Equilíbrio de Corpos Flutuantes

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
CENTRO DE TECNOLOGIA
ESCOLA POLITÉCNICA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA NAVAL e OCEÂNICA
EEN303 - ARQUITETURA NAVAL I - 2016
Prof. José Henrique Erthal SANGLARD
2o TRABALHO PRÁTICO
EQUILÍBRIO DE CORPOS FLUTUANTES
I - CURVAS HIDROSTÁTICAS
I.1 - Introdução
	A determinação da posição de equilíbrio estático de um corpo flutuante necessita do conhecimento do volume deslocado, da posição do centro de carena e da localização do centro de gravidade do corpo, de acordo com as condições de equilíbrio mecânico e do Princípio de Arquimedes.
	Para haver equilíbrio, é preciso que tanto a resultante das forças que agem sobre o corpo (Peso e Empuxo) como o respecivo momento binário sejam nulos. Isto implica a igualdade do Peso com o Empuxo e que os mesmos atuem numa mesma vertical, ou seja, haja também o alinhamento vertical dos centros de carena e de gravidade, supondo que o corpo esteja flutuando em águas tranqüilas, sem outro tipo de solicitação.
	Entretanto, a solução deste problema nem sempre é imediata, embora ele seja simples sob o ponto de vista conceitual. Em primeiro lugar, a geometria da forma submersa do corpo pode ser complexa o bastante para impedir que a posição de equilíbrio possa ser determinada de fora direta para qualquer condição de flutuação.
	Em segundo lugar, as condições de navegação ou de flutuação são variadas, nem sempre pré-determinadas, exigindo meios para a estimativa da posição de equilíbrio de forma rápida e precisa para muitas situações diferentes. Além disso, o cálculo das grandezas que caracterizam posições de equilíbrio, mesmo para uma geometria submersa relativamente simples, requer considerável esforço, ainda que o cálculo seja feito com o auxílio de um computador.
	O volume de deslocamento e a posição do centro de carena dependem apenas da geometria da porção imersa do corpo e são por ela determinados para qualquer plano de flutuação. A posição do centro de gravidade, porém, embora seja influenciada pela forma, depende em maior escala do arranjo ou da distribuição de massa do corpo - estruturas, cargas e equipamentos do casco. Esta distribuição não é homogênea, envolve parcelas de naturezas diferentes, que compõem diversas condições de carregamento. Mas em todas elas precisa haver equilíbrio adequado.
	Isto significa que nem sempre será possível o equilíbrio em posição sem inclinação para todas as condições normais de operação. Além disso, é necessário investigar também algumas situações excepcionais, como hipóteses de avarias, onde é preciso estimar ou determinar posições inclinadas de equilíbrio numa direção qualquer.
	A metodologia clássica de solução de problemas de equíbrio para embarcações convencionais envolve a obtenção de certas características hidrostáticas em função dos calados. Estas curvas podem ser interpoladas e combinadas se estimar o plano final de equilíbrio para uma condição de carga qualquer. Tal conjunto de curvas é reunido e representado num só diagrama denominado Curvas Hidrostáticas.
	Através das Curvas Hidrostáticas é possível obter o volume de deslocamento ou o deslocamento e a posição do centro de carena para qualquer calado e, com o auxílio das demais características mapeadas, estimar o plano de flutuação de equilíbrio, de acordo com a localização do centro de gravidade e as solicitações consideradas.
	Esta abordagem, porém, só é adequada nos problemas que envolvam corpos ou cascos esbeltos, onde há duas direções principais de deslocamento bem definidas - longitudinal e transversal, como no caso típico das embarcações monocasco de deslocamento. E as Curvas Hidrostáticas só mapeiam bem o equilíbrio longitudinal. As estimativas na direção transversal são muito limitadas. A busca do equilíbrio numa direção qualquer entre as duas principais exigirá outra metodologia, embora os conceitos e os princípios básicos sejam os mesmos.
	Tendo em vista as hipóteses simplificadoras adotadas na definição de algumas das Curvas Hidrostáticas, a aplicação delas na estimativa de inclinações longitudinais é ainda restrita a casos que envolvam pequenas inclinações. E até as estimativas de variação uniforme de calado também podem estar restritas a pequenas variações de calado ou a hipóteses de embarque ou desembarque de pequenos pesos. A análise de flutuação de embarcações numa linha d'água qualquer, por isso, vai requerer outros meios de estimativa ou até processos iterativos de busca.
	Os objetivos desta parte do trabalho são, portanto, capacitar o(a) aluno(a) para a correta utilização das Curvas Hidrostáticas em problemas de equilíbrio de navios em águas tranqüilas, bem como a percepção e o domínio do modelo de equilíbrio associado.
I.2 - Trabalho a Ser Realizado
	Cada aluno deverá obter pelo um artigo sobre uma embarcação mercante, que contenha as dimensões principais (Lpp, B, D e T), algumas seções típicas, o coeficiente de bloco (CB) e a posição longitudinal do centro de carena (LCB/XB). Estes últimos, se não estiverem especificados, podem ser estimados.
	Em seguida, o aluno deverá gerar uma forma preliminar para a embarcação escolhida, a partir de modelos das chamadas Séries Sistemáticas de Navios, dentre as que mais se aproximarem das características do casco preliminar. Para tanto, será preciso selecionar modelos apropriados da Série e gerar a tabela de cotas pelo procedimento padrão da mesma. Além disso, como o pontal obtido pelo padrão da Série deve ser diferente do pontal real da embarcação de referência, deve ser feito também o ajuste do pontal, reespaçando as linhas d’água acima do calado de projeto e movendo os pontos iniciais e finais das balizas de forma apropriada, onde for necessário.
	Feito o ajuste das dimensões (pontal), deve-se traçar o plano de balizas, o perfil e as linhas d'água dos corpos de ré e de vante, incluindo ainda a curva de áreas seccionais para o calado de projeto. Caso haja algum problema na forma, deve-se buscar corrigi-lo antes de continuar. Nas regiões em que ocorram mudanças bruscas de forma - popa, proa, fundo e bojo, por exemplo, pode ser necessário acrescentar algumas seções intermediárias, com espaçamentos ou posições adequados, de modo a melhorar a definição da geometria do local e a precisão dos cálculos.
	Uma vez conseguida uma boa forma para o casco preliminar, deve-se obter e traçar suas Curvas Hidrostáticas, de acordo com a norma brasileira registrada NBR6291 - Preparo e Apresentação das Tabelas e Curvas Hidrostáticas de Embarcações-Procedimento. Os cálculos necessários deverão ser efetuados a partir da tabela de cotas.
	O cálculo numérico das Curvas e das Tabelas Hidrostáticas, assim como a obtenção da tabela de cotas e da curva de áreas seccionais, poderão ser executados por meio dos programas SÉRIES v2.4 e HIDRON v4.8 ou equivalentes. O desenho do plano de balizas, do perfil e das linhas d'água também poderão ser gerados por computador, por meio do programa PLANOL v2.2 ou equivalente. O traçado dos diagramas de Curvas Hidrostáticas e da Curva de Áreas Seccionais podem ser feito pelo programa CURVAS v1.1 ou similar. Todos os programas citados estão disponíveis no LabNav, do DENO/EE/UFRJ, assim como os respectivos manuais de utilização, onde se aplicar. 
	O diagrama deverá conter as Curvas Hidrostáticas Volume de Deslocamento - ((z) e Deslocamento - ((z) para água salgada padrão (( = 1,025t/m3); Posição Longitudinal e Vertical do Centro de Carena - XB(z) e ZB(z); Posição Longitudinal do Centro de Flutuação - XF(z); Toneladas por Centímetro de Imersão - TPC(z); Momento para Trimar um Centímetro - MTC(z); Correção do Deslocamento por Centímetro de Trim - CDCT(z); Momento para Adernar um Centímetro MAC(z); Momento para Adernar um Grau - MAG(z); Posição Vertical do Metacentro Transversal - KMT(z) e do Metacentro Longitudinal - KML(z).
	Além das Curvas Hidrostáticas calculadas para os calados fornecidos pela tabela de cotas, devem ser obtidas também as Tabelas Hidrostáticas, tabelas numéricas dasCurvas Hidrostáticas interpoladas a pequenos intervalos regulares, da LB ao pontal, para maior facilidade de uso numérico das curvas. O espaçamento para a interpolação das Tabelas Hidrostáticas não deve ser maior que 1/100 do calado de projeto e, se necessário, deve ser arredondado para um valor abaixo visando a facilitar o uso. Os calados limites para o cálculo das tabelas devem cobrir uma faixa ampla de calados, de pelo menos 1/10 do calado de projeto até o pontal da embarcação.
	Os resultados obtidos nesta etapa deverão estar no relatório final do trabalho, incluindo a forma preliminar do casco (Plano de Balizas, Corpo de Ré/Popa e Corpo e Vante/Proa) e o respectivo gráfico das Curvas Hidrostáticas. O relatório deve conter também uma introdução, o contexto de uso das Curvas Hidrostáticas, um resumo teórico sucinto com a definição das curvas e a descrição do respectivo modelo de equilíbrio, comparando os procedimentos adotados com o modelo geral de busca do equilíbrio.
O relatório deve conter também aplicações das Curvas Hidrostáticas na solução de problemas de equilíbrio propostos, destacando o modelo de equilíbrio no processo de solução. Os resultados obtidos devem ser analisados e validados, comprovando as hipóteses adotadas no uso das Curvas.
Os resultados desta parte do trabalho são individuais, mas o relatório final pode ser feito em grupos de até 3 (três) alunos. As tabelas numéricas não precisam fazer parte do corpo impresso do relatório, devendo ser anexadas de outra forma (CD, DVD, etc). Esta parte do trabalho, no relatório, sem os gráficos, não deve exceder a 8 (oito) páginas.
II - CURVAS DE BONJEAN/VLASOV
II.1 - Introdução
	O uso das Curvas Hidrostáticas para a determinação da posição de equilíbrio de uma embarcação é limitada a condições de calados uniformes e a inclinações longitudinais ou transversais pequenas, de acordo com as hipóteses adotadas na definição das mesmas.
	Em situações reais, porém, o navio pode flutuar em condições em que as hipóteses simplificadoras não podem ser garantidas, o que pode comprometer os resultados obtidos por meio das Curvas Hidrostáticas. É necessário, portanto, dispor de outros meios para obter e verificar o deslocamento, a posição do centro de carena e as condições de equilíbrio para uma linha d’água ou plano de flutuação qualquer.
	O cálculo numérico do volume de deslocamento é normalmente realizado em duas etapas. A partir da tabela de cotas obtém-se as áreas das seções transversais ou a área das linhas d'água até o plano de flutuação desejado. Estes valores formam curvas de áreas que representam as distribuições de volume nas direções longitudinal e vertical, respectivamente. A integração de cada curva de área fornece, por fim, o volume e, como cada curva representa a distribuição de volume numa direção, seus momentos permitem ainda a determinação das coordenadas longitudinal e vertical do centro de carena.
	Para planos de flutuação com calado uniforme o procedimento acima não apresenta dificuldades, apenas considerável esforço de cálculo. Para planos inclinados, porém, há problemas adicionais, uma vez que a geometria do casco submerso e as áreas das seções geradas pela interseção do casco com o plano de flutuação podem ser profundamente alteradas, com perda, inclusive, da simetria transversal da parte submersa.
	Os objetivos desta parte do trabalho são, portanto, capacitar o(a) aluno(a) para a correta utilização das Curvas de Bonjean e de Vlasov no cálculo de propriedades de compartimentos do navio e na verificação do equilíbrio em problemas de flutuação, tanto em calados uniformes como numa linha d'água qualquer, envolvendo trim e/ou banda. 
II.2 - Curvas de Bonjean
	A solução de problemas de flutuação numa linha d’água qualquer utiliza geralmente as áreas e os momentos de área das seções transversais, considerando a prática tradicional de construção e o processo de geração da forma do casco. Mas é possível adaptar o procedimento para as linhas d'água, por exemplo. As características das seções, por sua vez, devem ser obtidas em função do calado para todas as seções transversais, pois cada plano de flutuação pode definir calados diferentes em cada seção. Além disso, deve-se considerar a simetria das seções com vistas à composição de características das interseções com calados não uniformes, como nos casos de planos inclinados transversalmente.
	Nos casos de calado uniforme, trim ou inclinação longitudinal apenas, o problema se reduz à determinação do volume (() e das coordenadas longitudinal (xB) e vertical (zB) do centro de carena, caso a hipótese de simetria das seções em relação ao plano diametral seja verdadeira, ou seja, yB = 0. Os valores do volume e da posição longitudinal do centro de carena podem ser obtidos da curva de áreas seccionais correspondente ao plano de flutuação analisado, definido pelos calados nas perpendiculares, calculando-se as propriedades da área sob aquela curva.
	Como cada plano de trim gera calados diferentes em cada seção transversal, é conveniente obter curvas de área para cada baliza, cujos valores possam ser obtidos numérica ou graficamente em função do calado na seção, ao invés de recalculá-la para cada condição ou plano de flutuação até os respectivos calados.
	O conjunto das curvas de área das balizas traçadas em escala sobre o perfil da embarcação nas posições de cada seção transversal forma um diagrama auxiliar para o cálculo de características de flutuação com trim - as Curvas de Bonjean, cujos aspectos individual, para uma baliza, e da parte de vante, estão mostrados nas Figuras 1 e 2, respectivamente.
Figura 1 - Curva de Área de Balizas
	A disposição das curvas de área de baliza sobre o perfil do casco facilita a utilização manual do diagrama para obter as características de uma condição de flutuação qualquer, não apenas para um plano de flutuação, mas também para uma superfície curva, como na simulação de equilíbrio estático sobre uma onda regular senoidal ou trocoidal, por exemplo, sugerida na Figura 2.
Figura 2 - Curvas de Bonjean
	Assim, as Curvas de Bonjean permitem a verificação da posição de equilíbrio longitudinal de uma embarcação para um ângulo qualquer de trim. A posição vertical do centro de carena pode ser obtida de forma indireta, considerando que as áreas sob cada curva em relação aos eixos vertical (z) e de área (Aw) representam os momentos de área da seção em relação à linha de base (LB) e ao calado considerado (T), respectivamente.
	As Curvas de Bonjean não constituem um modelo de busca do equilíbrio, embora possam ser utilizadas na verificação do equilíbrio longitudinal associada a um modelo, para o cálculo do deslocamento e da posição do centro de carena em condições de trim.
O relatório do trabalho deve conter uma introdução ao contexto de uso das Curvas de Bonjean, um resumo teórico sucinto com a definição das curvas, as expressões de cálculo das propriedades do casco e do procedimento de verificação do equilíbrio.
II.3 - Curvas de Vlasov
	As Curvas de Bonjean possibilitam o cálculo do volume e da posição longitudinal do centro de carena, mas não fornecem informações diretas para a determinação da coordenada vertical do centro de carena. Também não há informações necessárias para a determinação da posição transversal do centro de carena, se o casco for assimétrico em relação ao plano diametral. Para tanto, seria necessário obter a posição do centróide da área da seção naquelas direções ou o momento de área em relação aos respectivos eixos, ou seja, em relação à linha de base e em relação à linha de centro, para cada seção.
	Assim, de forma análoga à curva de áreas seccionais, teríamos curvas de momentos de área de baliza, a partir das quais seria possível obter a distribuição de volume nas outras direções e as respectivas coordenadas da posição do centro de carena, yB e zB. A solução geral do problema de flutuação, portanto, requer a geração de curvas de momentos estáticos de área das balizasnas direções vertical e transversal, que permitam obter os momentos de volume nas mesmas direções, além das curvas de áreas na direção longitudinal fornecidas por Bonjean.
	A análise de banda ou de inclinação transversal é um pouco mais complexa. Isto porque, nestes casos, a parte submersa de cada seção do casco perde a simetria em relação aos eixos coordenados, mesmo para cascos com seções simétricas em calado uniforme. O valor da área total da seção não mais corresponde ao valor da área da baliza associada ao calado na linha de centro (plano diametral), a menos de casos com geometria bem particulares. A distribuição de área, deste modo, vai estar alterada em relação ao calado uniforme central e os respectivos valores de momentos de área também serão diferentes.
	Entretanto, observando a geometria de uma seção transversal interceptada por um plano inclinado, verifica-se que a área real pode ser obtida por meio da combinação das meias áreas a bombordo e a boreste nos calados em que o plano inclinado corta a seção, corrigida pelas diferenças entre a seção assim composta e o traço do plano real de corte, como mostrado na Figura 3.
(a) Calado uniforme
(b) Plano Inclinado Transversal
Figura 3 - Interseções de Balizas Com Planos de Flutuação
	No caso de um plano de flutuação apenas com inclinação longitudinal (trim), os calados de interseção do plano de flutuação a bombordo e a boreste são iguais ao calado na linha de centro da seção. E a área total da seção é simplesmente a soma das meias áreas de cada bordo, conforme ilustra a Figura 3(a).
	Num plano de flutuação inclinado transversalmente, entretanto, os calados em cada bordo serão diferentes e a área total não vai corresponder à simples soma das áreas de cada bordo. É necessário corrigir a soma das meias áreas de cada bordo de acordo com a geometria da seção submersa gerada. No caso mais comum e simples, basta acrescentar a área em falta do triângulo abaixo do plano de flutuação inclinado num bordo e retirar a área em excesso do triângulo acima do plano real de flutuação no outro bordo - Figura 3(b). 
	De forma análoga, os momentos de área podem ser obtidos através da combinação dos respectivos momentos de meia área, a bombordo e a boreste, com as correções dos momentos de área correspondentes ao triângulo retirado num bordo e ao triângulo adicionado no outro para obter a área real. Mas, dependendo da forma da seção e do ângulo de inclinação transversal, as correções podem ser diferentes das descritas, por envolverem geometrias mais complexas.
	A separação da área e dos momentos de área de baliza em parcelas relativas cada bordo, permite, em qualquer caso, maior flexibilidade na utilização dessas informações, assim como o tratamento adequado de seções transversais simétricas ou assimétricas.
Figura 4 - Curvas de Vlasov
	As curvas de meia área ou área de um bordo (A), do respectivo momento estático de área em relação à linha de base (B) e do respectivo momento estático de área em relação à linha de centro (C) mostradas na Figura 4, compõem as Curvas de Vlasov. Tais curvas são traçadas ou obtidas numericamente para cada bordo da seção e possibilitam o cálculo do volume e da posição do centro de carena para um plano de flutuação qualquer.
	No caso de haver trim e banda combinados, o procedimento básico não será afetado. Apenas os calados na linha de centro deixarão de ser iguais em cada baliza, variando linearmente de acordo com a inclinação longitudinal presente (trim), alterando, assim, a posição do traço do plano inclinado na seção.
	As Curvas de Vlasov também não constituem um modelo de busca do equilíbrio, embora possam ser utilizadas na verificação do equilíbrio longitudinal e transversal associada a um modelo, para o cálculo do deslocamento e da posição do centro de carena em condições de trim e/ou banda. 
II.4 - Trabalho a Ser Realizado
	Cada aluno deverá obter gráfica e numericamente as Curvas de Vlasov para cada baliza do navio correspondente ao casco preliminar. Os resultados deverão ser obtidos por computador, através de programas disponíveis no DENO/EE/UFRJ – HIDRON v4.8 ou equivalentes. Os respectivos diagramas deverão ser traçados pelo programa CURVAS v1.1 ou equivalente.
Os gráficos das Curvas de Vlasov para cada seção transversal também deverão fazer parte do relatório do trabalho. O relatório deve conter ainda uma introdução, o contexto de uso das Curvas de Vlasov, um resumo teórico sucinto com a definição das curvas, as expressões de cálculo das propriedades do casco e a descrição do procedimento de verificação do equilíbrio utilizando as curvas.
O relatório deve conter, além disso, aplicações das Curvas de Vlasov na determinação de propriedades de porões ou tanques e na verificação de condições de equilíbrio em problemas propostos. Os resultados obtidos devem ser analisados, criticados e validados, comprovando as hipóteses adotadas.
Os resultados desta parte do trabalho também são individuais, mas o relatório pode ser feito em grupos de até 3 (três) alunos. As tabelas numéricas não precisam fazer parte do corpo impresso do relatório, devendo ser anexadas de outra forma (CD, DVD, etc). O número de páginas desta parte do relatório, excluindo os gráficos e os diagramas envolvidos, não deve ser superior a 6 (seis).
III - DIAGRAMAS DE FIRSOV
III.1 - Introdução
	O cálculo do volume e da posição do centro de carena através das Curvas de Bonjean ou das Curvas de Vlasov para trim e banda é simples mas envolve considerável esforço. Para cada plano de flutuação é necessário obter os valores das áreas e de seus momentos para os calados correspondentes nas balizas e resolver numericamente integrais ao longo do comprimento.
	Além disso, a determinação de planos inclinados equivolumétricos é trabalhosa, devido à complexidade geométrica do casco, o que torna a busca do ponto de equilíbrio de uma condição qualquer um processo iterativo: para cada plano arbitrado ou estimado é preciso calcular e verificar se o volume de deslocamento é o procurado e se o centro de carena e o centro de gravidade estão alinhados na mesma vertical, ou seja, se o empuxo e o peso atuam na mesma vertical.
	Por este motivo, seria desejável dispor diretamente das informações sobre a posição do centro de carena para planos de flutuação de mesmo volume. Ou seja, relacionar, num mesmo diagrama, o volume e a posição do centro de carena B (xB, yB, zB) para planos de flutuação inclinados, com trim e banda. 
	Se o casco for simétrico em relação ao plano diametral, uma inclinação longitudinal (trim) não induzirá inclinação transversal, o que torna mais simples a obtenção destes diagramas para trim somente. A coordenada transversal do centro de carena vai-se localizar no plano de simetria (plano diametral ou linha de centro), ou seja, yB=0, sendo preciso relacionar apenas o volume ((), a posição longitudinal (xB) e a posição vertical (zB) do centro de carena com a inclinação longitudinal. O ângulo de trim pode ser definido por meio dos calados a ré e a vante, medidos nas respectivas perpendiculares.
	Estes conjuntos de curvas formam os Diagramas de Firsov, cujas configurações gerais estão mostradas nas Figura 5a e 5b. Por motivos de clareza e de facilidade de uso, montam-se diagramas em separado para as coordenadas xB e zB do centro de carena, relacionando-as com o volume e os calados nas perpendiculares, para evitar a sobreposição de linhas num só diagrama. Por meio destes diagramas pode-se obter o volume e a posição do centro de carena para planos de flutuação equivolumétricos com trim.
Figura 5a - Diagrama de Firsov para xB
Figura 5b - Diagrama de Firsov para zB
	Os objetivos desta parte do trabalho são propiciar ao aluno a correta geração, compreensão e utilização dos Diagramas de Firsov em problemas de equilíbrio em calados uniformes e com inclinações longitudinais.
III.2 - Geração dos Diagramas
A montagem do diagrama com as curvas isométricas paraxB e zB, porém, não é direta, uma vez que não se conhece, a priori, a posição longitudinal ou vertical do centro de carena ou mesmo o volume de deslocamento de um plano de flutuação qualquer definido pelos calados a ré e a vante (Tar,Tav) medidos nas perpendiculares para o traçado de curvas isovolumétricas (( constante) ou isométricas para xB e zB constantes.
	É necessário primeiro obter um diagrama auxiliar, com curvas isométricas para calados a ré e a vante, pois os calados que definem cada plano de flutuação de trim podem ser pré-fixados e sistematicamente variados a fim de obter volumes e posição do centro de carena por meio da integração das curvas de áreas e de momentos de áreas obtidos de Vlasov. O aspecto do diagrama básico ou auxiliar de Firsov para xB é mostrado na Figura 6.
	Para a montagem dos diagramas auxiliares ou básicos de Firsov deve-se fixar um calado a ré, por exemplo, e combiná-lo com todos os calados a vante selecionados. Para cada plano de flutuação gerado deste modo, calcula-se o volume e a posição do centro de carena por Vlasov, gerando a curva isométrica para o calado a ré fixado. Repetindo-se o processo para os demais calados a ré, obtém-se curvas isométricas para cada calado a ré. Unindo-se agora os pontos de mesmos calados a vante nas curvas isométricas de calado a ré, obtém-se as curvas isométricas relativas aos calados a vante.
	Para gerar o diagrama com curvas isométricas para xB, por exemplo, basta transpor os pontos obtidos por interpolação para volume constante (reta vertical) e para xB constante (reta horizontal) no diagrama básico correspondente, como sugerido na Figura 6.
Figura 6 - Diagrama Básico de Firsov - xB
	O diagrama básico de Firsov para zB, se for obtido de forma análoga ao diagrama básico para xB, apresenta curvas isométricas para os calados a ré e a vante sobrepostas, inviabilizando sua utilização neste formato. A geração do diagrama de Firsov para zB nos moldes do diagrama para xB também não resolve o problema, pois as curvas de volume e de zB constantes ficarão muito próximas dificultando a identificação e o uso delas.
A solução é montar um diagrama de arranjo diferente, com zB e calado a ré nos eixos coordenados, curvas isovolumétricas e curvas isométricas para os calados a vante, como ilustrado na Figura 5b.
 	A possibilidade de considerar de modo semelhante trim e banda acoplados é uma idéia interessante. Mas para cada valor de trim seria preciso obter diagramas parecidos aos de Firsov, tendo como parâmetros o volume, a posição do centro de carena e o ângulo de inclinação transversal. A introdução de mais parâmetros a mapear e o grande número de diagramas gerados, porém, dificultaria o uso deles e não produziria um ferramenta prática. Este problema é tratado de forma mais apropriada por outra abordagem, denominada Curvas Cruzadas de Estabilidade Estática Transversal, que serão apresentadas e analisadas oportunamente.
	Por fim, deve-se observar que os diagramas de Firsov ainda estão limitados a ângulos de trim relativamente pequenos, pois os diagramas usualmente são obtidos para calados compreendidos entre a linha de base e o pontal. Embora o procedimento possa ser estendido para além destes limites, a representação numérica e gráfica dos resultados tendem a ficar comprometidas à medida que houver calados acima do pontal ou abaixo da linha da base sendo considerados.
III.3 - Trabalho a Ser Realizado
	Cada aluno deverá obter gráfica e numericamente os Diagramas de Firsov para o navio correspondente ao casco preliminar. Os resultados deverão ser gerados por computador, poe meio do programa do DENO/EE/UFRJ - HIDRON v4.8 ou equivalente. Em seguida, deverão ser traçados os Diagramas de Firsov para xB e para zB, pelo programa CURVAS v1.1 ou equivalente.
	Os limites de variação de volume para a geração das curvas isovolumétricas podem ser obtidos nas Curvas Hidrostáticas, da curva de volume de deslocamento (SYMBOL 209 \f "Symbol"). Os limites de variação da posição longitudinal do centro de carena, porém, precisam ser estimados por meio das Curvas de Vlasov para os planos de condições limite de trim a ré (calado a ré igual ao pontal e calado a vante zero) e de trim a vante (calado a ré nulo e calado a vante igual ao pontal). Estes limites devem ser verificados e comparados com os valores fornecidos depois pelo próprio programa, devendo ser ajustados, se necessário.
Os resultados obtidos nesta etapa, que também é individual, deverão fazer parte do relatório do trabalho, incluindo os gráficos das Curvas e Diagramas de Firsov. O relatório deve conter ainda uma introdução, o contexto de uso dos Diagramas de Firsov, um resumo teórico sucinto com a definição e a obtenção das curvas, as expressões de cálculo das propriedades do casco e a descrição do modelo de equilíbrio associado, comparando-o com o modelo geral de busca do equilíbrio.
O relatório deve conter também aplicações dos Diagramas de Firsov na solução de problemas propostos de equilíbrio, destacando o modelo de equilíbrio na solução.
Os resultados desta parte do trabalho também são individuais, mas o relatório pode ser feito em grupos de até 3 (três) alunos. As tabelas numéricas também não precisam fazer parte do corpo impresso do relatório, devendo ser anexadas de outra forma (CD, DVD, etc). O número de páginas desta parte do relatório, excluindo os gráficos e os diagramas envolvidos, não deve ser maior que 6 (seis).
IV – EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO
Os exercícios propostos a seguir devem ser resolvidos utilizando embarcações diferentes em cada problema se o relatório for apresentado por um grupo. Os dois primeiros problemas devem ser resolvidos por meio das Curvas/Tabelas Hidrostáticas e dos Diagramas de Trim de Firsov. O terceiro problema deve ser resolvido por meio das Curvas/Tabelas Hidrostáticas e do Modelo Geral de Equilíbrio.
Em cada caso, a posição de equilíbrio encontrada pelas Hidrostáticas ou por Firsov deve ser verificada se é, de fato, uma posição de equilíbrio, por meio das Curvas de Bonjean/Vlasov.
Os modelos de equilíbrio associados ao longo do processo de solução de cada problema devem ser descritos detalhadamente. Deve-se ainda analisar e comparar os resultados obtidos por cada modelo, discutir e explicar eventuais diferenças encontradas.
1o PROBLEMA: Considere a embarcação flutuando livremente em água doce padrão com trim a ré ou a vante igual a 30% do calado de projeto. A altura inicial do centro de gravidade está entre 60% e 70% do pontal. Embarca-se ou desembarca-se uma carga a bordo de 10% a 20% do deslocamento inicial, com centro de gravidade na LC (yg = 0), xg entre 15,0%Lpp e -15%Lpp, em relação à seção de meia nau, e zg entre ½ e ¾ do pontal a partir da LB. Selecione uma condição inicial e de carregamento dentro dos limites estipulados e determine a respectiva posição final de equilíbrio – deslocamento e os calados nas perpendiculares após a carga/descarga.
2o PROBLEMA: Considere a embarcação flutuando livremente em água salgada padrão no deslocamento de projeto e apresentando trim vante igual a ré ou a vante entre 1,0%Lpp e 2,0%Lpp. A altura inicial do centro de gravidade está entre 60% e 70% do pontal. Carrega-se ou descarrega-se um conjunto de tanques de lastro, inicialmente vazios ou completamente cheios, com altura entre 0,20Tp e 0,30Tp, que se estendem ao longo de três balizas consecutivas a ré ou a vante da seção de meia nau. Os tanques possuem permeabilidade volumétrica entre 0,95 e 0,98. Selecione uma condição inicial e de carregamento dentro dos limites estipulados e determine a respectiva posição final de equilíbrio – deslocamento e os calados nas perpendiculares após a carga/descarga.
3o PROBLEMA: Considere a mesma condição inicial utilizada no segundo problema. Mas suponha agora que a carga/descarga seja feita apenas nos tanques de um dos bordos. Determine a posição final de equilíbrio – calados nas perpendiculares (na LC), calados a BB/BE e ângulo de banda. Estime a banda por meio dasCurvas Hidrostáticas de duas formas diferentes, utilizando as curvas de momento unitário transversal MAC(z) e MAG(z). Compare e verifique ambos os resultados por meio das Curvas de Vlasov.
V – MODELO DE SEÇÕES
	A definição da forma do casco deverá ser feita por um conjunto de seções cujo modelo possa superar as limitações típicas impostas pelo modelo do plano de linhas e da tabela de cotas na representação gráfica e numérica da forma.
	O modelo de seções proposto para a definição da forma do casco e de compartimentos deve tratar de maneira apropriada pelo menos três situações que a tabela de cotas não pode representar ou tratar de forma simples, direta e adequada:
 i) seções transversais múltiplas aninhadas numa mesma posição longitudinal (como no caso de seções nos limites de um convés não contínuo (castelo de proa), escotilhas, superestruturas e aberturas no interior do casco do tipo moonpool) ou inteiramente separadas (proa bulbosa); 
 ii) seções transversais com concavidades que gerariam mais de uma meia boca para um mesmo calado; e
 iii) fundo plano com pé de caverna e quinas.
Observe que na definição de seções múltiplas aninhadas existe implicitamente uma quina formada nos limites superiores das seções, assim como na junção com o convés ao lado e na junção com troncos cúbicos de superestruturas, de casarias e de escotilhas.
O modelo de seções proposto deve ser detalhado, ilustrado e exemplificado na representação da forma do casco de um dos navios do(s) componente(s) do grupo ou em cascos onde as características especiais tratadas estejam presentes. Esta representação deve incluir o maior número possível de situações especiais previstas dentre as possíveis nas três categorias especificadas.
A representação de conveses, escotilhas, casarias e superestruturas, por exemplo, deve ser de acordo com as informações contidas no arranjo geral da embarcação. Na falta do arranjo geral, elas devem ser estimadas de forma adequada. O fundo plano, com ou sem pé de caverna, estará definido de acordo com os modelos de ré e de vante utilizados na geração da forma.
O modelo de seções proposto deve ainda considerar que ele poderá vir a ser a base para gerar uma representação matemática da superfície do casco, embora este não seja o objetivo deste trabalho.
	Por fim, deve ser mostrada também a relação entre o modelo proposto e a tabela de cotas convencional, com a descrição do processo de representação das seções no novo modelo a partir de uma tabela de cotas padrão e seus complementos, as tabelas adicionais para tratar dos pontos iniciais e finais de balizas e de linhas d’água, além das tabelas de quinas, por exemplo.
O mesmo modelo de seções será utilizado no terceiro trabalho para a simulação de avarias, incluindo a especificação de compartimentos, a geração do conjunto de seções de cada compartimento e o cálculo das propriedades necessárias para a aplicação dos métodos a serem utilizados naquela fase.
VI - Grupos, Prazos e Avaliação
	Os resultados do trabalho, relativos às Curvas Hidrostáticas, às Curvas de Vlasov e aos Diagramas de Firsov, são individuais. A parte relativa aos modelos de equilíbrio e ao modelo de seções podem ser coletivas. O trabalho deve ser realizado em até quatro (4) semanas, a partir da apresentação deste roteiro à turma. O relatório desta etapa, entretanto, pode ser apresentado em grupos de até 3 (três) alunos, incluindo os resultados individuais de cada componente.
	O grau final deste trabalho terá peso 3 (três) para compor com o grau da prova teórica (2) e da segunda lista de exercícios (1), se presente, a segunda média parcial do curso. Serão atribuidos graus/pesos ao relatório final do trabalho (1) e ao conjunto de modelos (2) - os modelos de equilíbrio (Geral, Hidrostáticas e Firsov), descritos e aplicados na solução dos exercícios, e o modelo de seções proposto, aplicado a uma embarcação, para a composição do grau final do trabalho.
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