Calculo Numerico

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Calculo Numérico 
Calculo Diferencial e Integral por Abordagem 
Numérica e Aplicação com o MATLAB 
Consultas e Dúvidas 
E-mail: jeffersonsc@gmail.com 
 
 
 
 
 
 
 
Campanha Pegue Sua PROVA 2014!!! 
NUT sala 5 
Ementa da Disciplina – Parte 1 
• Modelagem Matemática: 
• Fundamentos do MATLAB; 
• Teoria dos Erros; 
• Métodos Fechados para determinação 
de raízes; 
• Métodos Abertos para Determinação de 
Raízes; 
• Solução de Sistemas Lineares; 
• Métodos de Otimização; 
 
1° Semana 
Ementa da Disciplina – Parte 2 
• Regressão Linear; 
• Mínimos Quadrados; 
• Outros Métodos de Interpolação; 
• Integração Numérica; 
• Diferenciação Numérica; 
• Solução de PVI Numericamente; 
• Métodos de Solução de ED Adaptativos; 
• Problemas de Valores de Contorno. 
2° Semana 
Bibliografia 
• Chapra, Steven C. – Applied numerical methods 
with MATLAB for engineers and scientists, 3rd 
ed, McGraw-Hill, 2012. 
 
 
• Karris, Steven T.: Numerical Analysis Using 
MATLAB® and Excel®, 3rd ed, Orchard 
Publications, 2007. 
 
 
• Sperandio, D., Mendes, J.T., Silva, L.H.M.: 
Cálculo Numérico: características Matemáticas 
e Computacionais dos Métodos Numéricos, 
Prentice Hall, 2003. 
 
Avaliação da Disciplina 
• Duas Avaliações Teóricas: AV1 e AV2. 
• Cada Av. valerá 10 pontos. As questões poderão ser 
contextualizadas. 
• Um trabalho de solução de uma Problema Numérico 
Utilizando o MATLAB Valendo 10 pts. (TA) 
• A nota final é a média aritmética das 2 avaliações e o 
trabalho; 
𝑁𝐹 =
𝐴𝑉1 + 𝐴𝑉2 + 𝑇𝐴
3
 
Cronograma da Disciplina 
• Início: Segunda-Feira 15/09/2014 
• Horário: Manhã das 07:30 ás 13:00. 
• Avaliação 1: Sábado 20/09/2014. 
• Avaliação 2: Sábado 27/09/2014. 
• Entrega do Trabalho: Sexta-Feira 04/10/2013. 
• Provas de Segunda Chamada e Substitutiva Solicitar junto à 
Secretaria Acadêmica. 
Modelagem Matemática 
Obtenção de Modelos Matemáticos de 
Problemas físicos Observados 
Modelagem Matemática 
• Para entender o problema da Modelagem 
matemática, vamos tomar um saltador de bungee-
jumping. 
• O interesse é determinar o comportamento da 
velocidade do saltador durante a queda, antes da 
atuação da força elástica. 
• Desta forma temos que analisar quais as forças 
que atuam sobre o corpo. 
• Temos a força da gravidade e a força de resistência 
do ar. 
• Pela segunda lei de Newton, temos: 
𝐹𝑟 = 𝐹𝐺 − 𝐹𝐴𝑅 
• O somatório das forças é uma boa estratégia de 
modelagem para esta situação; 
Modelagem Matemática 
• Em problemas de eletromagnetismo 
temos que analisar os campos envolvidos: 
Elétrico e Magnético; 
• Em problemas de Circuitos: Corrente e 
Tensão; 
• Em Sistemas de Potência: Potência 
Transmitida, Tensão e Corrente nas linhas, 
etc; 
• Cada problema possui um conjunto de 
variáveis que influenciam diretamente na 
variável ou parâmetro observado; 
 
 
Modelagem Matemática 
• Para o problema em questão, Temos agora que equacionar cada 
força envolvida no problema com a variável velocidade. 
• A força Resultante: 
𝐹𝑟 = 𝑚𝑎 = 𝑚
𝑑𝑣
𝑑𝑡
 
• A força da Gravidade: 
𝐹𝐺 = 𝑚𝑔 
• A Força de resistência do Ar: 
𝐹𝐴𝑅 = 𝑐𝑑𝑣
2 
• Onde 𝑐𝑑 é o coeficiente de arrasto (𝑘𝑔/𝑚); 
• Assim temos a equação diferencial 
𝑚
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= 𝑚𝑔 − 𝑐𝑑𝑣
2 
Modelagem Matemática 
• Podemos reescrever a equação na forma 
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= 𝑔 −
𝑐𝑑
𝑚
𝑣2 
• A solução para esta EDO é dada na forma analítica pela expressão 
a seguir. 
 
 
• Vamos exemplificar para os seguintes dados: 
• 𝑚 = 68,1 𝑘𝑔; 𝑔 = 9,8 𝑚/𝑠2 e 𝑐𝑑 = 0,25 𝑘𝑔/𝑚; 
Modelagem Matemática 
• Utilizando o computador (MATLAB), podemos encontrar os 
seguintes valores de velocidade. 
Modelagem Matemática 
• Nossa intensão não é apresentar métodos de solução analíticas e 
sim alternativas numéricas. 
• Sabemos que a definição de derivada para de uma aproximação da 
inclinação da reta tangente. 
• O índice 𝑡𝑖 indica um 
subintervalo de tempo 
qualquer e 𝑡𝑖+1 indica um 
subintervalo de tempo 
posterior. 
Modelagem Matemática 
• Esta aproximação será substituída na equação diferencial. 
 
 
 
 
• Podemos interpretar a equação anterior como aquela que 
determina um próximo valor de velocidade baseado nos valores 
anteriores de velocidade. 
• Este método de solução da EDO é conhecido como método de 
Euler. 
• Para entender como esta expressão pode nos devolver a solução 
para a EDO, vamos tomas os mesmos dados utilizados na solução 
analítica. 
Modelagem Matemática 
• Temos então que adotar uma variação de tempo: Neste caso 
Δ𝑡 = 𝑡𝑖+1 − 𝑡𝑖 = 2 𝑠𝑒𝑔. 
• Vamos assumir que a velocidade inicial é nula: 𝑣 0 = 0 𝑚/𝑠. 
• Vamos iniciar a contagem de tempo em 0; 
• Para 𝑖 = 0, 𝑡0 = 0 e 𝑡1 = 𝑡0 + Δ𝑡 = 2 
𝑣 2 = 𝑣 0 + 9.81 −
0,25
68,1
𝑣 0 2 2 = 19,62 𝑚/𝑠 
• Para 𝑖 = 1, 𝑡1 = 2 e 𝑡2 =4 
𝑣 4 = 𝑣 2 + 9.81 −
0,25
68,1
𝑣 2 2 1 = 36,41 𝑚/𝑠 
• Para 𝑖 = 2, 𝑡2 = 4 e 𝑡3 = 6 
𝑣 6 = 𝑣 4 + 9.81 −
0,25
68,1
𝑣 4 2 1 = 46,3 𝑚/𝑠 
 
Modelagem Matemática 
• Organizando algumas informações, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Note o resultado Numérico Comparado com o Exata ou analítico; 
• Há certa diferença, a qual pode ser reduzida diminuindo o valor de 
Δ𝑡; 
• A solução numérica oferece uma boa alternativa para solução; 
 
Modelagem Matemática 
• Exemplo 1: A concentração 𝐶 de um material radioativo é dada 
pela EDO a seguir. Onde 𝑘 = 0,175 para um determinado 
experimento o qual representa a taxa de decaimento radioativo. 
Use um método analítico e o numérico para realizar uma 
comparação gráfica das duas soluções. Use no método numérico 
Δ𝑡 = 0,1 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠. 
𝑑𝐶
𝑑𝑡
= −𝑘C 
• Exemplo 2: A seguinte EDO representa a variação do nível de 
liquido 𝑦 dentro de um tanque o qual é alimentado com líquido a 
uma taxa 3𝑄 sin2 𝑡 e possui um vazão a uma taxa que depende da 
altura da coluna do líquido. Assuma 𝐴 = 1250 𝑚2; 𝑄 = 450 𝑚3/𝑠 
e 𝛼 = 150 . Use o método de Euler para aproximar o 
comportamento do nível de líquido de 0 a 10 segundo, tome 
Δ𝑡 = 0,1 𝑠. 
Fundamentos de MATLAB 
 Interface Inicial 
• Janela de Comandos (command window) 
• Área de Trabalho (workspace): Espaço reservados para o 
armazenamento das variáveis criadas. 
• Pasta de Arquivos (current directory): Pasta de referência 
do MATLAB. A pasta padrão é a “MATLAB” na biblioteca 
“Documentos”. 
• Histórico de Comandos (command history): Armazena os 
comandos digitados 
Fundamentos de MATLAB 
• Tipos de Variáveis 
– Numéricas: Números reais e/ ou complexos 
– Simbólicas: Utilizados em cálculos algébricos no Toolbox 
Matemática simbólica 
• Operações simples 
 
Operação Símbolo Exemplo 
Adição a + b + 4+5 
Subtração a – b – 13 – 33 
Multiplicação a×b * 23*12 
Divisão a÷b / ou \ 64/8 ou 8\64 
Potencia ab ^ 5^2 
Fundamentos de MATLAB 
• Formatação dos números: Define a quantidade de 
algarismos em que o número é apresentado. 
Ao digitar 250.2/3 na janela de comandos, o resultado pode ser apresentado das 
seguintes maneiras 
 Comando do MATLAB Número Componentes 
format long 83.399999999999991 16 dígitos 
format short 83.4000 4 dígitos (Padrão) 
format long e 8.339999999999999e+1 16 dígitos + expoente 
format short e 8.3400e+1 4 dígitos + expoente 
format bank 83.40 2 dígitos decimais 
format + + Positivo, Negativo ou zero 
format rat 417/5 Aproximação em fração 
Fundamentos de MATLAB 
• Algumas funções principais 
 Função Expressão Função Expressão 
Seno sin(a) Potência a^b 
Cossenocos(a) Logaritmo natural log(a) 
Tangente tan(a) Logaritmo na base N log(n,a) 
Arco Seno asin(a) Máximo max(a) 
Arco Cosseno acos(a) Mínimo min(a) 
Arco Tangente atan(a) Valor Absoluto abs(a) 
Exponencial de e exp(a) Media Aritimética mean(a) 
Fundamentos de MATLAB 
• Escalares ou matrizes de ordem 1×1 
o Casa decimal “ . ”; Ex: 4.34 
o Notação científica “ e ”; Ex: 1e5 = 100000 
o Números complexos “ i ” e “ j ”; Ex: 4+j*5 
• Variáveis especiais 
 
 Variável Valor 
ans Guarda o resultado da ultima operação 
pi 3.141592653589793 
eps Precisão da máquina (2.22044604925e-016) 
inf Infinito 
NaN Valor não numérico 
realmax Maior número real (1.79769313486e+308) 
realmin Menor número real (2.2250738585e-308) 
Fundamentos de MATLAB 
• Denotação de Matriz: [...] 
– Os elementos de uma linha são separados por “espaço” ou “,”; 
– A separação das colunas é feita por “;” 
Ex1: A=[1 2 -3;3 2 1;0 0 0] 3×3 
B=[0,2,5;6,1,1;0,0,3;1,2,4] 4×3 
C=[2 3 1 3;1 2 -1 5] 2×4 
D=[2 3 4 56 -7 7] 1×6 → Vetor Linha 
d=[1;23;-1;-8;2;0] 6×1 → Vetor Coluna 
• Criando Vetores 
a=1:10; → Contém 10 elementos 
b=1:0.1:10; → Contém 91 elementos 
c=1:0.001:10; → Contém 9001 elementos 
Fundamentos de MATLAB 
• Obs.: O número central representa o espaçamento de 
um elemento a outro. Se não especificado seu valor é 1. 
• Ex3: t=0:10;,s=sin(t);,plot(t,s) 
• Repetir para t=0:0.5:10; e depois para t=0:0.001:10 
 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Fundamentos de MATLAB 
• Vetor linearmente espaçado: q=linspace(Ti,Tf,N) 
• Onde Ti é o ponto inicial, Tf é o ponto final e N é o 
número de elementos do vetor; 
• Matrizes elementares 
– zeros, Ex: zeros(3,3), Matriz de zeros 
– ones, Ex: ones(3,3), Matriz de 1’s 
– eye, Ex: eye(3), Matriz Identidade 
– rand, Ex: rand(3), Matriz quadrada de elementos aleatórios de 
0 a 1; 
Fundamentos de MATLAB 
• Concatenando Matizes 
– A concatenação em linha é feita por “,”: Ex: Q=[A,B] 
– A concatenação em coluna é feita por “;”: Ex: W=[A;B] 
• Indexação: Resgata um elemento específico da matriz: 
M(i,j), onde i é a linha do elemento e j a coluna na matriz 
M; 
Ex: Matriz Q3×6, e=Q(1,6), f=Q(2,4) 
A indexação também pode ser feita pela contagem da 
posição feita primeira pela linha e depois coluna: 
Ex: Q(1,6)=Q(16) e Q(2,4)=Q(11) 
Fundamentos de MATLAB 
• Operações com matrizes 
– Multiplicação Matricial: *, Ex: A*B, O elemento (i,j) é calculado 
pelo produto escalar entre a linha i de A e a coluna j de B; 
– Multiplicação escalar: .*, Ex: A.*B, O elemento (i,j) é calculado 
multiplicando o elemento (i,j) de A com o (i,j) de B 
– Divisão matricial: / ou \, Ex: A/B ou B\A = A*B-1 
– Divisão escalar: ./, Ex: A./B, Divisão elemento por elemento 
– Potencia: ^, Ex: A^2=A*A 
– Potência Escalar: .^, Ex: A.^2=A.*A, cada elemento é elevado à 
potência desejada 
Fundamentos de MATLAB 
– Transposta: ‘, Ex: A’, Transforma as linhas em colunas e 
vice-versa 
– Determinante da Matriz: det(A) 
– Dimensões da matriz: size(A), Determina a quantidade de 
linha e colunas que a matriz possui 
– Comprimento da matriz: length(A), Conta a quantidade de 
linha ou colunas da matriz, qual for maior. 
– Diagonal principal: diag(A), retorna os elementos da 
diagonal principal da Matriz 
– Inversa: inv(A), Retorna a matriz inversa 
Fundamentos de MATLAB 
– Ex: Determinar a solução do sistema de equações lineares 
2𝑥 − 3𝑦 = 2 
3𝑥 + 𝑦 = 0 
A=[2 -3; 3 1];, B=[2;0] 
Solução: X=inv(A)*B 
– Ex: Determinar a solução do sistema de equações lineares 
5𝑥 − 2𝑦 = 5 
−𝑥 + 8𝑦 = −3 
 
Fundamentos de MATLAB 
• Declarando polinômios 
• Dado o polinômio 2𝑥2 + 3𝑥 + 4 = 0, este pode ser declarado 
fazendo: p=[2 3 4]. 
• Assim o Matlab compreende o polinômio como um vetor que 
contém somente seus coeficientes. 
– Raiz do polinômio: roots(p) 
– Caso seja necessário encontrar o polinômio a partir de suas raízes, 
usa-se a função poly(A) que retorna o polinômio que gera os 
autovalores se A for matriz quadrada. 
– Casos A seja um vetor, a função considera que cada elemento 
representa um raiz do polinômio que a função retornará. 
– Ex: poly(A) a=[1 -2 -3 0]; poly(a) 
– Auto valores: ing(A) 
Fundamentos de MATLAB 
• Operações matriciais 
– Calculo do valor do polinômio: polyval(p,x), onde p é o 
polinômio e x é o valor a ser substituído. 
Ex: 𝑝 = 1 3 45 0 − 9 = 𝑝 𝑥 = 𝑥4 + 3𝑥3 + 45𝑥2 − 9; 
𝑝 −3 = 𝑝𝑜𝑙𝑦𝑣𝑎𝑙(𝑝, −3) 
Determinar: p(0), p(22) e p(pi) 
– Multiplicação de polinômios: conv(a,b) 
Ex: a=[1 1]; , b=[1 -2] → 𝑎 = 𝑥 + 1 𝑒 𝑏 = 𝑥 − 2 
conv(a,b)= 𝑥 + 1 . 𝑥 − 2 = 𝑥2 − 𝑥 − 2 = [1 -1 -2] no 
Matlab 
 
Fundamentos de MATLAB 
– Divisão de polinômios: deconv(a,b) 
Ex: a=[1 2 1] , b=[1 1] → 𝑎 = 𝑥2 + 2𝑥 + 1 𝑒 𝑏 = 𝑥 − 2 
deconv(a,b)= 𝑥2 + 2𝑥 + 1 / 𝑥 + 1 = 𝑥 + 1 = [1 1] no Matlab 
– Integral de um polinômio: polyint(a) 
Ex: Calcular 
 𝑥2 + 3𝑥 − 10 𝑑𝑥 
Resposta: 
𝑥3
3
+
3𝑥2
2
− 10𝑥 + 𝐶 
No Matlab: a=[1 3 -10];,polyint(a) 
Resposta: [0.3333 1.5 -10 0] 
 
 
Fundamentos de MATLAB 
– Derivada de um polinômio: polyder(a) 
Ex: Calcular 
𝑑(𝑥2 + 3𝑥 − 10)
𝑑𝑥
 
Resposta: 2𝑥 + 3 
No Matlab: a=[1 3 -10];,polyder(a) 
Resposta: [2 3] 
 
Fundamentos de MATLAB 
• Exemplo 1: A Curva borboleta tem as seguinte equações 
paramétricas. 
 
 
 
 
• Use o MATLAB para gerar os gráficos a seguir sendo t variando de 
0 a 100. 
• A) x e y em função de t; 
• B) y em função de x; 
 
Fundamentos de MATLAB 
• Exemplo 2: A Figura a seguir mostra uma barra uniforme sujeita a 
uma carga crescente e linearmente distribuída. A deflexão y (m) 
pode ser calculado com 
 
 
• em que E = módulo de elasticidade e I o momento de inércia (𝑚4). 
Empregar essa equação e cálculo para gerar parcelas MATLAB das 
seguintes quantidades em função da distância ao longo da viga: 
• A) O deslocamento y(m); 
• B) A inclinação 𝜃 𝑥 = 𝑑𝑦/𝑑x; 
• C) O Momento 𝑀 𝑥 = 𝐸𝐼𝑑2𝑦/𝑑𝑥2 
• Use nos cálculos L = 600 cm, E = 50,000 𝑘𝑁/𝑐𝑚2, I = 30,000 𝑐𝑚4, 
• w0 = 2.5 kN/cm, e Δx = 10 cm. 
Fundamentos de MATLAB 
• Exemplo 3: A função seno pode ser expressada pela seguinte série 
infinita. 
 
• Crie um programa no MATLAB para comparar a aproximação dos 
termos da série em relação a função original. Faça a comparação 
desde o termo mais simples até o termo 𝑥15/15!. 
• Use a equação a seguir para determinar o máximo erro em relção 
a função seno e sua aproximação. 
Fundamentos de MATLAB 
• Exemplo 4: Desenvolva um programa no MATLAB para apresentar 
o gráfico da seguinte função sendo a variável t no intervalo de -5 a 
50. 
 
 
 
 
• Exemplo 5: Crie um programa no MATLAB para solucionar a 
seguinte equação diferencial. Assuma 𝐴 = 1250 𝑚2; 𝑄 =
450 𝑚3/𝑠 e 𝛼 = 150. Use o método de Euler no intervalo de 0 a 
10 segundo, tome inicialmente Δ𝑡 = 0,1 𝑠. 
 
Fundamentos de MATLAB 
• Exemplo 6: Desenvolva um programa no MATLAB para apresentar 
o gráfico da seguinte função que representa o volume de líquido 
em um cilindro inclinado de raio 𝑟 e comprimento 𝐿, dentro deste 
cilindro de encontra uma quantidade de líquido tal que preenche 
o cilindro até um nível 𝑕. 
 
 
 
 
Teoria dos Erros 
• Vamos retomar o problema da solução da equação diferencial 
através do método numérico de Euler. 
• Quando realizamos a aproximação de uma derivada por uma 
variação de uma variável em relação a outro estamos cometendo 
um erro; 
 
 
• Embora os resultados obtidos se aproximem visualmente dos 
resultados exatos obtidos por métodosanalíticos, os erro são 
nítidos. 
• Os erros são um constante problema na engenharia, visto que 
grande parte das soluções são obtidas e/ou analisadas de forma 
numérica. 
• Como lidar então com este problema?? 
Teoria dos Erros 
• Exatidão é a característica de um instrumento de medição que 
exprime o afastamento entre a medida nele efetuada e o valor de 
referência aceito como verdadeiro. 
• Repetibilidade (precisão) é a propriedade de um instrumento de, 
em condições idênticas, indicar o mesmo valor para uma 
determinada grandeza medida. 
 
Teoria dos Erros 
• Erro Absoluto e Relativo 
– A palavra “erro” designa a diferença algébrica entre o valor 
aproximado 𝑉𝑎 e o seu valor aceito como verdadeiro, 𝑉𝑣: 
Δ𝑉 = 𝑉𝑎 − 𝑉𝑣 
– 𝐸𝑡 é o valor máximo do erro ou erro absoluto. 
– O valor Verdadeiro 𝑉𝑣 pode ser expresso na forma: 
𝑉𝑎 − 𝐸𝑡 ≤ 𝑉𝑣 ≤ 𝑉𝑎 + 𝐸𝑡 
– O “erro relativo” 𝜀 é definido como a relação entre o erro absoluto 
𝐸𝑡 o valor verdadeiro 𝑉𝑣 da grandeza medida: 
𝜀 =
∆𝑉
𝑉𝑒
× 100% 
Teoria dos Erros 
• Tolerância 𝜀𝑠 
– Representa a porcentagem de erro absoluto mínima aceitável 
em um processo de calculo numérico. 
– A tolerância representa o critério de parada de uma iteração. 
– Exemplo 1: É possível mostra que 𝑒𝑥 pode ser aproximado 
por uma série infinita. Cada termo da série acrescenta 
melhor aproximação do valor real. Encontre o número de 
termos de forma que 𝜀 < 10−5 para 𝑒2. 
Teoria dos Erros 
• Erros de Arredondamento 
– Computadores digitais possuem um número limitado de 
dígitos para representação de números. 
– Quando é necessário representar um número com mais casas 
decimais do que o limite do computador, então ocorrem os 
erros de arredondamento. 
– Por exemplo, é impossível para 
um computador representar por 
completo o número 𝜋, visto que 
este possui um número infinito de 
casas decimais. 
Teoria dos Erros 
– Exemplo 2: A função seno por ser expressa pela seguinte série de 
potência. Estime a quantidade de termos da série de forma que o 
erro seja nulo para sin (𝜋/4) (a) no caso em se utiliza 3 casas 
decimais como resolução e (b) no caso em que se utiliza 4 casas 
decimais como resolução. Encontre o erro absoluto em cada caso. 
 
 
– Exemplo 3: Encontre a derivada da função 𝑓 𝑥 = 1/(1 − 3𝑥2) no 
ponto 𝑥 = 0,577. Para tanto utilize o método aproximado de Euler 
com número em (a) 3 casas decimais e (b) duas casas decimais. 
Encontre o erro absoluto em cada caso. 
Teoria dos Erros 
– Exemplo 4: Compare 4 valores da seguinte função utilizando 
duas resoluções diferentes. (a) primeiro com 2 casas e (b) 
depois com 5 casas decimais. 
 
 
– Exemplo 5: De forma gráfica, tente encontrar um zero para a 
função a seguir no intervalo [0, 𝜋] de tal forma que o erro 
máximo seja de 10−3. 
 
Determinação de Raízes 
– A raiz de uma função 𝑦 = 𝑓(𝑥) representa o valor de 𝑥 tal 
que 𝑓 𝑥 = 0; 
– Para uma equação do segundo grau é possível mostra que as 
raízes são dadas por: 
 
– Nem sempre é possível encontrar uma expressão que 
determine as raízes de uma função, como por exemplo. 
 
– Como então determinar as raízes de uma função qualquer?? 
– Veremos alguns métodos numéricos. 
Determinação de Raízes 
– Um dos métodos mais simples é o métodos gráfico, onde 
tentamos identificar graficamente em que valor de 𝑥 a 
função se torna nula. 
– Exemplo 1: Determine pelo método gráfico qual o valor de 
𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 para o qual a função velocidade de queda de um 
bungee-jumping após 4 s assume o valor 36 m/s. Assuma 
𝑐𝑑 = 0,25 𝑘𝑔/𝑚 e 𝑔 = 9,81 𝑚/𝑠
2. Use o MATLAB. 
Determinação de Raízes 
– Método Iterativo para busca de Intervalo 
– Note que o método gráfico é uma estimativa pouco viável em 
termo de precisão. 
– Vamos então determinar um intervalo dentro do qual 
supostamente há uma raiz. 
– Tomando um valor 𝑥𝑖 e outro valor 𝑥𝑖+1 caso entre este dois 
valores haja uma raiz, então é verdadeira. 
𝑓 𝑥𝑖 𝑓 𝑥𝑖+1 < 0 
– Visto que ante da raiz 𝑓(𝑥𝑖) é positivo ou negativo, então 
depois da raiz 𝑓(𝑥𝑖+1) possui sinal aposto; 
– Portanto o produto destes valores é negativo. 
Determinação de Raízes 
• Exemplo 2: Para a seguinte função determine os intervalos 
menores, pelo método interativo, no qual se possa 
encontrar uma raiz a partir do intervalo [3,6]. (a) Use 
inicialmente uma subdivisão de Δ𝑥 = 0,5 e depois (b) a 
divisão menor de Δ𝑥 = 0,001. 
 
• Exemplo 3: Repita o exemplo anterior par a função a seguir a 
partir do intervalo [1,4] . Tome as mesmas divisões de 
intervalo. 
−2,75𝑥3 + 18𝑥2 − 21𝑥 − 12 = 0 
Determinação de Raízes 
• Método da Bissecção 
• É uma alternativa do método incremental para a 
determinação do intervalo onde se encontra uma raiz. 
• Trata-se de dividir o intervalo ou meio e testar se a raiz está 
na partição a esquerda ou a direita; 
• O teste é feito no valor da função: O intervalo em que o 
valor da função mais se aproxima de zero, é mais provável 
que a raiz. 
• O método consiste em repetir a divisão dos intervalos até 
que a tolerância mínima seja atendida. 
Determinação de Raízes 
• Exemplo 4: Determine pelo método da bissecção o valor de 
𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 para o qual a função velocidade de queda de um 
bungee-jumping após 4 s assume o valor 36 m/s. 
Assuma 𝑐𝑑 = 0,25 𝑘𝑔/𝑚 e 𝑔 = 9,81 𝑚/𝑠
2 . Tome o 
intervalo de referência [50,150]. 
• Determine a progressão do erro a cada valor de subdivisão 
até que o erro máximo seja menor que 10−2. 
Determinação de Raízes 
• Estimação da quantidade n de interações: 
 
 
• Onde Δ𝑥0 representa o intervalo de referência inicial; 
• 𝐸𝑎,𝑑 representa o erro desejado. 
• Para o exemplo anterior, temos: 
𝑛 = log2
150
10−2
= 13,873 
• Então temos aproximadamente 14 interações. 
Determinação de Raízes 
• Método da Posição Falsa 
• Cria uma reta secante 
entre os dois pontos da 
função tomados 
inicialmente. 
• O ponto 𝑥𝑟 em que esta 
reta passa pelo eixo x é 
uma estimação da raiz. 
Determinação de Raízes 
• Conservamos um dos pontos do intervalo, o superior por 
exemplo, e então recalculamos o vamos da raiz até a 
tolerância ser atingida. 
• Exemplo 5: Determine pelo método da posição falsa o valor 
de 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 para o qual a função velocidade de queda de um 
bungee-jumping após 4 s assume o valor 36 m/s. 
Assuma 𝑐𝑑 = 0,25 𝑘𝑔/𝑚 e 𝑔 = 9,81 𝑚/𝑠
2 . Tome o 
intervalo de referência [50,150]. 
 
Determinação de Raízes 
• Conservamos um dos pontos do intervalo, o superior por 
exemplo, e então recalculamos o vamos da raiz até a 
tolerância ser atingida. 
• Exemplo 5: Determine pelo método da posição falsa uma 
possível raiz para a função a seguir dentro do intervalo 
[0,5; 1,3]. 
 
• Exemplo 6: Use o método da bissecção para determinar o 
coeficiente de arrasto 𝑐𝑑 para que uma pessoa de 80 kg 
pulando de um bungee-jumping tenha a velocidade de 36 
m/s após 4 s de queda livre. 𝑔 = 9,81 𝑚/𝑠2 . Tome o 
intervalo inicial 0,1; 0,2 𝑒 𝜀𝑚𝑎𝑥 < 2%. 
Determinação de Raízes 
• Exemplo 7: Utilize o método da bissecção para determinar 
um raiz no intervalo [−1,0] para a seguinte função. Assuma 
como critério de parada 𝜀𝑚𝑎𝑥 < 1%. 
−2,75𝑥3 + 18𝑥2 − 21𝑥 − 12 = 0 
• Exemplo 8: Utilize o método da posição falsa para 
determinar um raiz no intervalo [−1,0] para a seguinte 
função. Assuma como critério de parada 𝜀𝑚𝑎𝑥 < 1%. 
−2,75𝑥3 + 18𝑥2 − 21𝑥 − 12 = 0 
• Exemplo 9: Determine a primeira raiz não trivial de 
sin 𝑥 = 𝑥2 no intervalo [0,5; 1]; Tome 𝜀𝑚𝑎𝑥 < 2%. Utilize 
o (a) método dabissecção e (b) utilize o metodo da posição 
falsa. 
 
Determinação de Raízes 
• Exemplo 10: A carga elétrica total 𝑄 = 2𝑥10−5 𝐶 de um anel 
circular carregado de raio 𝑎 = 0,85𝑚. A força elétrica sobre 
uma carga elétrica 𝑞 = 2𝑥10−5 𝐶 é dada pela expressão a 
seguir. Determine a posição 𝑥 entre o anel circular e a carga 
𝑞 de forma que a foça elétrica seja 1,25 𝑁. 
 
Determinação de Raízes 
• ITERAÇÃO DO PONTO FIXO 
• Tomamos uma função cuja raiz é procurada tal que 𝑓 𝑥 = 0 
• Vamos soma 𝑥 em ambos os lados desta equação resultando 
em 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑥 = 𝑔(𝑥); 
• Vamos tomar um ponto de partida para o valor de 𝑥 = 𝑥0; 
• O próximo valor de 𝑥 será determinado por 
𝑥𝑖+1 = 𝑔(𝑥𝑖) 
• Fazendo isso estamos aproximando o valor da função 𝑔(𝑥) à 
reta 𝑥. 
• O ponto em que a reta 𝑥 e a função 𝑔(𝑥) se interceptam 
representa a raiz procurada. 
• A convergência deste método de pende da inclinação da 
função 𝑔(𝑥) no ponto de cruzamento das funções. 
Determinação de Raízes 
• Exemplo 11: Determinar a raiz da função 𝑓 𝑥 = 𝑒−𝑥 − 𝑥 
pelo método da iteração do ponto fixo tomando o ponto de 
partida 𝑥0 = 0. Mostre a progressão do erro para cada 
iteração até que o erro máximo seja menor que 0,5%. 
Determinação de Raízes 
• Convergência do Método: Quando 𝑔′(𝑥) < 1 temos que a 
relação com a aproximação com a reta 𝑥 tende a convergir 
para o ponto de intersecção entre as curvas. 
• Isto é, quando a taxa de crescimento ou descrecimento de 
𝑔(𝑥) no ponto de intersecção não é maior do que a da reta 𝑥 
Determinação de Raízes 
• Quando 𝑔′(𝑥) > 1 temos um distanciamento numérico em 
relação a reta e a curva 𝑔(𝑥), o que implica na divergência 
do método. 
• Desta forma, o critério de convergência é 𝑔′ 𝑥𝑟 < 1. 
Determinação de Raízes 
• MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON 
• Representa um dos método mais utilizados para a 
determinação de raízes; 
• Para de um ponto inicial 𝑥0 e toma o próximo ponto 𝑥𝑖+1 
como a estimativa da raiz desejada como o ponto em que a 
reta tangente a curva 𝑓(𝑥) toca o eixo x. 
Determinação de Raízes 
• Exemplo 12: Determine a raiz da função 𝑓 𝑥 = 𝑒−𝑥 − 𝑥 
pelo método de Newton-Raphson adotando o ponto de 
partida 𝑥0 = 0. Apresente o progresso do erro até que o 
erro máximo seja menor que 0,1%. 
• Exemplo 13: Determine a raiz da função 𝑓 𝑥 = 𝑥10 − 1pelo 
método de Newton-Raphson adotando o ponto de partida 
𝑥0 = 0,5. Apresente o progresso do erro até que o erro 
máximo seja menor que 0,1%. 
 
• Faça uma comparação em relação ao número de iterações e 
a convergência do método em relação aos dois exemplos 
anteriores. O que pode ter gerado a necessidade de tantas 
iterações no exemplo 13? 
Determinação de Raízes 
 
Situações em que o 
método de 
Newton-Raphson 
demora a convergir 
para o valor da raiz 
ou mesmo diverge. 
Determinação de Raízes 
• MÉTODO DA SECANTE 
• Vimos que o método de Newton-Raphson apresenta 
convergência rápida para ser condições. 
• No entanto em alguns casos encontrar a derivada não é 
tarefa simples ou mesmo representa uma tarefa 
inconveniente. 
• Desta forma vamos aproximar a derivada pela equação da 
reta secante e apresentar um novo equacionamento para 
determinar a raiz desejada. 
 
 
• São necessários dois chutes iniciais para o uso da equação. 
Determinação de Raízes 
• MÉTODO DA SECANTE MODIFICADO 
• Como alternativa, podemos reescrever a derivada em função 
de uma pequena variação 𝛿𝑥𝑖 em relação ao ponto 𝑥𝑖 para 
determinação da reta secante. 
• Esta aproximação nos permite simplificar o uso do método 
da secante tendo que utilizar a apenas um chute inicial. 
 
 
• O valor 𝛿𝑥𝑖 é chamado de fração de perturbação e é tomado 
tanto menor quanto desejado a velocidade de convergência 
do método. 
Determinação de Raízes 
• Exemplo 14: Determine pelo método da secante modificado 
o valor de 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 para o qual a função velocidade de queda 
de um bungee-jumping após 4 s assume o valor 36 m/s. 
Assuma 𝑐𝑑 = 0,25 𝑘𝑔/𝑚 e 𝑔 = 9,81 𝑚/𝑠
2. Tome a fração 
de perturbação 𝛿𝑥 = 10−6 e como critério de parada 
𝜀𝑚𝑎𝑥 < 10
−5. 
• Exemplo 15: Pegar algumas questões da página 178 do livro 
do Chapra. 
• Capítulo sobre Otimização pode ficar por ultimo; 
• Capítulo 12: Solução de sistemas Lineares por métodos 
iterativos. 
• Capítulo 14: Regressão Linear;