Teoria de placas finas

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Teoria Clássica das Placas Finas 2.1 
 Capítulo 2 
 
 Teoria Clássica das Placas Finas 
 
 
 
 
 
2.1 Introdução 
 
As placas são elementos estruturais limitados por duas superfícies planas 
distanciadas entre si de uma grandeza designada por espessura. No caso da dimensão da 
espessura ser muito menor que as dimensões das superfícies planas limitantes, as placas são 
designadas por placas finas. O plano equidistante das superfícies planas externas é 
designado por plano médio da placa. 
No caso das placas finas é possível estabelecer a chamada Teoria Clássica das 
Placas Finas 1,2, 3, 4, desenvolvida por Lagrange em 1811, para a qual são consideradas 
válidas as chamadas hipóteses de Kirchhoff. Considere-se o sistema de eixos coordenadas 
Ox1 x2 x3 representado na figura 2.1, o qual é definido de tal modo que o plano Ox1 x2 seja 
 
1 Timoshenko S. and Woinowsky-Krieger, Theory of Plates and Shells ,McGraw-Hill. 
2 Mansfield, E, The Bending and Stretching of Plates, Pergamon Press. 
3 Courbon, Plaques Minces Elastiques, Eyrolles - Paris. 
4 Ugural, A.C., Stresses in Plates and Shells , McGraw-Hill Book Comp., 1981. 
Teoria Clássica das Placas Finas 2.2 
coincidente com o plano médio da placa antes da deformação e o eixo Ox3 seja normal ao 
plano médio da placa. 
O
p
e
x1
x2
x3
x1
x3
 
 
 
As hipóteses de Kirchhoff que são consideradas válidas para placas finas, com 
isotropia total e submetidas a acções normais ao plano médio, são: 
(i) A superfície média da placa é plana e indeformável, ou seja, as deformações no plano 
Ox1 x2 são nulas: 
 
ε11 = ε22 = ε12 = 0 para x3 = 0 2.1 
 
(ii) Os pontos pertencentes à normal ao plano médio da placa antes da deformação 
permanecem na normal à superfície média flectida. 
(iii) A tensão na direcção normal ao plano médio, σ33 é irrelevante quando comparada com 
as tensões σ11 e σ22 pelo que se considera: 
 
σ33 ≅ 0 2.2 
Figura 2.1: Sistema de Eixos de Referência. 
Teoria Clássica das Placas Finas 2.3 
 
O tensor das tensões toma neste caso a forma seguinte: 
 








=
02313
232212
131211
ij
σσ
σσσ
σσσ
σ 2.3 
 
como se mostra na figura 2.2 num ponto a uma distância x3 do plano médio, para um 
elemento de dimensões infinitamente pequenas, dx1 dx2 e de altura igual à espessura, sendo 
σ11 = σ22= σ12 = 0 para pontos sobre a superfície média da placa, de acordo com a hipótese 
(i) de Kirchhoff. 
e
σ11
σ13
σ21 σ12
σ23
σ22
o
x1
x2
x3 xd 1
x3
xd 2
Figura2.2:Estado de Tensão num Ponto
 
 
Tendo em conta a hipótese (ii) os deslocamentos, u1 e u2, de um ponto P da placa, situado a 
uma distância x 3 do plano médio, podem ser calculados a partir do deslocamento 
transversal ω (x1,x2) do ponto contido na normal que passa pelo ponto e situado na 
superfície média. Entendendo-se por deslocamento transversal o deslocamento sofrido por 
um ponto do plano médio na direcção normal ao plano médio. Na figura 2.3 representa-se, a 
Teoria Clássica das Placas Finas 2.4 
deformada de um segmento linear sobre a normal à superfície média e o campo de 
deslocamentos, no plano Ox1 x3, para o ponto P cuja posição é sobre a normal ao plano 
médio antes de deformado. A consideração da hipótese (ii) implica que as componentes do 
vector de deslocamentos,PP´ que se podem designar por{u1, u2, u3}
 T, sejam: 
 
( ) ωωωφωφ ==∂
∂−=−=∂
∂−=−= 213
2
3232
1
3131 x,xu;x
xxu;
x
xxu 2.4 
 
Os deslocamentos u1 e u2 dependem só da distância do ponto P ao plano médio, x3 
e do deslocamento transversal, ω(x1,x2), da superfície média como resulta das 
considerações feitas. 
φ 1
φ1
φ2
φ2
x1
x 3
x2
x
;
x 2
2
1
1 ∂
∂=∂
∂= ωφωφ
x3
ω
ω
P
P´
P´
 
Figura 2.3: Deslocamentos no Ponto P e no Plano Ox1x3. 
 
As deformações no plano Ox1 x2 a uma distância x3 do plano médio da placa 
atendendo às expressões (2.4) e (1.8) são: 
 
Teoria Clássica das Placas Finas 2.5 
xx
x
x
x
x
x
21
2
3122
2
2
3222
1
2
311 ∂∂
ω∂−=ε∂
ω∂−=ε∂
ω∂−=ε ;; 2.5 
 
Na superfície média a coordenada x3 = 0 e portanto é: 
ε11 = ε22 = ε21 = 0 
o que implica que a superfície média seja uma superfície neutra, uma vez que não sofre 
qualquer deformação. 
As deformações nos planos paralelos ao plano Ox1 x2 variam linearmente ao longo 
da espessura da placa o que está de acordo com as hipóteses de Kirchhoff atrás referidas. 
Note-se que de acordo com o campo de deslocamentos definido, as deformações ε23 e ε13 
são nulas, esta situação não é totalmente consistente com a realidade, no entanto estas 
deformações poderão ser calculadas a partir dos esforços unitários, como se verá 
posteriormente. O campo de deslocamentos resultante da consideração das Hipóteses de 
Kirchhoff apresenta esta incongruência nas deformações de corte. 
A Lei de Hooke generalizada para materiais isotrópicos com comportamento 
linear elástico, estabelece uma relação entre as tensões e deformações no plano Ox1 x2 com 
a forma seguinte: 
 














−−
−−
+=





ε
ε
ε
ννν
ννν
νσ
σ
σ
12
22
11
12
22
11
100
01
1
1
011
1
1
E
 2.6 
sendo E o modulo de Young e ν o coeficiente de Poisson. 
 
Tendo em conta as equações (2.5) e (2.6) é possível relacionar as tensões com os 
deslocamentos transversais do seguinte modo: 
 
Teoria Clássica das Placas Finas 2.6 







∂∂
∂
+−==



∂
∂+∂
∂
−−=



∂
∂+∂
∂
−−=
 
xx
x1
E
xx
x1
E
xx
x1
E
21
2
32112
2
1
2
2
2
2
3222
2
2
2
2
1
2
3211
ω
νσσ
ωνωνσ
ωνωνσ
 2.7 
 
As tensões σ11, σ22 e σ12 variam linearmente ao longo do eixo dos x3 x3 como se 
representa na figura 2.4, sendo nulas para x3= 0, como seria de esperar tendo em conta a 
hipótese de Kirchhoff (i). 
 
 
2.2 Esforços Generalizados e Curvaturas 
 
Na análise de placas à flexão, é conveniente considerar os esforços unitários que 
são: os momentos flectores unitários, M11 e M22, o momento torsor unitário, M12 e os 
esforços transversos unitários, T1 e T2. 
O momento flector unitário M11 é o momento resultante por unidade de 
comprimento da direcção Ox1, das tensões normais σ11 ao longo da espessura da placa, ou 
seja : 
3311
2/e
2/e
11 dxxM σ∫= − 2.8 
De modo semelhante se definem momentos unitários, M22e M12 ou seja: 
 
3322
2/e
2/e
22 dxxM σ∫= − e 3312
2/e
2/e
12 dxxM σ∫= − 2.9-2.10 
 
Os esforços transversos unitários calculam-se a partir das tensões σ13 e σ23 do 
seguinte modo: 
 
323
2/e
2/e
2313
2/e
2/e
1 dxTedxT σσ ∫=∫= −− 2.11 
Teoria Clássica das Placas Finas 2.7 
 
 
O
x1
x2
x3
σ12σ22σ11
Figura 2.4: Distribuição de tensões ao longo da espessura da placa. 
 
Integrando as expressões (2.8) a (2.10) para os momentos unitários, tendo em conta as 
equações (2.7) que definem as tensões em termos do deslocamento transversal ω, obtém-se: 
 







∂∂
∂−−=



∂
∂+∂
∂−=



∂
∂+∂
∂−=
 
xx
)1(DM
xx
DM
xx
DM
21
2
12
2
1
2
2
2
2
22
2
2
2
2
1
2
11
ων
ωνω
ωνω
 2.12 
 
sendo D = E e3/12 (1 - ν2), o modulo de rigidez à flexão da placa. Note-se que a simetria 
do tensor das tensões σ12 = σ21 implica que seja: M21 = M12. 
As segundas derivadas do deslocamentotransversal, ω, 
xx e x,x 212222212 ∂∂∂∂∂∂∂ ωωω , é possível demonstrar que são as curvaturas da 
Teoria Clássica das Placas Finas 2.8 
superfície média flectida 1, no caso de se admitir que a inclinação da superfície média 
flectida em qualquer direcção é pequena de tal modo que o seu quadrado é pequeno quando 
comparado com a unidade. As curvaturas podem ser designadas por χ11, χ22 e χ12 
respectivamente. Portanto as equações (2.12) podem ser escritas com a forma seguinte: 
 














−
−=






χ
χ
χ
ν
ν
ν
12
22
11
12
22
11
100
01
01
D
M
M
M
 2.13 
 
em função das curvaturas da superfície média flectida. 
Os esforços unitários, M11, M22, M12, resultantes das tensões estão representados 
na figura 2.5. 
 
Os esforços no plano médio são M11, M22, M12, T1 e T2, como se indicou. As 
tensões σ11, σ22 e σ12 podem ser calculadas a partir dos momentos tendo em conta as 
equações (2.7) e (2.12) e são determinadas a partir das seguintes expressões: 
 
eee 333
xM12;xM12;xM12 312123222231111 −=−=−= σσσ 
 
Na face superior da placa corresponde a um valor de x3 = e / 2, as tensões σ11e σ22 
são tensões de compressão no caso dos momentos flectores serem positivos e têm como 
valores 
ee 22
M6 e M6 22221111 −=−= σσ , estes são um dos valores extremos das tensões 
normais ao longo da espessura da placa . 
 
 
1 
x
x
1
x
2
1
2
1
2 2/3
2
1
2
11 ∂
∂−≈










∂
∂+
∂
∂−
= ω
ω
ω
χ 
Teoria Clássica das Placas Finas 2.9 
θ2222 ,MM =
θ1111 ,MM =
θ1212 ,M
Figura 2.5: Representação de Momentos. 
 
 
2.3 Equações de equilíbrio. Equação de Lagrange. 
 
As equações de equilíbrio podem ser estabelecidas em termos dos esforços 
unitários que resultam das tensões actuantes num elemento paralelepipédico da placa de 
dimensões dx1, segundo Ox1, dx2 segundo Ox2 e sendo segundo Ox3 considerada uma 
dimensão igual à espessura da placa. O estado de tensão no referido elemento tem as 
componentes que foram representadas anteriormente na figura 2.2 às quais correspondem 
esforços unitários definidos de acordo com as expressões (2.8-2.11). Considere-se um 
elemento ABCD de dimensões dx1, dx2 no plano médio do elemento paralelepipédico, os 
esforços unitários actuantes neste elemento e relevantes para efeitos de equilíbrio estático 
de esforços estão representados na figura 2.6. 
 
Teoria Clássica das Placas Finas 2.10 
A
B D
C
O
)x,x(p 21
x1
x2 x3
M11
M22
M 12
M21
M111
T1
T2
M122
M121 T12
M112
T11
 
 
Figura 2.6: Esforços Unitários num Elemento do Plano Médio dx1, dx2. 
 
Na figura 2.6 os esforços, M111, T11, M121, M112, M122 e T12, são definidos do 
seguinte modo: 
 



∂
∂+=


∂
∂+=



∂
∂+=


∂
∂+=



∂
∂+=


∂
∂+=
xd
x
TTT xd
x
TTT
xd
x
MMM xd
x
MMM
xd
x
MMM xd
x
MMM
2
2
2
2
1
21
1
1
1
1
1
2
2
21
21
1
211
1
12
12
1
12
2
2
22
22
1
221
1
11
11
1
11
 
 
Para se obterem as forças que actuam sobre o elemento de dimensões 
infinitésimais têm de multiplicar-se os esforços unitários pelo comprimento do lado 
elemento de área em que actuam. As equações de equilíbrio estático a considerar são três: 
equilíbrio de momentos em relação aos eixos Ox1 e Ox2 e equilíbrio de forças segundo o 
eixo Ox3. 
Teoria Clássica das Placas Finas 2.11 
 
A equação de equilíbrio de momentos em relação ao eixo Ox2 é: 
 
0xdxdTxdxd
x
MMxdMxdxd
x
MMxdM 21112
2
21
2112121
1
11
11211 =+


∂
∂+−+


∂
∂+− 
 
simplificando esta equação, obtém-se: 
 
T
x
M
x
M
1
2
21
1
11 =∂
∂+∂
∂
 
2.14 
 
De modo análogo se obtém a equação de equilíbrio de momentos em relação ao 
eixo Ox1 que é: 
 
T
x
M
x
M
2
1
12
2
22 =∂
∂+∂
∂
 
2.15 
 
Finalmente considerando o equilíbrio de forças na direcção do eixo Ox3 e 
admitindo que são irrelevantes os infinitésimos de ordem superior à primeira, obtém-se: 
 
)x,x(p
x
T
x
T
21
2
2
1
1 −=∂
∂+∂
∂
 
2.16 
 
onde p(x1, x2) representa a resultante das acções externas, por unidade de superfície, 
normais ao plano médio no elemento dx1× dx2. 
Substituindo as equações (2.14) e (2.15) na equação (2.16) obtém-se: 
 
)x,x(p
x
M
x
M
xx
M
x
M
x
21
1
12
2
22
22
12
1
11
1
−=


∂
∂+∂
∂
∂
∂+


∂
∂+∂
∂
∂
∂
 2.17 
 
que é a equação de equilíbrio num ponto de uma placa rectangular submetida à acção de 
forças normais ao plano médio. Note-se que os esforços unitários M11, M22, M12 são 
Teoria Clássica das Placas Finas 2.12 
independentes entre si e que os esforços Transversos unitários T1 e T2 dependem dos 
momentos flectores e torsor unitários. 
Os esforços unitários M11, M22 e M12 podem ser calculados a partir dos 
deslocamentos transversais ω , recorrendo às expressões (2.12) e nesse caso a equação de 
equilíbrio (2.17) toma a forma seguinte: 
 
D
)x,x(p
xxx
2
x
21
4
2
4
2
2
2
1
4
4
1
4
−=∂
∂+∂∂
∂+∂
∂ ωωω
 
2.18 
 
Esta equação (2.18) é conhecida por Equação de Lagrange e pode escrever-se 
duma maneira mais concisa do seguinte modo: 
 
D
)x,x(p 21−=∇∇ω 2.19 
onde o símbolo ∇designa o Laplaciano, 
xx 2221 ∂
∂+∂
∂
. 
Substituindo nas equações de equilíbrio de momentos (2.14) e (2.15) as expressões 
(2.12) para os momentos unitários, obtém-se para os esforços transversos unitários as 
expressões seguintes: 
( )ωωω ∇∂
∂−=


∂
∂+∂
∂
∂
∂−=
x
D
xxx
DT
1
2
2
2
2
1
2
1
1 
 e (2.20) 
( )ωωω ∇∂
∂−=


∂
∂+∂
∂
∂
∂−=
x
D
xxx
DT
2
2
2
2
2
1
2
2
2 
 
Sendo conhecida a solução da Equação de Lagrange é possível calcular os 
esforços unitários a partir das expressões (2.12) e (2.20). A solução da referida equação para 
o domínio da placa vai depender das condições de contorno. 
 
 
 
2.4 Condições de Contorno 
Teoria Clássica das Placas Finas 2.13 
 
2.4.1 Reacções de Apoio 
 
O deslocamento transversal ω deve satisfazer a equação de Lagrange e as 
condições ao limite sobre o contorno da placa. Antes de se considerarem as condições de 
contorno propriamente ditas devem calcular-se as reacções que têm de ser consideradas na 
presença e na ausência de ligações ao exterior. Considere-se um elemento infinitésimal de 
dimensão dx1 no contorno da placa como se representa na figura 2.7 de tal modo que a 
direcção normal ao contorno, no elemento infinitésimal considerado, tenha a direcção do 
eixo dos x2 x2; os esforços actuantes no elemento são os seguintes: M22dx1 resultante das 
tensões σ22; M12dx1 resultante das tensões σ12 e T2 dx1 resultante das tensões σ13. 
Estes esforços vão tender a ser equilibrados por esforços de reacção que são em geral 
momentos flectores e forças na direcção normal ao plano médio da placa. No caso do apoio 
não poder desenvolver momentos flectores que equilibrem o momento flector Mn, o 
momento normal à faceta, tem de ser considerado igual a zero ou igual ao momento 
aplicado caso exista. 
O binário representado na figura 2.7b, ± M'12, é capaz de equilibrar o momento 
torsor M21dx1 considerado na figura 2.7a, o qual actua num elementodo contorno de 
comprimento dx1, desde que seja: 
MM 12121 = 
 
Supondo que a placa está apoiada ao longo do contorno num apoio tal que não 
possa produzir uma reacção de apoio que seja um momento torsor, este pode ser substituído 
por uma distribuição de forças ao longo do contorno do tipo representado na figura 2.7b, 
M121 M121, etc.. 
Teoria Clássica das Placas Finas 2.14 
O
(a)
(b)
x1
x2 x3
xdM, 12121σ xdx
MM,xd
x
1
1
21
211
1
21
21 ∂
∂+∂
∂+ σσ
xd 1 xd 1
dxT 12 dxT 12
dxT 12− dxT 12−
xd
x
M
M 1
1
1
211
21 ∂
∂−−
M121−
xd
x
MM 1
1
1
211
21 ∂
∂+
M121
Figura 2.7: Distribuição das Tensões nos Bordos. 
 
Considerando um elemento contínuo ao anteriormente referido, nele actua um 
momento torsor: 
 
xdxd
x
MM 11
1
21
21 


∂
∂+ 
 
o qual pode ser equilibrado por um binário de forças do tipo representado na figura 2.7. As 
forças M121 e dxx
MM 1
1
1
211
21 ∂
∂−− que actuam segundo o lado comum aos 2 elementos 
infinitésimais adjacentes, eliminam-se em parte, dando origem a uma força dirigida para 
cima de grandezas dx
x
M
1
1
1
21
∂
∂ , no caso do incremento dx
x
M
1
1
1
21
∂
∂ ser positivo. 
A consideração dos momentos equilibrados atrás referidos só provoca alterações 
ao comportamento estático da placa na vizinhança do contorno. 
Portanto as reacções verticais por unidade de comprimento do contorno não 
são iguais ao esforço cortante T1 ou T2, mas são iguais à soma destes esforços com a 
variação dos momentos torsores, ou seja: 
Teoria Clássica das Placas Finas 2.15 
 
x
MTR e 
x
MTR
1
21
22
2
21
11 ∂
∂+=∂
∂+= 2.21 
 
Estas reacções podem exprimir-se, em função das derivadas de ω atendendo às 
expressões (2.5) e (2.20), do seguinte modo: 
 



∂∂
∂−+∂
∂−=
xx
)2(
x
DR 2
21
3
3
1
3
1
ωνω 
 



∂∂
∂−+∂
∂−=
xx
)2(
x
DR
2
2
1
3
3
2
3
2
ωνω 2.22 
Nas placas rectangulares o contorno não é contínuo e apresenta arestas; na 
vizinhança destas arestas há uma variação brusca do momento torsor, como se representa 
na figura 2.8. 
 
 
A-ε
V
A+ε
A
M1´´
M 2´´
Figura 2.8 Momento torsor nas Arestas
Teoria Clássica das Placas Finas 2.16 
Quando o momento torsor varia bruscamente de direcção num ponto A, como se 
representa na referida figura, desde um valor M"1 até um valor M"2, no elemento 
infinitésimal compreendido entre A - ε e A + ε, a força de substituição tem valor seguinte: 
 
[ ] [ ] MMMMdx
x
Mdx
x
MV 1221
A
A21
A
A2
A
A 2
12
1
A
A 1
12 ´´´´ −=+=∫ ∂
∂+∫ ∂
∂= ε−ε+ε−
ε+
 2.23 
 
Portanto num canto da placa existirá uma força de substituição dada por (2.23), se o ângulo 
for recto M´´2 é igual a M´´1 e de sentido contrário, portanto a reacção concentrada a ser 
considerada no canto é: 
 



∂∂
∂−=−=
xx
D)1(2M2R
21
2
12v
ων 2.24 
 
Esta força de reacção é negativa, dirigida para baixo devendo ser transmitida pelo 
apoio para evitar que a placa levante no canto, é o resultado da existência da força de 
levantamento V. 
 
 
2.4.2 Condições de Fronteira Propriamente Ditas 
 
2.4.2.1 Bordo simplesmente apoiado 
 
Para as condições de bordo simplesmente apoiado, o movimento segundo o eixo 
dos x3 x3, está impedido, podendo no entanto rodar livremente. A notação gráfica mais 
usual para este tipo de apoio em placas é a que se representa nas figuras 2.9. 
As condições de contorno simplesmente apoiado são: 
 
ω= 0 e Mn= Maplicado 
 
Teoria Clássica das Placas Finas 2.17 
sendo ω o deslocamento transversal e Mn o momento que provoca uma rotação normal no 
bordo simplesmente apoiado. 
Em termos analíticos estas condições de contorno para a placa rectangular da 
figura 2.9 e para os lados paralelos ao eixo dos x1 x1, AB e CD ,são as seguintes na ausência 
de momentos exteriores aplicados: 
 
u3 = ω = 0 e M2 = 0 2.25 
 
e para os lados paralelos ao eixo dos x2 x2, AC e BD, na ausência de momentos exteriores 
aplicados são: 
u3 = ω = 0 e M1 = 0 2.26 
O
A B
O=C D
Mt
Mn
x1
x2
x2
x2
 
Figura 2.9: Bordo Simplesmente Apoiado 
 
Considerar M2 = 0 ao longo de AB e CD, se se tiver em conta que ω = 0 ao longo 
de AB e CD, é equivalente a considerar que: 
 
Teoria Clássica das Placas Finas 2.18 
0
x22
2
=∂
∂ ω 2.27 
Ao longo do lado AC e BD, considerar que M1 é igual a zero , implica que seja: 
 
0
x21
2
=∂
∂ ω 2.28 
 
As condições (2.25) e (2.26) resumem-se portanto à condição u3 = ω = 0 e às 
condições (2.27) e (2.28), no caso das placas de bordos ortogonais paralelos aos eixos 
coordenados. 
 
 
2.4.2.2. Bordo perfeitamente encastrado 
 
No bordo perfeitamente encastrado os deslocamentos e as inclinações têm valor 
nulo e um dos modos de representação do bordo é o que se indica na figura 2.10. A placa 
representada nesta figura é considerada rectangular com os lados paralelos aos eixos 
coordenados. 
As condições de fronteira ao longo dos lados AB e CD, paralelos ao eixo dos 
1x ,são representadas através das seguintes igualdades: 
 
ω = 0 e 0
x2
=∂
ω∂ 2.29 
e ao longo dos lados AC e BD traduzem-se do seguinte modo: 
 
ω = 0 e 0
x1
=∂
ω∂ 2.30 
 
Tendo em conta que a equação de Lagrange é em termos de ω, as equações 
anteriores que representam as condições de contorno são um complemento da referida 
equação. 
Teoria Clássica das Placas Finas 2.19 
 
 
2.4.2.3. Bordo Livre. 
 
Se a placa tiver um ou mais lados livres, em todos os pontos do bordo livre devem 
de ser nulos os momentos flectores M11 ou M22 e as reacções R1 e R2. Estes esforços serão 
não nulos caso exista algum esforço ou momentos aplicados no bordo, nesse caso serão 
iguais a uma função de x1 ou x2 conhecida. No caso de bordo livre sem cargas aplicadas e 
paralelo a um dos eixos coordenados, as condições de contorno exprimem-se 
analiticamente do seguinte modo: 
 
R1 = 0 e M11 = o para x1 = 0 
 
R2 = 0 e M22 = 0 para x2 = 0 2.31 
 
As condições anteriores em termos dos deslocamentos ω, são para x1 = 0: 
 0
xx
)2(
x
 e 0
xx
D
2
21
3
2
1
3
2
2
2
2
1
2
=


∂∂
∂−+∂
∂=


∂
∂+∂
∂− ωνωωνω 2.32 
 
Bordos Encastrados
Figura 2.10 : Placa com Bordos Encastrados
Teoria Clássica das Placas Finas 2.20 
A deformada ω deve satisfazer simultaneamente a equação de equilíbrio ou seja a 
equação de Lagrange (2.18) e as condições de fronteira (2.31) e (2.32). 
 
 
2.5. Flexão Pura de Placas Rectangulares 
 
2.5.1 Determinação da Equação da Deformada 
 
A placa rectangular representada na figura 2.11 tem espessura constante, e, e está 
submetida à acção de momentos uniformemente distribuídos ao longo dos bordos paralelos 
aos eixos dos x2 x2 e dos x1x1. Os momentos por unidade de comprimento são 
respectivamente M1 e M2. 
A placa sob a acção dos momentos M1 e M2, como se representa na figura 2.11, 
fica submetida à flexão nos planos x1 x3 e x2 x3. O plano médio Ox1 x2, assim como 
qualquer plano paralelo a este, transforma-se numa superfície de dupla curvatura, após a 
ocorrência de deformação. 
 
A
B
D
x1
x2
C
M2
M1
M1
M2 
 
Figura 2.11: Placa Rectangular em Flexão Pura. 
 
Para esta solicitação os esforços transversos unitários são nulos em qualquer 
ponto da placa. Podem considerar-se também momentos torsoresM12 aplicados ao longo do 
contorno da placa como se representa na figura 2.12. 
 
Teoria Clássica das Placas Finas 2.21 
A
B
D x 1
x2
C
M12
M12
 
 
Figura 2.12:Placa Rectangular Submetida à Torção. 
 
As tensões σ1 σ2 e σ12 na face superior da placa, para uma placa submetida à acção 
dos momentos M1, M2 e M12, são neste caso constantes e são, em qualquer ponto da placa 
pertencente à faceta superior que está à compressão, iguais a: 
 
 
eee 2
12
12212
2
22
1
1
M6 e M6,M6 −==−=−= σσσσ 2.33 
 
As curvaturas normais do plano médio em relação aos eixos dos x1 x1 e dos x2 
x2 e o empenamento são determinadas a partir da Lei de Hooke generalizada 2.12. Essas 
curvaturas são: 
 
( ) ( ) ( )ν
ω
ν
νω
ν
νω
2
12
21
2
2
12
2
2
2
2
21
2
1
2
1D
M
xx
 e 
1D
MM
x
 , 
1D
MM
x −=∂∂
∂
−
−=∂
∂
−
−=∂
∂ 2.34 
 
Atendendo a que M1, M2 e M12 são constantes e escolhendo a origem das 
coordenadas no ponto de coordenadas x1 = 0 e x2 = 0, no plano médio Ox1 x2, a equação 
da deformada obtida por integração das equações 2.34, é: 
 
( ) ( ) ( ) xx1D M 2x 1D MM 2x 1D MM 21212
2
2
2
12
2
1
2
21
νν
ν
ν
νω −+−
−+−
−= 2.35 
 
No caso particular de ser M12 = 0 e M1 = M2 = M obtêm-se: 
 
Teoria Clássica das Placas Finas 2.22 
( )xx)1( D2 M 2221 ++= νω
 
2.36
 
 
e a superfície média flectida é neste caso, um paraboloide de revolução, que no caso de ω 
ser muito pequeno, se pode considerar uma esfera de raio: 
 
R=
M
)1(D ν+
 2.37
 
 
podendo então dizer-se que a flexão é esférica. A inconsistência destes resultados resultam 
só da consideração de expressões aproximadas para as curvaturas. 
 
 
2.5.2 Determinação das Direcções Principais de Flexão 
 
Para determinar o momento flector M e o momento torsor, Mt, por unidade de 
comprimento numa secção normal ao plano médio, figura 2.13, orientada de tal modo que a 
normal faça um ângulo θ com o sentido positivo do eixo dos x1 x1, basta considerar o 
equilíbrio de momentos no elemento triangular ABC da placa. As dimensões deste 
elemento são: BC = ds, AB = ds senθ e AC = ds cosθ. Obtém-se assim a equação vectorial: 
 
θθ sen)jMiM()cosjMiM(j´Mi´M 122112t +−++−=+ 2.38 
 
Atendendo a que: 
 
θθ senj´cosi´i −= 
 θθ cosj´ens´ij += 2.39 
 
a equação (2.38) é equivalente às equações seguintes: 
 
Teoria Clássica das Placas Finas 2.23 
x2
x1
M12
M2
M12
M1
C
A
B
M
Mt
x1
x2
O
jj'
i
i' θ
x'1
x'2
 
Figura 2.13.: Orientação dos Sistemas de Eixos 
 
M = M1 cos2 θ + M2 sen2 θ + 2 M12 sen θ cos θ 
Mt = (M1 - M2) sen θ cos θ - M12 (cos2 θ - sen2 θ) 2.40 
 
Existem duas direcções principais para as quais o momento torsor Mt é nulo e que 
são definidas, partindo da equação (2.40) fazendo Mt = 0 e tendo em conta que: 
 
sen θ cos θ = ½ sen2θ e cos2θ - sen2θ = cos2 θ 
 
Nestas condições a equação (2.40) toma a forma: 
 
MM
M22gtan
21
12
−=θ 
2.41 
 
Os momentos flectores principais correspondentes são as raízes da equação 
seguinte: 
 
( ) ( ) 0MMMMMMM 21221212 =−++− 2.42 
 
Os momentos principais são: 
Teoria Clássica das Placas Finas 2.24 
 
( ) 




 

 −+±+=
2
MMMMM2
1M 1122
2
2
12
2/1
2211 2.43 
 
No caso do momento torsor aplicado, M12, ser igual a zero, as direcções 
principais correspondem aos ângulos θ = 0 e θ = π/2, ou sejam as direcções paralelas aos 
eixos dos x1 x1 e dos x2 x2 considerados são direcções principais. Os momentos flectores 
principais são neste caso particular M1 e M2 sendo M12 = 0. 
As direcções principais dos momentos correspondem às direcções principais do 
tensor das curvaturas e portanto às direcções principais de flexão correspondem curvaturas 
principais da superfície média flectida. 
 
 
2.6. Trabalho Virtual das Tensões e Energia de Deformação 
 
O trabalho virtual das tensões σij numa deformação virtual εij tem por expressão: 
 
dV)222(dVT 23231313121222332222
V
1111ijV ij εσεσεσεσεσεσεσδ +++++∫=∫= 
ou no caso das placas 2.44 
dV
xx
M2
x
M
x
Mx
e
12T
21
2
122
2
2
222
1
2
11
V
2
33 


∂∂
∂+∂
∂+∂
∂∫= ϖϖϖδ 
 
sendo ϖ o deslocamento virtual e sendo o integral é estendido ao volume da placa,V. 
 No caso da placa estar sujeita a acções externas normais ao plano médio, as 
deformações neste caso são devidas ao efeito de flexão, a placa pode ser tratada como um 
estado plano de tensão. A equação (2.44) pode ser modificada, tendo em conta as equações 
(2.5) e (2.7) e integrando ao longo da espessura, por forma a obter equação seguinte: 
 
Teoria Clássica das Placas Finas 2.25 
( ) dS
xxxx
2
xxxx
1
xxxx
DT S
21
2
21
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
1
2
∫ 







∂∂
∂
∂∂
∂−∂
∂
∂
∂+∂
∂
∂
∂−−



∂
∂+∂
∂


∂
∂+∂
∂= ωωωωωωνωωωωδ
 2.45 
 
onde δω=ω , representa o deslocamento virtual. 
O trabalho virtual das forças exteriores deve igualar o trabalho virtual de 
deformação, δT, como resulta do chamado Teorema dos Trabalhos Virtuais. O trabalho 
virtual das forças exteriores é: 
 
xdxd)x,x(pT 212
S
1 ωδ ∫= 2.46 
 
A energia de deformação da placa é: 
 
dV)222(
2
1dV
2
1U 23231313121222332222
V
1111ijV ij εσεσεσεσεσεσεσ +++++∫=∫= 2.47 
 
Integrando ao longo da espessura, tratando a placa como um estado plano de 
tensão e tendo em conta as definições (2.5) e (2.7), obtém-se: 
 
dS
xxxx
)1(2
xx2
DU S
21
2 2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
1
2 2
∫ 












∂∂
∂−∂
∂
∂
∂−−


∂
∂+∂
∂= ωωωνωω 2.48 
 
A energia potencial total, ∏, é a soma da energia de deformação interna,U, com a 
energia potencial devida às forças exteriores,T, ou seja: 
 
( ) xdxdx,x)x,x(pU 21212S 1 ω∫−=∏ 2.49 
 
Minimizando a energia potencial total, δΠ = 0, obtém-se: 
 
Teoria Clássica das Placas Finas 2.26 
 
 2.50 
Aplicando o teorema de Green ao integral de superfície contido nesta expressão e 
considerando que o contorno é definido por segmentos ortogonais paralelos aos eixos 
coordenados, obtém -se: 
 
 
 
 
 
 2.51 
 
Tendo em conta as equações (2.12), a equação (2.51) toma a forma: 
 
( ) −∫ ∂∂+∫ ∂∂−∫ −∇ xdx
)(
MDxd
x
)(
MDxdxdpD 1
C 2
222
C 1
1121S
2 δωδωδωω 
 
 
 −∫ ∂
∂+∫ ∂
∂− xd
x
)(
MDxd
x
)(
MD 1
C 1
122
C 2
12
δωδω
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 2 2 22 2 2 2 2 2S
1 2 1 2 2 1 1 2 1 2
1 2 1 2
S
( )D (1 ) 2 dS
x x x x x x x x x x
p p( , ) d d 0x x x x
 δω δω δω δω   ω ω ω δω∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂∇ω + − − ν + − −    ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂     
− δω =
∫
∫
( ) ( ) −∂
∂∫ 


∂∂
∂−+∂
∂∫ 


∂
∂+∂
∂− xd
xxx
)1(Dxd
xxx
D 2
2C 21
2
2
2C
2
1
2
2
2
2 δωωνδωωνω
( ) ( ) −∂∂∫ 


∂
∂+∂
∂+∫ −∇ xd
xxx
DxdxdpD 1
1C
2
2
2
2
1
2
21S
2 δωωνωδωω
( ) −∫ 


∂∂
∂+∂
∂+∂
∂∫ 


∂∂
∂−− xd
xxx
Dxd
xxx
)1(D 2
C
2
12
3
3
2
3
1
1C 21
2
δωωνωδωων
−∫ 


∂∂
∂−+∫ 


∂∂
∂+∂
∂− xd
xx
)1(Dxd
xxx
D 1
C 2
2
1
3
2
C
2
21
3
3
1
3
δωωνδωωνω
0xd
xx
)1(D 1
C
2
21
3
=∫ 


∂∂
∂−− δωωνTeoria Clássica das Placas Finas 2.27 
 
 xd
x
M
x
MD 1
C 1
12
2
22 δω∫ 


∂
∂+∂
∂− 
 2.52 
 0xd
x
M
x
MD 2
C 2
12
1
11 =∫ 


∂
∂+∂
∂+ δω 
 
Fazendo uso das equações de equilibro (2.14) e (2.15) a equação anterior toma a forma: 
 
( ) −∫ ∂∂+∫ ∂∂−∫ −∇ xdx
)(
Mxd
x
)(
MxdxdpD 1
2
222
1
1121S
2 δωδωδωω 
 
0xdTxdT
xd
x
)(
Mxd
x
)(
M
1112
1
1
122
2
12
=∫+∫−
−∂
∂∫+∂
∂∫−
δωδω
δωδω
 
 2.53 
ou ainda: 
 
( ) −∫ ∂∂+∫ ∂∂−∫ −∇ xdx
)(
Mxd
x
)(
MxdxdpD 1
2
222
1
1121S
2 δωδωδωω 
 
 0xd 
x
MT xd 
x
MT 2
2
12
21
1
12
1 =∫ 


∂
∂+−


∂
∂+∫+ δωδω 
 
donde se infere que por minimização da energia potencial se obtém a equação de Lagrange 
que resulta de se igualar a zero o integrando do integral estendido à superfície e um 
conjunto de condições de fronteira que resultam da anulação dos integrandos dos integrais 
estendidos ao contorno da placa. 
A teoria das placas referida é suficientemente precisa para fins práticos no caso 
das placas serem finas. Na vizinhança de esforços transversos concentrados, junto de cantos 
e de orifícios de diâmetro com uma dimensão da ordem de grandeza da espessura da placa 
Teoria Clássica das Placas Finas 2.28 
esta teoria mostra-se pouco precisa sendo necessário considerar uma teoria exacta 1 de 
placas. 
 
 
2.7. Aplicação da Teoria de Placas Finas a Placas Ortotrópicas 
O sistema de eixos a ser considerado é um sistema de eixos Oxyz definido por 
forma a considerar-se o plano Oxy coincidente com o plano médio e o eixo dos zz normal a 
esse plano como foi referido na Teoria das Placas Finas. Note-se que: x = x1, y = x2 e z = 
x3. 
O campo de deslocamentos, {u = u1, v = u2, w = u3} e deformações {εxx= ε11, 
εyy=ε22, εxy = ε12}, considera-se definido de modo análogo ao considerado na Teoria de 
Flexão de Placas Finas isotrópicas, ou seja: 
 
[ ] [ ])y,x(;y/z;x/zw,v,u TT ωωω ∂∂−∂∂−= 
 
[ ] [ ]xy/z;y/z;x/z,, 22222 Txyyyxx T ∂∂∂−∂∂−∂∂−= ωωωεεε 
 
As relações tensões - deformações ainda se regem pela Lei de Hooke, no caso de 
existir ortotropia do material e no caso de os eixos materiais coincidirem com os eixos de 
referência, esta Lei toma a forma: 
 
)(
1
E
yy21xx
1221
1
xx ενεννσ +−= 
)(
1
E
xx21yy
1221
1
yy ενεννσ +−= 
εσ xy12xy G= 
 
 
1 Love ,J. H. , The Mathematical Theory of Elasticity , 1927 
Teoria Clássica das Placas Finas 2.29 
Fazendo uso das expressões das deformações em termos dos deslocamentos, a Lei 
de Hooke toma a forma: 
 




∂
∂+∂
∂
−= yx1
E
2
2
212
2
1221
1
xx
ωνωννσ 
 




∂
∂+∂
∂
−= xy1
E
2
2
122
2
1221
2
yy
ωνωννσ 
 
yxG
2
12xy ∂∂
∂= ωσ 
 
Os esforços unitários de flexão determinam-se a partir das tensões do seguinte modo: 
 
dz
yx
z1
EdzzM 2
2
212
22e
2/e
2
1221
1
2/e
2/e
xxxx 



∂
∂+∂
∂∫−−=∫= −−
ωνωννσ 
dz
xy
z1
EdzzM 2
2
122
22e
2/e
2
1221
2
2/e
2/e
yyyy 



∂
∂+∂
∂∫−−=∫= −−
ωνωννσ 
 
dz
yx
zGdzzM
22e
2/e
2
12
2/e
2/e
xyxy ∂∂
∂∫−=∫=
−−
ωσ 
 
Procedendo às integrações envolvidas, obtém-se: 
 
( )νν
ωνω
2112
3
1
12
2
212
2
1xx 112
eED onde 
yx
DM −=



∂
∂+∂
∂−= 
( )νν
ωνω
2112
3
2
22
2
122
2
2yy 112
eED onde 
xy
DM −=



∂
∂+∂
∂−= 
 
Teoria Clássica das Placas Finas 2.30 
12
eGD onde 
yx
DM
3
12
3
2
3yy =∂∂
∂−= ω 
 
As equações de equilíbrio de esforços são: 
 
Ty
M
x
M
x
xyxx =∂
∂+∂
∂ 
Tx
M
y
M
y
xyyy =∂
∂+∂
∂
 
)y,x(p
y
T
x
T yx −=∂
∂+∂
∂ 
 
Eliminando Tx e Ty na 3ª equação fazendo uso da 1ª e 2ª equações, obtém-se a 
equação de equilíbrio de forças segundo o eixo dos zz em termos dos momentos unitários 
de flexão e torção, ou seja: 
 
)y,x(p
y
M
yx
M2
x
M
2
xx
2
xy
2
2
xx
2
−=∂
∂+∂∂
∂+∂
∂ 
 
Substituindo nesta equação os momentos flectores em função das curvaturas 
obtém-se: 
 
)y,x(p
y
D
yx
´D2
x
D 4
4
222
4
34
4
1 =∂
∂+∂∂
∂+∂
∂ ωωω 
 
onde D3 = D´3 + ν12D1 = D´3 + ν21 D2. Está determinada a equação de Lagrange para 
placas ortotrópicas. As condições de fronteira são definidas de modo análogo às condições 
de fronteira consideradas no caso das placas isotrópicas. 
 
 
 
Teoria Clássica das Placas Finas 2.31 
Problemas Propostos 
 
 
1. Mostre que as curvaturas se relacionam com os momentos unitários através das 
seguintes expressões: 
 
( )
( )
)1(DD´ onde
´D/M)1(
´D/MM
´D/MM
2
1212
112222
221111
ν
νχ
νχ
νχ
−=
+=
−=
−=
 
 
2. Mostre que a forma da deformada de uma placa com valores constantes da curvatura é: 
 
x2
1
xxx2
1 2
2222112
2
111 χχχω ++= 
 
com um movimento de corpo rígido da forma (Ax1 + Bx2 + C) 
 
3. Considere os sistemas de eixos representados na figura e mostre que as curvaturas no 
sistema de eixos OXYZ se relacionam com as curvaturas no sistema de eixos Oxyz do 
seguinte modo: 
 
O x
X
Y
y
φ
φ
 
 
 
Teoria Clássica das Placas Finas 2.32 
φχφφχφχχ sencossen2cos 2yyxy2xxXX ++= 
φχφφχφχχ coscossen2sen 2yyxy2xxYY +−= 
( ) )sencos(cossen 22xyyyxxXY φφχφφχχχ −+−= 
 
Note-se que OZ = Oz . Pode fazer uso da expressão da deformada referida na questão 2. 
 
4. Mostre que são invariantes das curvaturas as grandezas: 
 
( )χχ yyxx21 + ; 


 −+
2
yyxx
2
2
xy
χχχ ;- χχχ −yyxx 2xy 
 
5. Mostre que o momento torsor máximo para uma placa rectangular é: 
 
( ) 







 −+=
2
MM
MM
yx
2
2
xy
2/1
T max 
 
6. Mostre que: 
 
MM
M
yyxx
xy
yyxx
xy
−=− χχ
χ
 
 
7. Considere uma placa rectangular sujeita a um estado de flexão pura. Os momentos 
aplicados são M1 e M2 sendo M12 = 0. Determine a energia de deformação da placa em 
termos do deslocamento transversal ω. 
 
Resposta:








∂
∂
∂
∂+







∂
∂+







∂
∂=
yx
2
yx
DA
2
1U 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
ωωνωω
 
 
8. Considere o sistema de coordenadas oblíquas representado na figura. 
Teoria Clássica das Placas Finas 2.33 
 
a) Deduza a equação de equilíbrio de forças segundo o eixo normal ao plano Ox*y*, tendo 
em conta que as coordenadas x*e y* se relacionam com as coordenadas x e y do 
seguinte modo: 
φ=φ+= sen/yyegcotyxx ** 
 
O
x
y
φ
x*
y*
P y*
x, x*
 
 
b) Deduza a equação de Lagrange no sistema de eixos Ox*y*. 
 
9. Considere uma placa de espessura variável segundo a direcção do eixo dos yy, como se 
representa na figura, de acordo com uma lei do tipo: 
 
t
t
b
3a e espessura a representa t onde ett
0
1a3y
0 ln/ π=α=
απ 
 
a
z, W
x
t1
y
O
to
b
 
 
e determine a equação de Lagrange nestas condições.