REGRA DE SIMPSON INTEGRAÇAO NUMÉRICA

Prévia do material em texto

CI202 - Métodos Numéricos 26
Regra de Simpson
A regra de Simpson é obtida aproximando-se f por 
um polinômio interpolador de 2° grau, ou seja, uma 
parábola.
Numericamente: novamente podemos usar a fórmula 
de Lagrange para estabelecer a fórmula de 
integração resultante da aproximação de f(x) por um 
polinômio de grau 2.
Seja p
2
(x) o polinômio que interpola f(x) nos pontos 
x
0
 = a, x
1
 = x
0
 + h e x
2
 = x
0
 + 2h = b:
Integração NuméricaIntegração Numérica
p
2
�x �dx�
�x�x
1
��x�x
2
�
��h���2h�
f �x
0
��
�x�x
0
�� x�x
2
�
�h���h�
f �x
1
��
�x�x
0
��x�x
1
�
�2h��h�
f �x
2
�
CI202 - Métodos Numéricos 27
Regra de Simpson
Assim,
Integração NuméricaIntegração Numérica
f � x
0
�
2h
2 �
x
0
x
2
� x�x
1
�� x�x
2
�dx
�
a
b
f � x �dx��
x
0
x
2
f � x �dx��
x
0
x
2
p
2
�x �dx�
� f � x
1
�
h
2 �
x
0
x
2
�x�x
0
��x�x
2
�dx
� f � x
2
�
2h
2 �
x
0
x
2
�x�x
0
��x�x
1
�dx
CI202 - Métodos Numéricos 28
Regra de Simpson
Resolvendo as integrais obtemos a regra de 
Simpson:
Integração NuméricaIntegração Numérica
�
x
0
x
2
f � x�dx�
h
3
� f �x0��4 f �x1�� f � x2� 
�I S
CI202 - Métodos Numéricos 29
Regra de Simpson
Interpretação geométrica da Regra de Simpson
Integração NuméricaIntegração Numérica
CI202 - Métodos Numéricos 30
Regra de Simpson Repetida
Aplicando a regra de Simpson repetidas vezes no 
intervalo [a,b] = [x
0
,x
n
].
Vamos supor que x
0
, x
1
, ..., x
n
 são pontos 
igualmente espaçados, h = x
i+1
 – x
i
, e n é par 
(condição necessária pois cada parábola utilizará 
três pontos consecutivos).
Assim teremos:
Integração NuméricaIntegração Numérica
S �hn��
h
3
� f � x0��4 f �x1��2f � x2��...�4f � xn�1�� f �xn�
CI202 - Métodos Numéricos 31
Regra de Simpson
Exemplo: Calcular . Considere n=4 e 4 
casas decimais com arredondamento.
Integração NuméricaIntegração Numérica
�
�1
1
x
2�1dx
S �h
4
���1,3333
�
�1
1
x
2�1dx��1,3333
CI202 - Métodos Numéricos 32
Regra de Simpson
Exercício: Calcular . Considere n=4 e 4 
casas decimais com arredondamento.
Respostas: S(h4) = 2,0046
Analítico: 2
Integração NuméricaIntegração Numérica
�
0
�
sen�x �dx