencial): parte de uma ou mais amostras (subconjuntos da população) 
e conclui sobre a população. Utiliza técnicas como a teoria das probabilidades, 
inferência estatística, amostragem. 
 
Frequentemente utiliza-se o estudo da amostra do que da população, uma vez que na 
maioria das vezes não se dispõe de todos os elementos da população, além das 
informações serem menos dispendiosas e consumirem menos tempo no processamento 
dos dados. 
 
Definições e conceitos úteis para o estudo da Estatística: 
 
- População (N): Conjunto de elementos com pelo menos uma característica em 
comum, ou seja, conjunto de todas as unidades elementares de interesse. Se a população 
é finita dizemos quem tem tamanho N. 
 
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- Amostra (n): Uma amostra é um subconjunto de tamanho n da população em estudo 
usado para obter informação acerca do todo. Obtemos uma amostra para fazer 
inferências de uma população. Nossas inferências são válidas somente se a amostra é 
representativa da população. 
 
Por que tomamos uma amostra e não utilizamos a população toda? 
- Custo alto para obter informação da população toda. 
- Tempo muito longo para obter informação da população toda. 
- Algumas vezes impossível, por exemplo, estudo de poluição atmosférica. 
- Algumas vezes é logicamente impossível, por exemplo, em ensaios destrutivos 
(controle de qualidade de fósforos). 
 
- Parâmetro: É uma constante que caracteriza uma população, isto é, é uma medida que 
descreve uma característica de uma população (Exemplo: média (µ), desvio-padrão (σ), 
variância (σ2), proporção (π), etc). 
 
- Estimador: Caracteriza uma amostra, isto é, é uma medida que descreve uma 
característica da amostra (Exemplo: média amostral )(
__
X , desvio-padrão amostral (s), 
variância amostral (s2), proporção amostral (p), etc). 
 
Exemplos de parâmetros e seus respectivos estimadores: 
Parâmetros Estimadores 
Média populacional 
µ 
Média amostral 
X 
Desvio-padrão populacional 
σ 
Desvio-padrão amostral 
s 
Proporção populacional 
π 
Proporção amostral 
p 
 
- Experimento: Tudo aquilo que pode ser repetido sob idênticas condições. Tipos de 
experimento: 
 - Determinístico: o resultado vai ser sempre o mesmo. 
 - Aleatório: em cada repetição feita não tem como garantir o mesmo resultado. 
 
- Variáveis: Uma variável é uma característica de uma população que difere de um 
indivíduo para outro e da qual temos interesse em estudar. Desta forma, é a 
característica de interesse dos elementos da população. Cada unidade (membro) da 
população que é escolhido como parte de uma amostra fornece uma medida de uma ou 
mais variáveis, chamadas observações. As variáveis podem ser classificadas em 
Qualitativas ou Quantitativas. 
 
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Variáveis Qualitativas (ou Categóricas): são as características que não possuem 
valores quantitativos, mas, ao contrário, são definidas por várias categorias, ou seja, 
representam uma classificação dos indivíduos. Podem ser nominais ou ordinais. 
Variável Qualitativa Nominal: Consiste em nomes, rótulos ou categorias apenas. Os 
dados não podem ser ordenados. 
Exemplos: Tipo de defeito (Arranhão, Trinca, Quebrado, Amassado); Time preferido 
(Grêmio, Internacional, Flamengo); Religião (Católica, Protestante, Evangélica); Estado 
Civil (Casado, Solteiro, Viúvo, Divorciado); Nacionalidade; Sexo; etc. 
 
Variável Qualitativa Ordinal: As variáveis podem ser arranjadas em alguma ordem, 
mas diferenças entre os valores dos dados não podem ser determinadas. 
 
Exemplos: Classe Social (A, B, C, D, E); Grau de Satisfação (Satisfeito, Indiferente, 
Insatisfeito); Imagem da marca (Ótima, Boa, Regular, Ruim, Péssima); Classificação do 
Índice de Massa Corporal - IMC (baixo peso, normal, obesidade leve, obesidade severa, 
obesidade mórbida); Grau de importância (nenhuma, pouca, razoável, muito); 
Escolaridade; etc. 
 
Variáveis Quantitativas: são as características que podem ser medidasem uma escala 
quantitativa, ou seja, apresentam valores numéricos/quantidades. Podem ser contínuas 
ou discretas. 
Variável Quantitativa Discreta: Número de valores finitos/infinitos ou uma quantidade 
enumerável e não assumem valores fracionários. São variáveis expressas por números 
inteiros (0, 1, 2, 3, 4,...). 
Exemplos: Número de peças não-conformes; Número de acidentes em uma rodovia; 
Número de filhos; Número de produtos defeituosos; Número de assassinatos; Número 
de mensagens enviadas por minutos; etc. 
 
Variável Quantitativa Contínua: Infinitos valores possíveis que correspondem a alguma 
escala contínua que cobre um intervalo de valores sem vazios, interrupções ou saltos. 
Desta forma, seus resultados podem assumir qualquer valor ao longo de uma escala. São 
variáveis expressas por números reais. 
Exemplos: Diâmetro de uma peças (mm); Gasto diário de água (l); Peso (Kg); Altura 
(m); Temperatura (Grau Celsius); Tempo (min); etc. 
 
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2. ESTATÍSTICA DESCRITIVA 
Após a coleta de dados a primeira necessidade do pesquisador é a leitura das 
informações básicas provenientes da sua pesquisa. Essa primeira análise inicial é feita 
através da Análise Descritiva por meio da construção de tabelas de frequência, gráficos 
e o cálculo de algumas medidas estatísticas (resumos numéricos). 
 
 
 
A Estatística Descritiva pode ser estudada considerando os conjuntos de valores 
analisados como sendo amostras ou populações. Como o caso mais comum é a obtenção 
de amostras a notação apresentada será feita considerando os valores como resultados 
de amostragens. A diferença, considerada do ponto de vista da descrição dos dados, é 
apenas notacional. Assim o tamanho de uma população (quando finita) é representado, 
normalmente por N, enquanto que o tamanho de amostra é representado por n. Afora 
algumas exceções os valores calculados na amostra são representados por letras latinas 
enquanto que os correspondentes na população o são pelas mesmas letras só que gregas. 
 
 
2.1 RESUMOS NUMÉRICOS 
 
2.1.1 Medidas de Tendência Central ou de Posição 
 
As medidas de tendência central são usadas para indicar um valor que tende a 
representar melhor um conjunto de números. As três medidas mais usadas são a média, 
a mediana e a moda. 
 
Um conjunto de valores (amostra) será representada por: x1, x2, ..., xn, onde n é o 
número de elementos do conjunto, isto é, o tamanho da amostra. 
 
2.1.1.1 A MÉDIA ARITMÉTICA 
(a) MÉDIA ARTIMÉTICA SIMPLES AMOSTRAL ( X ) 
 
A média aritmética é o resultado da divisão da soma de todos os valores da amostra pela 
quantidade total de valores. A média aritmética simples amostral do conjunto x1, x2, ..., 
xn é representada por X e calculada por: 
 
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( )
n
xxx
n
x
n
n
i
i
X
+++
==
∑
= ...211
___
 
 OBS: 
__
X lê-se x barra e significa Média. ∑
=
n
i
ix
1
lê-se somatório de xi, com i variando de 
1 a n. 
 
Na Estatística, é comum utilizar as letras gregas para representar parâmetros 
populacionais e as letras latinas para representar estimadores amostrais. A média de 
uma população é representada pela letra grega µ, enquanto que na amostra é 
representada por X . 
 
Algumas propriedades da média: 
 
• A média é afetada por todos os valores do conjunto, assim, se um número se modifica, 
a média também se modifica. 
• Multiplicando-se (ou dividindo-se) todos os valores de uma variável por uma 
constante, a média do conjunto fica multiplicada (ou dividida) por essa constante. 
• Somando-se uma constante a cada valor do conjunto, a média ficará aumentada do 
valor constante. Analogamente, extraindo-se um valor constante de cada valor do 
conjunto, a média também ficará diminuída desse valor. 
• A soma dos desvios dos números de um conjunto a contar da média é zero. 
 
Exemplo: 20 25 22 24 70 25 
 
31
6
186
6
)257024222520(
6
654321
__
==
+++++
=
+++++
=
XXXXXX
X 
 
Exemplos: 
Calcular as médias dos seguintes conjuntos de dados: 
(a) 1 9 (b) 4 6 7 (c) 0,5 0,8 1,5 1,75 
 
Para o conjunto em (a) tem-se: 
5
2
)91(
2
21
__
=
+
=
+
=
XX
X 
Para o conjunto em (b) tem-se: 
7,5
3
)764(
3
321
__
=
++
=
++
=
XXX
X 
Para o conjunto em (c) tem-se: 
( )
14,1
4
75,15,18,05,0
4
4321
__
=
+++
=
+++
=
XXXX
X 
 
 
 
 
 
 
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Exercício: Considere os seguintes gastos (em reais) que 10 pessoas tiveram com 
compras de supermercado no último mês. 
 
R$612,50 R$608,00 R$640,00 R$624,80 R$920,00 
R$631,00 R$625,00 R$660,00 R$610,00 R$600,00 
 
a) Qual é o gasto médio? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolvendo no RStudio: 
#sintaxe: 
mean(dados) 
 
#Exemplo: 
gastos <- c(612.50,608,640,624.80,920,631,625,660,610,600) 
mean(gastos) 
[1] 653,13 
 
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(b) MÉDIA ARIMÉTICA PONDERADA (map): 
 
A fórmula para calcular a média aritmética supõe que cada observação tenha a mesma 
importância. A média ponderada considera que as informações não têm a mesma 
importância, ou seja, deve ser levado em conta o peso (w) das informações. 
 
A média aritmética ponderada do conjunto x1, x2, ..., xn, com pesos w1, w2, ..., wn, é 
representada por map e calculada por: 
( )
( )n
nn
n
i
i
n
i
ii
p
www
xwxwxw
w
xw
ma
+++
+++
==
∑
∑
=
=
...
...
21
2211
1
1
 
Onde wi é o peso da observação de ordem i. 
 
Exemplo: 
Consideremos que um professor informe a classe de que haverá dois exames parciais, 
valendo cada um 30% da nota e um exame final valendo 40%. Um aluno obtém 
desempenho 70 na primeira avaliação, 65 na segunda e 80 no exame final. Qual é a 
média de desempenho deste aluno? 
( )
( )
50,72
40,030,030,0
40,08030,06530,070
1
1 =
++
×+×+×
==
∑
∑
=
=
n
i
i
n
i
ii
p
w
xw
ma 
 
Exercício: Considere uma mesma pesquisa de satisfação de uma determinada empresa 
prestadora de serviços que foi aplicada durante cinco anos consecutivos. A variável 
avaliada foi a nota (de 0 a 10) atribuída à Qualidade de um serviço por clientes do 
mesmo. As avaliações médias de cada ano estão descritas abaixo: 
 
ANO AVALIAÇÃO MÉDIA N° de respondentes 
2014 8,4 100 
2015 7,2 200 
2016 8,0 150 
2017 8,2 100 
2018 8,5 100 
 
Qual é a avaliação média dos 5 anos? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Resolvendo no RStudio: 
#sintaxe: 
weighted.mean(variável,peso) 
 
#Exemplo: 
nota<-c(8.4,7.2,8.0,8.2,8.5) 
peso<-c(100,200,150,100,100) 
weighted.mean(nota,peso) 
 
 [1] 7.923077 
 
2.1.1.2 MEDIANA (me) 
 
A principal característica da mediana é dividir o conjunto de números ordenados em 
dois grupos iguais: a metade terá valores inferiores ou iguais à mediana e a metade terá 
valores superiores ou iguais à mediana. Assim, a mediana de um conjunto ordenado de 
valores, denotada por me, é definida como sendo o valorque separa o conjunto em dois 
subconjuntos do mesmo tamanho. 
Para calcular a mediana inicia-se ordenando os valores em ordem crescente. 
Para número ímpar de valores a mediana é o valor do meio. Para amostras com número 
par de unidades, a mediana é a média dos dois valores centrais. 
 
Como calcular a Mediana? 
 
- Se o n (tamanho da amostra) é ÍMPAR a mediana é o valor central do conjunto de 
dados ordenado. Tem-se: 
 
( ) 2/1+= ne xm => Representa a posição da mediana no conjunto ordenado 
 
- Se o n (tamanho da amostra) é PAR a mediana é a média dos dois elementos centrais 
do conjunto de dados ordenado. Tem-se: 
 
 
( ) ( )( )
2
12/2/ ++
=
nn
e
xx
m => Representa a posição da mediana no conjunto ordenado 
 
Exemplo1: 
 
Para o conjunto: 15 18 21 32 45 46 49 
A mediana é: 
( ) 3242/17 === + xxme 
Ou seja, a mediana é o quarto valor (quarta posição) na sequência ordenada de 
elementos. 
 
Se o conjunto acima fosse: 15 18 21 32 45 46 
Então a mediana seria: 
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 50,26
2
3221
222
4312/62/612/2/ =
+
=
+
=
+
=
+
=
++ xxxxxx
m
nn
e 
 
 
 
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Exemplo2: 
 
Amostra Num. de elementos Dados ordenados Mediana 
_______________________________________________________________________________ 
3 4 4 5 3 6 2 5 6 9 elementos -> ÍMPAR 2 3 3 4 4 5 5 6 6 4 
 
2 4 3 1 9 9 3 4 8 elementos -> PAR 1 2 3 3 4 4 9 9 3,5 
 
4 5 3 4 2 6 4 3 
 
7 8 4 2 6 1 3 6 2 1 
_______________________________________________________________________________ 
 
Exercício: Considere os seguintes gastos (em reais) que 10 pessoas tiveram com 
compras de supermercado no último mês. 
R$612,50 R$608,00 R$640,00 R$624,80 R$920,00 
R$631,00 R$625,00 R$660,00 R$610,00 R$600,00 
 
a) Qual é o gasto mediano? Interprete. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolvendo no RStudio: 
#sintaxe: 
median(dados) 
 
#Exemplo: 
gastos <- c(612.50,608,640,624.80,920,631,625,660,610,600) 
median(gastos) 
 [1] 624.90 
 
 
 
 
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2.1.1.3 QUARTIS e BOXPLOT 
 
Os quartis são medidas separatrizes que dividem o conjunto em 4 partes iguais. O 
primeiro quartil (Q1) é o valor do conjunto que delimita os 25% menores valores: 25% 
dos valores são menores do que Q1 e 75% são maiores do que Q1. O segundo quartil 
(Q2) é a própria mediana (me), que separa os 50% menores dos 50% maiores valores. O 
terceiro quartil (Q3) é o valor que delimita os 25% maiores valores: 75% dos valores 
são menores do que Q3 e 25% são maiores do que Q3. 
Primeiro, ordene o conjunto de dados e encontre a mediana Q2. Depois de encontrar 
Q2, divida o conjunto de dados em duas metades. O primeiro e o terceiro quartil são as 
medianas das metades inferior (Q1) e superior (Q3) do conjunto de dados. 
 
Quartil Notação Interpretação 
1° Quartil Q1 25% dos dados são valores menores ou iguais ao valor do 
Q1 
2° Quartil Q2 = me 50% dos dados são valores menores ou iguais ao valor do 
Q2 = me 
3° Quartil Q3 75% dos dados são valores menores ou iguais ou Q3 
 
Gráfico Box Plot: 
 
O gráfico Box Plot (conhecido como “Caixa e Bigode”) possui o objetivo de verificar a 
distribuição dos dados e é uma análise gráfica que utiliza cinco medidas estatísticas: 
valor mínimo, valor máximo, mediana, primeiro (Q1) e terceiro quartil (Q3) da 
variável quantitativa. Este conjunto de medidas oferece a ideia do centro dos dados 
(mediana), dispersão (amplitude), assimetria, caudas e dados discrepantes (outliers) do 
conjunto de dados. 
 
- O centro da distribuição é indicado pela linha da mediana (me), no centro do quadrado. 
- A dispersão é representada pela distância interquartílica d = Q3 – Q1. Quanto maior 
for a amplitude, maior a variação nos dados. 
- As posições relativas de Q1, Q2 e Q3 dão uma noção da assimetria da distribuição. 
O retângulo contém 50% dos valores do conjunto de dados. A posição da linha mediana 
no retângulo informa sobre a assimetria da distribuição. 
Uma distribuição simétrica teria a mediana no centro do retângulo. Se a mediana é 
próxima de Q1, então, os dados possuem assimetria positiva ou à direita. 
Se a mediana é próxima de Q3 os dados possuem assimetria negativa ou à esquerda. 
 
No exemplo abaixo a distribuição dos dados é simétrica. 
 
 
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E nos casos A e B temos exemplos de distribuições assimétricas à direita e à esquerda. 
 
A: Assimetria positiva ou à direita 
 
 
 
 
B: Assimetria negativa ou à esquerda 
- Os comprimentos das caudas são dados pelas linhas que vão do retângulo aos valores 
atípicos. 
- Um outlier ou ponto discrepante é um valor que se localiza distante de quase todos os 
outros pontos da distribuição. A distância a partir da qual considera-se um valor como 
discrepante é aquela que supera 1,5 x d. De maneira geral, são considerados outliers 
todos os valores inferiores Li = Q1 – 1,5 x d ou superiores a Ls = Q3 + 1,5 x d. 
Os outliers em um Box Plot aparecem como pontos ou asteriscos fora das “linhas” 
desenhadas. Perceba que no desenho abaixo que temos um outlier representado pelo 
asterisco no começo do gráfico. 
 
 
 
Legenda: 
Q2 = me: Mediana (linha horizontal 
escura dentro do box) 
Q1: 1° Quartil (Limite inferior do box) 
Q3: 3° Quartil (Limite superior do box) 
d: Diferença (distância) interquartílica 
(d = Q3 – Q1) 
*: Outlier (valores acima de 1,5 x d) 
Li: Limite inferior 
Ls: Limite superior 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Avaliação da Assimetria e Dispersão pelos Quartis: 
 
 
 
Simétrico 
 
 
 
 
Simétrico, com maior 
Dispersão 
 
 
 
Assimétrico para 
Direita (positiva) 
 
 
 
Assimétrico para 
Esquerda (negativa) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Q1 Q2 Q3 
Q1 
Q1 
Q1 
Q2 
Q2 
Q2 
Q3 
Q3 
Q3 
25% 25% 25% 25% 
25% 25% 25% 25% 
25% 25% 
25% 25% 
25% 25% 
25% 25% 
 
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Exemplo: 
Considere a variável idade dos 22 alunos da turma de CEQ 2021/1: 
 
18 18 19 20 20 20 20 20 20 21 21 
22 23 24 25 25 25 26 29 30 35 37 
 
Como os dados já estão em ordem crescente, determinar as medidas: 
 
Mediana (Q2): 
Como o n = 22 é par, a mediana será: 
 
( ) ( )( ) ( ) ( ) 50,21
2
2221
222
12111)2/22()2/22(12/2/ =
+
=
+
=
+
=
+
=
++ xxxxxx
m
nn
e 
 
1° Quartil (Q1): 
Q1 = 20 
 
3° Quartil (Q3): 
Q3 = 25 
 
Distância interquartílica: 
d= Q3 – Q1 = 25 – 20 = 5 
 
 
Limite inferior: 
Li = Q1 – 1,5 x d = 20 – (1,5 x 5) = 12,50 
 
Limite superior: 
Ls = Q3 + 1,5 x d = 25 + (1,5 x 5) = 32,50 
 
Construir uma escala com valores que incluam os valores máximo e mínimo dos dados: 
 
 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
 
Construir uma caixa (retangular) estendendo-se de Q1 a Q3, e trace uma linha na caixa 
no valor da Mediana: 
 
 Q1 Q2 Q3 
 
 
 
 
 
 
 18 19 20 2122 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
 
Traçar uma linha paralela à reta, com uma das extremidades alinhada ao limite inferior 
Li e a outra no centro do lado do retângulo correspondente ao Q1. Trace uma outra linha 
paralela à reta, com uma extremidade no centro do lado do retângulo correspondente ao 
 
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 16 
 
Q3 e a outra alinhadas com o limite superior Ls. E identificar os dados discrepantes 
(outliers): 
 Q1 Q2 Q3 
 
 
 
 * * 
 
 
 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
 
 
 
 
No conjunto de dados não existe aluno com idade inferior a 12,50 (Li), ou seja, não há 
aluno com idade considerada discrepante inferiormente. Entretanto, existem 2 alunos 
cujas idade são superiores a 32,50, pontos estes considerados discrepantes (outliers) 
neste conjunto de dados: as idades 35 e 37. 
Nota-se que no intervalo interquartílico (dentro do retângulo) existem 50% dos dados, 
dos quais, 25% estão entre a linha da mediana (Q2) e a linha do Q1 e os outros 25% 
estão entre a linha da mediana (Q2) e a linha do Q3. Cada linha da cauda mais os 
valores discrepantes contem os 25% restantes da distribuição. O boxplot mostra que a 
distribuição das idades dos alunos apresenta assimetria positiva (menores valores). 
 
Interpretação dos Quartis: 
Q1 = 20 anos => 25% das idades dos alunos estão abaixo de 20 anos e 75% das idades 
dos alunos estão acima de 20 anos. 
Q2 = Mediana = 21,5 anos => 50% das idades dos alunos estão abaixo de 21,5 anos e 
50% das idades dos alunos estão acima de 21,5 anos. 
Q3 = 25 anos => 75% das idades dos alunos estão abaixo de 25 anos e 25% das idades 
estão acima de 25 anos. 
 
Resolvendo no RStudio: 
dados<-
c(18,18,19,20,20,20,20,20,20,21,21,22,23,24,25,25,25,26,29,30,35,37) 
summary(dados) 
 
 Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max. 
 18.00 20.00 21.50 23.55 25.00 37.00 
boxplot(dados) 
 
Ls Li 
 
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 17 
 
 
Aqui parece estar ocorrendo uma assimetria à direita (positiva). 
 
Exercício: Considere os seguintes gastos (em reais) que 10 pessoas tiveram com 
compras de supermercado no último mês. 
 
R$612,50 R$608,00 R$640,00 R$624,80 R$920,00 
R$631,00 R$625,00 R$660,00 R$610,00 R$600,00 
 
a) Quais são os Quartis dos gastos? Calcule no RStudio e Interprete-os. 
b) Plote o Box Plot dos gastos no RStudio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolvendo no RStudio: 
#sintaxe: 
summary(dados) 
boxplot(dados) 
 
 
#Exemplo: 
gastos <- c(612.50,608,640,624.80,920,631,625,660,610,600) 
summary(gastos) 
 
 Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max. 
 600.0 610.6 624.9 653.1 637.8 920.0 
 
 
 
boxplot(gastos) 
 
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Boxplot comparativo ou estratificado: 
 
O gráfico Boxplot pode ser utilizado para realizar comparações entre várias 
distribuições. Essa comparação pode ser feita plotando vários boxplots numa mesma 
figura. A figura abaixo apresenta o boxplot para a variável idade classificada segundo o 
gênero do aluno. Nota-se que para o sexo feminino, não há valores discrepantes 
(outliers) e a distribuição apresenta assimetria positiva, com idade mediana inferior ao 
do sexo masculino. 
 
 
 
Exemplo: O conjunto de dados apresenta dados de viscosidade de três misturas 
diferentes. 
Mistura 1 Mistura 2 Mistura 3 
22.02 21.49 20.33 
23.83 22.67 21.67 
26.67 24.62 24.67 
25.38 24.18 22.45 
 
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25.49 22.78 22.29 
23.50 22.56 21.95 
25.90 24.46 20.49 
24.89 23.79 21.81 
 
Resolvendo no RStudio: 
#sintaxe: 
summary(dados) 
boxplot(dados) 
 
#Exemplo: 
mistura1<-c(22.02,23.83,26.67,25.38,25.49,23.50,25.90,24.89) 
mistura2<-c(21.49,22.67,24.62,24.18,22.78,22.56,24.46,23.79) 
mistura3<-c(20.33,21.67,24.67,22.45,22.29,21.95,20.49,21.81) 
summary(mistura1) 
 Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max. 
 22.02 23.75 25.14 24.71 25.59 26.67 
summary(mistura2) 
 Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max. 
 21.49 22.64 23.29 23.32 24.25 24.62 
summary(mistura3) 
 Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max. 
 20.33 21.38 21.88 21.96 22.33 24.67 
 
boxplot(mistura1,mistura2,mistura3) 
 
Como podemos observar, as misturas apresentam níveis médios diferentes de 
viscosidade, decrescentes da mistura 1 para a mistura 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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OBS: Observando a figura abaixo, a qual realiza a comparação do Boxplot com a 
função densidade de probabilidade (histograma teórico) de uma população com 
distribuição normal com média 0 e desvio padrão 1, mostra a quantidade de informações 
que esse gráfico possui. Uma vez que o boxplot é uma forma rápida de examinar um ou 
mais conjuntos de dados graficamente. Embora pareça mais primitivo que o histograma, 
o boxplot apresenta vantagens por prover mais dados além da mediana e/ou a média. De 
fato, a largura do boxplot pode até ser usada como uma medida de informação dos 
dados, representando em alguma proporção o tamanho do conjunto de dados. 
 
 
 
 
 
2.1.1.4 MODA (mo) 
 
A moda de um conjunto de valores é definida como sendo “o valor (ou os valores) do 
conjunto que mais se repete”, ou seja, é o ponto máximo de uma distribuição. Convém 
lembrar que a moda, ao contrário da mediana e da média, pode não ser única, isto é, 
um conjunto pode ser bimodal, trimodal, etc. ou mesmo amodal (sem moda). Se a moda 
existir será representada por mo. 
 
Exemplo1: 
Seja o conjunto de dados: 1 3 3 6 7 3 8 8 7 4 
A moda deste conjunto de dados é mo = 3. Pois este valor se repete três vezes e qualquer 
outro valor se repete duas vezes ou menos. 
 
 
 
 
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Exemplo2: 
Seja o conjunto de dados: 1 2 3 4 5 6 
Este conjunto de dados é amodal, ou seja, não tem moda. 
 
Exemplo3: 
Seja o conjunto de dados: 0 0 0 0 0 200 
A moda deste conjunto de dados é mo = 0. Pois este valor se repete cinco vezes. 
 
Exemplo4: 
Seja o conjunto de dados: 2 3 0 0 1 4 4 
Este conjunto de dados é BIMODAL, ou seja, possui a mo = 0 e mo = 4. 
 
Exercício: Considere os seguintes dados referente ao número de disciplinas que os 
alunos de CEQ estão matriculados no semestre 2021/1. Identifique a moda do conjunto 
de dados. 
 5 4 3 5 2 7 6 5 4 4 3 
 7 4 2 5 4 5 4 3 7 5 4 
 2 3 4 6 6 8 2 5 4 4 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolvendo no RStudio: 
OBS: No R existem duas formas que podemos utilizar para encontrarmos a moda de 
uma série de dados. São elas: 
• table(): estecomando ordena em ordem crescente os dados e indica o número de vezes 
em que o elemento se repete na série de dados apresentada. É utilizado para encontrar a 
moda em pequenas amostras. 
 
• subset(): em oposição ao item anterior esta função é utilizada quando o tamanho da 
amostra é grande. O comando para a obtenção da moda é dado abaixo: 
 
#sintaxe: 
subset(table(), table() == max(table())) 
 
#Exemplo: 
y<-
c(5,4,3,5,2,7,6,5,4,4,3,7,4,2,5,4,5,4,3,7,5,4,2,3,4,6,6,8,2,5,4,4,4) 
table(y) 
y 
 2 3 4 5 6 7 8 
 4 4 11 7 3 3 1 
 
 
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y 
 [1] 5 4 3 5 2 7 6 5 4 4 3 7 4 2 5 4 5 4 3 7 5 4 2 3 4 6 6 8 2 5 4 4 4 
subset(table(y),table(y)==max(table(y))) 
 
4 
11 
No exemplo o valor que mais se repete é o 4, com 11 ocorrências. Logo 4 disciplinas é 
a moda, ou seja, o elemento que mais se repete. 
 
 
Relação entre Média, Moda e Mediana 
 
A Figura abaixo representa o formato que a distribuição dos dados pode assumir 
(assimétrico à direita, simétrico e assimétrico à esquerda). Nessas situações, média, 
moda e mediana respeitam uma ordem de grandeza. No primeiro caso, assimétria à 
direita, temos que a moda < mediana < média. No caso do formato simétrico ocorre 
que as três medidas possuem o mesmo valor média = moda = mediana. E no caso de 
assimétrico à esquerda, média < mediana < moda. 
 
 
 
2.1.2 Medidas de Dispersão ou de Variabilidade 
 
2.1.2.1 AMPLITUDE (r) 
 
A mais simples das medidas de dispersão é a amplitude, denotada por r, e definida 
como sendo a diferença entre os valores extremos do conjunto: 
 
 r = Xmax - Xmin 
 
 
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Exemplo 1: 
A amplitude do conjunto -5 4 0 3 8 10, vale: r = Xmax - Xmin = 10 – (-5) = 15. 
 
Exemplo 2: 
A amplitude do conjunto 4 8 9 2 8 5 6 3, vale: r = Xmax - Xmin = 9 – (2) = 7. 
 
 
Exercício: Considere os seguintes gastos (em reais) que 10 pessoas tiveram com 
compras de supermercado no último mês. 
 
R$612,50 R$608,00 R$640,00 R$624,80 R$920,00 
R$631,00 R$625,00 R$660,00 R$610,00 R$600,00 
 
d) Qual é a amplitude dos gastos? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolvendo no RStudio: 
 
#Sintaxe: 
max(dados) - min(dados) ou range(dados) 
 
#Exemplo: 
gastos <- c(612.50,608,640,624.80,920,631,625,660,610,600) 
max(gastos) - min(gastos) 
[1] 320 
 
range(gastos) 
[1] 600 920 
 
diff(range(gastos)) 
[1] 320 
 
 
2.1.2.2 VARIÂNCIA AMOSTRAL (s2) 
 
A medida de dispersão usual é a variância e principalmente sua raiz quadrada que é 
denominada de desvio-padrão. A variância amostral é denotada por s2 e definida como 
sendo a média dos quadrados dos desvios em relação à média aritmética. 
 
( ) ( ) ( ) ( )
1
...
1
22
2
2
11
2
2
−
−++−+−
=
−
−
=
∑
=
n
XXXXXX
n
XX
s n
n
i
i
 
 
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OBS: Quando se deseja a variância populacional (σ2), deve-se substituir n-1 por N na 
fórmula. Usualmente iremos utilizar a variância amostral. 
 
Exemplo: 
Calcule a variância para os seguintes dados: 
2 4 6 8 10 
 
Solução: 
Primeiro temos que calcular a média: 
( )
6
5
108642__
=
++++
=X 
Agora vamos aplicar a fórmula da variância: 
10
15
40
15
)610()68()66()64()62(
1
)( 22222
1
2
__
2 =
−
=
−
−+−+−+−+−
=
−
−
=
∑
=
n
XX
s
n
i
i
X 
 
2.1.2.3 DESVIO PADRÃO AMOSTRAL (s) 
 
O desvio padrão é simplesmente a raiz quadrada da variância. 
( ) ( ) ( )
1
...
1
22
2
2
11
2__
−
−++−+−
=
−






−
=
∑
=
n
XXXXXX
n
XX
s n
n
i
i
X 
 
Como anteriormente, a substituição de n-1 por N produz a fórmula para o desvio padrão 
populacional (σ). 
 
OBS: A correção de Bessel (eliminando 1 grau de liberdade para n < 30) torna a 
variância amostral um estimador da variância populacional não-viesado. 
 
Exemplo: 
Calcule o desvio padrão para os seguintes dados: 
-7 4 0 3 8 10 
 
Primeiro temos que calcular a média: 
( )
3
6
1083047__
=
+++++−
=X 
 
Agora vamos aplicar a fórmula do desvio padrão: 
07,6
16
184
16
)310()38()33()30()34()37(
1
222222
1
2__
=
−
=
−
−+−+−+−+−+−−
=
−






−
=
∑
=
n
XX
s
n
i
i
X
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 25 
 
Exercício: Considere os seguintes gastos (em reais) que 10 pessoas tiveram com 
compras de supermercado no último mês. 
 
R$612,50 R$608,00 R$640,00 R$624,80 R$920,00 
R$631,00 R$625,00 R$660,00 R$610,00 R$600,00 
 
e) Qual é desvio padrão dos gastos? Interprete-o. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolvendo no RStudio: 
#Sintaxe: 
sd(dados) 
 
#Exemplo: 
gastos<- c(612.50,608,640,624.80,920,631,625,660,610,600) 
sd(gastos) 
[1] 95.39003 
 
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2.1.2.4 COEFICIENTE DE VARIAÇÃO (CV) 
 
O coeficiente de variação é uma medida de variação útil para comparar conjuntos de 
dados diferentes. Ele é usualmente expresso em percentual. 
 
O coeficiente de variação é dado pelo quociente entre o desvio padrão e a média dos 
dados. 
 
__
X
s
Média
ãoDesvioPadr
CV == 
 
OBSERVAÇÃO: O conjunto de dados que tiver o maior CV dentre os demais é dito o 
conjunto mais heterogêneo, ou seja, o grupo com maior variabilidade. E, por sua vez, o 
conjunto de dados que tiver o menor CV dentre os demais conjuntos é dito o conjunto 
mais homogêneo. 
 
Exemplo: 
Entre os conjuntos de dados a seguir apresentados, qual apresenta maior variabilidade? 
 
 Conjunto A Conjunto B 
12 3 
25 4 
16 5 
23 2 
 
Solução: 
 
 
Conjunto A: 
19
4
23162512
4
4321 =
+++
=
+++
=
XXXX
X A 
 
06,6
3
110
3
)1693649(
3
)1923()1916()1925()1912(
14
)()()()(
1
)(
2222
2
__
4
2
__
3
2
__
2
2
__
11
2
__
==
=
+++
=
−+−+−+−
=
=
−
−+−+−+−
=
−
−
=
∑
= XXXXXXXX
n
XX
s
n
i
i
A
 
3187,0
19
06,6
===
A
A
A
X
s
CV 
 
 
 
 
 
 
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Conjunto B: 
5,3
4
2543
4
4321 =
+++
=
+++
=
XXXX
X B 
 
29,167,1
3
5
3
)25,225,225,025,0(
3
)5,32()5,35()5,34()5,33(
14
)()()()(
1
)(
2222
2
__
4
2
__
3
2
__
2
2
__
11
2
__
===
=
+++
=
−+−+−+−
=
=
−
−+−+−+−
=
−
−
=
∑
= XXXXXXXX
n
XX
s
n
i
i
B
 
 
3687,0
5,3
29,1
===
B
B
B
X
s
CV 
 
Resolvendo no RStudio: 
#Sintaxe: 
100*sd(dados)/mean(dados) #dado em porcentagem 
 
#Exemplo: 
A<-c(12,25,16,23) 
B<-c(3,4,5,2) 
CV1 = 100*sd(A)/mean(A) 
CV2 = 100*sd(B)/mean(B) 
CV1 
CV2 
 
CV1 
[1] 31.87 
CV2 
[1] 36.88556 
 
 
Conclusão: O conjunto que possui maior variabilidade, ou seja, o conjunto mais 
heterogêneo é o B, pois é o conjunto com o maior CV = 36,87%. 
 
 
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Exercício: 
Uma certa empresa que fabrica duas linhas de produtos (A e B) necessita reestruturar sua 
produção. Foi realizado um estudo para tal finalidade e uma das variáveis consideradas foi a 
venda (quantidade mensal) de cada tipo de produto (A e B). Para este estudo foi tomado 
como referência o primeiro semestre de determinado ano, onde foram verificadas as 
seguintes quantidades de vendas: 
 
Produto A 15 31 32 25 24 25 
Produto B 25 20 30 28 27 14 
 
a) Calcule a média das vendas do produto A e do produto B. 
b) Calcule a mediana das vendas do produto A e do produto B. 
c) Calcule o desvio padrão das vendas do produto A e do produto B e interprete cada desvio 
padrão. 
d) Qual dos produtos (A ou B) apresentou maior estabilidade nas vendas mensais? 
Justifique apresentando cálculo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 29 
 
Resolvendo no RStudio: 
#Sintaxe: 
100*sd(dados)/mean(dados) #dado em porcentagem 
 
#Exemplo: 
#Digitação dos dados 
A<-c(15,31,32,25,24,25) 
B<-c(25,20,30,28,27,14) 
 
#Médias 
mean(A) 
mean(B) 
 
#Medianas: 
median(A) 
median(B) 
 
#Desvios Padrões: 
sd(A) 
sd(B) 
 
#Coeficientes de Variação: 
CV1 = 100*sd(A)/mean(A) 
CV2 = 100*sd(B)/mean(B) 
CV1 
CV2 
 
mean(A) 
[1] 25.33333 
mean(B) 
[1] 24 
median(A) 
[1] 25 
median(B) 
[1] 26 
sd(A) 
[1] 6.08824 
sd(B) 
[1] 5.966574 
CV1 = 100*sd(A)/mean(A) 
CV2 = 100*sd(B)/mean(B) 
CV1 
[1] 24.03253 
CV2 
[1] 24.86072 
 
 
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 30 
 
2.2 TABELAS OU DISTRIBUIÇÕES DE FREQUÊNCIAS 
Ao se trabalhar com grandes conjuntos de dados, em geral é útil organizá-los e resumi-
los em uma tabela, chamada de distribuição de frequência. 
 
Uma distribuição de frequência (ou tabela de frequência) lista os valores dos dados 
(individualmente ou por grupos de intervalos), juntamente com suas freqüências 
correspondentes (ou contagens). Assim, uma distribuição de freqüência nos ajuda a 
entender a natureza da distribuição do conjunto de dados. 
 
A variável (ou conjunto) discreta (valores que são resultados de contagem) e a variável 
(ou conjunto) contínua (valores que são resultados de uma medida). Em geral variáveis 
discretas são agrupadas em distribuições por ponto ou valores e variáveis contínuas 
em distribuições por classes ou intervalos. A separação não é rígida e depende 
basicamente dos dados considerados. Poderá ser necessário usar uma distribuição por 
classes ou intervalos mesmo quando a variável é discreta. 
 
Tipos de frequências: Símbolo 
Frequência Simples Absoluta fi 
Frequência Simples Relativa fri 
Frequência Acumulada Absoluta Fi 
Frequência Acumulada Relativa Fri 
 
Elementos de uma distribuição de frequências: 
 
a) Frequência simples absoluta (fi): É o número de observações correspondente a cada 
nível ou categoria da variável descrita na tabela. A soma das frequências absolutas 
(∑ f ) corresponde ao tamanho da amostra (n). 
b) Frequência simples relativa ou percentual (fri): é definida como o quociente entre 
a frequência simples absoluta (fi) e o tamanho da amostra (n). É uma expressão da 
proporção (ou probabilidade) de ocorrência daquele valor no estudo. As frequências 
relativas são frequentemente expressas em percentuais (por isso que se recomenda 
multiplicar por 100). 
fri = (fi / n).100 
 
c) Frequência acumulada absoluta (Fi): a frequência acumulada absoluta da linha i é 
definida como sendo a soma das frequências absolutas até a linha i. Ou seja, 
corresponde ao total (acumulado) das frequências absolutas observadas até o nível em 
questão (inclusive). 
 Fi = f1 + f2 + ... + fi 
 
d) Frequência acumulada relativa ou percentual (Fri): a frequência acumulada 
relativa da linha i é definida como sendo a soma das frequências relativas até a linha i. 
Fri = fr1 + fr2 + ... + fri 
 
Ou, então, como sendo o quociente da frequência acumulada absoluta (Fi) pelo tamanho 
da amostra (n): 
 Fri = (Fi / n).100 
 
 
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Comandos no RStudio: 
#Frequencia Absoluta Simples 
tab <- table(dados$variável) 
 
#Frequencia Relativa Simples 
relFreq <- prop.table(tab) 
 
#Frequencia Absoluta Acumulada 
cumsum(tab) 
 
#Frequencia Relativa Acumulada 
cumsum(relFreq) 
 
Exemplo de construção de uma Tabela de Frequência genérica: 
i X: Variável fi fri (%) Fi Fri (%) 
1 X1 f1 
 
fr1 = (f1 / n).100 
 
F1 = f1 Fr1 = fr1 
2 X2 f2 fr2 = (f2 / n).100 F2 = f1 + f2 Fr2 = fr1 + fr2 
3 X3 f3 
 
fr3 = (f3 / n).100 
 
F3 = f1+ f2+ f3 Fr3 = fr1+ fr2+ fr3 
... ... ... ... ... ... 
 
k Xk fk frk = (fk / n).100 n 100% 
 Total (∑ ) n 100% - - 
Sendo i: número de linha da tabela (i = 1, 2, 3, ..., k) e n o tamanho da amostra. 
 
O primeiro passo para a construção de tabelas é a formatação dos dados em um Banco 
de Dados conforme é apresentada na figura a seguir: 
 
Coleta de Dados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6
5
4
3
2
1
Cliente
Ford2Casada31F
Ford0Solteiro25M
Chevrolet1Solteira28F
Fiat3Casada42F
Ford1Casado35M
Fiat0Solteira32F
Marca CarroNº FilhosEstado CivilIdadeSexo
CADASTRO OU BANCO DE DADOS DE UMA PESQUISACADASTRO OU BANCO DE DADOS DE UMA PESQUISA
 
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Tabulação: 
 
 
Formatação e Apresentação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Formatação de uma Tabela de Frequência: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sexo:
Feminino- 4 clientes
Masculino – 2 clientes
Estado Civil:
Solteiro (a) - 3 clientes
Casado (a) – 3 clientes
Idade:
Até 25 anos - 1 cliente
26 a 35 anos – 4 clientes
Mais de 35 anos – 1 cliente
Número de Filhos:
0 filhos - 2 clientes
1 filho – 2 clientes
2 filhos – 1 cliente
3 filhos – 1 cliente
Marca do carro:
Fiat - 2 clientes
Ford – 3 clientes
Chevrolet – 1 cliente
1006Total
33,32Feminino
66,74Masculino
%fSexo
16,71Até 25 anos
1006Total
16,71Mais de 35 anos
66,6426 a 35 anos
%fIdade
1006Total
50,03Casado (a)
50,03Solteiro (a)
%fEstado Civil
Tabela 3. Estado Civil
Tabela 2. IdadeTabela 1. Sexo
%Masculino= 4/6*100 = 66,7%
%Feminino = 2/6*100 = 33,3%
TABELASTABELAS DEDE FREQUÊNCIAFREQUÊNCIA
46,9120Até 50
21,95651 a 100
100256Total
16,442Mais de 150
14,838101 a 150
%fNº de funcionários
TítuloTítulo Porce
ntage
m
Porce
ntage
m
Frequ
ência
Frequ
ência
Variá
vel
Variá
vel
CabeçalhoCabeçalho
Tabela 1. Número de Funcionários
Não pode ter linhas Não pode ser fechada
 
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2.2.1 DISTRIBUIÇÃO POR CLASSES OU INTERVALOS 
 
Construção de distribuição de frequência para dados contínuos e para dados 
discretos (com muitas categorias) 
 
As principais etapas compreendem: 
 
1. Determinar a amplitude dos dados: 
 
Amplitude (r) = maior valor (Xmax) – menor valor (Xmin) 
 
2. Estabelecer a quantidade de classes (k) ou intervalos de agrupamento dos dados: 
 
O número de classes deve variar entre 5 e 15. O número de classes pode variar em 
função de arbitrariedade, mas existeuma regra conhecida como Regra de Sturges, 
nk log3,31 ×+= , onde k é o número de classes e n é o número de observações 
(tamanho da amostra). No R essa opção é o padrão do software. Mas também 
aconselha-se utilizar nk = , onde n é o número de observações (tamanho da amostra). 
 
3. Determinar a amplitude “r” de cada classe “i”: 
 
Sempre que possível é recomendável manter as amplitudes iguais. Aconselha-se dividir 
a amplitude dos dados (r) pelo número de classes (k), ou seja: 
 
k
r
ri = 
 
4. Definir a primeira classe (linha) e, consequentemente, as demais, enquadrar os 
dados nas classes mediante contagem e apresentar os resultados em uma tabela ou 
gráfico. 
 
Em geral, utiliza-se a simbologia (|---), neste caso, está indicando um intervalo fechado 
à esquerda e aberto à direita. Também poderia ser utilizado o intervalo aberto à 
esquerda e fechado à direita (---|). 
 
Onde: 
A | B (Inclui A e não inclui B) 
A | B (Inclui B e não inclui A) 
A || B (Inclui A e B) 
A  B (Não inclui A e B) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo: 
O conjunto de dados abaixo representa o tempo (em minutos) que 45 operadores 
demoraram para realizar uma determinada tarefa. Agrupe os dados em uma distribuição 
de frequências. 
 
6,5 4,0 7,1 8,3 5,4 7,6 9,0 15,7 16,7 
6,4 5,0 8,5 5,7 7,7 7,2 12,4 7,1 5,5 
9,7 4,4 7,0 6,3 8,3 6,9 5,7 7,6 7,9 
7,9 6,0 8,2 10,4 9,9 3,9 9,8 8,2 5,6 
7,9 6,4 7,4 7,0 13,0 8,7 6,4 6,7 7,4 
 
n = 45 (tamanho da amostra) 
 
1. Amplitude dos dados: r = Xmax – Xmin = 16,7 – 3,9 = 12,8 
 
2. Estabelecer o número de classes (k) → 77,645 ≅=== nk classes Ou 
75,6)45log(3,31log3,31 ≅=×+=×+= nk classes 
 
3. Determinar a amplitude r de cada classe i → 283,1
7
8,12
≅===
k
r
ri minutos 
 
4. Escrever as classes e contar os valores. 
Neste caso a primeira classe foi iniciada pelo valor 3, e como este não era o valor 
mínimo (3,9 minutos), o intervalo não precisou ser fechado em 3, desta forma, optou-se 
em deixar o intervalo aberto em 3 e fechado em 5 (3 ---| 5 ): 
Classe (i) Tempo (min.) 
 Freq. 
Simples 
Absoluta (fi) 
 Freq. 
Simples 
Relativa 
(fri) 
Freq. 
Acumulada 
Absoluta 
(Fi) 
Freq. 
Acumulada 
Relativa 
(Fri) 
1 3 ---| 5 4 8,9% 4 8,90% 
2 5 ---| 7 15 33,3% 19 42,2% 
3 7 ---| 9 18 40,0% 37 82,2% 
4 9 ---| 11 4 8,9% 41 91,1% 
5 11 ---| 13 2 4,4% 43 95,5% 
6 13 ---| 15 0 0,0% 43 95,5% 
7 15 ---| 17 2 4,4% 45 100,0% 
 TOTAL 45 100,0% - - 
 
Por exemplo, 
a fr3: 
 fr3 = f3 / n = 18 / 45 = 0,40 * 100 = 40,0% -> Verifica-se que 40,0% dos 
operadores executaram uma determinada tarefa depois de 7 minutos e até 9 minutos. 
 
a F5: 
 F5 = f1 + f2 + f3 + f4 + f5 = 4 + 15 + 18 + 4 + 2 = 43 -> Verifica-se que 43 
operadores executaram uma determinada tarefa em até 13 minutos. 
 
a Fr4: 
 Fr4 = fr1 + fr2 + fr3 + fr4 = 8,9 + 33,3 + 40,0 + 8,9 = 91,1% -> Verifica-se que 
91,1% dos operadores executaram uma determinada tarefa em até 11 minutos. 
 
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Gráfico da Distribuição de frequência por classes ou intervalos (HISTOGRAMA) 
 
Uma distribuição de frequências por classes ou intervalos é apresentada graficamente 
através de um diagrama denominado de histograma de frequências. 
 
Um histograma é um gráfico de retângulos justapostos onde a base de cada retângulo é a 
amplitude de cada classe e a altura é proporcional a frequência (simples ou relativa) de 
modo que a área de cada retângulo seja igual a frequência considerada. 
 
O gráfico abaixo ilustra o exemplo do tempo (em minutos) que 45 operadores 
demoraram para realizar uma determinada tarefa. Pelo histograma abaixo pode-se 
concluir que 33 operários, ou seja, 73,3% dos operários, executaram uma determinada 
tarefa entre 5 minutos a 9 minutos. 
 
8,9%
33,3%
40,0%
8,9%
4,4%
0,0%
4,4%
0,0%
10,0%
20,0%
30,0%
40,0%
50,0%
3 ---| 5 5 ---| 7 7 ---| 9 9 ---| 11 11 ---| 13 13 ---| 15 15 ---| 17
Tempo de execução de uma tarefa
 
 
 
Também pode ser construído um histograma utilizando-se as frequências acumuladas. 
Neste caso o diagrama resultante é denominado de ogiva. As figuras abaixo são 
exemplos de histogramas de frequências relativas acumuladas. 
 
 
 
 
 
 
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Resolvendo no RStudio: 
 
tempos<-
c(6.5,4.0,7.1,8.3,5.4,7.6,9.0,15.7,16.7,6.4,5.0,8.5,5.7,7.7,7.2,12.4,7
.1,5.5,9.7,4.4,7.0,6.3,8.3,6.9,5.7,7.6,7.9,7.9,6.0,8.2,10.4,9.9,3.9,9.
8,8.2,5.6,7.9,6.4,7.4,7.0,13.0,8.7,6.4,6.7,7.4) 
tempos 
 
O summary() indica que o menor valor é o 3,9 e o maior valor é o 16,7: 
 
summary(tempos) 
 Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max. 
 3.900 6.400 7.400 7.787 8.300 16.700 
 
Assim, pode-se escolher (arbitrariamente), que a primeira classe inicie em 3 e a última 
classe termine em 17, logo a Amplitude dos dados é 14. Ainda, pode-se definir a 
amplitude das classes. Nesse caso definiu-se como 2 (dividindo-se a Amplitude dos 
dados (14) pelo número de classes k (7), o qual foi definido pela Regra de Sturges). 
 
Com o uso da função seq() pode-se gerar os intervalos de classe: 
 
brk<-seq(3,17,2);brk 
[1] 3 5 7 9 11 13 15 17 
 
Nomes das classes: 
classes<-c("3-|5","5-|7","7-|9","9-|11","11-|13","13-|15","15-|17" 
 
No R, uma tabela de frequência absoluta simples pode ser construída com o comando 
table(). Mas para facilitar a construção das demais frequências (relativa e acumulada), 
podemos chamar toda a nossa table de um nome, por exemplo, “simples” (isso 
otimizará a construção dos códigos para as tabelas de frequência simples relativa e as 
acumuladas): 
 
#Frequencia Absoluta Simples 
Simples<-table(cut(tempos, breaks=brk, labels=classes, right=TRUE)) 
simples 
Ou 
simples<-table(cut(tempos, breaks=c(3,5,7,9,11,13,15,17), labels=c("3-
|5","5-|7","7-|9","9-|11","11-|13","13-|15","15-|17"),right=T)) 
simples 
 
 3-|5 5-|7 7-|9 9-|11 11-|13 13-|15 15-|17 
 4 15 18 4 2 0 2 
 
#Frequencia Relativa Simples 
(relFreq<-prop.table(simples)) 
 
3-|5 5-|7 7-|9 9-|11 11-|13 13-|15 15-|17 
0.0889 0.333 0.400 0.0889 0.044 0.000 0.0444 
 
 
#Frequencia Absoluta Acumulada 
cumsum(simples) 
 3-|5 5-|7 7-|9 9-|11 11-|13 13-|15 15-|17 
 4 19 37 41 43 43 45 
 
 
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#Frequencia Relativa Acumulada 
cumsum(relFreq) 
3-|5 5-|7 7-|9 9-|11 11-|13 13-|15 15-|17 
0.0889 0.4222 0.8222 0.9111 0.9556 0.9556 1.00 
 
 
plot(simples) 
ou 
plot(table(cut(tempos,breaks=brk,right=TRUE,labels=classes)),ylab="Fre
q.") 
 
 
 
hist(tempos,breaks=brk,freq=TRUE,right=TRUE,labels=classes,main="") 
 
 
 
 
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Resumindo, os códigos utilizados foram: 
 
tempos<-
c(6.5,4.0,7.1,8.3,5.4,7.6,9.0,15.7,16.7,6.4,5.0,8.5,5.7,7.7,7.2,12.4,7
.1,5.5,9.7,4.4,7.0,6.3,8.3,6.9,5.7,7.6,7.9,7.9,6.0,8.2,10.4,9.9,3.9,9.8,8.2,5.6,7.9,6.4,7.4,7.0,13.0,8.7,6.4,6.7,7.4) 
tempos 
 
summary(tempos) 
 
brk<-seq(3,17,2);brk 
 
classes<-c("3-|5","5-|7","7-|9","9-|11","11-|13","13-|15","15-|17") 
 
#Frequencia Absoluta Simples 
Simples<-table(cut(tempos, breaks=brk, labels=classes, right=TRUE)) 
simples 
#ou 
simples<-table(cut(tempos, breaks=c(3,5,7,9,11,13,15,17), labels=c("3-
|5","5-|7","7-|9","9-|11","11-|13","13-|15","15-|17"),right=T)) 
simples 
 
#Frequencia RElativa Simples 
(relFreq<-prop.table(simples)) 
 
#Frequencia Acumulada Simples 
cumsum(simples) 
 
#Frequencia Acumulada Relativa 
cumsum(relFreq) 
 
plot(simples) 
#ou 
plot(table(cut(tempos,breaks=brk,right=TRUE,labels=classes)),ylab="Fre
q.") 
 
hist(tempos,breaks=brk,freq=TRUE,right=TRUE,labels=classes,main="Histo
grama") 
 
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Exercício: O conjunto de dados amostrais a seguir lista o tempo (em minutos) que 50 
usuários de Internet gastaram na rede durante sua mais recente sessão. 
 
7 7 11 17 17 18 19 20 21 22 23 28 29 29 30 30 31 
31 33 34 36 37 39 39 39 40 41 41 42 44 44 46 50 51 
53 54 54 56 56 56 59 62 67 69 72 73 77 78 80 83 
 
a) Construa uma tabela de frequência por Classes para estes dados. 
 fi fri Fi Fri 
 
 
 
 
 
 
 
 
Total 
 
 
b) Construa o Histograma para estes dados e conclua. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Identifique e interprete as seguintes frequências: f6, fr4, F4, Fr3. 
 
 
 
 
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Resolvendo no RStudio: 
 
#Digitando os dados no R: 
tempo<-
c(7,7,11,17,17,18,19,20,21,22,23,28,29,29,30,30,31,31,33,34,36,37,39,3
9,39,40,41,41,42,44,44,46,50,51,53,54,54,56,56,56,59,62,67,69,72,73,77
,78,80,83) 
tempo 
 
#Agora usaremos a função summary() para calcular os resumos numéricos, ou seja, nos 
ajuda a identificar que o menor valor é o 7 e o maior valor é o 83. 
 
summary(tempo) 
 
 Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max. 
 7.0 29.0 39.5 41.9 55.5 83.0 
 
Assim, pode-se escolher (arbitrariamente), que a primeira classe inicie em 7 (que é o 
valor mínimo) e a última classe termine em 84 (assim abrangerá o valor máximo, que é 
83), logo a Amplitude dos dados é 77. Ainda, pode-se definir a amplitude das classes. 
Nesse caso definiu-se como 11 (dividindo-se a Amplitude dos dados (77) pelo número 
de classes k (7)), sendo que o k qual foi definido pela Regra de Sturges, ou seja, 
7)50log(3,31log3,31 =×+=×+= nk . 
 
Com o uso da função seq() pode-se gerar os intervalos de classe. 
 
brk<-seq(7,84,11);brk 
 
 [1] 7 18 29 40 51 62 73 84 
 
#Estabelecendo quais serão as classes com base no número de classes 
(k=7), com a amplitude das classes = 11 e iremos iniciar pelo valor 
mínimo (7), logo o intervalo deverá ser fechado à esquerda e aberto à 
direita, por isso que no RIGHTRIGHTRIGHTRIGHT iremos colocar FALSEFALSEFALSEFALSE, caso contrário, 
deveríamos colocar no RIGHTRIGHTRIGHTRIGHT = TRUETRUETRUETRUE) 
 
#Nomes das classes: 
classes<-c("7|-18","18|-29","29|-40","40|-51","51|-62","62|-73","73|-
84") 
 
No R, uma tabela de frequência absoluta simples pode ser construída com o comando 
table(). Mas para facilitar a construção das demais frequências (relativa e acumulada), 
podemos chamar toda a nossa table de um nome, por exemplo, “simples” (isso 
otimizará a construção dos códigos para as tabelas de frequência simples relativa e as 
acumuladas): 
#Frequencia Absoluta Simples 
Simples<-table(cut(tempo,breaks=brk,right=FALSE,labels=classes)) 
simples 
ou 
simples<-table(cut(tempo, breaks=c(7,18,29,40,51,62,73,84), 
labels=c("7|-18","18|-29","29|-40","40|-51","51|-62","62|-73","73|-
84"),right=F)) 
simples 
7|-18 18|-29 29|-40 40|-51 51|-62 62|-73 73|-84 
 5 7 13 8 8 4 5 
 
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#Frequencia Relativa Simples 
(relFreq<-prop.table(simples)) 
 
7|-18 18|-29 29|-40 40|-51 51|-62 62|-73 73|-84 
 0.10 0.14 0.26 0.16 0.16 0.08 0.10 
#Frequencia Absoluta Acumulada 
cumsum(simples) 
7|-18 18|-29 29|-40 40|-51 51|-62 62|-73 73|-84 
 5 12 25 33 41 45 50 
 
#Frequencia Relativa Acumulada 
cumsum(relFreq) 
 7|-18 18|-29 29|-40 40|-51 51|-62 62|-73 73|-84 
 0.10 0.24 0.50 0.66 0.82 0.90 1.00 
 
plot(simples) 
ou 
plot(table(cut(tempo,breaks=c(7,18,29,40,51,62,73,84),right=FALSE,labe
ls=classes)),ylab="Frequencia", xlab="Tempo",main="Histograma") 
 
 
#Histograma 
hist(tempo,breaks=c(7,18,29,40,51,62,73,84),freq=FALSE,right=FALSE,lab
els=classes,ylab="Frequencia", xlab="Tempo",main="Histograma") 
 
 
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Resumindo, os códigos utilizados foram: 
tempo<- 
c(7,7,11,17,17,18,19,20,21,22,23,28,29,29,30,30,31,31,33,34,36,37,39,3
9,39,40,41,41,42,44,44,46,50,51,53,54,54,56,56,56,59,62,67,69,72,73,77
,78,80,83) 
tempo 
 
summary(tempo) 
 
brk<-seq(7,84,11);brk 
 
classes<-c("7|-18","18|-29","29|-40","40|-51","51|-62","62|-73","73|-
84") 
 
#Frequencia Absoluta Simples 
Simples<-table(cut(tempo,breaks=brk,right=FALSE,labels=classes)) 
simples 
#OU 
Simples<- table(cut(tempo, breaks=c(7,18,29,40,51,62,73,84), 
labels=c("7|-18","18|-29","29|-40","40|-51","51|-62","62|-73","73|-
84"),right=F)) 
simples 
 
#Frequencia Relativa Simples 
(relFreq<-prop.table(simples)) 
 
#Frequencia Absoluta Acumulada 
cumsum(simples) 
 
#Frequencia Relativa Acumulada 
cumsum(relFreq) 
 
plot(simples) 
#Ou 
plot(table(cut(tempo,breaks=c(7,18,29,40,51,62,73,84),right=FALSE,labe
ls=classes)),ylab="Frequencia", xlab="Tempo",main="Histograma") 
 
#Histograma 
hist(tempo,breaks=c(7,18,29,40,51,62,73,84),freq=FALSE,right=FALSE,lab
els=classes,ylab="Frequencia", xlab="Tempo",main="Histograma") 
 
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2.2.2 DISTRIBUIÇÃO POR PONTOS OU VALORES 
 
Construção de distribuição de frequência para dados discretos (com poucas 
categorias) ou dados qualitativos 
 
Na construção de uma distribuição de frequência utilizando dados contínuos perde-se 
certa quantidade de informação porque os valores individuais perdem sua identidade 
quando são agrupados em classes. Isso pode ou não ocorrer com dados discretos ou 
qualitativos, dependendo da natureza dos dados e os objetivos do analista. 
 
Exemplo: Considere um conjunto de valores resultados de uma contagem. Poderia ser, 
por exemplo, o número de irmãos dos alunos da disciplina de CEQ. 
 
Número de irmãos dos alunos da disciplina de 
CEQ: 
 
0 1 1 6 3 1 3 1 1 0 
4 5 1 1 1 0 2 2 4 1 
3 1 2 1 1 1 1 5 5 6 
4 1 1 0 2 1 4 3 2 2 
1 0 2 1 1 2 3 0 1 0 
 
Esta coleção de valores não constitui informação, mas pode ser transformada em 
informação mediante sua representação em uma tabela de frequências. Para tal, coloca-
se o conjuntoem uma tabela em que a coluna da esquerda é representada pelos 
diferentes números ordenados e a coluna da direita pelo número de vezes que cada valor 
se repetiu (as frequências absolutas). Para o exemplo, tem-se: 
 
Número de 
irmãos 
Número de 
alunos (fi) 
0 7 
1 21 
2 8 
3 5 
4 4 
5 3 
6 2 
TOTAL 50 
 
Abaixo estão ilustrados os cálculos das frequências absolutas e relativas para a 
construção da tabela de frequências a seguir: 
 
Frequências Relativas Simples (fri) de cada linha (i, neste caso a tabela tem 7 linhas) da 
tabela: 
 
fr1 = (f1/n) .100 = (7/50). 100 = 1,40% 
 
fr2 = (f2/n) .100 = (21/50). 100 = 42,0% 
 
 
 
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fr3 = (f3/n) .100 = (8/50). 100 = 16,0% 
 
fr4 = (f4/n) .100 = (5/50). 100 = 10,0% 
 
fr5 = (f5/n) .100 = (4/50). 100 = 8,0% 
 
fr6 = (f6/n) .100 = (3/50). 100 = 6,0% 
 
fr7 = (f7/n) .100 = (2/50). 100 = 4,0% 
 
Frequências Absolutas Acumuladas Simples (Fi) de cada linha (i, neste caso a tabela 
tem 7 linhas) da tabela: 
 
F1 = f1 = 7 
 
F2 = f1 + f2 = 7 + 21 = 28 
 
F3 = f1 + f2 + f3 = 7 + 21 + 8 = 36 
 
F4 = f1 + f2 + f3 + f4 = 7 + 21 + 8 + 5 = 41 
 
F5 = f1 + f2 + f3 + f4 + f5 = 7 + 21 + 8 + 5 + 4 = 45 
 
F6 = f1 + f2 + f3 + f4 + f5 + f6 = 7 + 21 + 8 + 5 + 4 + 3 = 48 
 
F7 = f1 + f2 + f3 + f4 + f5 + f6 + f7 = 7 + 21 + 8 + 5 + 4 + 3 + 2 = 50 
 
Frequências Relativas Acumuladas Simples (Fri) de cada linha (i, neste caso a tabela 
tem 7 linhas) da tabela: 
 
Fr1 = fr1 = 14,0% 
 
Fri = fr1 + fr2 = 14,0% + 42,0% = 56,0% 
 
Fr3 = fr1 + fr2 + fr3 = 14,0% + 42,0% + 16,0% = 72,0% 
 
Fr4 = fr1 + fr2 + fr3 + fr4 = 14,0% + 42,0% + 16,0% + 10,0% = 82,0% 
 
Fr5 = fr1 + fr2 + fr3 + fr4 + fr5 = 14,0% + 42,0% + 16,0% + 10,0% + 8,0% = 90,0% 
 
Fr6 = fr1 + fr2 + fr3 + fr4 + fr5 + fr6 = 14,0% + 42,0% + 16,0% + 10,0% + 8,0% + 6,0% = 96,0% 
 
Fr7 = fr1 + fr2 + fr3 + fr4 + fr5 + fr6 + fr7 = 14,0% + 42,0% + 16,0% + 10,0% + 8,0% + 6,0% + 
4,0% = 100% 
 
 
 
 
 
 
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Tabela de frequências por pontos ou valores para este exemplo: 
 
i 
Número de 
irmãos 
N° de alunos 
(fi) 
% de 
alunos (fri) 
N° alunos 
acumulado (Fi) 
% de alunos 
acumulado (Fri) 
1 0 7 14,0% 7 14,0% 
2 1 21 42,0% 28 56,0% 
3 2 8 16,0% 36 72,0% 
4 3 5 10,0% 41 82,0% 
5 4 4 8,0% 45 90,0% 
6 5 3 6,0% 48 96,0% 
7 6 2 4,0% 50 100,0% 
 TOTAL 50 100% - - 
 
Por exemplo, 
a fr3: 
 fr3 = f3 / n = 8 / 50 = 0,16 * 100 = 16,0% -> Verifica-se que 16,0% dos alunos da 
disciplina de CEQ possuem 2 irmãos. 
 
a F5: 
 F5 = f1 + f2 + f3 + f4 + f5 = 7 + 21 + 8 + 5 + 4 = 45 -> Verifica-se que 45 alunos 
da disciplina de CEQ possuem no máximo 4 irmãos. 
 
a Fr4: 
 Fr4 = fr1 + fr2 + fr3 + fr4 = 14,0 + 42,0 + 16,0 + 10,0 = 82,0% -> Verifica-se que 
82,0% dos alunos da disciplina de CEQ possuem no máximo 3 irmãos. 
 
Um gráfico que poderia ser utilizado para representar a tabela de frequências acima 
poderia ser o gráfico de Colunas ou o gráfico de Barras. Para este caso optamos por 
plotar o gráfico de Colunas, no qual a variável estudada (Número de irmãos) é 
representada no eixo das abscissas (horizontal) e as frequências no eixo das ordenadas 
(vertical). Abaixo veja o gráfico de colunas da variável número de irmãos dos alunos da 
disciplina de CEQ. 
14,0%
42,0%
16,0%
10,0%
8,0%
6,0%
4,0%
0,0%
10,0%
20,0%
30,0%
40,0%
50,0%
0 1 2 3 4 5 6
Número de irmãos
 
 
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Conclusão: Pelo gráfico de colunas acima pode-se concluir que 72% dos alunos da 
disciplina de CEQ possuem até 2 irmãos. Sendo que destes, 42,0% possuem 1 irmão, 
14,0% nenhum irmão e os restantes (16,0%) possuem 2 irmãos. 
 
Realizando no RStudio: 
 
irmaos<-
c(0,1,1,6,3,1,3,1,1,0,4,5,1,1,1,0,2,2,4,1,3,1,2,1,1,1,1,5,5,6,4,1,1,0,
2,1,4,3,2,2,1,0,2,1,1,2,3,0,1,0) 
irmaos 
[1] 0 1 1 6 3 1 3 1 1 0 4 5 1 1 1 0 2 2 4 1 3 1 2 1 1 1 1 5 5 6 4 1 1 
0 2 1 4 3 2 2 1 0 2 1 1 2 3 0 
[49] 1 0 
 
#Frequencia Absoluta Simples 
tab <- table(irmaos) 
irmaos 
 0 1 2 3 4 5 6 
 7 21 8 5 4 3 2 
 
names(tab) 
[1] "0" "1" "2" "3" "4" "5" "6" 
 
barplot(tab, main="N° de irmaõs") 
 
 
#Frequencia Relativa Simples 
(relFreq <- prop.table(tab)) 
irmaos 
 0 1 2 3 4 5 6 
0.14 0.42 0.16 0.10 0.08 0.06 0.04 
 
#Frequencia Absoluta Acumulada 
cumsum(tab) 
 0 1 2 3 4 5 6 
 7 28 36 41 45 48 50 
 
#Frequencia Relativa Acumulada 
cumsum(relFreq) 
 0 1 2 3 4 5 6 
0.14 0.56 0.72 0.82 0.90 0.96 1.00 
䡅 
 
 
 
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Exemplo: 
Durante um período de seis meses, a produção de filme de polietileno de baixa 
densidade (PEBD) foi acompanhada, anotando-se os tipos de defeitos encontrados: 
 
produto Tipo defeito produto Tipo defeito produto Tipo defeito produto Tipo defeito 
1 micro furos 43 opacidade 85 Grumos 127 adesao entre faces 
2 micro furos 44 espessura maior 86 Grumos 128 adesao entre faces 
3 micro furos 45 espessura maior 87 Grumos 129 adesao entre faces 
4 micro furos 46 espessura maior 88 Grumos 130 adesao entre faces 
5 micro furos 47 espessura maior 89 Grumos 131 adesao entre faces 
6 micro furos 48 espessura maior 90 Grumos 132 adesao entre faces 
7 micro furos 49 espessura maior 91 Grumos 133 adesao entre faces 
8 micro furos 50 espessura maior 92 Grumos 134 adesao entre faces 
9 opacidade 51 espessura maior 93 adesao entre faces 135 adesao entre faces 
10 opacidade 52 espessura maior 94 adesao entre faces 136 espessura menor 
11 opacidade 53 espessura maior 95 adesao entre faces 137 espessura menor 
12 opacidade 54 espessura maior 96 adesao entre faces 138 espessura menor 
13 opacidade 55 espessura maior 97 adesao entre faces 139 espessura menor 
14 opacidade 56 espessura maior 98 adesao entre faces 140 espessura menor 
15 opacidade 57 espessura maior 99 adesao entre faces 141 espessura menor 
16 opacidade 58 largura incompleta 100 adesao entre faces 142 espessura menor 
17 opacidade 59 largura incompleta 101 adesao entre faces 143 espessura menor 
18 opacidade 60 largura incompleta 102 adesao entre faces 144 espessura menor 
19 opacidade 61 largura incompleta 103 adesao entre faces 145 espessura menor 
20 opacidade 62 largura incompleta 104 adesao entre faces 146 espessura menor 
21 opacidade 63 largura incompleta 105 adesao entre faces 147 espessura menor 
22 opacidade 64 largura incompleta 106 adesao entre faces 148 espessura menor 
23 opacidade 65 largura incompleta 107 adesao entre faces 149 espessura menor 
24 opacidade 66 largura incompleta 108 adesao entre faces 150 espessura menor 
25 opacidade 67 largura incompleta 109 adesao entre faces 151 espessura menor 
26 opacidade 68 largura incompleta 110 adesao entre faces 152 espessura menor 
27 opacidade 69 largura incompleta 111 adesao entre faces 153 espessura menor 
28 opacidade 70 largura incompleta 112 adesao entre faces 154 espessura menor 
29 opacidade 71 largura incompleta 113 adesao entre faces 155 espessura menor 
30 opacidade 72 largura incompleta 114 adesao entre faces 156 espessura menor 
31 opacidade 73 largura incompleta 115 adesao entre faces 157 espessura menor 
32 opacidade 74 largura incompleta 116 adesao entre faces 158 espessuramenor 
33 opacidade 75 largura incompleta 117 adesao entre faces 159 espessura menor 
34 opacidade 76 largura incompleta 118 adesao entre faces 160 espessura menor 
35 opacidade 77 largura incompleta 119 adesao entre faces 161 espessura menor 
36 opacidade 78 largura incompleta 120 adesao entre faces 162 espessura menor 
37 opacidade 79 largura incompleta 121 adesao entre faces 163 espessura menor 
38 opacidade 80 largura incompleta 122 adesao entre faces 164 espessura menor 
39 opacidade 81 largura incompleta 123 adesao entre faces 165 espessura menor 
 
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40 opacidade 82 largura incompleta 124 adesao entre faces 166 espessura menor 
41 opacidade 83 largura incompleta 125 adesao entre faces 167 espessura menor 
42 opacidade 84 largura incompleta 126 adesao entre faces 168 espessura menor 
 
169 espessura menor 
 
170 espessura menor 
 
Realizando no R Studio: 
 
Primeiro os dados terão que ser digitados no Excel e salvos em .CSV, após isto deverá 
entrar no R Studio e ir em IMPORT DATASET: 
 
 
 
 
 
 
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#Frequencia Absoluta Simples 
(tab <- table(tipo_defeito$tipo)) 
 
 
 
Temos interesse em colocar em ordem decrescente os tipos de defeitos 
que apareceram, para tal iremos utilizar a função sort: 
 
sort faz uma classificação (crescente ou decrescente) simples e tem a 
sintaxe: 
sort(x, decreasing = FALSE, na.last = NA) 
 
onde x é o vetor a ser classificado, decreasing = FALSE define que a 
classificação será em ordem crescente e significa que outros 
argumentos podem ser incrementados. Por exemplo: na.last = NA 
significa que valores que não foram definidos não vão ser listados. 
Outras opções seriam na.last = TRUE (os valores faltantes ficariam 
após o último valor classificado) e na.last=FALSE (os valores 
faltantes ficariam antes do primeiro valor classificado) 
 
#Desta forma, utilizaremos: 
sort(tab, decreasing=TRUE, na.last=TRUE) 
 
 
 
 
 
 
 
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#Frequencia Relativa Simples 
(relFreq <- prop.table(sort(tab,decreasing = TRUE,na.last=TRUE)))*100 
 
 
 
#Frequencia Absoluta Acumulada 
cumsum(sort(tab,decreasing=TRUE,na.last = TRUE)) 
 
 
 
#Frequencia Relativa Acumulada 
cumsum(relFreq*100) 
 
 
 
#Plotar o gráfico de colunas em ordem decrescente: 
barplot(sort(tab,decreasing=TRUE, na.last=TRUE), main="Tipos de 
defeitos", ylab="Frequencia", xlab="Tipos de defeitos") 
 
OBS: 
'xlab' e 'ylab' = nomes dos eixos X e Y, respectivamente 
'main' = nome do título do gráfico 
'col' = cor da barra (do gráfico), ou de linhas e símbolos plotados 
 
 
 
 
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Tipo de Defeito fi fri Fi Fri 
Adesão entre faces 43 25,3% 43 25,3% 
Espessura menor 35 20,6% 78 45,9% 
Opacidade 35 20,6% 113 66,5% 
Largura incompleta 27 15,9% 140 82,4% 
Espessura maior 14 8,2% 154 90,6% 
Grumos 8 4,7% 162 95,3% 
Micro furos 8 4,7% 170 100,0% 
Total 170 100,0% - - 
 
 
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2.2.3 Medidas de posição ou tendência central de uma distribuição de frequências 
 
2.2.3.1 Média Aritmética para uma distribuição de frequência 
A média aritmética de uma distribuição de frequências por pontos ou valores (dados 
discretos) ou por classes ou intervalos (dados contínuos) é dada por: 
( )
n
xfxfxf
n
xf
X nn
i
n
i
i ⋅++⋅+⋅
=
⋅
=
∑
= ...22111
__
 
 
Exemplo1: Cálculo da média do número de irmãos dos alunos da disciplina de CEQ. 
Classe Número de 
irmãos (xi) 
fi fixi 
1 0 7 0 
2 1 21 21 
3 2 8 16 
4 3 5 15 
5 4 4 16 
6 5 3 15 
7 6 2 12 
TOTAL 50 95 
90,1
50
951
__
==
⋅
=
∑
=
n
xf
X
n
i
ii
 irmãos 
Ou seja, o número médio de irmãos dos alunos da disciplina de CEQ é 1,90. 
 
Exemplo2: Cálculo da média de tempo que os operadores executam uma determinada 
tarefa. 
Classe Tempo (min.) fi 
 Ponto médio da 
classe (xi) 
 fixi 
1 3 ---| 5 4 4 16 
2 5 ---| 7 15 6 90 
3 7 ---| 9 18 8 144 
4 9 ---| 11 4 10 40 
5 11 ---| 13 2 12 24 
6 13 ---| 15 0 14 0 
7 15 ---| 17 2 16 32 
TOTAL 45 346 
7,7
45
3461
__
==
⋅
=
∑
=
n
xf
X
n
i
ii
minutos 
Ou seja, o tempo médio que os operadores executam uma determinada tarefa é 7,7 
minutos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2.2.4 Medidas de variabilidade ou dispersão de uma distribuição de frequências 
 
2.2.4.1 Variância 
2__
1
2
2
1
X
n
xf
s
n
i
ii
−
−
⋅
=
∑
= 
 
2.2.4.2 Desvio padrão 
O desvio padrão é determinado extraindo-se a raiz quadrada da variância. 
 
2__
1
2
1
X
n
xf
s
n
i
ii
−
−
⋅
=
∑
= 
 
Exemplo1: 
Para o exemplo do número de irmãos dos alunos da disciplina de CEQ. 
 
Classe 
Número de 
irmãos (xi) 
xi2 fixi2 
1 0 0 0 
2 1 1 21 
3 2 4 32 
4 3 9 45 
5 4 16 64 
6 5 25 75 
7 6 36 72 
TOTAL 309 
 
64,190,1
150
309
1
2
2__
1
2
=−
−
=−
−
⋅
=
∑
= X
n
xf
s
n
i
ii
 
 
Exemplo2: 
No caso do tempo de execução de uma determinada tarefa pelos operadores. 
 
Classe Tempo (min.) fi 
Ponto médio da 
classe (xi) 
xi2 fixi2 
1 3 ---| 5 4 4 16 64 
2 5 ---| 7 15 6 36 540 
3 7 ---| 9 18 8 64 1152 
4 9 ---| 11 4 10 100 400 
5 11 ---| 13 2 12 144 288 
6 13 ---| 15 0 14 196 0 
7 15 ---| 17 2 16 256 512 
TOTAL 45 2956 
 
 
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 55 
 
81,27,7
145
2956
1
2
2__
1
2
=−
−
=−
−
⋅
=
∑
= X
n
xf
s
n
i
ii
 
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2.3 GRÁFICOS 
 
Técnicas gráficas são geralmente utilizadas, em vez de tabelas, para descrever um 
conjunto de dados através de um "desenho". Um gráfico estatístico é uma forma de 
apresentação dos dados estatísticos, cujo objetivo é o de reproduzir, no investigador ou 
no público em geral, uma impressão mais rápida e viva do fenômeno em estudo. 
 
2.3.1 Gráfico de Setores (Gráfico de Pizza) 
 
O gráfico de setores, também conhecido como gráfico pizza, torta, queijo ou bolacha é 
um dos mais simples recursos gráficos, sua construção é baseada no fato de que o 
círculo possui 360º, sendo que este círculo é dividido em fatias de acordo com o 
percentual em cada categoria. É