Calculo 1 Prova2 - Resolução

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DISCIPLINA: Cálculo Diferencial e Integral I PERÍODO: 2013.1TURMA: 05 TURNO: TARDEPROFESSOR: Diogo Germano DATA: 07/08/2013
RESPOSTAS DA AVALIAÇÃO 2
1. (a) Temos,
F ′(z) = [ 3√z + 3(z2 − 4)]′ = [(z + 3)1/3(z2 − 4)]′
= [(z + 3)1/3]′ (z2 − 4) + (z + 3)1/3 [z2 − 4]′
= 13(z + 3)−2/3(z2 − 4) + (z + 3)1/32zF ′(z) = z2 − 43(z + 3)2/3 + 2z(z + 3)1/3.(b) Temos,
y′ = [sen(ln x)ex
]′ = [sen(ln x)]′ ex − sen(ln x) (ex )′(ex )2
= cos(ln x)1x ex − ex sen(ln x)(ex )2 = e
x [cos(ln x)x − sen(ln x)
]
(ex )2
= cos(ln x)x − sen(ln x)exy′ = cos(ln x)xex − sen(ln x)ex .(c) Temos,
f ′(x) = [ln(3x2 −√x)3]′ = [3 ln(3x2 −√x)]′
= 33x2 −√x
(6x − 12√x
)
f ′(x) = 3
(6x − 12√x
)
3x2 −√x
(d) Temos,
y′ = [sec 1x2
]′ = (sec 1x2 tg 1x2
)(−2x−3)
y′ = − 2x3 sec 1x2 tg 1x2 .2. Usando derivação implícita, temos ddx (x2 + xy− y2) = ddx (1)2x + y+ x dydx − 2ydydx = 0(x − 2y)dydx = −2x − ydydx = −2x + yx − 2y.
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Logo, dydx
∣∣∣∣(2,3) = −2 · 2 + 32− 2 · 3 = − 7−4 = 74 .
Portanto, a reta tangente em (2, 3) é y− 3 = 74(x − 2), ou seja,
y = 74x − 12 .
Sendo −47 o coeficiente angular da reta normal em (2, 3), temos y−3 = −47(x−2), ou seja, a equaçãoda reta normal é y = −47x + 297 .3. (a) Temos,
G(x) = x1/x = eln x1/x = e 1x ln x
G′(x) = e 1x ln x (− 1x2 ln x + 1x · 1x
)
= e 1x ln x (− 1x2 ln x + 1x2
)
G′(x) = x1/x ( 1x2 − ln xx2
) .
(b) Temos,
G(x) = (1− x)x2 = eln(1−x)x2 = ex2 ln(1−x)
G′(x) = ex2 ln(1−x) [2x ln(1− x) + x2 11− x (−1)
]
G′(x) = (1− x)x2 [x ln(1− x)2 − x21− x
] .
4. (a) Sendo y′ = dy/dx , temos
y′ = (x + 1x − 1
)′ = (x + 1)′(x − 1)− (x + 1)(x − 1)′(x − 1)2
= x − 1− (x + 1) · 1(x − 1)2 = x − 1− x − 1(x − 1)2y′ = dydx = − 2(x − 1)2 .
Agora, derivando a última equação, obtemos
ddx (y′) = ddx
(− 2(x − 1)2
) = 4(x − 1)−3
d2ydx2 = 4(x − 1)3 .
(b) De fato,
(1− x)d2ydx2 = (1− x) 4(x − 1)3 = −(x − 1) 4(x − 1)3
= − 4(x − 1)2 = 2
[− 2(x − 1)2
]
= 2dydx .
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5. (a) A velocidade num instante t é v (t) = s′(t). Logo,
v (t) = s′(t) = (15 t2 + 8t
)′ = 25 t + 8
ou seja, v (2) = 25 · 2 + 8 = 45 + 8 = 445 .(b) Temos v (8) = 25 · 8 + 8 = 165 + 8 = 565 .(c) A aceleração em qualquer instante t é a(t) = v ′(t), isto é,
a(t) = v ′(t) = (25 t + 8
)′ = 25 .
BOA PROVA!!!
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