AP1 UNIGRANRIO ÁLGEBRA LINEAR

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UNIVERSIDADE UNIGRANRIO
TRABALHO (AP1)
ÁLGEBRA LINEAR
	ENUNCIADO
Nas Unidades 1 a 3, você estudou Matrizes; Determinantes e Sistemas Lineares.
Parte 1 
Com o auxílio de outras fontes de pesquisa (Internet, livros, artigos científicos, etc), faça um pequeno resumo contendo definições e exemplos sobre Multiplicação de Matrizes.
A partir do resumo, resolva a situação-problema apresentada.
Parte 2 
Com o auxílio de outras fontes de pesquisa (Internet, livros, artigos científicos, etc), faça um pequeno resumo contendo definições e exemplos sobre Determinantes.
A partir do resumo, resolva as 5 aplicações.
Parte 3
Com o auxílio de outras fontes de pesquisa (Internet, livros, artigos científicos, etc), faça um pequeno resumo contendo definições e exemplos sobre Sistemas Lineares.
A partir do resumo, resolva as 2 aplicações.
Rio de Janeiro, 2018.
PARTE 1
MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES (síntese):
A multiplicação de matrizes corresponde ao produto entre duas matrizes. O número de linhas da matriz é definido pela letra m e o número de colunas pela letra n.
Já as letras i e j representam os elementos presentes nas linhas e colunas respectivamente.
	A = (aij)mxn
Exemplo: A3x3 (a matriz A possui três linhas e três colunas)
Obs: Importante ressaltar que na multiplicação de matrizes, a ordem dos elementos afeta o resultado final. Ou seja, ela não é comutativa:
	A . B ≠ B . A
Sejam as matrizes A = (aij)mxn e B = (bjk)nxp
A . B = matriz D = (dik)mxp
Para calcular o produto entre as matrizes, devemos ter em conta algumas regras:
Para que seja possível calcular o produto entre duas matrizes, é primordial que o n seja igual ao p (n=p).
Ou seja, o número de colunas da primeira matriz (n) tem que ser igual ao número de linhas (p) da segunda matriz.
A resultante do produto entre as matrizes será: ABmxp. (número de linhas da matriz A pelo número de colunas da matriz B).
Exemplo:
No exemplo abaixo, temos que a matriz A é do tipo 2x3 e a matriz B é do tipo 3x2. Portanto, o produto entre elas (matriz C) resultará numa matriz 2x2.
Inicialmente, vamos multiplicar os elementos da linha 1 de A com os da coluna 1 de B. Encontrados os produtos, vamos somar todos esses valores:
2 . 1 + 3 . 0 + 1 . 4 = 6
Por conseguinte, vamos multiplicar e somar os elementos da linha 1 de A com a coluna 2 de B:
2 . (-2) + 3 . 5 + 1 . 1 = 12
Depois disso, vamos passar para a linha 2 de A e multiplicar e somar com a coluna 1 de B:
(-1) . 1 + 0 . 0 + 2 . 4 = 7
Ainda na linha 2 de A, vamos multiplicar e somar com a coluna 2 de B:
(-1) . (-2) + 0 . 5 + 2 . 1 = 4
Por fim, temos que a multiplicação de A . B é:
SITUAÇÃO-PROBLEMA:
Uma doceira preparou 3 tipos diferentes de salgados, usando ingredientes conforme a tabela abaixo:
	 
	ovos
	farinha
	açúcar
	carne
	Pastéis
	3
	6
	1
	3
	Empadas
	4
	4
	2
	2
	Kibes
	1
	1
	1
	6
Os preços dos ingredientes constam na tabela abaixo:
	Ingredientes
	Preço Base(R$)
	ovos
	0,20
	farinha
	0,30
	açúcar
	0,50
	carne
	0,80
Utilize o conhecimento de MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES e calcule o preço base de cada salgado?
O preço base será: Pastel = R$ 5,30 Empada = R$ 4,60 Kibe = R$ 2,60
	PARTE 2
DETERMINANTES (síntese):
O Determinante é um tipo de matriz, chamada de "Matriz Quadrada" que apresenta o mesmo número de linhas e de colunas, ou seja, quando m = n.
Neste caso, é chamada de Matriz Quadrada de ordem n. Em outras palavras, toda matriz quadrada possui um determinante, seja ele um número ou uma função associada a ela:
Exemplo:
Assim, para calcular o Determinante da Matriz Quadrada:
Deve se repetir as 2 primeiras colunas
Encontrar as diagonais e multiplicar os elementos, não esquecendo de trocar o sinal no resultado da diagonal secundária:
Diagonal principal (da esquerda para a direita): (1,-9,1) (5,6,3) (6,-7,2)
Diagonal secundária (da direita para a esquerda): (5,-7,1) (1,6,2) (6,-9,3)
Portanto, o Determinante da matriz 3x3 = 182.
APLICAÇÃO:
Calcule o DETERMINANTE da seguinte matriz de ordem 3:
Calcule o DETERMINANTE da seguinte matriz de ordem 3:
Calcule o DETERMINANTE da seguinte matriz de ordem 3:
12
d) 	
Calcule o valor de x, a fim de que o DETERMINANTE da matriz A seja nulo.
PARTE 3
SISTEMAS LINEARES (síntese):
Sistemas lineares é um conjunto de equações lineares, com m equações e n incógnitas. A solução de um sistema linear é a solução de todas as equações lineares.
Uma equação linear é qualquer equação da forma: a1x1 + a2x2 + a3x3 + … + anxn = b onde a1, a2, a3, …, an são números reais e b é um termo independente. Caso b = 0, a equação é chamada de linear homogênea.
Um sistema linear tem a seguinte forma:
Cuja solução pertence aos números reais e o conjunto solução do sistema é solução de todas as equações lineares do sistema.
Classificação de sistemas lineares
Os sistemas lineares são classificados de acordo com o número de soluções apresentados pelos mesmos. Assim, os sistemas lineares podem ser classificados como:
SPD – Sistema Possível e Determinado – possui uma única solução.
SPI – Sistema Possível e Indeterminado – possui infinitas soluções.
SI – Sistema Impossível – não possui solução
Matriz associada a um sistema linear
Podemos associar a um sistema linear algumas matrizes, onde os seus coeficientes ocuparão linhas e colunas da matriz.
Seja o sistema:
Matriz incompleta: formada apenas pelos coeficientes do sistema.
Matriz completa: formada pelos coeficientes do sistema mais os temos independentes.
A partir dessa equação matricial pode se resolver o sistema.
APLICAÇÃO:
Resolva o seguinte SISTEMA LINEAR:
Irei multiplicar a primeira equação por -3 para eliminar a incógnita x.
Substituindo o valor encontrado nas equações
Resolva o seguinte SISTEMA LINEAR: