simulação da produção e teoria das filas pdf (55)

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Teoria das Filas
Modelos de Filas
 
D/D/1/k
● Tempos entre Chegadas Sucessivas: 1/λ
● Atendimento Individual → único servidor
● Tempo de Atendimento: 1/μ
● Capacidade: k usuários
 
D/D/1/k
● Avaliação da Quantidade de Usuários no 
Sistema com λ > μ 
– (Td: tempo de descarte) 
Tempo (t) Quantidade
t ϵ [0, 1/λ) 0
t ϵ [1/λ, Td) Chegadas em [0,t) – Serviços 
completos em [0,t)
t = Td K + 1
t > Td K + 1, com rejeições
 
D/D/1/k
● Tempo de Espera do n-ésimo elemento no 
Sistema
– TF = (1/μ - 1/λ)*(n-1) , n < λ.Td
– TF = (1/μ)*(K-1) , n > λ.Td
– (Td: tempo de descarte) 
 
Exercício 1
Avaliar a quantidade de usuários e o tempo de 
espera de um usuário n qualquer no sistema 
representado por D/D/1/8/FIFO, no qual 1/μ = 
8 e1/λ = 4.
 
Exercício 2
Um estacionamento de estabelecimento comercial 
consegue atender um veículo a cada 30 s. Diariamente, 
nos primeiros 30 minutos de funcionamento do 
estabelecimento, os veículos chegam a uma taxa 
constante de 240 veículos/h. Após 30 minutos da 
abertura, a taxa cai para 60 veículos/h, mantendo 
constante por toda manhã. 
Utilizando um modelo de filas D/D/1, desenhe o gráfico 
com o número acumulado de chegadas e atendimento e 
determine as medidas de desempenho do sistema de 
filas.
 
Perguntas
● Duração da Fila?
● Número de veículos em fila?
● Tempo máximo de espera?
● Tamanho máximo da fila?
● Tempo total de espera?
● Tempo médio de espera?
● Fila média?
 
M/M/1
● Modelos de Chegada e de Atendimento: 
modelos Markovianos
– Poisson ou Exponencial Negativa
● 1 servidor
 
Fórmulas M/M/1
● Quantidade Média de Clientes no Sistema (NS):
– NS = λ/(μ - λ) 
● Quantidade Média de Clientes na Fila (NF):
– NF = λ2/[μ (μ – λ)]
● Fator de Utilização do Servidor (ρ) 
– ρ = λ/μ
● Probabilidade de existirem n clientes no sistema 
(Pn)
– Pn = (1 – λ/μ)/(λ/μ)n
 
Fórmulas M/M/1
● Teorema de Little:
– Para qualquer sistema de filas com uma 
distribuição em regime constante, tem-se que 
– NS = λ. TS; e 
– NF = λ. TF
 
Exercício 3
O número médio de carros que chegam a um posto de informações 
é igual a 8 carros/hora. Assumir que o tempo médio de atendimento 
por carro seja de 5 minutos, e ambas as distribuições de intervalos 
entre chegadas e tempo de serviço sejam exponenciais.
Avalie:
● Qual a probabilidade do posto de informações estar livre?
● Qual a quantidade média de carros esperando na fila?
● Qual o tempo médio que um carro gasta no sistema (tempo na fila 
mais o tempo de atendimento) ?
● Quantos carros serão atendidos em média por hora?
 
Exercício 4
Em uma central de atendimento, as ligações chegam a uma das 
atendentes a uma taxa média de 2 clientes/min. O operador 
atende aos pedidos a uma taxa média de um cliente a cada 20 
segundos. 
Determine as medidas de desempenho do sistema (grau de 
congestionamento, fila média, tempo médio de espera e tempo 
médio no sistema) supondo que:
● As chegadas são poissonianas e o tempo de atendimento é 
exponencialmente distribuído.
● As chegadas e o tempo de atendimento sejam constantes, e que 
haja um limite de 20 ligações em espera.
● Discuta as diferenças entre as 2 situações.
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