Apostila_Engenharia Experimental_parte II

Prévia do material em texto

Engenharia Experimental 
 
Prof. Me. André Vitor Bonora FACENS 
Página 1 
 
Capítulo 1 
 
Fundamentos de propagação de erros 
em medidas experimentais 
 
1. Grandeza – definição 
 
 Grandeza é tudo o que pode ser medido. A grandeza obedece à seguinte 
equação característica: 
 
Grandeza = valor medido + unidade 
 
O valor medido pode ser obtido por um método direto (instrumento de 
medição) ou indireto (cálculo) e sempre deve ser apresentado da seguinte forma: 
 
Valor medido = valor médio ±±±± desvio ou erro 
 
 Portanto, a equação característica completa da grandeza é assim descrita: 
 
Grandeza = (valor médio ±±±± desvio ou erro) + unidade 
 
Por sua vez, a unidade é uma simples comparação do valor medido com uma 
padrão pré estabelecido vigente no cenário experimental. Nem sempre a unidade 
existe e, neste caso, quando a grandeza não possui unidade ela é denominada 
adimensional. 
Em Engenharia Experimental o cenário experimental é regido no Brasil, em 
termos de unidades, pelo Sistema Internacional de Unidades, que será apresentado 
a seguir. 
 
2. Sistema Internacional de Unidades (SI) 
 
 O Sistema Internacional de Unidades (SI) é composto de 7 grandezas 
básicas, chamadas FUNDAMENTAIS, de onde deduzem-se as outras, denominadas 
DERIVADAS. 
As grandezas básicas do SI são resumidas na tabela 1.1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Engenharia Experimental 
 
Prof. Me. André Vitor Bonora FACENS 
Página 2 
 
Tab. 1.1: grandezas fundamentais do SI 
Grandeza Unidade Símbolo 
Comprimento metro m 
Massa quilograma kg 
Tempo segundo s 
Temperatura termodinâmica quelvin K 
Intensidade de corrente 
elétrica 
ampère A 
Intensidade luminosa candela cd 
Quantidade de matéria mol mol 
 
Das grandezas que se derivam das fundamentais são citados alguns 
exemplos a seguir: 
 
a) Velocidade: V = d/t = distância/tempo 
Unidade SI: metro por segundo = m/s 
 
b) Aceleração: a = V/t = velocidade/tempo 
Unidade SI: metro por segundo elevado ao quadrado = m/s2 
c) Força: F = m . a = massa . aceleração ( 2a Lei de Newton ) 
Unidade SI: quilograma x metro por segundo ao quadrado = kg.m/s2 
Ou ainda: 1 kg.m/s2 = 1 Newton = 1 N 
 
d) Trabalho, Energia: E = F . d = força . deslocamento 
Unidade SI: quilograma x metro ao quadrado por segundo ao 
quadrado = kg.m2/s2 
Ou ainda: 1 kg.m2/s2 = 1 Joule = 1 J 
 
 As unidades do SI podem ainda ser precedidas de prefixos gregos, que 
equivalem às potências de 10 cujos expoentes são múltiplos de 3, ilustrados na 
tabela 1.2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Engenharia Experimental 
 
Prof. Me. André Vitor Bonora FACENS 
Página 3 
 
Tab. 1.2: prefixos gregos e suas potências de 10 
Prefixo Símbolo Extenso Decimal Potência de dez 
exa E quintilhão 1.000.000.000.000.000.000 1018 
peta P quadrilhão 1.000.000.000.000.000 1015 
tera T trilhão 1.000.000.000.000 1012 
giga G bilhão 1.000.000.000 109 
mega M milhão 1.000.000 106 
quilo k mil 1.000 103 
hecto h cem 100 102 
deca da dez 10 101 
unidade - unidade 1 100 
deci d décimo 0,1 10-1 
centi c centésimo 0,01 10-2 
mili m milésimo 0,001 10-3 
micro µ milionésimo 0,000.001 10-6 
nano n bilionésimo 0,000.000.001 10-9 
pico p trilionésimo 0,000.000.000.001 10-12 
femto f quadrilionésimo 0,000.000.000.000.001 10-15 
atto a quintilionésimo 0,000.000.000.000.000.001 10-18 
 
 
3. Erros aleatórios e erros sistemáticos 
Quando se mede uma determinada grandeza física, há fontes de erro que 
prejudicam sua exatidão e/ou precisão. Por mais cuidadosa que seja a medida 
realizada, sempre haverá uma fonte de erro que levará ao que se denomina erro 
experimental. Estes são classificados em dois diferentes grupos: erros aleatórios e 
erros sistemáticos. Os erros aleatórios são caracterizados por flutuações, para 
cima ou para baixo, que tornam aproximadamente a metade das medidas feitas 
de uma mesma grandeza (numa mesma situação experimental) desviada para 
cima, e a outra metade desviada para baixo. Esse tipo de erro experimental afeta 
a precisão da medida realizada e é causado por: 
 
• Método de observação utilizado: erros que surgem devido à 
análise feita pelo observador ao fazer uma leitura abaixo da menor 
divisão da escala; 
• Flutuações ambientais: alterações imprevisíveis na tensão da 
rede, vibrações ambientais, correntes de ar, etc. 
 
Embora seja impossível eliminar esses erros no processo de medida, é 
possível tratá-los de forma quantitativa utilizando-se de métodos estatísticos para 
fazer com que seus efeitos no resultado possam ser determinados. 
Diferentemente dos erros aleatórios, os erros sistemáticos são gerados 
por fontes que podem ser identificadas e, geralmente, podem ser 
compensados ou eliminados. Tais erros não afetam a precisão da medida, mas 
sim sua exatidão fazendo com que o valor medido esteja acima ou abaixo do 
valor real. 
São exemplos de fontes de erros sistemáticos: 
 
Engenharia Experimental 
 
Prof. Me. André Vitor Bonora FACENS 
Página 4 
 
• Método de observação utilizado: medir o instante de ocorrência 
de um relâmpago através dos ruídos do trovão a ele associado; 
 
• Instrumento utilizado: a medida do comprimento de uma folha de 
papel com uma régua de plástico que ficou muito tempo exposta a 
altas temperaturas; 
 
• Efeitos ambientais: medir a velocidade do som sem se preocupar 
com a temperatura ambiente que pode influenciar no resultado; 
 
• Modificações na teoria: estudar o movimento de um dado móvel 
sem levar em conta a resistência imposta pelo ar. 
 
Portanto, aquele que realiza a experiência deve ter o cuidado de eliminar o 
maior numero possível dessas fontes de erro de forma a garantir maior exatidão na 
medida realizada. 
 
4. Instrumentação laboratorial e seus desvios de medida 
 
 Basicamente em Engenharia Experimental os instrumentos podem ser 
classificados como analógicos e digitais. Como exemplos de instrumentos 
analógicos têm-se a régua (fig. 1.1), a fita métrica (fig. 1.2), a trena (fig. 1.3) e o 
paquímetro (figs. 1.4 e 1.5). Como instrumento digital tem-se, por exemplo, a 
balança digital. 
 
 
Fig. 1.1: réguas utilizadas em medições simples 
 
Engenharia Experimental 
 
Prof. Me. André Vitor Bonora FACENS 
Página 5 
 
 
Fig. 1.2: fita métrica enrolada 
 
 
Fig. 1.3: trena 
 
 
Fig. 1.4: paquímetro típico 
 
 
Engenharia Experimental 
 
Prof. Me. André Vitor Bonora FACENS 
Página 6 
 
 
Fig. 1.5: paquímetro – leitura utilizando o nônio ou vernier 
 
 
Fig. 1.6: balança digital 
 
 Todo instrumento laboratorial possui limitações de medidas (desvios) 
previstos em seus projetos e que devem ser levados em consideração em toda a 
medição por ele efetuada. 
 Em Engenharia Experimental a regra do desvio experimental para a 
instrumentação apresentada nas figuras 1.1 a 1.6 é a seguinte: 
 
I) Régua, fita métrica e trena: o desvio adotado é dado pela 
metade da menor divisão da escala do instrumento � desvio = 
0,05 cm; 
 
 
Engenharia Experimental 
 
Prof. Me. André Vitor BonoraFACENS 
Página 7 
 
II) Paquímetro: o desvio adotado é dado pela sua resolução, ou 
seja, no caso do paquímetro da fig. 1.5: desvio = 0,1 mm = 0,01 
cm; 
 
III) Balança digital: o desvio adotado é dado pela resolução na 
escala digital; como esta balança só possui uma casa decimal � 
desvio = 0,1 g; 
 
 
5. Algarismos significativos 
 
Para estudar-se e compreender-se a idéia e utilização de algarismos 
significativos, analisar-se-á a figura 1.7 onde se faz a medida do comprimento de um 
objeto. Para realizar tal medida utilizam-se duas réguas cada uma delas 
apresentando diferentes divisões em sua escala, ambas em cm. 
 
 
Fig. 1.7: medida do comprimento de um objeto efetuada por duas réguas distintas 
 
A medida obtida através da régua ilustrada na fig. 1.7(a) é dada por Xa = 
7,8 cm sendo que o algarismo 7 é correto e o 8 é duvidoso, pois teve-se que estimá-
lo. Já a medida realizada com a régua ilustrada na fig. 1.7(b) fornece como resultado 
Xb = 7,85 cm com os algarismos 7 e 8 sendo corretos e 5 o duvidoso. 
Portanto, tem-se a seguinte regra dos algarismos significativos: 
 
O número de algarismos significativos é dado pelos algarismos 
corretos mais o primeiro duvidoso. 
 
Sendo assim, a medida realizada com a régua ilustrada na fig. 1.7(a) 
apresenta dois algarismos significativos e a realizada com a régua ilustrada na fig. 
1.7(b) possui três. Desta forma, a medida realizada com a régua ilustrada na fig. 
1.7(b) é melhor que a realizada com a régua ilustrada na fig. 1.7(a), pois apresenta 
um algarismo significativo a mais. 
 
Engenharia Experimental 
 
Prof. Me. André Vitor Bonora FACENS 
Página 8 
 
6. Regras de arredondamento na apresentação de dados 
 
Ao se realizar alguns cálculos utilizando resultados experimentais é 
necessário, algumas vezes, arredondar tais resultados. Estes arredondamentos 
devem ser feitos seguindo os critérios descritos a seguir: 
 
- Se o primeiro algarismo a ser descartado for maior ou igual que 5, o 
último algarismo a ser mantido no numero é acrescido de uma unidade; por 
exemplo, arredondando o número 4,7675 para duas casas resultaria: 
 
4, 7675 ≈ 4, 77 (1.1) 
 
- Se o primeiro algarismo a ser descartado for menor que 5, o último 
algarismo a ser mantido no número não sofre alterações; por exemplo, 
arredondando o número 4,7635 para duas casas resultaria: 
 
4, 7635 ≈ 4, 76 (1.2) 
 
 Para Engenharia Experimental, adota-se a seguinte regra de arredondamento 
para valores medidos com desvios: 
 
 Arredonda-se primeiro o desvio para dois algarismos significativos após 
a vírgula; com o número de casas do desvio arredonda-se o valor médio. 
 
 Por exemplo, seja o valor medido a seguir: 
 
X = 4,2536 ±±±± 0,1234 
 
 Seguindo-se a regra de arredondamento do valor medido ele fica assim 
arredondado: 
 
X = 4,25 ±±±± 0,12 
 
 No caso de se escrever o valor medido com prefixo grego, deve-se 
primeiro passar tanto o desvio como o valor médio para a mais próxima 
potência de 10 com expoente múltiplo de 3 possível para depois arredondar o 
valor medido. 
 Por exemplo, seja o valor medido a seguir: 
 
X = (4234,567 ±±±± 124,7689) A 
 
 Seguindo-se a regra de arredondamento do valor medido e passando-se para 
o prefixo grego mais próximo tem-se que: 
 
X = (4,23 ±±±± 0,12) kA 
 
 
 
Engenharia Experimental 
 
Prof. Me. André Vitor Bonora FACENS 
Página 9 
 
7. Tratamento estatístico de dados experimentais 
 
Como citado no item 3, os erros aleatórios podem prejudicar a medida 
realizada para cima ou para baixo e isso ocorre de uma forma aleatória de modo 
que, se forem realizadas muitas medições, aproximadamente metade das medidas 
estará acima do valor real e metade abaixo. Sendo assim, uma forma de se obter o 
melhor valor possível para a medida é calcular a média aritmética dos valores 
medidos experimentalmente, dada pela equação 1.3. 
 
∑
=
=
n
i
ix
n
x
1
1
 (1.3) 
 
Na qual n é o número de medidas realizadas e xi é o valor da i-ésima 
medida. 
Essa media aritmética deve ser feita com certa cautela, pois cada valor 
medido possui seu próprio desvio e tal operação matemática acarreta o que se 
chama de propagação de erro. Mais adiante, apresentar-se-ão as regras para se 
fazer os cálculos levando em conta a propagação de erros. 
 
7.1 Desvio da média 
 
O desvio da média mostra o quanto cada uma das medidas realizadas se 
afasta do valor mais provável da grandeza em estudo. Desta forma, tal desvio é 
obtido subtraindo-se a média de cada uma das medidas realizadas, dada pela 
equação 1.4. 
 
xxd ii −= (1.4) 
 
 
Onde x é obtido através da equação 1.3. 
 
7.2 Desvio médio absoluto 
 
Este desvio na verdade é a média dos desvios da média obtidos através 
da equação 1.4 como mostra a equação 1.5. 
 
N
d
d
N
i i∑ =
=
1
 (1.5) 
 
Na qual N é o número de medidas realizadas. O desvio médio absoluto 
deve ser arredondado para um algarismo significativo. Observe que o desvio médio 
absoluto é calculado levando-se em conta módulos dos desvios da média. Se não 
fosse assim, um desvio da média positivo seria cancelado por outro positivo 
podendo acarretar um desvio médio absoluto nulo. 
 
 
 
Engenharia Experimental 
 
Prof. Me. André Vitor Bonora FACENS 
Página 10 
 
7.3 Erro relativo 
 
Erro relativo é a relação entre o desvio médio relativo e o valor mais 
provável da grandeza em questão, dado pela equação 1.6. 
 
x
d
er = (1.6) 
 
Na qual o resultado é um número puro, ou seja, adimensional e nos dá 
informações sobre a qualidade da medida realizada, quanto menor for o erro relativo, 
melhor é a medida realizada. 
 
7.4 Desvio padrão 
 
O desvio padrão também é uma propriedade estatística que nos permite 
inferir o quão boa é a medida realizada. Quanto maior for seu valor mais distante da 
média encontram-se as medidas xi. 
O desvio padrão é obtido através da equação 1.7. 
 
( )
1
1
2
−
−
=
∑
=
N
xx
N
i iσ
 (1.7) 
 
Na qual N é o número de medidas realizadas. 
 
 
8. Apresentação da média de um conjunto de medidas experimentais 
 
A apresentação da média de um conjunto de medidas experimentais pode 
ser feita de diferentes maneiras dependendo da necessidade. Algumas delas são 
listadas a seguir. 
 
dxx ±= (1.8) 
 
Ou 
 
σ±= xx
 (1.9) 
 
Ou ainda 
 
N
xx
σ±=
 (1.10) 
 
Por exemplo, sejam as medidas efetuadas para a grandeza X num dado 
experimento físico SEM CONSIDERAR-SE OS DESVIOS DE CADA MEDIDA 
apresentados na tabela 1.3. 
 
Engenharia Experimental 
 
Prof. Me. André Vitor Bonora FACENS 
Página 11 
 
Tab. 1.3: medidas efetuadas para a grandeza X - exemplo 
Grandeza Medida 1 Medida 2 Medida 3 Medida 4 Medida 5 
X 10,22 10,21 10,23 10,21 10,22 
 
 
Os resultados dos cálculos descritos no item 7 podem ser dados por: 
 
Média aritmética das medidas: 10,218 
 
Desvio médio absoluto: 0,0064 
 
Erro relativo: 0,062635 % 
 
Desvio padrão: 0,008367 
 
Assim sendo, o resultado da média das medidas efetuadas pode ser apresentada 
das seguintes formas: 
 
X = 10,2180 ±±±± 0,0064 
 
X = 10,2180 ±±±± 0,0084 
 
X = 10,2180 ±±±± 0,0037 
 
 
9. Propagação de erros em medidas experimentais 
 
Ao se fazerem cálculos com dados experimentais,o erro intrínseco a cada 
medida utilizada se propaga através das operações matemáticas. Cada tipo de 
operação aritmética tem uma forma diferente de se avaliar para considerar tal 
propagação. A seguir seguem-se algumas equações que determinam a propagação 
dos desvios (a demonstração das mesmas requer a utilização de cálculo diferencial, 
que foi omitida aqui): 
 
I) Adição e subtração 
 
 Para a realização da adição e subtração entre observações 
experimentais, deve-se proceder da seguinte forma: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 dydxyxdyydxxyx ii +±+=±+±=+ (1.11) 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 dydxyxdyydxxyx ii +±−=±−±=− (1.12) 
 
II) Multiplicação 
 
 Para a multiplicação de duas observações quaisquer tem-se: 
 
Engenharia Experimental 
 
Prof. Me. André Vitor Bonora FACENS 
Página 12 
 
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ............... 2
2
2
2
++±=±±=⋅⋅
y
dy
x
dx
xyxydyydxxyx ii (1.13) 
 
III) Divisão 
 
 Para a divisão entre duas observações temo-se 
 
( ) ( )
2
2
2
2
y
dy
x
dx
y
x
y
x
dyy
dxx
y
x
i
i +±=
±
±
=
 (1.14) 
 
 
IV) Polinomial 
 
 Para um polinômio qualquer da forma: 
 
γβα
iii zyxf ⋅⋅= (1.15) 
 
 O erro é obtido através da seguinte expressão: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2
2
2
2
2
2
z
dz
y
dy
x
dx
zyxzyxdzzdyydxxf ⋅+⋅+⋅⋅⋅±⋅⋅=±⋅±⋅±= γβαγβαγβαγβα (1.16) 
 
V) Média aritmética 
 
 Para N medidas de mesmo desvio o desvio da média aritmética pode 
ser dado por: 
 
N
dx
N
dxN
xd
N
x
x ii
N
i
i
==⇒=
∑
=
.1
 (1.17) 
 
 Para N medidas de desvios distintos o desvio da média aritmética 
pode ser dado por: 
 
N
dxdxdxdx
xd
N
x
x
n
N
i
i 22
3
2
2
2
11 ... ++++
=⇒=
∑
=
 (1.18) 
 
 
 Por exemplo, deseja calcular a velocidade de um móvel cujos dados de 
distância e tempo foram medidos e apresentados da seguinte forma: 
 
 
Engenharia Experimental 
 
Prof. Me. André Vitor Bonora FACENS 
Página 13 
 
Distância = (30,45 ±±±± 0,56) cm 
 
 
Tempo = (12,34 ±±±± 0,78) s 
 
 Assim sendo, para se calcular a velocidade pela sua definição e propagar o 
desvio relativo das medidas apresentadas deve-se fazer o seguinte cálculo: 
 
 
( )cm/s 0,162,47Velocidade
cm/s 0,1624415
34,12
78,0
30,45
0,562,4675851.ocidadedesvio_Vel
Tempo
podesvio_Tem
Distância
tânciadesvio_Dis
.Velocidadeocidadedesvio_Vel
cm/s 2,4675851
34,12
45,30
Tempo
DistânciaVelocidade
22
22
±=∴
=





+





=






+





=
===