fisica ii lab teoria do erro

Prévia do material em texto

FATEC - SP Página 3
Teoria de Erros
Introdução
As grandezas físicas são determinadas experimentalmente, por medidas ou 
combinações de medidas, as quais têm uma incerteza intrínseca advinda dos métodos de
medidas, das características dos aparelhos usados na sua determinação e mesmo do operador.
A experiência mostra que, quando uma medida é repetida várias vezes, com as mesmas
precauções, pelo mesmo observador ou por vários observadores, os resultados achados não 
são em geral idênticos.
Ao fazermos a medida de uma grandeza física, achamos um número que a caracteriza,
cuja confiabilidade deve ser conhecida, ou seja, toda medida física deve ser acompanhada de
uma incerteza que deve ser expressa através de uma linguagem universal. Além disto, para
combinar as incertezas dos diversos fatores que influenciam o resultado, não podemos usar
quaisquer métodos. É a Teoria de Erros que fornece tratamento adequado para os dados 
experimentais.
Algarismo Significativo
Chamamos de “algarismos significativos” de uma medida aqueles que são corretos e o
primeiro duvidoso. As medidas são sempre acompanhadas de uma incerteza que depende dos
fatores acima mencionados. Quanto maior for a precisão do instrumento, maior será o número
de algarismos significativos que podem e devem ser usados.
Exemplo:
Sejam as medidas do comprimento de uma peça efetuadas com uma mesma régua por
três observadores diferentes. Os valores obtidos são:
Os valores obtidos para os últimos algarismos à direita da vírgula diferem, pois suas 
avaliações dependem da perícia de cada observador. Portanto, não podemos saber qual é o 
resultado correto. Notamos, ainda, que todos os observadores não têm dúvida quanto aos
 12,3 cm 12,4 cm 12,6 cm
CORRETO
DUVIDOSO
FATEC - SP Página 4
algarismos que antecedem à vírgula (1 e 2). Desta forma, 1 e 2 são algarismos corretos e 3,
4 e 6 são os duvidosos. Portanto, temos 3 algarismos significativos.
A quantidade de algarismos significativos não é alterada quando é feita uma
transformação de unidade. Para o exemplo que segue, temos 3 algarismos significativos, dos
quais o dígito 8 é duvidoso: AB = 12,8 cm = 0,128 m = 128 mm.
Regras de aproximação
Quando eliminamos algarismos não significativos, ou mesmo quando,
deliberadamente, dispensamos alguns algarismos significativos, devemos usar as seguintes
regras:
I. Se o primeiro algarismo suprimido for inferior a 5 (cinco), o anterior não muda.
II. Se o primeiro algarismo suprimido for superior ou igual a 5 (cinco), o anterior é
acrescido de uma unidade.
Exemplo:
a) 1,0234 arredondado 1,023
b) 1,0235 arredondado 1,024
c) 1,0236 arredondado 1,024
Incerteza Absoluta
A maneira mais correta de apresentarmos o valor de uma medida consiste em exprimi-
la com sua incerteza. A medida que segue é relativa ao comprimento de uma peça:
 L    = (13,4  0,1 ) cm
onde  é o valor medido e  é a incerteza da medida.
Neste exemplo, 1 e 3 são algarismos corretos e 4 é o duvidoso, sobre o qual reside a
incerteza da medida. Sendo assim,  0,1 cm é a amplitude da incerteza denominada incerteza
absoluta. Portanto, não há um único valor associado a medida, mas valores compreendidos
entre 13,3 cm e 13,5 cm, onde 13,4 cm é o mais provável.
O exemplo ilustra o caso em que a medida é obtida através de uma única leitura no
instrumento. Entretanto, quando efetuamos várias medidas de uma grandeza, ela deve ser
expressa através de seu valor médio, cuja incerteza é obtida através de método estatístico, 
conforme será visto.
FATEC - SP Página 5
Incerteza Relativa
A incerteza relativa é igual ao quociente entre a incerteza absoluta e a medida da
grandeza, isto é:


Incerteza Percentual
A incerteza relativa expressa em termos percentuais é denominada incerteza
percentual e é dada por:
Classificação dos Erros
Quando medimos uma grandeza física, temos como objetivo alcançar o seu verdadeiro
valor ou valor real. Atingir este objetivo é praticamente impossível. Podemos obter, 
entretanto, após uma série de medidas, um valor que mais se aproxima do real. O erro
absoluto de uma medida é definido como sendo a diferença entre o valor medido e o aceito
como verdadeiro. O erro relativo é dado pela razão entre o erro absoluto e o valor verdadeiro,
em módulo, isto é:
E
valor valor
valorr
verdadeiro medido
verdadeiro


O erro relativo expresso em termos percentuais é denominado erro percentual e é dado
por:
E Er%  100
Dissemos, anteriormente, que as medidas têm incertezas intrínsecas que dependem do
método de medida, do operador e do instrumento de medida. São estas incertezas que limitam
a obtenção do verdadeiro valor da grandeza. Elas podem ser de origem sistemática e acidental
e originam os erros sistemáticos e acidentais, abordados a seguir.
100


FATEC - SP Página 6
Erro Sistemático
São aqueles que alteram de modo uniforme o resultado das medidas. São provenientes
de falhas do método empregado, do operador ou do equipamento utilizado. Os erros
sistemáticos, como o próprio nome sugere, são de amplitudes regulares e influenciam a
medida sempre da mesma forma, ou para mais ou para menos.
Erros Acidentais
São provenientes de causas independentes e alteram o resultado de forma variável.
Os principais fatores que implicam no aparecimento dos erros acidentais são:
 Imperícia do operador. 
 Variação da capacidade de avaliação ou da perícia na observação de uma mesma
grandeza por vários observadores.
 Erros de paralaxe.
 Reflexos variáveis do operador (por exemplo, no caso de acionar um 
cronômetro).
 Dificuldades na obtenção de certas medidas (ajuste do zero de uma escala, 
aplicação de um instrumento de medida a uma peça, em diferentes posições).
 Interesse do operador de obter medidas em situações diferentes a fim de
conseguir um valor mais representativo.
Os erros acidentais podem ser minimizados pela perícia do operador.
Tratamento Estatístico para Análise dos Resultados Experimentais
Conforme dissemos anteriormente, quando são feitas várias medidas de uma grandeza,
devemos dar um tratamento estatístico para analisar os resultados experimentais. Passaremos
a discuti-lo a seguir.
Para terem sentido estatístico, as medidas e contagens devem ser limitadas a um certo
grupo ou conjunto de objetos, denominado população.
Assim, a população pode estar relacionada ao número de habitantes de uma certa
cidade ou a uma série de medidas experimentais. A “amostra” é uma parte da população,
FATEC - SP Página 7
selecionada aleatoriamente e usada para fazer estimativas e tirar conclusões com relação a
uma população.
Com os dados obtidos através de uma população ou amostra, podemos observar várias
características importantes, como por exemplo, a freqüência com que um dado se repete. A 
distribuição de freqüências tem três características importantes: indica os valores mais
prováveis e menos prováveis (probabilidade de ocorrência dos valores), a tendência que certos
valores têm de se concentrarem em torno de um determinado valor, chamado valor médio da
grandeza, e o intervalo no qual se encontra o valor da grandeza, ou seja, a sua dispersão.
Média Aritmética
Há várias formas para se mensurar o valor médio de uma grandeza ou o mais provável.
Normalmente utilizamos a média aritmética como o valor que melhor representa a grandeza
observada, embora isto não se aplique em todos os casos. A média aritmética de um conjunto
de medidas é dada por : x
x
n
i
i
n



1
, onde n é o nº total de medidas e xi é o valor de cada
medida.
Cabe ressaltar que o valor médio de uma grandeza pode ser medido por outros 
parâmetros tais como mediana, moda, média geométrica e média harmônica. Nesta apostila,
tais parâmetros não serão estudados. Desta forma, quando for mencionado valor médio,
estaremos nos referindo à média aritmética.
Desvio
Não podemos afirmarque o valor mais provável seja o valor real da grandeza. Desta 
forma, a diferença x xi  não é definida como erro. Quando se conhece o valor mais provável
falamos em desvio: x x xi i  . Desvio é a diferença entre o valor medido e a média
aritmética.
Dispersão
A especificação do valor médio não é suficiente para caracterizar uma série de
medidas. Precisamos saber de quanto as medidas individuais se afastam, em média, do valor 
médio. Em outras palavras, de que maneira as medidas xi se distribuem em torno do valor
FATEC - SP Página 8
médio, isto é, qual é a dispersão das medidas. Para medir a dispersão utilizamos os
parâmetros: desvio médio, variância e desvio padrão.
Desvio Médio
O desvio médio é uma medida de dispersão de uma grandeza com relação ao valor
médio.
Para um número n de medidas definimos desvio médio como sendo a média aritmética
dos desvios:


x
x x
n
x
n
i
i
n
i
i
n


 
 
1 1
Se os valores medidos estiverem bem próximos da média aritmética, menor será a
dispersão e portanto o desvio médio.
Desvio Padrão
Em uma população finita de medidas, definimos a variância como sendo a média
aritmética dos quadrados dos desvios de todos os valores da grandeza, com relação ao valor
médio, isto é:
 2
2
1
1




 ( )x x
n
i
i
n
n = número total de xi na população.
O desvio padrão é dado pela raiz quadrada da variância:
 
 



 x x
n
i
i
n
2
1
1
Para uma distribuição normal de freqüência, isto é, próxima de uma gaussiana, 
conforme mostra a figura abaixo, temos:
FATEC - SP Página 9
 68,3% dos pontos estão no intervalo x  desvio padrão
 95,45% dos pontos estão no intervalo x  2 desvio padrão
 99,73% dos pontos estão no intervalo x  3 desvio padrão
freqüência
Desvio Padrão da Média
É o valor vezes menor que o desvio padrão do conjunto de medições. Essa
grandeza representa a incerteza final nas medições quando desconsideramos erros
sistemáticos, sua expressão é:
Propagação de Incertezas
Muitas grandezas físicas são obtidas de maneira indireta, quando seus valores finais 
dependem de uma expressão matemática para calculá-las. As grandezas que compõem a
expressão são afetadas de incertezas que se combinam e afetam o resultado final. Em outras 
palavras, temos uma “Propagação de Incertezas”.
Considerando uma grandeza G como uma função de outras grandezas , ou seja:
Considerando que as incertezas sejam , caso os erros entre as grandezas sejam 
independentes1, a incerteza padrão de G será:
 
1 A fim de simplificar, o caso mais geral, em que as incertezas são dependentes, não será tratado.
FATEC - SP Página 10
Em que os termos , correspondem às derivadas parciais da função G, isto é,
as derivadas com respeito à variável A, B, ..., tomadas de forma independente.
Para uma função de uma variável temos:
A tabela abaixo resume algumas das principais expressões para a propagação de
incertezas de diferentes tipos de funções:
Tabela 2: Incertezas para algumas formas de funções
       (
       (
Os valores e m na tabela acima são constantes.
Na equação da tabela, os termos são as incertezas relativas, conforme a
definição 
Exemplos de Aplicação
Exemplo 1
Calcule o volume de uma esfera cujo raio é dado por . 
FATEC - SP Página 11
Utilizando a expressão da tabela 2: , comparando temos que
A= , , ,
Assim temos:
Substituindo os valores:
 , como 
Então: 
Exemplo 2: Em uma experiência, foram encontrados para a posição o valor de 
e para a aceleração o valor de . Através da
equação abaixo, encontre o valor do tempo t e sua respectiva incerteza. 
Resolução:
Portanto:
FATEC - SP Página 12
Substituindo os valores:
Portanto, o valor do tempo é .
Exemplo 3: Para uma barra cujo momento de Inércia seja dado por: 
Utilizando a expressão da tabela 2: , por comparação, temos que: 
. Assim, a expressão para o quadrado do desvio relativo 
fica:
Como , então:
O período de oscilação de um pêndulo-barra é: , podemos reescrevê-la da
forma:
Utilizando o mesmo procedimento adotado anteriormente, temos:
e portanto:
FATEC - SP Página 13
Instrumentos de Medida
O resultado da leitura deve incluir todos os dígitos que o instrumento de medida
permite ler diretamente e o dígito que deve ser estimado pelo observador. Por exemplo, na
leitura de uma régua graduada em milímetros, o resultado deve incluir a fração de milímetro
que é estimada pelo observador.
O erro limite de um instrumento de medida deve ser indicado pelo fabricante do
instrumento, que é o responsável por sua construção e sua calibração. É importante observar
que, mesmo que um dado instrumento seja perfeitamente calibrado na sua construção, esta
calibração pode sofrer variação com o tempo devido a fatores diversos. Para instrumentos 
mais sofisticados, o erro limite geralmente é indicado em manuais fornecidos pelo fabricante.
Entretanto, no caso de instrumentos analógicos mais simples, isto não ocorre e o erro limite 
pode ser estimado a partir da seguinte regra geral: o erro limite do instrumento de medida
pode ser admitido como a metade da menor divisão indicada pelo instrumento de medida. 
Para instrumentos digitais, o erro é dado pela menor leitura do instrumento.
Paquímetro
Utilizamos o paquímetro para medir pequenos comprimentos, diâmetros internos, 
externos e profundidades.
O instrumento é formado uma escala fixa principal, e uma escala móvel auxiliar, o 
nônio, que permite medir a fração da escala principal. Ele é construído de maneira que suas n
divisões correspondam a menor divisão da escala principal.
 
FATEC - SP Página 14
O paquímetro abaixo apresenta 1 mm como menor divisão. O nônio, por sua vez, tem 
50 divisões, isto é, cada divisão do nônio corresponde a 0,02 mm, o que fornece a precisão do
equipamento.
 
Quando o
paquímetro está fechado, o zero do nônio coincide com o zero da escala principal.
As medidas com o paquímetro são efetuadas da seguinte forma:
 A peça cujo comprimento desejamos medir é colocada entre as esperas. Tais 
esperas devem ficar completamente encostadas na peças.
 O comprimento da peça é dado pelo no na escala principal correspondente à
posição imediatamente inferior ao zero do nônio. Somamos a este número um 
décimo do valor lido no nônio que melhor coincide com algum número da escala
principal. A figura que segue ilustra o que foi explicado. 
Micrômetro
Os micrômetros também são usados para medidas de pequenos comprimentos. 
Existem micrômetros de grande precisão baseados em medidas óticas. Descreveremos,
entretanto, o micrômetro analógico constituído por parafuso micrométrico, que será usado no 
laboratório.
FATEC - SP Página 15
O instrumento é formado por 2 esperas, uma fixa e outra móvel, entre as quais é
colocado o corpo cujo comprimento desejamos medir, duas escalas, sendo uma horizontal e a
outra vertical, conforme figura que segue.
 
Suponhamos que a escala vertical (nônio) tenha n = 50 divisões. Na escala horizontal,
a menor divisão equivale a 0,5 mm. Assim, a precisão será dada por 
P
n
mm mm 
0 5
50
0 01
,
, , 
ou seja, cada divisão do nônio corresponde a 0,01 mm. 
A seguir apresentamos exemplos de leituras efetuadas com micrômetro.
 
- escala horizontal = 13 mm
- escala vertical = 25  0,01 = 0,25 mm
- leitura = 13,25 mm
- escala horizontal = 17 + 0,5 = 17,50 mm
- escala vertical = 22  0,01 = 0,22 mm
- leitura = 17,72 mm
FATEC - SP Página 16
Gráficos e Análises Gráficas
As leis físicas são expressas por equações matemáticas, que contém variáveis
dependentes entre si. Seja a equação abaixo, onde a velocidade depende da variável
independente t:
 v t x a t( ) . 0
Esta equação nos mostra que a dependência entre v e t é linear. Estalinearidade é
melhor observada por um gráfico v(t) e é traduzida por uma reta.
Por convenção, a variável dependente é colocada ao longo do eixo y (vertical) e é
denominada ordenada; a variável independente é colocada no eixo x ( horizontal) e chama-se
abcissa.
As incertezas devem ser também incluídas nos gráficos. A figura que segue apresenta
um gráfico para a função v(t) = 6t. Neste gráfico foi traçada uma reta média, a partir de cinco
pontos e suas respectivas barras de erro, associadas à incerteza da velocidade. Cabe ressaltar
que os pontos que muito se afastam da reta média podem se desprezados ou medidos
novamente.
Exemplo: v(t) = 6.t

 t
}v
 
 t s  v m s
0 0 2
1 6 2
2 15 2
3 20 2
4 24 2
FATEC - SP Página 17
Caso os valores colocados nos gráficos sejam muito grandes ou pequenos, devemos escolher
um fator que permita o uso de no máximo dois dígitos para os eixos. Este fator deve ser colocado 
entre parênteses, juntamente com a unidade associada ao eixo em questão.
Para o gráfico da função v(t)  6t podemos calcular o coeficiente angular (b) que é
numericamente igual à aceleração, ou seja,
 b
v
t
v v
 








( ) ( )
,
3 0
3 0
20 0
3 0
6 67
Desta forma a aceleração é dada por: a = 6,67 m/s2.
Conforme mostra a figura da página 18, a aceleração pode também ser calculada através do 
seguinte procedimento:
 Trace duas retas paralelas (r1 e r2) à reta média, pelas extremidades das barras de erros 
associadas aos pontos mais distantes da reta média. Feche o quadrilátero, com retas 
perpendiculares à reta média de tal forma que todos os pontos experimentais fiquem 
dentro do mesmo.
 Trace as diagonais do quadrilátero (d1 e d2).
 Calcule o coeficiente angular das diagonais.
 O novo valor da aceleração será numericamente igual a: 
 
b b1 2
2

 onde b1 e b2 são os coeficientes angulares das diagonais d1 e d2
respectivamente (onde b1 > b2).
 A incerteza da aceleração será dada por:
b b1 2
2

FATEC - SP Página 18
 4 3 2 1
25
20
15
 6
 0
RM
 d1
 d2
 r1
 r2
t (s)
v(m/s)
LEGENDA
RM=reta média
r1 e r2 = retas paralelas à reta média, que envolvem todos
os pontos experimentais, formando umquadrilátero
d1 e d2 = diagonais do quadrilátero, cujos coeficientes
angulares, fornecerão os valores de1 e2.
Exercícios
1. Um técnico de laboratório, com um cronômetro, obteve os dados abaixo, referentes ao período 
de um pêndulo de torção, em segundos.
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
T 6,315 6,320 6,325 6,328 6,338 6,314 6,330 6,340 6,337 6,322
Escreva o valor mais provável do período com o respectivo desvio; procure a equação do 
período do pêndulo de torção em livros.
2. A constante elástica da associação em série de duas molas, de constantes k1 e k2 é dada por: 
k
k k
k ks


1 2
1 2
.
Considerando que k1= (2,8  0,2) gf/mm e k2 = (1,7  0,3)gf/mm. Determine a constante 
elástica da associação e sua incerteza relativa.
FATEC - SP Página 19
3. Controle Estatístico de Processo, CEP
Ao realizarmos uma série de medidas de uma grandeza podemos observar com que
freqüência ocorre cada valor ou um grupo de valores da grandeza. A distribuição das freqüências 
tem três características principais:
 Indica os valores mais prováveis e menos prováveis (Probabilidade de Ocorrência)
 Indica a tendência de certos valores se concentrarem em torno de um determinado 
valor (Valor médio)
 Indica o intervalo no qual se encontra o valor da grandeza (Dispersão)
Quando temos uma série de medições de uma mesma grandeza podemos fazer um
Histograma, que é um gráfico, que pode representar no eixo das abcissas as próprias Medidas e no
eixo das ordenadas as Freqüências relativas. Podemos fazer um Histograma representando as
Freqüências relativas (ordenadas) em função do Desvio (abscissas) de cada medida. Ver figuras 1
abaixo.
Figura 1 A Figura 1 B
 Meça os diâmetros (D) de 50 bolinhas de chumbo, com um micrômetro analógico, 
preencha a Tabela 1 e calcule o desvio padrão das medidas;

 



 D D
n
i
i
n
2
1
1
 Faça os Histogramas da freqüência em função do diâmetro e do desvio.
FATEC - SP Página 20
Tabela 1: Medida dos diâmetros de 50 bolinhas de chumbo e seus respectivos desvios
D (mm)  D Di  D Di
2
D (mm)  D Di  D Di
2
 D mm 
 O que você pode concluir a respeito do processo de produção das bolinhas e o sistema de
controle de qualidade do fabricante?