Aula 03 Tábuas de Mortalidade

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Tábuas de Mortalidade
Profª Ms. Elizabeth B. Llamosas Gomes
2
A necessidade de se conhecerem as
características demográficas de um
conjunto de pessoas é uma preocupação
que reside na gestão, principalmente, dos
segmentos de previdência e seguros de
vida individual, de vida em grupo, de
acidentes pessoais, de saúde etc.
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Ter conhecimento da probabilidade de vida, de
morte, de invalidez, bem como de outras
características da população que participa de um
fundo, está diretamente relacionado à gestão
atuarial do plano de benefício, visto que influencia
diretamente o comportamento do fluxo de
recursos, o qual está sujeito a diversos fatores
decrementais, tais como invalidez, demissão
voluntária ou involuntária, morte, entre outros.
FUNDOS de PENSÃO
Pensionistas
Segurados
Ativos
4
MORTE
Receitas
diminuem
Despesas
aumentam
5
A complexidade com que se formulará planos de
seguridade sob o aspecto das coberturas,
exigirá observações mais complexas e seu nível
de pertinência terá a dimensão exata dessas
coberturas.
Assim, podem-se encontrar planos:
em ambientes unidecrementais, ou,
em ambientes multidecrementais.
6
Planos em ambientes unidecrementais:
Ativo Falecido
7
1- Ativo
2- Inválido
3- Desempregado
4- Casamento
5- Divórcio
6- Viuvez
7- Novo Casamento
8- Paternidade
9- Aposentadoria
10- Falecimento
11- Geração de pensão
Planos em ambientes multidecrementais:
10
9
138
2457
6
7
11
48
8
Tábua de Mortalidade (Sobrevivência),
Tábua de Entrada em Invalidez,
Tábua de Mortalidade de Inválidos,
Tábua de Rotatividade,
etc.
Tipos de Tábuas:
9
Conceito: é uma tabela que apresenta o
número de pessoas vivas e de pessoas
mortas, em ordem crescente da idade, desde
a origem até a extinção completa do grupo.
Trata-se de um instrumento utilizado para
medir probabilidades de vida e de morte de
uma população.
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a) as construídas tendo-se em vista um 
grupo de população; e
b) as construídas levando-se em conta 
um grupo de pessoas selecionadas.
Para a construção dessa ferramenta é
necessário um grande número de
observações.
Existem duas espécies de tábuas:
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As tábuas construídas conforme a
segunda espécie tendem a retratar um
grupo mais homogêneo, visto que as
pessoas observadas passaram por
alguma forma de seleção prévia, como,
por exemplo, exame médico admissional.
As companhias de seguro costumam
preferir esse tipo de tábua.
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a idade,
o sexo,
a região geográfica,
a raça,
a ocupação profissional,
a faixa de renda salarial,
etc.
A taxa de mortalidade pode variar conforme:
Isso dá abertura para a construção de 
diversas tábuas específicas.
13
AT49
AT83
CS058
AT2000
IBGE – Brasileira
No Brasil, são inúmeras as tábuas utilizadas
pelo mercado:
Americanas
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Comparativo entre Tábuas de Mortalidade 
(Esperança de Vida): 
Ano
Nome da
Tábua
Esperança
de vida ao 
nascer
Esperança
de vida aos
55 anos
Diferença
entre as
esperanças
1662 Graunt’s Table 18,12 67,38 49,36
1918 CM5 Unissex 65,26 74,05 8,79
1941 US CSO Unisex 66,01 74,25 8,24
1958 US CSO Male 68,79 75,21 6,42
1971 US GAM Male 74,89 78,21 3,32
2000 AT-2000 Male 80,56 83,38 2,82
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Em 28 de março de 2006, foi publicada a
Resolução do Conselho de Gestão da Previdência
Complementar- CGPC nº 18, que dispõe sobre os
parâmetros técnico-atuariais para estruturação
de plano de benefícios de EFPC, estabelecendo
que a tábua biométrica utilizada para projeção
da longevidade do participante em gozo de
benefício da aposentadoria programada e
continuada e do beneficiário deste será aquela
em que a expectativa de vida completa seja
igual ou superior, no mínimo, àquela resultante
da aplicação da tábua AT-83.
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Com isso, as EFPC que adotavam tábuas
biométricas, cuja expectativa era inferior à
Tábua AT-83, ao se adaptarem, tendem a gerar
déficits atuariais, visto que acabam aumentando
o período projetado de percepção dos
benefícios.
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Símbolos Descrição
l
living – representa o nº de sobreviventes em
uma certa idade.
d
death – representa o nº de pessoas que
falecem em uma determinada idade.
p
probability – representa a probabilidade 
matemática de sobrevivência. 
q
mede a taxa de mortalidade ou a probabilida-
de matemática de falecimento. Ou seja, re-
presenta a probabilidade complementar de p. 
Símbolos Principais utilizados nas Tábuas: 
18
Símbolos Descrição
e
expectation of life – representa a esperança 
de vida. Ou seja, retrata a média de vida que 
resta para uma pessoa em determinada 
idade.
ω
omega – representa a idade que não poderá 
ser atingida por nenhum componente do 
grupo.
Símbolos Principais utilizados nas Tábuas: 
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Símbolos Acessórios: São aqueles que ficam
dispostos à direita ou à esquerda, no canto
superior ou inferior, do símbolo principal.
As letras minúsculas x, y, z, u, etc., indicam
idades, quando escritas à direita, e embaixo
do 'símbolo principal'.
As letras minúsculas n, m, s, t, k, etc.,
indicam duração quando escritas à esquerda
e embaixo do 'símbolo principal’.
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Símbolos Acessórios:
Assim, por exemplo:
lx: indica o número de pessoas vivas na idade x;
npx: indica a probabilidade de uma pessoa na 
idade x viver n anos.
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Além dos símbolos principais e acessórios,
também são utilizados alguns sinais, tais como
uma "barra vertical", a qual denota o período de
carência ou de diferimento.
Por exemplo:
n|qx representa a probabilidade de uma pessoa
na idade x vir a falecer entre as idades "x + n" e
"x + n + 1".
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As tábuas de mortalidade possuem seis colunas:
Sendo:
x = coluna das idades;
lx = quantidade de pessoas vivas na idade x;
dx = quantidade de pessoas mortas na idade x;
qx = taxa de mortalidade correspondente à idade x;
px = taxa de sobrevivência correspondente à idade x;
ex = esperança de vida para um participante com a
idade x.
0
x lx dx qx px ex
0
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Idade x lx dx qx px ex
0 1.000.000 7.080 0,00708 0,99292 68,29667
1 992.920 1.748 0,00176 0,99824 67,78010
2 991.172 1.507 0,00152 0,99848 66,89872
3 989.666 1.445 0,00146 0,99584 65,99980
4 988.221 1.384 0,00140 0,99860 65,09557
5 986.837 1.332 0,00135 0,99865 64,18613
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O número inicial de pessoas do grupo observado:
l0 = 1.000.000
O número de pessoas que sobreviveram até a idade 1:
l1 = 992.920
Então, a quantidade de pessoas que morreram antes 
de alcançar um ano de vida d0 = l0 – l1
d0 = 1.000.000 – 992.920 = 7.080
Logo, dx = lx – lx+l 
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Se as mortes são calculadas para um intervalo
de idade n anos, pode-se escrever uma
fórmula genérica:
nxxxn lld 
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Com base nessa relação, pode-se inferir que
a simples soma do número de mortos de
uma tábua permite obter o número de
sobreviventes em uma certa idade.
Por exemplo, para se determinar o número
de sobreviventes aos 95 anos (l95) bastaria:
l95 = d95 + d96 + d97 + d98 + d99
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Idade x lx dx qx px ex
95 9.717 3.413 0,35124 0,64876 1,80262
96 6.304 2.525 0,40056 0,59944 1,50787
97 3.779 1.846 0,48842 0,51158 1,18135
98 1.933 1.292 0,66815 0,33185 0,83185
99 641 641 1,00000 0,00000 0,50000
0
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l95 = 3.413 + 2.525 + 1.846 + 1.292 + 641
l95 = 9.717
Assim, pode-se concluir que:
lx = dx + dx+1 + dx+2 + ... + dω ou




xn
n
nxx dl
0
Sendo ω a idade máxima, a qual não poderá ser
superada por nenhum membro do grupo.
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A probabilidade de um participante na idade x
falecer antes de completar x + 1 anos podeser
determinada da seguinte maneira:
 
 xidade na vivaspessoas de quantidade
 xidade na óbitos de número
xq
x
xx
x
x
x
l
ll
l
d
q 1


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A probabilidade de um participante na idade x vir a
falecer em n anos pode ser dada pela seguinte
equação:
x
xn
x
nxx
xn
l
d
l
ll
q 

 
A probabilidade de sobrevivência num ano (px)
pode ser calculada como se segue:
 xidade na vivaspessoas de quantidade
1 xidade na vivaspessoas de quantidade 
xp
x
x
x
l
l
p 1
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E a probabilidade de um participante na idade x
sobreviver mais n anos pode ser apurada da
seguinte maneira:
x
nx
xn
l
l
p 
Vale destacar ainda que qx e px são complementares, 
ou seja: qx = 1 – px. 
Assim, px + qx = 1.
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A expectativa ou esperança de vida de um
participante na idade x ( ) representa o número
de anos que em média vive um indivíduo na
idade x. Para calculá-lo, é preciso antes
determinar:
0
xe
Lx = indicador do número médio de pessoas que
tenham vivido no intervalo entre as idades
x e x + 1.
2
1 xxx
ll
L
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Tx = representa o período de vida entre as
idades x e ω.




x
t
txx LT
1
0
Logo,
x
x
x
l
T
e 0
34
35
Probabilidades Fundamentais envolvendo uma 
Cabeça em risco:
a) Probabilidade de um indivíduo qualquer com
idade exata x, sobreviver até alcançar com
vida a idade x+n e, nessa mesma idade x+n,
vir a morrer.
x
nx
xn
l
d
q |
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Probabilidades Fundamentais envolvendo uma 
Cabeça em risco:
b) Probabilidade de um indivíduo qualquer com
idade exata x, vir a morrer antes de alcançar
a idade x+n.
x
nxx
xn
l
ll
Q 

|
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Probabilidades Fundamentais envolvendo uma 
Cabeça em risco:
c) Probabilidade de um indivíduo qualquer com
idade exata x, vir a morrer entre as idades
x+n e x+n+m.
x
mnxnx
xmn
l
ll
Q 

|
xmnxnxmn ppQ |
e
38
Probabilidades Fundamentais envolvendo uma 
Cabeça em risco:
d) Taxa central de mortalidade. Contempla um
critério de apuração dos expostos ao risco de
morte na metade da idade x.
x
x
x
x
x
,x
x
x
x
x
q
q
d
l
d
l
d
L
d
m




 2
2
2
50
39
EXERCÍCIOS:
1) Qual a probabilidade de uma pessoa com 50
anos atingir com vida a idade de 55?
Dados: d50=1.108; d51=1.156; d52=1.207;
d53=1.261; d54=1.316; d55=1.375; l50=69.517.
2) Qual a probabilidade, pela Tábua CSO-58, de
uma pessoa com 25 anos falecer antes de
atingir a idade de 70?
40
3) Antônio tem 40 anos. Calcule a probabilidade
dele chegar com vida aos 65 anos (utilizar a
Tábua CSO-58).
4) Qual a probabilidade de uma pessoa com 35
anos falecer com 36 anos? (utilizar a Tábua
CSO-58).
5) Qual a probabilidade de uma pessoa com 50
anos falecer entre as idades de 65 e 85?
(utilizar a Tábua CSO-58).
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6) Uma empresa tem a seguinte distribuição etária 
do seu quadro de funcionários:
Com base na Tábua CSO-58 responda:
Idade Atual No de Empregados
20 1.000
30 2.000
40 1.500
50 500
Total 5.000
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a) Quantos funcionários, provavelmente, venham
a falecer ao longo deste ano?
b) Quantos funcionários, provavelmente, venham
a estar ainda vivos no próximo ano?
c) Quantos funcionários, provavelmente, venham
a falecer antes dos 55 anos?
d) Quantos funcionários, provavelmente, venham
a sobreviver 30 anos?
e) Quantos funcionários, provavelmente, venham
a chegar com vida aos 65 anos?
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Probabilidades Fundamentais envolvendo mais 
de uma Cabeça em risco:
Simbologia
Probabilidade de 
Sobrevivência
Probabilidade 
de Morte
Ambos estarem 
vivos
Ao menos 1 
estar morto
Ao menos 1 
estar vivo
Ambos estarem 
mortos
44
Probabilidades Fundamentais envolvendo mais 
de uma Cabeça em risco:
y
ny
x
nx
ynxnxyn
l
l
l
l
ppp
 
a) Probabilidade de dois indivíduos quaisquer
com idades exatas x e y estarem vivos
dentro de n anos:
45
Probabilidades Fundamentais envolvendo mais 
de uma Cabeça em risco:
xynynxnxyn
pppp 
b) Probabilidade de ao menos um dos dois
indivíduos quaisquer com idades exatas x e y
estar vivo dentro de n anos:
46
Probabilidades Fundamentais envolvendo mais 
de uma Cabeça em risco:
xynynxnxyn
pQQQ  1|||
c) Probabilidade de dois indivíduos quaisquer
com idades exatas x e y falecerem dentro de
n anos:
47
Probabilidades Fundamentais envolvendo mais 
de uma Cabeça em risco:
xynxynynxnxyn
pQQQQ  1||||
d) Probabilidade de ao menos um dos dois
indivíduos quaisquer com idades exatas x e y
falecer dentro de n anos:
48
EXERCÍCIOS (Utilizar a Tábua CSO-58):
7) Antônio tem 40 anos e Maria, 20 anos. Calcule
a probabilidade de ambos estarem vivos daqui
a 40 anos.
8) Determine a probabilidade de sobreviver 20
anos ao menos uma das pessoas de 30 e 35
anos de idade.
9) Calcule a probabilidade de duas pessoas de 20
e 25 anos falecerem em 35 anos.
49
10)Determine a probabilidade de falecer em 30
anos ao menos uma das pessoas de 30 e 40
anos de idade.
11)Maria tem 35 anos e José, 83. Determine a
probabilidade de ao menos um dos dois estar
vivo depois de 15 anos.
12)Andréia tem 30 anos e Jorge, 70. O que é
mais provável: Andréia sobreviver mais 40
anos ou Jorge vir a morrer dentro dos
próximos 12 anos?