P2 Cálculo 3 UFRRJ Edivaldo T01 2016 1

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Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro
Instituto de Ciências Exatas/DEMAT
Prova 2 de Cálculo III - IC243 Turma: T01
Aluno: Data: 21/06/2016
Questão 1: (2 pontos)
Mostre que a área de uma região fechada e limitada D do plano
x y cuja fronteira ∂D está orientada positivamente, pode ser ob-
tida através da integral de linha ao lado:
A(D) =
∮
∂D
x d y
Questão 2: (2 1/2 pontos)
Seja o campo conservativo F = (yz,xz,x y).
(a) (1 ponto) Encontre uma função potencial de F.
(b) (1 1/2 pontos) Calcule a integral de linha ao longo de qualquer curva lisa C ligando o ponto
A(−1,3,9) ao ponto B(1,6,− 4). Lembre-se do teormea fundamental da integral de linha.
Questão 3: (3 1/2 pontos)
Seja E(x ,y,z) =
q
x2 + y2 + z2
�
xp
x2 + y2 + z2
,
yp
x2 + y2 + z2
,
zp
x2 + y2 + z2
�
o campo elé-
trico criado por uma carga q localizada na origem.
(a) (1 ponto) Verifique que div E = 0
(b) (1 1/2 pontos) Calcule o fluxo de E através da superfície esférica de raio r e centrada na
origem, com normal n apontando para fora da esfera.
(c) (1 ponto) Explique por que o teorema de Gauss não pode ser aplicado para calcular o
que foi pedido no item (b).
Questão 4: (2 pontos)
Seja
∫∫∫
Ω
z2 dx d y dz
ondeΩ=
�
(x ,y,z) ∈ R3 | x2 + y2 + z2 ≥ 1 , x2 + y2 + (z − 2)2 ≤ 4 e z ≥px2 + y2	. Represente
a integral acima utilizando a transformação de coordenadas adequada de forma que o cálculo
seja simplificado. (Não é preciso calcular a integral!)
Fórmulas:
Identidades Coord. polares Coord. esféricas
sen2(θ ) + cos2(θ ) = 1 x = r cos(θ ) x = ρsen(φ) cos(θ )
sec2(θ )− tan2(θ ) = 1 y = r sen(θ ), z = z y = ρsen(φ) sen(θ ), z = ρcos(φ)
sen2(θ ) = 1−cos(2θ )2 | ∂ (x ,y)∂ (r,θ ) |= r | ∂ (x ,y)∂ (r,θ ) |= −ρ2 sen(φ)
cos2(θ ) = 1+cos(2θ )2 r > 0 e θ ∈ [θ0,θ0 + 2pi] r > 0, 0≤ φ ≤ pi e θ ∈ [θ0,θ0 + 2pi]
∫ ∫
D

∂ F2
∂ x
− ∂ F1
∂ y
‹
dA =
∫
C
F1 dx + F2 d y (Teorema de Green)∫ ∫
S
(∇× F) · n dS =
∫
∂ S
F · dr (Teorema de Stokes)∫ ∫ ∫
W
∇ · F dV =
∫ ∫
∂W
(F · n) dS (Teorema de Gauss)
-Equação da esfera de raio
r e centro na origem:
x2 + y2 + z2 = r2
Boa Prova!