unidade 3 ATUARIA

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DISCIPLINA
NOÇÕES DE ATUÁRIA
UNIDADE 1
OS RISCOS E SEGUROS: HISTÓRIA, ESTRUTURA E 
CONCEITOS FUNDAMENTAIS.
UNIDADE 2
PREVIDÊNCIA PRIVADA E A CAPITALIZAÇÃO.
UNIDADE 3
A FORMAÇÃO DO PREÇO NOS SEGUROS DE PESSOAS E 
PREVIDÊNCIA.
UNIDADE 3
 TÓPICO 1 – PRINCÍPIOS DE ATUÁRIA
 TÓPICO 2 – A FORMAÇÃO DO PREÇO NOS SEGUROS GERAIS
 TÓPICO 3 – A FORMAÇÃO DO PREÇO NOS SEGUROS DE PESSOAS 
E PREVIDÊNCIA
 TÓPICO 4 – SOLVÊNCIA DAS SEGURADORAS E DEMONSTRAÇÕES 
FINANCEIRAS
 TÓPICO 1 – PRINCÍPIOS DE ATUÁRIA
INTRODUÇÃO
Essa ciência surgiu há cerca de 150 anos na Inglaterra,
estudando basicamente a mortalidade da população. Portanto,
na sua origem, ela voltava-se para o cálculo da expectativa de
vida, com interesse nas questões de aposentadoria e pensão.
No século XX, a área de seguros ampliou o estudo atuarial, e a
presença cada vez mais frequente das empresas de seguro e
pensão no mercado financeiro fez com que a ciência atuarial se
especializasse cada vez mais em campos econômicos e
financeiros. Acompanhando a nova dinâmica dos mercados, as
empresas seguradoras passaram a oferecer programas de
seguro de vida e outras especializações, o que gerou cada vez
maior necessidade do desenvolvimento das ciências atuariais.
INTRODUÇÃO
Desse modo, os estudos da atuária dividem-se em dois
principais ramos: Vida e Não Vida. O primeiro trata de questões
de longo prazo, como aposentadoria, pensões, seguros de vida
e saúde. O segundo está mais relacionado com características
de curto prazo, como os seguros de automóveis e
responsabilidade civil (FEAUSP, 2016).
Os cursos de formação em Ciências Atuariais, embora não
sejam muito comuns, existem em vários locais do país e
capacitam tecnicamente os profissionais que irão atuar nas
áreas de avaliação de riscos, cálculos de prêmios
de seguros, pecúlios, planos de aposentadorias e pensões,
bem como de planos de financiamento e capitalização. Outra
área que tem utilizado cada vez mais o profissional de atuária é
o ramo de operadoras de saúde suplementar.
NOÇÕES DE PROBABILIDADE
Os conceitos de incerteza e chance (ou probabilidade) são tão antigos
como as civilizações e encontram aplicações em diversas áreas, como a
medicina, loterias e jogos, previsão do clima, finanças. Nesta unidade
vamos usar vários conceitos importantes da Teoria dos Conjuntos
(conjunto, elemento, subconjunto, conjunto vazio) para compreender
o significado de espaço amostral e evento, além da definição de
probabilidade.
ESPAÇO AMOSTRAL
O espaço amostral (Ω: ômega) é o conjunto formado por todos os resultados
possíveis de um experimento aleatório. Em outras palavras, é o conjunto
formado por todos os pontos amostrais de um experimento. Veja exemplos:
a) O espaço amostral do experimento “cara ou coroa” é o conjunto S = {Cara,
Coroa}. Os pontos amostrais desse experimento são os mesmos elementos
desse conjunto.
b) O espaço amostral do experimento “lançamento de um dado” é o conjunto
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Os pontos amostrais desse experimento são 1, 2, 3, 4, 5 e 6.
ESPAÇO AMOSTRAL
EVENTO
Pela teoria das probabilidades, um evento é um subconjunto do
espaço amostral ao qual é associado um valor de probabilidade.
Habitualmente, quando o espaço amostral é finito, qualquer
subconjunto é um evento. Como todos os eventos são conjuntos,
habitualmente são escritos entre chaves (exemplo: {1, 2, 3}), e
representados graficamente usando Diagramas de Venn. Estes
diagramas são particularmente úteis na representação de eventos, pois
a probabilidade dos eventos pode ser identificada pela razão entre
áreas de eventos e do espaço de probabilidade.
EVENTO
Observe-se na figura a seguir que B é o espaço amostral e A é um evento.
EVENTO
Peres (2016) traz que o evento pode ser um único ponto amostral ou
uma reunião deles. Apresenta como exemplo o lançamento de dois
dados e propõe o exercício de se enumerar os seguintes eventos:
a) Saída de faces iguais.
b) Saída de faces cuja soma seja igual a 10.
c) Saída de faces cuja soma seja menor que 2.
d) Saída de faces cuja soma seja menor que 15.
e) Saída de faces das quais uma é o dobro da outra.
EVENTO
O espaço amostral no caso é:
S = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1),
(3, 2), (3, 3),
(3,4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5),
(5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
Logo, os eventos pedidos são:
A = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)};
B = {(4, 6), (5, 5), (6, 4)};
C = Ø (evento impossível);
D = S (evento certo);
E = {(1, 2), (2, 1), (2, 4), (3, 6), (4, 2), (6, 3)}.
PROBABILIDADE
O estudo da probabilidade é de grande importância para a tomada de decisões em
nossa sociedade. Conhecemos como probabilidade a área da matemática que estuda a
chance de um determinado evento acontecer.
A probabilidade conta com conceitos importantes, como experimento aleatório, evento,
espaço amostral, e eventos equiprováveis. O valor da probabilidade é sempre um
número entre 0 e 1 ou uma porcentagem entre 0% e 100%, e é calculado com base na
razão entre os casos favoráveis e os casos possíveis.
PROBABILIDADE
Matematicamente, a probabilidade é calculada através da seguinte relação:
P = Número de casos favoráveis 
Número de casos possíveis
PROBABILIDADE
Imagine que você recém se mudou para um edifício com 20 apartamentos e que
cada um deles possui duas vagas de garagem. Se você ainda não sabe quais são as
suas vagas e resolver colocar em qualquer uma delas, quais serão as suas chances
(ou qual a probabilidade) de acertar?
O número de casos favoráveis corresponde as duas vagas de garagem que lhe
pertencem. Já o número de casos possíveis corresponde ao total de vagas, ou seja 40
(20 apartamentos x 2 vagas).
Logo: P = 2/40 = 0,05 = 5%
ESPERANÇA MATEMÁTICA
A esperança matemática também é conhecida por valor esperado. Trata-se de um
conceito estatístico que caracteriza a soma das probabilidades de cada
possibilidade de saída de um experimento aleatório multiplicada pelo seu valor.
Isto é, representa o valor médio esperado de uma experiência se ela for repetida
muitas vezes.
ESPERANÇA MATEMÁTICA
Segundo Peres (2016), a esperança matemática (E) representa o preço matemático,
que, em seguro, chamamos de prêmio de risco ou prêmio estatístico. A esperança
matemática é um componente importante na obtenção do valor da prestação que o
segurado paga ao segurador para que este assuma a responsabilidade pelo risco de
perdas. Seu valor é dado pela multiplicação do ganho esperado pela probabilidade
de ganho e pelo fator de desconto financeiro (vn).
E = Q × p × vn
Onde:
E = esperança matemática
Q = ganho esperado
p = probabilidade
vn = fator de desconto financeiro
 TÓPICO 2 – A FORMAÇÃO DO PREÇO NOS SEGUROS GERAIS
VALOR MATEMÁTICO DOS RISCOS E CUSTO MÉDIO DOS
SINISTROS
A primeira e principal preocupação de uma seguradora deve ser com a conta dos
sinistros. A parte do prêmio destinada ao pagamento das indenizações é o maior e
principal componente do custo.
VALOR MATEMÁTICO DOS RISCOS E CUSTO MÉDIO DOS
SINISTROS
O Valor Matemático do Risco é, portanto, uma medida de frequência relativa de
sinistros, obtida pela relação entre o número de sinistros ocorridos e o número de
riscos pesquisados (este também denominado número de seguros da amostra ou
número de objetos expostos ao risco). Normalmente, este valor é expresso
percentualmente, razão pela qual se multiplica por 100 a relação a seguir:
VMR = Nº de Sinistros Ocorridos
Nº de Seguros
VALOR MATEMÁTICO DOS RISCOS E CUSTO MÉDIO DOS
SINISTROS
Exemplo:
Qual o Valor Matemático do Risco ou Frequência Relativa de uma amostra com 750
mil veículos segurados considerando que, entre colisões e roubos, ocorreram 82.500
sinistros?
VMR = 82.500 = 0,11 ou 0,11 x 100 = 11%
750.000
VALOR MATEMÁTICO DOS RISCOS E CUSTO MÉDIO DOS
SINISTROS
O Custo Médio dos Sinistros é outra variável importante para a precificação dos
seguros. Ele correspondeà média aritmética das indenizações pagas pela
seguradora, sendo, portanto, obtido a partir da relação:
CMS = Total Indenizado
Nº de Sinistros Ocorridos
VALOR MATEMÁTICO DOS RISCOS E CUSTO MÉDIO DOS
SINISTROS
Exemplo:
Qual o custo médio dos sinistros em uma carteira de seguros de automóveis em 
que foram gastos R$ 495 milhões para indenizar 82.500 ocorrências de sinistros? 
CMS = 495.000.000,00 = R$ 6.000,00
82.500
PRÊMIOS ESTATÍSTICO, COMERCIAL E BRUTO
Sabemos que prêmio de seguro significa preço de seguro, ou seja, é aquilo que o
segurado paga para adquirir garantias. Em contrapartida, em caso de sinistro, o
valor que receberá da seguradora denomina-se indenização.
PRÊMIO ESTATÍSTICO
Conceitualmente, o Prêmio Estatístico (PE) corresponde ao valor que deve ser
cobrado de cada segurado para que possam ser pagas todas as indenizações. Desta
forma, o Prêmio Estatístico pode ser obtido pela seguinte relação:
Prêmio estatístico (PE) = Total Indenizado
Nº de Seguros
Outra maneira de obtermos o prêmio estatístico é multiplicando o Valor
Matemático do Risco (VMR) pelo Custo Médio dos Sinistros (CM), ou seja:
PE = VMR x CMS.
TAXA ESTATÍSTICA
A taxa estatística pode ser obtida a partir do Prêmio Estatístico. Ela representa o
percentual a ser usado como base de cálculo a ser utilizada em todos os negócios
que se enquadrem nas características de uma determinada amostra. Assim, a Taxa
Estatística corresponde à relação entre o Prêmio Estatístico e a Importância
Segurada Individual de cada amostra. Geralmente, as taxas estatísticas são
expressas em percentagem.
PRÊMIO COMERCIAL
O prêmio comercial corresponde ao valor que realmente será apresentado à pessoa
interessada em contratar um seguro. Já sabemos que o prêmio estatístico representa
a parcela destinada a pagar a conta dos sinistros, mas as seguradoras possuem
outras despesas a serem pagas, e é claro que elas precisarão entrar no preço.
 TÓPICO 3 – A FORMAÇÃO DO PREÇO NOS SEGUROS DE PESSOAS E
PREVIDÊNCIA
TÁBUAS DE MORTALIDADE
Conforme Peres (2016), as tábuas de mortalidade são instrumentos destinados a
medir as probabilidades de sobrevivência e de morte. São construídas a partir de
um instrumental técnico e científico e refletem as mudanças que a sociedade vem
sofrendo, com o aumento da expectativa de vida, melhorias sanitárias e o avanço
da medicina. Elas apresentam o número de pessoas vivas e de pessoas mortas, em
ordem crescente de idade, desde a origem até a extinção do grupo.
TÁBUAS DE MORTALIDADE
Peres (2016) acrescenta que existem várias tábuas de mortalidade para medir a
sobrevida, ou seja, quanto uma pessoa de determinada idade provavelmente ainda
vai viver. As tábuas têm denominações usando abreviatura, como AT (Annuity
Table), acrescentando-se o ano em que foi finalizada. Pode também haver alguma
outra diferenciação no nome da tábua, por exemplo, o sexo do segurado ou se ele é
ou não fumante. No Brasil, as mais utilizadas são as tábuas AT-83 Male (para 
mortalidade masculina) ou AT-83 Female (para mortalidade feminina) e AT- 2000 
Male (vide Anexo 3) ou AT-2000 Female.
ELEMENTOS DE UMA TÁBUA DE MORTALIDADE
A construção de uma tábua de mortalidade parte do conhecimento da taxa de mortalidade
(qx) para cada idade do grupo em estudo. As tábuas de mortalidade se compõem,
basicamente, de duas colunas: idade e probabilidade de morte, mas podem, também,
apresentar mais três elementos: número de mortos, número de sobreviventes e
probabilidade de sobrevivência. Conforme Peres (2016), os símbolos (abaixo) utilizados nas
tábuas para representar tais elementos são universais:
x = idade;
lx = número de pessoas vivas ou pessoas sobreviventes com idade x;
dx = número de pessoas mortas com idade x, ou seja, número de pessoas que alcançaram a
idade x, mas morreram antes de atingir a idade x + 1;
qx = probabilidade de uma pessoa com idade x morrer, obrigatoriamente, antes de atingir a
idade x + 1;
px = probabilidade de uma pessoa com idade x sobreviver à idade x + 1, ou seja, é a
probabilidade de uma pessoa de idade x sobreviver, pelo menos, mais um ano (chegar
vivo, obrigatoriamente, à idade x + 1).
ELEMENTOS DE UMA TÁBUA DE MORTALIDADE
Existem várias tábuas de mortalidade ainda em uso no mercado brasileiro,
entretanto, as que foram desenvolvidas pela Universidade Federal do Rio de
Janeiro (UFRJ), chamadas de Experiência do Mercado Segurador Brasileiro (BR-
EMS), tendem a predominar, pois refletem melhor a realidade nacional.
ELEMENTOS DE UMA TÁBUA DE MORTALIDADE
As tábuas de mortalidade possuem duas colunas: idade e probabilidade de morte,
mas também podem apresentar outros três elementos: número de mortos, número
de sobreviventes e probabilidade de sobrevivência.
REGIMES FINANCEIROS
Os regimes financeiros são modelos que possibilitam estabelecer o equilíbrio entre as
receitas (prêmios) e despesas (sinistros pagos) de um plano de seguro ao longo de um
determinado período de cobertura. Em outras palavras, pode-se dizer que regime
financeiro é a maneira pela qual o seguro será financiado. Dependendo do regime
financeiro adotado, o valor do prêmio cobrado pela seguradora poderá financiar os
sinistros ocorridos durante o período de competência do prêmio pago ou ser suficiente
para cobrir um período maior. Enquanto no primeiro caso não há acúmulo de recursos, no
segundo caso a seguradora deve provisionar uma parcela do prêmio pago para ser
utilizada no futuro. De acordo com Peres (2016, p. 30-31, grifos do original), existem três
regimes financeiros: repartição simples, repartição de capitais de cobertura e capitalização.
REGIMES FINANCEIROS
 TÓPICO 4 – SOLVÊNCIA DAS SEGURADORAS E DEMONSTRAÇÕES
FINANCEIRAS
PROVISÕES TÉCNICAS
Como as seguradoras assumem riscos que podem ocorrer ao longo de determinado
período, normalmente um ano, evidentemente elas não podem gastar de imediato
(e sem qualquer critério) os valores (prêmios) que recebem de seus segurados, pois
isso implicaria na possibilidade de faltar recursos para honrar com os
compromissos assumidos.
Segundo Arruda (2005), “as provisões técnicas têm por finalidade garantir o
pagamento de ocorrências futuras, não permitindo que a parcela destinada a cobrir
os riscos assumidos (prêmio puro) seja consumida antes do final de vigência do
seguro”.
PROVISÃO DE PRÊMIOS NÃO GANHOS (PPNG)
Segundo Arruda (2005), representa a parcela de prêmio relativa ao período do risco
ainda não decorrido. Ela é apurada mensalmente, em cada ramo de seguro, através
de cálculos individuais por apólice ou por endossos representativos de todos os
contratos em vigor no mês de sua constituição. Sua apuração é feita da seguinte
forma:
PPNG = Período de risco a decorrer x Prêmio comercial
Período total de cobertura do risco
PROVISÃO DE PRÊMIOS NÃO GANHOS (PPNG)
Exemplo:
A seguradora Y aceitou o risco e emitiu uma apólice de seguro de automóvel com
vigência anual e prêmio líquido (ou comercial) de R$ 3.650,00.
Qual a provisão que precisa constituir ao final dos primeiros 30 dias de vigência?
Período decorrido = 30 dias
Período a decorrer = 365 – 30 = 335 dias
Prêmio comercial = 3.650,00
PROVISÃO DE PRÊMIOS NÃO GANHOS (PPNG)
PPNG = Período de risco a decorrer x Prêmio comercial
Período total de cobertura do risco
PPNG = 335 x 3.650,00 = 3.350,00
365
Isto significa que, independentemente de haver recebido prêmio suficiente ou não
(ele pode ter sido parcelado para o cliente em 10 vezes), ao final do primeiro mês
de vigência a seguradora terá que ter uma provisão (ou reserva) no valor de R$
3.350,00 para fazer frente ao risco que assumiu.
PROVISÃO DE SINISTROS A LIQUIDAR (PSL)
Deve ser constituída para a cobertura dos valores a pagar por sinistros avisados até
a data-base de cálculo. Conforme Arruda (2005), é calculada com base na
metodologia constante da Nota Técnica Atuária do produto ou em metodologia
estabelecida pela SUSEP. O seu dimensionamento afeta diretamente o resultado e o
capital de giro da seguradora. Uma vez avisado o sinistro pelo segurado, a
provisãoé feita com base em estimativa de indenização que poderá ser ajustada
(para mais ou para menos) na medida em que se avançam nas apurações. De
qualquer forma, uma vez aberto o processo de sinistro, a seguradora é obrigada a
constituir uma reserva ou provisão para o seu pagamento.
PROVISÃO DE SINISTROS OCORRIDOS E NÃO AVISADOS (IBNR)
A sigla IBNR tem origem na expressão em inglês “Incurred But Not Reported”. Ela
deve ser calculada atuarialmente em função do montante esperado de sinistros que
já ocorreram, mas que ainda não foram avisados até a data-base das demonstrações
financeiras. Deve-se considerar aqui que, pelas mais diversas razões, muitas
pessoas (físicas ou jurídicas) demoram para comunicar a ocorrência de sinistros
(podendo fazê-lo, com regra geral, pois existem exceções na legislação, no prazo de
até um ano). Sua apuração considera a sinistralidade de períodos anteriores.