13 RespFreq

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Introdução
Gráficos de resposta
Resposta em frequência
Guilherme Luiz Moritz1
1 DAELT - Universidade Tecnológica Federal do Paraná
04 de 2013
Moritz, G.L. Resposta em frequência
Introdução
Gráficos de resposta
Introdução
Objetivos
Entender o conceito de resposta em frequência
Saber interpretar alguns tipos de gráficos de resposta em
frequência
Saber traçar o Diagrama de Bode
Moritz, G.L. Resposta em frequência
Introdução
Gráficos de resposta
Introdução
Introdução
Resposta em frequência
Resposta em regime estacionário de um sistema
submetido a um sinal senoidal. (Nyquist, 1932. Bode,
1945. Evans, 1953)
Figura : Harry Nyquist Figura : Hendrik Wade Bode
Moritz, G.L. Resposta em frequência
Introdução
Gráficos de resposta
Introdução
Metodologia
Varia-se a frequência de um sinal senoidal de entrada e
estuda-se os efeitos resultantes.
O sinal variará em amplitude e fase.
Vantagens:
Análise de estabilidade através do critério de Nyquist
Determinação experimental de funções de transferência via
análise da resposta em frequência
Projetos de sistemas de controle robusto a presença de
ruído
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Gráficos de resposta
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Resposta em regime permanente
Considere o seguinte sistema:
A função de transferência é:
G(s) =
Y (s)
X (s)
(1)
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Gráficos de resposta
Introdução
Resposta em regime permanente
Num sistema estável, se a entrada for:
x(t) = Xsen(ωt) (2)
a saída será:
y(t) = Ysen(ωt + φ) (3)
com
Y = X |G(jω)| (4)
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Gráficos de resposta
Introdução
Resposta em regime permanente
Neste caso, o ângulo da função de transferência é:
φ = ∠G(jω) = arctg
[
Imag(G(jω))
Real(G(jω))
]
(5)
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Gráficos de resposta
Introdução
Resumindo
|G(jω)| = |Y (jω)||X (jω)| (6)
e
∠G(jω) = ∠Y (jω)
X (jω)
(7)
Desta maneira, para determinar-se a resposta em frequência,
deve-se calcular:
G(jω) =
Y (jω)
X (jω)
(8)
(fazer s = jω na função de transferência)
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Gráficos de resposta
Introdução
Definições
Atraso de fase: valor negativo de fase
Avanço de fase: valor positivo de fase
Moritz, G.L. Resposta em frequência
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Gráficos de resposta
Diagrama de Bode
Parâmetros do sistema utilizando diagrama de bode
Tipos de gráficos
Podemos traçar um gráfico representando a resposta em
frequência. Três diagramas são comumente utilizados:
Diagrama de Bode
Diagrama de Nyquist
Diagrama de resposta logaritmica vs ângulo de fase
(Nichols)
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Gráficos de resposta
Diagrama de Bode
Parâmetros do sistema utilizando diagrama de bode
Diagrama de Bode
Apresenta dois gráficos (em função de log(ω)):
Primeiro gráfico: Magnitude (logarítmica)→
MdB(ω) = 20log|G(jω)|
Segundo gráfico: Fase→ φ(ω) = ∠G(jω)
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Gráficos de resposta
Diagrama de Bode
Parâmetros do sistema utilizando diagrama de bode
Exemplo
Determinar as expressões analíticas de magnitude e fase da
resposta de frequencia de:
G(S) =
1
(s + 2)(s + 4)
(9)
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Gráficos de resposta
Diagrama de Bode
Parâmetros do sistema utilizando diagrama de bode
Exemplo
M(ω) =
1√
(8− ω2) + (6ω)2 (10)
φ =
 −arctg
(
6ω
8−ω2
)
se ω <
√
8
−
[
pi + arctg
(
6ω
8−ω2
)]
se ω >
√
8
(11)
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Gráficos de resposta
Diagrama de Bode
Parâmetros do sistema utilizando diagrama de bode
Exemplo
−80
−60
−40
−20
M
ag
ni
tu
de
 (d
B)
10−2 10−1 100 101 102
−180
−135
−90
−45
0
Ph
as
e 
(de
g)
Bode Diagram
Frequency (rad/s)
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Gráficos de resposta
Diagrama de Bode
Parâmetros do sistema utilizando diagrama de bode
Vantagens de utilizar-se a escala logarítmica
O gráfico de magnitude tem uma contribuição para cada
pólo e zero, no caso de utilizarmos logaritmos, elas se
somam.
G(s) =
K (s + z1)(s + z2) · · · (s + zk )
sm(s + p1)(s + p2) · · · (s + pk ) (12)
|G(jω)| = K |(s + z1)| |(s + z2)| · · · |(s + zk )||sm| |(s + p1)| |(s + p2)| · · · |(s + pk )|
∣∣∣∣∣
s=jω
(13)
Basta estudar o efeito de cada termo na contribuição total
de magnitude e fase
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Gráficos de resposta
Diagrama de Bode
Parâmetros do sistema utilizando diagrama de bode
Ganho K
Magnitudes maiores que 1 possuem valores positivos em
dB
Magnitudes menores que 1 possuem valores negativos em
dB
G(jω) = 20log(K )
∠G(jω) = 0
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Gráficos de resposta
Diagrama de Bode
Parâmetros do sistema utilizando diagrama de bode
Fatores integrativos
20log| 1jω |= −20log(ω) dB;
∠
(
1
jω
)
= −90o
Uma oitava é o intervalo de frequência entre ω1 e 2ω1,
sendo qualquer ω1
Uma década é o intervalo de frequência entre ω1 e 10ω1
A inclinação da reta é −20dB por década com ganho 0 em
ω = 1
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Gráficos de resposta
Diagrama de Bode
Parâmetros do sistema utilizando diagrama de bode
Fatores derivativos
20log|jω|= 20log(ω) dB;
∠ (jω) = 90o
A inclinação da reta é 20dB por década.
E se houver mais de um termo?
20log|(jω)n|= n20log(ω) (14)
Moritz, G.L. Resposta em frequência
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Gráficos de resposta
Diagrama de Bode
Parâmetros do sistema utilizando diagrama de bode
Resumo gráfico
Moritz, G.L. Resposta em frequência
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Gráficos de resposta
Diagrama de Bode
Parâmetros do sistema utilizando diagrama de bode
Termos de primeira ordem
20log| 11+jωT |= −20log(
√
1 + ω2T 2) dB;
ω << 1T :
−20log(
√
1 + ω2T 2) = −20log(1) = 0 (15)
ω >> 1T :
−20log(
√
1 + ω2T 2) = −20log(ωT ) = 0 (16)
Duas retas:
0dB → 0 < ω < 1T
−20dB/dec → 1T < ω <∞
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Diagrama de Bode
Parâmetros do sistema utilizando diagrama de bode
Termos de primeira ordem
Magnitude de 11+jωT
20log| 11+jωT |= −20log(
√
1 + ω2T 2) dB;
ω << 1T :
−20log(
√
1 + ω2T 2) = −20log(1) = 0 (17)
ω >> 1T :
−20log(
√
1 + ω2T 2) = −20log(ωT ) = 0 (18)
Duas retas:
0dB → 0 < ω < 1T
−20dB/dec → 1T < ω <∞
Moritz, G.L. Resposta em frequência
Introdução
Gráficos de resposta
Diagrama de Bode
Parâmetros do sistema utilizando diagrama de bode
Termos de primeira ordem
Fase de 11+jωT
ω = 0o → φ = 0
ω = 1T → φ = arctan(1) = −45o
ω =∞→ φ = −90o
Três retas:
0o → 0 < ω < 1T
−45o/dec → 110T < ω < 10T
−90o → 10T < ω <∞
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Diagrama de Bode
Parâmetros do sistema utilizando diagrama de bode
Resumo gráfico
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Gráficos de resposta
Diagrama de Bode
Parâmetros do sistema utilizando diagrama de bode
Termos de primeira ordem - erros
Fizemos aproximações assintóticas para ω << 1T e
1
T << ω.
E quando a aproximação não valer?
O valor máximo do erro é aproximadamente 3dB
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Diagrama de Bode
Parâmetros do sistema utilizando diagrama de bode
Termos de primeira ordem - zeros
Mesma análise para os pólos, mas com sinal trocado:
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Diagrama de Bode
Parâmetros do sistema utilizando diagrama de bode
Termos quadráticos
Termona forma:
1
1 + 2ζ(j ωωn ) + (j
ω
ωn
)2
(19)
Cuja resposta em frequência é:
−20log
∣∣∣∣∣ 11 + 2ζ(j ωωn ) + (j ωωn )2
∣∣∣∣∣ = −20log
√(
1− ω
2
ω2n
)2
+
(
2ζ
ω
ωn
)2
(20)
ω << ωn:
−20log(1) = 0 (21)
A assíntota de baixa frequência é uma reta em 0dB
Moritz, G.L. Resposta em frequência
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Gráficos de resposta
Diagrama de Bode
Parâmetros do sistema utilizando diagrama de bode
Termos quadráticos
Resposta em frequência (novamente):
−20log
∣∣∣∣∣ 11 + 2ζ(j ωωn ) + (j ωωn )2
∣∣∣∣∣ = −20log
√(
1− ω
2
ω2n
)2
+
(
2ζ
ω
ωn
)2
(22)
ω >> ωn:
−20log(ω
2
ω2n
) = −40log( ω
ωn
) (23)
A assíntota de alta frequência é uma reta com inclinação
de 40dB/decada
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Diagrama de Bode
Parâmetros do sistema utilizando diagrama de bode
Termos quadráticos
A fase é:
φ = ∠ 1
1 + 2ζ(j ωωn ) + (j
ω
ωn
)2
= −arctg
 2ζ ωωn
1−
(
ω
ωn
)2
 (24)
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Diagrama de Bode
Parâmetros do sistema utilizando diagrama de bode
Resposta de termos quadráticos
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Diagrama de Bode
Parâmetros do sistema utilizando diagrama de bode
Termos quadráticos - Erro
Observa-se que o erro assintótico torna-se elevado
quando o coeficiente de amortecimento é baixo.
Soluções:
Utilizar tabelas de correção
Utilizar computador para traçar o diagrama
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Diagrama de Bode
Parâmetros do sistema utilizando diagrama de bode
Sumário das assíntotas
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Diagrama de Bode
Parâmetros do sistema utilizando diagrama de bode
Exemplo 1
Esboce o diagrama de bode para a seguinte função de
transferência:
G(s) = 100
(s + 1)
(s + 10)
= 10
s + 1
( s10 + 1)
(25)
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Diagrama de Bode
Parâmetros do sistema utilizando diagrama de bode
Exemplo
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Diagrama de Bode
Parâmetros do sistema utilizando diagrama de bode
Exemplo
20
25
30
35
40
M
ag
ni
tu
de
 (d
B)
10−2 10−1 100 101 102 103
0
30
60
Ph
as
e 
(de
g)
Bode Diagram
Frequency (rad/s)
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Diagrama de Bode
Parâmetros do sistema utilizando diagrama de bode
Exemplo 2
Esboce o diagrama de bode para a seguinte função de
transferência:
G(s) = 200
(s + 1)
(s + 10)2
(26)
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Parâmetros do sistema utilizando diagrama de bode
Exemplo 2
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Diagrama de Bode
Parâmetros do sistema utilizando diagrama de bode
Exemplo 2
−10
0
10
20
M
ag
ni
tu
de
 (d
B)
10−2 10−1 100 101 102 103
−90
−45
0
45
Ph
as
e 
(de
g)
Bode Diagram
Frequency (rad/s)
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Diagrama de Bode
Parâmetros do sistema utilizando diagrama de bode
Análise de estabilidade
K G(S)+ -
U(S) Y(S)
H(S)
A análise de estabilidade deve avaliar o ganho quando a
fase é −180o (inversão de fase)
Ganhos maiores que 1 indicam instabilidade!
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Diagrama de Bode
Parâmetros do sistema utilizando diagrama de bode
Margens do sistema
Margem de Ganho:
Quanto de ganho que
pode ser adicionado ao
sistema para que ele
continue estável.
Margem de Fase:
Quanto de fase falta
para levar um ganho
positivo a 180o
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Diagrama de Bode
Parâmetros do sistema utilizando diagrama de bode
Exemplo 3
Determine as margens de fase e ganho para o sistema
G(s) =
1000k
(s + 1)(s + 10)(s + 100)
(27)
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Diagrama de Bode
Parâmetros do sistema utilizando diagrama de bode
Exemplo 3
−150
−100
−50
0
M
ag
ni
tu
de
 (d
B)
10−2 10−1 100 101 102 103 104
−270
−225
−180
−135
−90
−45
0
Ph
as
e 
(de
g)
Bode Diagram
Frequency (rad/s)
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Diagrama de Bode
Parâmetros do sistema utilizando diagrama de bode
Margens do sistema
Margem de Ganho:
Quanto de ganho que
pode ser adicionado ao
sistema para que ele
continue estável.
Margem de Fase:
Quanto de fase falta
para levar um ganho
positivo a 180o
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Coeficiente de amortecimento e Kp
O coeficiente de amortecimento está relacionado à
margem de fase (consequentemente o sobresinal):
ζ ≈ MF
100
(28)
A constante de erro de posição pode ser deduzida do valor
de partida do diagrama já que Kp = limjω→0 G(S)
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Outros diagramas
A interpretação dos diagramas de Nyquist e Nichols será
observada no Matlab.
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