5 Filas de espera (1)

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Capítulo 11. Teoria das filas de Espera 
 
88 
 
5 TEORIA DAS FILAS DE ESPERA 
 
5.1 INTRODUÇÃO 
 
Um dos sintomas mais frequentes de funcionamento deficiente de um sistema é o congestionamento de 
clientes. Quando o número de clientes à espera para serem atendidos por exemplo num banco, for 
grande permanentemente, é sinal de que o número de caixas não está adequadamente dimensionado. 
 
Consideremos as seguintes situações: 
a) Compradores esperando em frente de uma caixa num supermercado para serem atendidos; 
b) Carros esperando num semáforo; 
c) Doentes esperando de serem tratados; 
d) Aviões esperando pela retirada no aeroporto; 
e) Máquinas avariadas esperando para serem concertadas pelos mecânicos; 
f) Uma série de relatórios esperando para serem dactilografadas pela secretária, etc. 
Em cada uma destas situações existe o fenómeno de espera. 
 
Um dos capítulos da investigação operacional com várias aplicações no campo da administração de 
empresas, é a teoria de filas de espera que trata dos problemas de congestionamento de sistemas, onde a 
característica principal é a presença de clientes solicitando serviços. O problema a resolver com este 
estudo é determinar as condições operacionais de um sistema com menor custo possível ou determinar a 
eficiência dos sistemas de filas de espera. 
 
Um exemplo clássico de uma fila de espera, compõe-se de dois elementos: o cliente que chega ao 
sistema da fila e espera em linha até ser atendido e o servidor que fica na unidade de atendimento 
esperando para servir os clientes. 
 
 
 
Figura 5.1 Elementos de um sistema de fila de espera. 
Cliente – é cada unidade de chegada que requer atendimento que pode vir de uma fonte finita ou 
infinita. Os clientes podem ser pessoas, máquinas, peças, etc. 
 
Fila ou linha de espera – é o um conjunto de clientes que estão esperando para serem atendidos quando 
o servidor está ocupado. Normalmente a fila não inclui, o cliente que está sendo atendido. 
Canal ou unidade de atendimento – processo ou sistema que realiza o atendimento que pode ter um ou 
mais canais (designada por facilidade de serviço). 
 
 
 
 
Capítulo 11. Teoria das filas de Espera 
 
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5.1.1 Factores que condicionam a operação dos sistemas de fila de espera 
 
Existem diversos factores que condicionam a operação de um sistema de fila de espera, tais factores 
desempenham um papel importante em todo o funcionamento de um sistema e podem ser classificados 
em três categorias: forma de atendimento; forma das chegadas 
 e disciplina da fila. 
 
a) Forma de atendimento 
 
De uma forma geral os canais de atendimento são formados por pessoas, máquinas e ou equipamentos 
que devem operar de forma a prestar um bom serviço. Por isso é tarefa do administrador: 
• Dimensionar a capacidade do sistema; 
• Especializar os servidores; 
• Realizar inspecção no sistema; 
• Ter um sistema de informação adequado, etc. 
 
A interacção destas tarefas, resulta num bom serviço para o cliente, o bom serviço pode-se medir pelo 
número de clientes atendidos por unidade de tempo ou pelo tempo gasto para atender um cliente, que 
pode ser regular ou irregular. 
 
Outros factores que estão ligados com os atendimentos são: 
• Disponibilidade de serviço – que pode ser por turnos e sempre ou em certos períodos; 
• Capacidade de atendimento – que pode ser sequencial ou simultâneo, permitindo assim que muitos 
clientes possam ser servidos ao mesmo tempo dentro do sistema. 
 
A finalidade do levantamento estatístico de dados sobre a forma e eficiência de atendimento é 
determinar a distribuição de probabilidade do número de atendimentos ou da duração de cada 
atendimento. O resultado desta análise é uma função de distribuição das probabilidades. 
Numero de atendimentos
p(x)
D u racao dos aten dimen tos
f(x)
 
 
Figura 5.2. Distribuição de probabilidade de atendimentos 
 
b) Forma de chegadas 
 
As chegadas dos clientes a um sistema, na maioria das vezes são de forma aleatória, i.é, o número de 
clientes que chegam por unidade de tempo varia ao caso. O levantamento estatístico dos dados sobre a 
forma das chegadas pode ser caracterizada por uma função de distribuição de probabilidades. Para isso, 
 
Capítulo 11. Teoria das filas de Espera 
 
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as chegadas devem estar no estado estacionário, caso contrário temos um estado transitório. No nosso 
caso, toma-se como estacionário por exemplo o número de assinantes, o número de clientes no mês 
passado, etc. É deste modo que se pode obter a função das probabilidades do número de chegadas na 
unidade do tempo. 
 
 
 
Figura 5.3. Distribuição de probabilidade do número de chegadas. 
 
c) Disciplina da fila ou serviço 
 
A disciplina da fila é um conjunto de regras que determinam a ordem em que os clientes serão atendidos 
no sistema. A forma mais comum e aparentemente justa é a regra do atendimento conforme a ordem de 
chegada ( o primeiro a chegar é o primeiro a ser atendido – FCFS, fist come, fist served). Existem 
outras regras como o atendimento pela ordem inversa de chegada ( o último a chegar é o primeiro a ser 
atendido – LCFS, last came, fist served); ou por qualquer ordem (SIRO – served in randon order) ou 
ainda segundo uma certa prioridade. Não obstante o comportamento do homem pode reduzir o tempo de 
espera na fila. 
 
5.1.2 Estrutura dos sistemas de filas de espera 
 
Além das características gerais e um sistema de filas, é importante determinar a estrutura do mesmo, que 
é um factor fundamental no estudo. Os sistemas de filas podem ter as mais variadas estruturas possíveis, 
deste que cada estrutura tenha uma fundamentação própria para a sua adequação e utilização. 
 
A estrutura mais simples é aquela que representa um sistema de uma fila de clientes e uma unidade ou 
canal de atendimento. As figuras abaixo mostram os vários tipos de estruturas desde sistemas simples 
até aos mais complexos evidenciando as relações: 
(a) uma fila e um canal de atendimento; (b) uma fila e muitos canais de atendimento 
(c) muitas filas e um canal de atendimento e (d) muitas filas e muitos canais de atendimento. 
 
 
 
Figura 5.4a. Sistema de uma fila com um canal de atendimento. 
 
 
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Figura 5.4b. Sistema de uma fila com muitos canais de atendimento. 
 
Figura 5.4c. Sistema de muitas filas com um canal de atendimento. 
 
 
Figura 5.4d. Sistema de muitas filas com muitos canais de atendimento. 
 
Em seguida apresenta-se o diagrama que mostra os diferentes tipos de sistemas de filas de espera quando 
associados ao tamanho da população caracterizando a fonte dos clientes. 
 
Problema sistema de filas de espera 
 
 
Fonte dos clientes finito infinito 
 
 
 
Número de canais singular múltiplo singular múltiplo 
 
Exemplo 5.1. Em cada uma das situações, identifique o cliente e o servidor. 
a) Aviões que chegam num aeroporto; 
b) Parque de estacionamento de taxis; 
c) Artigos de consumo que são controlados por uma máquina electrónica através do código de barras 
antes de sair num supermercado; 
d) Documentos que são processados por uma secretária de um sector; 
 
Capítulo 11. Teoria das filas de Espera 
 
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e) Processo de matrícula de alunos de uma turma universitária; 
f) Uma secção de gala dada ao Sr. Babudo no Cinema África; 
g) Um parque de estacionamento superlotado num campus universitário. 
 
Exemplo 5.2. Para as situações do exemplo 11.1, identifique em cada alínea correspondente: 
a) A natureza da fonte (finita ou infinita); 
b) A natureza das chegadas dos clientes (individual ou em grupo); 
c) O tipo de intervalo de chegada dos clientes (probabilístico ou discreto); 
f) Capacidade do sistema (finita ou infinita); 
g) Disciplina da fila (FCFS, SIRO, LCFS, ou prioridade). 
 
 
5.2 DESCRIÇÃO DOS MODELOS DE FILASDE ESPERA 
 
5.2.1. Funções das distribuições de probabilidades 
 
Os processos de chegada e saída de clientes num sistema de fila de espera, são realizados de forma 
aleatória tornando mais complexo o processo de como descrever quantitativamente os modelos que 
foram apresentados anteriormente. Entretanto os métodos probabilísticos apresentam uma grande 
vantagem por relacionar os fenómenos e equacionar os problemas em termos de funções de distribuição 
de probabilidades. 
 
a) Distribuição Exponencial: características principais 
Função densidade da distribuição: tetf λλ −= *)( ; 
Função de distribuição acumulada tetF λ−−= 1)( para t ≥ 0 e λ > 0; 
A média e variância são: E(t) = 1/λ e σ2(t) = 1/λ2 
 
b) Distribuição de Poisson: características principais 
Função densidade da distribuição: 
!
*
)(
x
e
xP
x
n
λλ −
= ; λ > 0; 
A média e variância são: E(x) = λ = np e σ2(x) = λ2 
 
 
c) Distribuição Exponencial Negativa: características principais 
Função densidade : µ
µ
x
xf e
−
= *
1
)( ; 0 ≤ x ≤ ∞ 
Média e variância são: E(x) = µ e σ2(x) = µ2 
 
Existe uma relação entre as distribuições exponencial e a distribuição de Poisson. A distribuição de 
Poisson mede o número de ocorrências de determinado evento por unidade de tempo, enquanto que a 
distribuição exponencial indica o tempo decorrido entre duas ocorrências dos eventos. 
 
Processo de chegada: 
 
Capítulo 11. Teoria das filas de Espera 
 
93 
 
Nos sistemas de fila, quando o interesse se restringe no número de chegadas e ignorando saídas, os 
eventos nesta situação representam uma pura chegada, i.é, os clientes juntam-se a fila e nunca saem 
“puro nascimento”. 
 
Interessa neste processo indicar uma expressão de probabilidade Pn(t) de chegadas durante um 
determinado tempo t. 
!
*)(
)(
n
et
tP
tn
n
λλ −
= 
 
Exemplo 5.3. Numa determinada vila, nasce 1 bebé em cada 12 minutos. O tempo entre dois 
nascimentos segue uma distribuição de Poisson. Determine: 
a) A taxa de nascimentos por dia; 
b) O número de nascimentos por ano nesta vila; 
c) A probabilidade de que não haja nenhum nascimento num determinado dia. 
 
Resolução 
a) λ = (24*60)/12 = 120 nascimentos por dia; 
b) λt = 120*365 = 43800 nascimentos por ano; 
c) 
!
*)(
)(
n
et
tP
tn
n
λλ −
= 010*70.7
!0
*)1*120(
)1( 53
1*1200
0 ====
−
−e
tP , lembre que 
t é o número de anos e n o número de nascimentos. 
 
Processo de saída 
O processo de saída pressupõe que o sistema começa com um número n de clientes, ocupando a 
facilidade de porção µ, antes de serem atendidos, não permitindo que os novos clientes juntem-se ao 
sistema descrevendo um processo de pura morte. Por exemplo os itens do inventário de um armazém são 
retirados num intervalo de tempo t, antes desta operação o armazém não poderá receber outros artigos. 
 
A probabilidade de n saídas por unidade de tempo t é dada pela equação: 
 
!
*)(
)(
n
et
tq
tn
n
λµ −
= ; onde n = 1, 2, 3, ..., n-1 
 
Filas com a combinação de chegadas e saídas 
Nestes sistemas, os acontecimentos constituídos por chegadas e saídas de clientes tomam lugar 
simultaneamente. 
 
5.2.2 Descrição dos modelos de filas com chegadas e saídas 
 
A notação usada para resumir as principais características das filas de espera têm a seguinte 
padronização: 
 
 (a/b/c):(d/e/f) 
 
 
Capítulo 11. Teoria das filas de Espera 
 
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onde as letras a, b, c, d, e, e f são elementos básicos no modelo do sistema: 
• a - representa a distribuição de chegadas; 
• b – tempo de atendimento (serviço) ou distribuição do tempo de serviço; 
• c – número de servidores paralelos ou canais de atendimento; 
• d – disciplina de serviço que pode ser FCFS, LCFS, SIRO, e prioridade; 
• e – número máximo de clientes permitido no sistema (fila ou serviço); 
• f – tamanho das chamadas da fonte, ou número máximo da população ou recurso de onde os clientes 
aparecem (finito ou infinito). 
 
Por exemplo se tivermos um sistema com chegadas que seguem a distribuição de Poisson, o tempo de 
atendimento de cada cliente é uma constante D, o sistema pode atender 10 clientes em paralelo em que 
cada um pode ser servido por qualquer das disciplina da fila, o sistema suportando um número finito de 
clientes e finalmente a fonte de recurso dos clientes infinita, pode se resumir este modelo pela notação 
acima apresentada assim: 
 (M/D/10):(GD/N/∞) 
 
A notação padrão aqui apresenta foi inicialmente descrita por Kendall (1953), na forma (a/b/c) e é 
conhecida por notação de Kendall. Mais tarde Leter e Lee (1966) adicionaram os símbolos d e e, 
posteriormente adicionou-se o f para representar a capacidade de chamada da fonte. 
 
Na prática da teoria das filas de espera, utilizam-se muitos tipos de modelos que diferem um do outro 
pela actividade fundamental dos servidores, tamanho das filas ou quantidade admissível no sistema, etc. 
De acordo com a notação de Kendall eis alguns modelos no sistema fila mais serviço. 
1. (M/M/1) : (GD/∞/∞) 
2. (M/M/1) : (GD/N/∞) 
3. (M/G/1) : (GD/∞/∞) 
4. (M/M/C) : (GD/∞/∞) 
5. (M/M/C) : (GD/N/∞) - com C ≤ N 
6. (M/G/∞) : (GD/∞/∞) - modelo self – service; 
7. (M/M/R) : (GD/K/K) - R < K modelo de máquina de servir 
 
 
5.2.3 Medidas de desempenho de um sistema de filas de espera 
 
 No estudo de um sistema de filas, podem ser determinadas várias medidas de efectividade, com a 
finalidade de saber o nível de desempenho destes. Assim, podem ser calculadas as seguintes medidas: 
a) Percentagem do tempo em que o canal de atendimento permaneceu ocioso ou ocupado; 
b) O tempo médio que cada cliente gasta na fila de espera; 
c) O tempo médio gasto por cada cliente no sistema, i.é, a média dos tempos contados ou calculados 
desde o instante em que o cliente entra no sistema até a saída; 
d) O número médio de clientes na fila, em cada unidade de tempo ou o tamanho médio da fila; 
 
Capítulo 11. Teoria das filas de Espera 
 
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e) O número médio de clientes no sistema em cada unidade de tempo; 
f) A probabilidade de existir um número n de clientes no sistema num determinado momento. 
 
Definições gerais: 
 
• Taxa de chegada (λλλλ) – é a taxa segundo a qual os clientes chegam para serem atendidos e 1/λ é o 
intervalo entre duas chegadas. A distribuição das chegadas é muito variável, para o nosso caso, 
vamos considerar que a taxa de chegada está aleatoriamente distribuída conforme a distribuição de 
Poisson. 
• Taxa de atendimento (µµµµ) – é a taxa segundo a qual um canal pode efectuar o atendimento requerido 
pelo cliente. Também, vamos assumir que a distribuição dos atendimentos é aleatória e segue a 
distribuição exponencial. 
 
• Taxa da distribuição das chegadas (dos atendimentos) – O pressuposto mais comum é a 
distribuição de Poisson, e que as taxas dos atendimentos e de chegadas são constantes. Estes 
pressupostos exigem que os eventos atendimento e chegada sejam completamente independentes. 
Entretanto, deve-se lembrar que os resultados aqui recebidos são valores esperados ou médios, pois 
na realidade as taxas não são constantes. 
 
• Lq - é o número esperado de clientes na fila (clientes que aguardam o atendimento); 
 
• Ls – é o número esperado de clientes no sistema (fila + serviço = Lq + λ/µ); 
 
• Wq – é o tempo médio que um cliente gasta na fila; 
 
• Ws – é o tempo médio que um cliente gasta no sistema (fila + serviço = Wq+1/µ); 
 
• Ln – é o número médio de clientes na fila excluindo todos os tempos em que a fila estava vazia.; 
 
• Wn - é o tempo de espera que um cliente aguarda em fila se ele tiver que esperar. Este valor indica 
a média dos tempos de espera de todos os clientes que entraram na fila quando o canal de 
atendimento estava ocupado. Os clientes que chegam quando o canal está vazio têm tempo de espera 
igual a zero. 
 
 
5.3 ANÁLISE DE SISTEMAS DE FILAS COM POPULAÇÃO INFINITA 
 
5.3.1 Sistema de uma fila e um canal 
 
Entre muitos modelos de filas de espera, o mais simples é aquele que apresenta um canal de atendimento 
com uma fontede recurso ou população infinita. 
 
 
Capítulo 11. Teoria das filas de Espera 
 
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Figura 5.5. Sistema de uma fila e um canal. 
 
Características gerais: 
• As chegadas se processam segundo a distribuição de Poisson com média λ; 
• Os tempos de atendimento seguem a distribuição exponencial negativa com média 1/µ, ou seja a 
taxa de atendimentos segue a distribuição de Poisson com média µ. 
• O atendimento da fila é feito pela ordem de chegada dos clientes,; 
• O número de clientes que podem estar no sistema é suficientemente grande para que a população 
possa ser considerada infinita. Sendo assim a equação do modelo é: (M/M/1) : (FCFS/∞∞∞∞/∞∞∞∞); 
 
Cálculo das probabilidades: 
 
A probabilidade de que o sistema esteja ocupado P(n > 0) é dada pela relação entre a taxa de chegada e 
de atendimento. 
µ
λ
ρ ==> )0(nP (11.1.1) 
ρ é o factor de utilização do sistema, intensidade de tráfego ou ainda taxa de ocupação do sistema. Esta 
equação é válida sempre que λ⁄µ < 1. 
 
De salientar, que a melhor taxa de utilização dos sistemas de filas de espera é aquela que é superior a 
50% e inferior à 80%. Pois, se ρ ≤ 50% isto significa que os servidores ficam com muito tempo ocioso, 
por outro lado, se ρ > 80% traduz-se num maior tempo em que os clientes ficam na fila de espera. 
 
A probabilidade de que o sistema esteja vazio ou ocioso é (Pn = 0) 
µ
λµ
µ
λ −
=−== 1)0(nP (11.1.2) 
 
Esta é a taxa de ociosidade ou a percentagem de tempo em que o sistema está inactivo. 
 
A probabilidade de haver n clientes no sistema será calculada pela expressão: 
µ
λµ
µ
λ −






= *)(
n
nP (11.1.3) 
 
Cálculo dos parâmetros da fila: 
Conhecida a distribuição de probabilidades do número de clientes no sistema, podemos calcular os 
parâmetros da fila. 
 
O número médio de clientes no sistema é Ls = λ*Ws = Lq + λ⁄µ, isto é: 
 
Capítulo 11. Teoria das filas de Espera 
 
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λµ
λ
ρ
ρ
−
=
−
=
1
Ls (11.1.4) 
 
Se n é o número médio de clientes no sistema m ≤ n é o número médio de clientes na fila (Lq). Para 
determinar Lq, vamos considerar as seguintes relações entre n e m. 
• Se n = 0 então m = 0; se não temos cliente no sistema também não temos na fila; 
• Se n = 1 então m = 0; se temos 1 cliente no sistema este está sendo atendido; 
• Se n > 1 então m = n-1, como temos mais de 1 cliente no sistema, e o sistema só pode atender 1 de 
cada vez, os restantes estarão na fila. 
 
A distribuição de probabilidade de m clientes na fila pode ser calculada variando m de 0 até n-1 para n 
>1. Por outro lado, da equação (11.1.3) a probabilidade de haver m clientes na fila é: 
 
P(m) = (1-ρ)*ρm+1 onde m = n-1 
Esta relação mostra que a probabilidade de haver m clientes na fila é igual a probabilidade de haver m+1 
= n clientes no sistema, quando m >1. Assim sendo, o número médio de clientes na fila será dado pela 
soma: 
Lq = P(0) + P(1) + P(2) +... + P(∞) = m*(1-ρ)*ρm+1 
 
Esta soma resulta na equação (11.1.5) que inclui filas de tamanho zero (Lq = λ*Wq). 
 
)(1
22
λµµ
λ
ρ
ρ
−
=
−
=Lq (11.1.5) 
 
Já que a equação (11.1.5) inclui filas de tamanho zero, o número médio de clientes na fila não vazia 
será: 
 
λµ
µ
ρ −
=
−
=
1
1
Ln (11.1.6) 
 
Distribuição dos tempos: 
O tempo total gasto por cliente no sistema é igual a soma do tempo de espera na fila e o tempo gasto 
durante o atendimento ou serviço. Ws = Wq + 1/µ 
 
O tempo médio de espera na fila incluindo fila de tamanho zero é: 
)( λµµ
λ
−
=Wq (11.1.7) 
 
 e o tempo de espera gasto no sistema por cliente geralmente quando há fila mais serviço é: 
λµ −
=
1
Ws (11.1.8) 
 
Determinação dos custos do sistema 
 
 
Capítulo 11. Teoria das filas de Espera 
 
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É evidente que um aumento na taxa de atendimento do sistema provocará melhor desempenho global. 
No entanto, algumas vezes, maior eficiência dos sistemas de atendimento resulta também em maior 
custo dos serviços, logo o objectivo do gestor no 
sistema é determinar a taxa de serviço que resulta no menor custo total do sistema. 
 
Sejam as designações: 
CT = custo total do sistema; 
CE = custo de estadia médio no sistema por período; 
CA = custo de atendimento médio por período; 
CE(uni) = custo de estadia unitário por cliente por período; 
CA(uni) = custo de atendimento unitário por cliente. 
 
Em seguida são válidas as relações: 
CT = CA + CE como CE = CE(uni)*Ls = CE(uni)*λ⁄(µ-λ) e 
CA = CA(uni)*µ então 
µ
λµ
λ
** uniuni CACECT +
−
= (11.1.9) 
Para determinar a taxa de atendimento que dará o custo mínimo basta derivar a equação anterior em 
relação a µ e depois isolar a taxa, obtém –se a equação (11.1.10) 
uni
uni
CA
CE*λ
λµ += (11.1.10) 
 
Graficamente, variando a taxa de atendimento, pode-se encontrar o ponto de equilíbrio entre o custo de 
espera por unidade de tempo e o custo da operação das facilidades do sistema por unidade de tempo, 
resultando num custo total mínimo. 
 
Miu
Custo 
m inimo
 C usto To tal 
CE - custo de espera
CA - custo da 
operacao 
CT= Custo 
total
Taxa de a tendimento
 
 
CA (custo da operação das facilidades do sistema por unidade do tempo) 
CE (custo de espera por unidade de tempo) 
 
Figura 5.6. Variação dos custos em função da taxa de atendimento 
 
 
Capítulo 11. Teoria das filas de Espera 
 
99 
 
Exemplo 5.4. Uma fotocopiadora de escritório é usada por pessoas diferentes do mesmo 
Departamento para fazer cópias, principalmente pelas secretárias. Como o trabalho a ser fotocopiado 
varia de tamanho (número de páginas do original) e quanto ao número de cópias, a taxa de atendimento 
é distribuída aleatoriamente, mas aproxima - se a um processo de Poisson tendo uma taxa de 
atendimento médio de 10 trabalhadores por hora. Geralmente as necessidades de uso são também 
aleatórias durante as 8 horas de trabalho diário, mas chegam a uma taxa de 5 por hora. Várias pessoas 
notaram que surge as vezes uma bicha de espera, e têm questionado a política de se manter apenas uma 
unidade. Para fundamentar esta crítica, faça uma análise do sistema, determinado: 
a) A taxa de utilização da máquina; 
b) A probabilidade de que no sistema haja 3 pessoas para fotocopiar textos; 
c) O número médio de trabalhadores na fila não vazia; 
d) O tempo médio que uma pessoa gasta no sistema esperando para fotocopiar um texto; 
 
Resolução: 
Dados: µ = 10 trab./hora; tempo de trabalho = 8 horas/dia; λ= 5 trab./hora;. 
 
a) 50.0
10
5
===
µ
λ
ρ 
b)
µ
λµ
µ
λ −






= *)(
n
nP  0625.05.0*125.0
10
510
*
10
5
)3(
3
==
−






==nP ou 6.25% 
c) 2
5.01
1
1
1
=
−
=
−
=
ρ
Ln trabalhadores 
d) 20.0
510
11
=
−
=
−
=
λµ
Ws horas ou 12 minutos 
 
Exemplo 5.5. Uma oficina que repara equipamentos electrodomésticos recebe por dia uma média de 2 
pedidos de concerto, segundo uma distribuição de Poisson. O electricista consegue reparar uma média 
de 2.5 aparelhos por dia, também segundo a distribuição de Poisson. A oficina estima que cada dia de 
espera de um aparelho custa $80 em termos de seguros e depreciação da imagem da firma. Por outro 
lado, cada concerto custa uma média de $84. Pede-se: 
a) A probabilidade de que num determinado dia, não haja nenhum aparelho avariado na oficina; 
b) Após chegar um aparelho avariado, quanto tempo deve esperar para ser concertado; 
c) Para determinar o custo total da operação da oficina por dia. 
d) A taxa de atendimento ou eficiência do electricistaque resultaria no menor custo total; 
e) Mostrar graficamente as variações dos custos com a eficiência. 
 
Resolução 
Dados: λ = 2 pedidos/dia; µ= 2.5 consertos/dia; CEuni = $80 e CAuni = $84 
a) 2.0
5.2
2
11)0( =−=−=
µ
λ
P ou 20% de probabilidade; 
b) 6.1
)25.2(5.2
2
)(
=
−
=
−
=
λµµ
λ
Wq ou 1dia e 14 horas; 
 
 
Capítulo 11. Teoria das filas de Espera 
 
100 
 
c) Custo total da operação: CT = CE + CA 
 µ
λµ
λ
** uniuni CACECT +
−
= 
 = 5.2*84
25.2
2
*80 +
−
= 320+210 = $530 
d) 
uni
uni
CA
CE*λ
λµ += = 38.3
84
80*2
2 =+ ou 3.4 concertos/dia; 
 
Para representar o gráfico vamos elaborar uma tabela variando os valores da taxa de atendimento: 
 
2.0
2.4
2.8
3.4
3.5
4.5
6.0
00
400
200
114
107
64
40
168
202
235
285
294
378
504
00
602
435
399
401
442
544
µ CE CA CT
 ta xa d e a te n d im e nto µ
10 0
3 99
2 3 .4
C A
CTCu s to
C E
 
 
5.3.2. Sistema de uma fila com vários canais 
 
Os sistemas multi - canais, são uma possibilidade que muitos dos serviços usam para diminuir o tempo 
de espera dos clientes quando estes solicitam os serviços. Uma estrutura mais elementar deste tipo pode 
ser a que está apresentada na figura abaixo. 
 
Figura 5.7. Modelo de sistema de filas de espera com 1 fila e vários canais. 
Características gerais: 
 
• As chegadas se processam segundo a distribuição de Poisson com média λ chegadas por unidades; 
• O tempo de atendimento por canal segue a distribuição exponencial negativa, com média µ=1/λ; 
• O atendimento é feito por ordem de chegada; 
• O número de canais de atendimento no sistema é conhecido 
• c maior do que 1; 
• O número de clientes é suficientemente grande para que a população possa ser considerada infinita; 
• O ritmo de serviço é c*µ ; 
• A condição de estabilidade do sistema é λ < c*µ. 
 
Capítulo 11. Teoria das filas de Espera 
 
101 
 
 
De acordo com as características apresentadas o sistema pode ser descrito pela seguinte notação de 
Kendall. (M/M/C):(FCFS/∞∞∞∞/∞∞∞∞). 
 
Cálculo das probabilidades: 
 
Para sistemas multi – canais, o factor de utilização do sistema sofre uma modificação multiplicando a 
taxa de serviço pelo número de canais, assim a probabilidade de que o sistema esteja ocupado é: 
µ
λ
ρ
*c
= (11.2.1) 
 
A probabilidade de haver o clientes no sistema Po é: 
 






−+
−
=

−=
=
1
0 !
)(
*)1!.()(
)1!*(
cn
n
n
C
o
n
c
cc
c
p
ρ
ρρ
ρ
 (11.2.2) 
 
A probabilidade de haver n clientes no sistema é dada pelas expressões: 
• Para n < c temos 0*
1
*)( p
n
cnP
µ
λ
=< (11.2.3) 
• Para n ≥ c temos: 0*
!*
)/(
)( p
cc
cnP
cn
n
−
=≥
µλ
 (11.2.4) 
 
A probabilidade de haver uma fila de clientes no sistema ou uma ocupação total é: 
0
* *
)1(!
)(
)( p
c
c
cnP
c
ρ
ρ
−
=≥ (11.2.5) 
 
e 1 – P(n ≥ c) é a probabilidade de que no sistema não haja uma fila de clientes. 
 
Exemplo 5.6. Uma lavandaria trabalha com 3 operadores de cada vez, cada operador pode lavar em 
média 5 fatos por hora. Se a taxa média de requisição dos serviços nesta lavandaria for de 12 por hora. 
a) Calcule a probabilidade de utilização do sistema; 
b) Calcule a probabilidade de que haja no sistema 0 clientes; 
c) A probabilidade de que no sistema chegue um cliente e este tenha que esperar na fila; 
 
Resolução: 
Dados: λ =12; f/h; µ = 5; c = 3. 
a) 8.0
5*3
12
*
===
µ
λ
ρ
c
; 
 
 
Capítulo 11. Teoria das filas de Espera 
 
102 
 
b) 






−+
−
=

−=
=
1
0 !
)(
*)1!.()(
)1!*(
cn
n
n
C
o
n
c
cc
c
p
ρ
ρρ
ρ
 
 






++−+
−
=
!2
)3*8.0(
!1
)3*8.0(
!0
)3*8.0(
*)8.01(!3)3*8.0(
)8.01!*(3
210
3
op 
 
 






+++
=
2
)4.2(
1
)4.2(
1
1
*2.0*6)4.2(
2.0*6
21
3
op = 
 = 
)88.24.21(*2.1824.13
2.1
+++
; 056.0=op 
c) 0*)1(!
)(
)( p
c
c
cnP
c
ρ
ρ
−
=≥ 
 6451.0
2.1
774144.0
2.0*6
056.0*)4.2(
056.0*
)8.01(!3
)3*8.0(
)3(
33
===
−
=≥nP 
Cálculo dos parâmetros do sistema 
 
O número médio de clientes na fila é: 
o
c
p
c
c
Lq *
)1(!
)(*
2ρ
ρρ
−
= (11.2.6) 
O número médio de clientes no sistema é: Ls = Lq + ρc ou 
cp
c
c
Ls o
c
ρ
ρ
ρρ
+
−
= *
)1(!
)(*
2
 (11.2.7) 
 
O tempo médio de espera na fila incluindo o tempo em que a fila é de tamanho igual a zero é: 
λµρ
ρ Lq
p
cc
c
Wq o
c
=
−
= *
*)1(!
)(
2
 (11.2.8) 
 
E o tempo médio gasto no sistema (fila + serviço) é: 
Ls = Wq + 1/µ. 
λµµρ
ρ Ls
p
cc
c
Ws o
c
=+
−
=
1
*
*)1(!
)(
2
 (11.2.9) 
 
Observação: 
1. Por comodidade, muitas equações foram apresentadas em função do factor de utilização do sistema e 
da probabilidade de haver 0 clientes no sistema ρ e Po respectivamente. Para uma outra situação 
dependendo dos dados apresentados as formulas poderão ser expressas em função da taxa de 
chegada e taxa de atendimento. 
 
 
Capítulo 11. Teoria das filas de Espera 
 
103 
 
2. Em todos os casos deste modelo, considerou-se que cada servidor tem uma taxa de 
 atendimento µi tal que µ1=µ2=µ3=...=µi=µ ou 
c
i
=
µ
µ . 
Exemplo 5.7. Uma companhia telefónica está planear instalar cabinas telefónicas em, um novo 
aeroporto. Ela traçou a norma de que uma pessoa não deve esperar mais do que 10% para cada vez que 
ela pretender telefonar. A demanda de uso é distribuída segundo a lei de Poisson com uma estimativa da 
média em 30 chamadas por hora. Cada chamada telefónica tem uma distribuição exponencial com um 
tempo médio de 5 minutos. 
a) Quantas cabinas telefónicas devem ser instaladas no aeroporto. 
b) Determine o tempo médio que um cliente gasta no sistema se este tiver 6 cabinas; 
c) Calcule o número médio de clientes no sistema. 
Resolução 
Dados: λ = 30 ch/h; µ = 1ch/5min = 12 cha/h; probabilidade de espera na fila num sistema com c canis 
é: p(c) ≤ 0.10. 
 
a) Usando a condição de estabilidade do sistema λ < cµ e pelos dados, o número de cabinas ou canais 
deve ser superior ou igual a 3, pois 2*12 = 24 < 30: 
 Seja c = 5, então 5.0
12*5
30
*
===
µ
λ
ρ
c
 
 






−+
−
=

−=
=
1
0 !
)(
*)1!.()(
)1!*(
cn
n
n
C
o
n
c
cc
c
p
ρ
ρρ
ρ
 






++++−+
−
=
!4
)5*5.0(
!3
)5*5.0(
!2
)5*5.0(
!1
)5*5.0(
!0
)5*5.0(
*)5.01(!5)5*5.0(
)5.01!*(5
43210
5
op
 






+++++
=
24
)5.2(
6
)5.2(
2
)5.2(
1
)5.2(
1
1
*5.0*120)5.2(
5.0*120
43210
5
op
 
[ ]
0801.0
4080.6516552.97
60
6276.16042.2125.35.21*606552.97
60
=
+
=
+++++
=op 
 
A probabilidade de que um cliente chegue e tenha que esperar é dada por (11.2.5) 
0*)1(!
)(
)( p
c
c
cnP
c
ρ
ρ
−
=≥ 1304.0
60
8223.7
0801.0*
)5.01(!5
)5*5.0( 5
==
−
= 
 
Como 0.1304 > 0.10, então instalar 5 cabinas, os clientes levarão muito tempo a espera no sistema. 
 
Para c = 6, ρ = 0.4166(6) e Po = 0.081162 de onde P(c) = 0.0470 
 
Como p(c = 6) =0.0470 < 0.10, o número mínimo de cabinas que a companhia deverá instalar segundo 
as exigências iniciais deve ser 6. 
 
Capítulo 11. Teoria das filas de Espera 
 
104 
 
 
b) 09.0
12
1
976.17438
7950.20
12
1
12*6*)42.01!*(6
08120.0*)42.0*6(1
*
*)1(!
)(
2
6
2
=+=+
−
=+
−
=
µµρ
ρ
o
c
p
cc
c
Ws 
 
Ou ainda 08572.0
12
1
976.17438
7950.20
=+=Ws horas ou 5 minutos 
 
c) cp
c
c
Ls o
c
ρ
ρ
ρρ
+
−
= *
)1(!
)(*
2
 6*42.008120.0*
)42.01(!6
)6*42.0(*42.0
2
6
+
−
=5561.252.2
3364.0*720
73391.8
=+=Ls ou 3 clientes 
 
 
 
5.4 ANÁLISE DE SISTEMAS DE FILAS COM POPULAÇÃO FINITA 
 
Em alguns casos, o número de clientes potenciais para aquisição de serviços num sector é muito 
pequeno. Se este valor for tão pequeno que a chegada de um cliente para ser atendido ou a ideia de que 
um atendimento afecta a probabilidade de futuras chegadas, não é mais válida, logo, o pressuposto de 
uma população infinita. Como regra prática, se a população for menor que 30 unidades “amostra 
pequena”, deve-se usar as equações da população finita. Por exemplo se um operador atende três 
máquinas e sua atenção for exigida por cada uma delas a intervalos aleatórios, as máquinas “clientes” 
pertencem a uma população finita (N=3). 
 
Embora os conceitos sejam os mesmos, que os da população infinita alguns termos são diferentes e as 
equações de análise são também diferentes. 
 
5.4.1 Sistema de uma fila com um canal 
 
Características gerais: 
 
• Taxa de chegada λ é segundo a distribuição de Poisson; 
• Taxa de atendimento µ é segundo a distribuição exponencial negativa; 
• O número máximo de clientes que podem solicitar serviços neste sistema é finito “N é fixado” 
• Disciplina da fila é segundo a ordem de chegada; 
• A fonte de onde vêm os clientes ou chamada de recurso é de tamanho infinito. 
 
O modelo descritivo na notação de Kendall é: (M/M/1):(FCFS/N/∞∞∞∞) 
 
Cálculo das probabilidades e parâmetros do sistema 
 
A probabilidade de haver 0 clientes no sistema ou Po é: 
 
 
Capítulo 11. Teoria das filas de Espera 
 
105 
 

=
= 













−
=
Nn
n
n
nN
N
p
0
0
*
)!(
!
1
µ
λ
 (11.3.1) 
 
onde N é o número máximo de clientes permitidos no sistema “população” 
 n é o número de clientes que já estão na fila ou no sistema; 
 ρ = λ⁄µ é o factor de utilização do sistema. 
 
A probabilidade de haver n clientes no sistema é : 
0*)!(
!
p
nN
N
Pn
n






−
=
µ
λ
 (11.3.2) 
 
O número médio de clientes na fila é dado pela equação (11.3.3) 
)1(* 0pNLq −
+
−=
λ
µλ
 (11.3.3) 
 
O número médio de clientes esperado no sistema será determinado pela equação: 
 
( ) )1(1** 0
0
0 pLqpNpnLs
Nn
n
n −+=−−== 
=
= λ
µ
 (11.3.4) 
 
O tempo médio gasto na fila por um cliente é: 
 
)1(*
)(
02
p
N
Wq −
+
−=
λ
µλ
λ
 (11.3.5) 
 
E o tempo médio gasto por um cliente no sistema é: 
 
µλ
µλ
λ
1
)1(*
)(
02
+−
+
−= p
N
Ws (11.3.6) 
 
Exemplo 5.8. Um mecânico atende quatro máquinas. A taxa de chegada das máquinas quando avariadas 
supõe se que segue uma distribuição exponencial com uma média de 0.10 máquinas por hora. O tempo 
de reparação tende a seguir a mesma distribuição com uma média de 0.5 máquinas por hora. Quando 
uma máquina avaria é entregue a secção de reparação e o custo do tempo perdido é de $20 por hora, 
após a reparação os mecânicos são pagos $50 por dia. 
a) Determine o número esperado de máquinas em operação ou não avariadas. 
b) Determine o tempo médio que uma máquina poderá permanecer na oficina antes de começar o 
processo de sua reparação. 
c) Determine o custo total da operação por dia.; 
d) Seria desejável ter dois mecânicos, cada um deles atendendo apenas duas máquinas?. 
 
Resolução: 
 
Capítulo 11. Teoria das filas de Espera 
 
106 
 
Dados: λ = 0.10 m/h; µ = 0.5 m/h; CEuni= $20; CAuni= $50; N = 4 
a) Para calcular o número de máquinas no sistema precisamos de conhecer a probabilidade de haver 0 
máquinas na oficina e o número de máquinas avariadas. 














+





+





+





+





=
=














−
=

=
=
43210
0
0
5
1
*
!0
!4
5
1
*
!1
!4
5
1
*
!2
!4
5
1
*
!3
!4
5
1
*
!4
!4
1
*
)!(
!
1
0p
nN
N
p
Nn
n
n
µ
λ
 
40.0
0384.0192.048.08.01
1
0 =
++++
=p 
134)40.01(*
10.0
50.0
4)1(* 0 =−=−−=−−= pNLs
λ
µ
 
L operação = N – Ls = 4 –1 = 3 máquinas estão em bom estado operacional. 
 
b) )1(*
)(
02
p
N
Wq −
+
−=
λ
µλ
λ
 
 460.0*6040)40.01(*
10.0
)50.010.0(
10.0
4
2
=−=−
+
−=Wq horas. 
 
c) O custo total da operação será dado pela soma: 
CT/dia = CE/dia + CA/dia 
 = 8h/dia*Ls/dia*CEuni + CAuni/dia = 
 = 8*1*$20 + $50 = $160 + $50 
 = $210 por dia. 
 
d) Supondo que as condições são as mesmas e que a efectividade dos dois mecânicos é a mesma, temos 
o novo modelo com 
N = 2. 
68.0
08.04.01
1
5
1
*
!0
!2
5
1
*
!1
!2
5
1
*
!2
!2
1
*
)!(
!
1
210
0
0
0 =
++
=














+





+





=
=














−
=

=
=
p
nN
N
p
Nn
n
n
µ
λ
 
4.06.12)68.01(*
10.0
50.0
2)1(* 0 =−=−−=−−= pNLs
λ
µ
 
O custo total para os dois mecânico é: 
 
CT/dia = 2*CE/dia + 2*CA/dia 
 = 2*(8h/dia*Ls/dia*CEuni) + 2*(CAuni/dia) 
 
Capítulo 11. Teoria das filas de Espera 
 
107 
 
 = 2*(8*0.4*$20) + 2*($50*1) = $128 + $100 = $228 por dia. 
 
Comparando os dois custos diários com N = 4 o CT = $210 e para N=2 o CT = $228, conclui-se que não 
se justifica o emprego de dois mecânicos. 
 
5.4.2 Sistema de uma fila com diversos canais 
 
Características gerais: 
 
• Taxa de chegada λ é segundo a distribuição de Poisson; 
• Taxa de atendimento µ é segundo a distribuição exponencial negativa; 
• O número máximo de clientes que podem solicitar serviços neste sistema é finito “N é fixado”; 
• O número de canais se serviço c é maior do que 1, de tal modo que 1 < c ≤ N; 
• Disciplina da fila é segundo a ordem de chegada ou qualquer disciplina proposta pela equipe. 
• A fonte de onde vêm os clientes ou chamada de recurso é de tamanho infinito. 
 
O modelo de Kendall para esta situação é: (M/M/C):(GD/N/∞∞∞∞) 
 
Cálculo das probabilidades e parâmetros do sistema 
 
A probabilidade de haver 0 clientes no sistema ou Po é: 
 
−=
=
=
=
−














−
+














−
=
1
0
0
!)!(
!
*
!)!(
!
1
cn
n
Nn
cn
n
cn
n
ccnN
N
nnN
N
p
µ
λ
µ
λ
 (11.4.1) 
 
onde N é o número máximo de clientes permitidos no sistema “população” 
 n é o número de clientes que já estão na fila ou no sistema; 
 c é o número de canais do sistema. 
 
A probabilidade de haver n clientes no sistema é: 
0**!)!(
!
p
nnN
N
Pn
n






−
=
µ
λ
 para 0 < n < c (11.4.2) 
0**!)!(
!
p
ccnN
N
Pn
n
cn 





−
=
− µ
λ
 para c ≤ n ≤ N (11.4.3) 
 
O número esperado de clientes na fila é: 
 
( )
=
=
−=
Nn
cn
npcnLq * (11.4.4) 
 
E o número de clientes no sistema será: 
 
 
Capítulo 11. Teoria das filas de Espera 
 
108 
 
( ) 





−+−+= 
−=
=
=
=
−=
=
1
0
1
0
1***
cn
n
n
Nn
cn
n
cn
n
n pcpcnpnLs 
 
Exemplo 5.9. Um grupo de engenheiros dispõe de dois terminais para ajuda nos cálculos. O trabalho de 
computação médio requer 20 minutos de tempo no terminal e cada engenheiro exige alguma 
computação cada 0.5 hora ou menos, isto é o tempo médio entre uma chamada para atendimento é de 
0.5 hora. Suponha que estas horas tenham uma distribuição exponencial. Se haver 6 engenheiros no 
grupo, determine: 
a) O número esperado de engenheiros que estarão aguardando para usar um dos terminais; 
 
Resolução 
Dados: N = 6; c = 2; 1/λ = 0.5 h → λ = 2 /h; 
1/µ = 20 min → µ = 3 /hora 
 
a) 
 
−=
=
=
=
− 











−
+














−
=
1
0
0
!)!(
!
*
!)!(!
1
cn
n
Nn
cn
cn
n
n
ccnN
N
nnN
N
p
µ
λ
µ
λ
 














+





+





+





+





+














+





=
6
4
5
3
4
2
3
1
2
0
100
3
2
2!2!0
!6
3
2
2!2!1
!6
3
2
2!2!2
!6
3
2
2!2!3
!6
3
2
2!2!4
!6
3
2
!1!5
!6
3
2
!0!6
!6
1
p 
( )
0268.0
346.37
1
81
160
27
160
9
80
9
80
3
20
41
1
0 ==






++++++
=p
 
O número esperado de engenheiros na fila, considerando que só há fila se n > c, temos: 
0**!)!(
!
p
ccnN
N
Pn
n
cn 





−
=
− µ
λ
 para c ≤ n ≤ N 
0268.0*
3
2
*
2!2)!26(
!6
)2(
2
0 





−
=P = 0.18; 
 
p(3) = 0.24; p(4) = 0.24; p(5) = 0.16; p(6) = 0.05 
 
( )
=
=
−=
Nn
cn
npcnLq * 
 
Lq = (2-2)*p(2) + (3-2)*p(3) +(4-2)*p(4) + (5-2)*p(5) + 
 + (6-2)*p(6) 
 = 0*0.18 + 1*0.24 + 2*0.24 + 3*0.16 + 4*0.05 = 1.40; 
 
O número de engenheiros que deve aguardar o uso de um dos terminais é igual a 1. 
 
Capítulo 11. Teoria das filas de Espera 
 
109 
 
 
Exemplo 5.10. Uma empresa de mineração mediu o tempo médio que os camiões gastam para 
descarregar no britado de minério, tendo encontrado 0.2 hora (tempo gasto no sistema). Por outro lado, a 
taxa de ociosidade do britado é 20%. Sabendo que o custo de espera é de $100 por hora e de 
atendimento é $10 por cada camião pede-se: 
a) A taxa de atendimento que o britado deveria oferecer de forma a minimizar o custo total. 
b) Considerando que uma ampliação do britado para atender ao número de camiões achado acima 
custaria $28.000 por mês. Deseja-se saber se este investimento justificaria?. Considere que o 
sistema opera 22 dias úteis de 8 horas cada, por mês. 
 
Resolução 
Dados: Ws = 0.2h; P(n=0) = 20% de onde ρ = 80%; CEuni= $100; CAuni=$10 
a) 



=
=
⇔



+=
=
⇔







−
=
=
25
20
5
*8.0
1 µ
λ
λµ
µλ
λµ
µ
λ
ρ
Ws
 ; 
racamioes/ho 34
10
100*20
20
*
=+=+=
uni
uni
opt
CA
CEλ
λµ 
 
b) Cinvest = $28.000 por mês 
 
114400$25*10
2025
20
*100176***8*22 =





+
−
=





+
−
= µ
λµ
λ
uniuni CACECT por mês 
∆CT = $114400 – $28000 = $86400. 
 
Resposta: Segundo a análise feita, o investimento justifica-se, pois há uma poupança de $86400 por 
mês. 
 
 
5.5 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
Exercício 5.1. Certo banco tem um tempo de atendimento médio de 1 pessoa em cada 2 minutos e os 
clientes chegam a uma taxa de 20 pessoas por hora. Supondo que as estas taxas tenham uma distribuição 
de Poisson determine: 
a) A percentagem do tempo de ociosidade do servidor do balcão neste banco. (Resposta: P(0)=0.33); 
b) O tempo que um cliente deve esperar na fila para ser atendido. (Resposta: Wq =0.067 ou 4 minutos); 
c) O número médio de clientes que terão de esperar na fila. (Resposta: Lq = 1.33 ou 1 pessoa) 
 
Exercício 5.2. Uma cabina telefónica é usada por diversas pessoas, as chegadas das pessoas bem como a 
duração de cada cliente na cabina seguem a distribuição de Poisson. Um levantamento estatístico do 
fluxo de pessoas na cabina mostrou que em média saiam da cabina 9 pessoas por hora e que as chegadas 
tem uma taxa de 4 pessoas por hora. 
 
Capítulo 11. Teoria das filas de Espera 
 
110 
 
a) Qual a probabilidade de que num determinado momento na cabina não haja nenhum cliente. 
(Resposta: p(0) = 0.56); 
b) Calcule o número médio de clientes que possam estar no sistema (Resposta: Ls = 0.8 ou 1 pessoa); 
c) Supondo que um cliente chegou e na cabina estava uma pessoa a fazer sua chamada, quanto tempo o 
novo cliente deve esperar para fazer sua chamada. (Resposta: Wq = 0.0889 ou 5 minutos e 20 
segundos) 
 
 
Exercício 5.3. Para apoiar a Semana Nacional de Coração, o Instituto de Coração tenciona instalar um 
serviço de medição grátis de tensão arterial na baixa da cidade de Maputo durante uma semana. A 
experiência anterior mostra que, em média, 10 pessoas por hora solicitam um teste. Suponha que as 
chegadas são Poisson e a população é infinita. As medições da tensão arterial podem ser executadas a 
um tempo constante de cinco minutos cada. Assuma que o comprimento da fila é infinito com a 
disciplina FCFS. 
a) Qual o número médio de pessoas previstas no sistema.(Resposta: Ls = 5 pessoas) 
b) Qual é o tempo médio previsto que uma pessoa pode gastar na fila. 
(Resposta: Wq = 25 minutos) 
c) Em média, quanto tempo demorará a medição de tensão arterial de uma pessoa incluindo o tempo de 
espera. (Resposta: Ws = 30 minutos) 
d) Aos fins de semana, prevê-se que o índice de chegadas aumentará para 12 pessoas. Que efeitos terá 
esse aumento das chegadas. (escolhe um parâmetro do sistema para justificar a sua resposta) 
(Resposta: sejam os parâmetros ρ = 100%; 
 Ls = ∞; destes resultados pode se ver que o sistema estará 
 sendo usado na sua totalidade, o que significa que haverá um 
 congestionamento contínuo por pessoas esperarem na fila um 
 tempo demasiadamente longo). 
 
 
Exercício 5.4. Uma pequena tabacaria possui duas janelas que usam para o atendimento de seus clientes. 
Os clientes nesta tabacaria chegam segundo a distribuição de Poisson com uma taxe de 1 chegada em 
cada 3 minutos. O tempo de atendimento para cada cliente tem uma distribuição exponencial com média 
de 5 minutos. Todos os clientes numa determinada linha são atendidos segundo a ordem de chagada. 
a) Qual é a probabilidade de que todas a janelas estejam paradas. Ou probabilidade de que na tabacaria 
haja 0 clientes. (Resposta: ρ = 0.83; Po = 0.093); 
b) Qual é a probabilidade de que um cliente chegue e espere na fila (Resposta: P(n>2) = 0.754); 
c) Qual é o cumprimento máximo da fila de espera. (Resposta: Lq = 4 pessoas); 
 
 
Exercício 5.5. Um levantamento estatístico do funcionamento do sistema de atendimento ao público na 
dependência da Shoprite (BIM – Expresso), permitiu desenhar o seguinte esquema. 
 
 
chegada 
de clientes 
 fila de clientes saída 
 
Caixa 1 
Caixa 2 
Caixa 3 
 
Capítulo 11. Teoria das filas de Espera 
 
111 
 
Após um estudo aturado, um curioso verificou que em média entravam na dependência 15 pessoas por 
hora e eram atendidas em média 10 pessoas por hora em cada caixa. 
a) Calcule a probabilidade de que no sistema não haja uma fila de clientes.(Resposta: 
ρ =0.50; Po = 0.21053; P(n ≥ 3) = 0.2368; P(n < 3) = 0.7632) 
b) Calcule o número médio de clientes que num determinado momento possam estar na dependência.( 
Resposta: Ls =1.7368 ou 2 pessoas) 
c) Determine o tempo médio que um cliente gasta esperando para ser atendido (Resposta: Wq = 
0.01578975 ou 1 minuto). 
 
 
Exercício 5.6. A chegada de doentes numa clínica é segundo a distribuição de Poisson com a taxa de 3 
pacientes por hora. A sala de espera para serem atendidos não suporta mais de 10 doentes. O tempo de 
atendimento de cada paciente segue uma distribuição exponencial com a média de 10 pacientes por hora. 
a) Qual a probabilidade de que um determinado paciente chegue e não espere para ser atendido. 
(Resposta: Po = 0.0017); 
b) Qual a probabilidade de que na clínica cheguem 4 pacientes. (Resposta: P(n=4) = 0.07) 
 
 
Exercício 5.7. A Batata Frita, Lda fornece comida para máquinas de venda automática a uma 
universidade. Como os estudantes frustrados e furiosos, pontapeiam as máquinas à primeira 
oportunidade, a administração tem um problema constante com a reparação das máquinas As máquinas 
avariam a uma média de três por hora e as avarias são distribuídas de forma de Poisson. O tempo de 
paragem custa à empresa 25 dólares/hora por máquina e cada trabalhador de manutenção recebe 4 
dólares por hora. Um trabalhador pode reparar máquinas a um índice médio de cinco por hora, com uma 
distribuição exponencial; dois trabalhadores, trabalhando juntos, podem reparar sete por hora, com uma 
distribuição exponencial;e a uma equipa de três trabalhadores podem reparar oito por hora, com uma 
distribuição exponencial. 
a) Calcule a taxa de utilização do sistema em cada caso.(Resposta: ρ1=0.60; : ρ2=0.43; ρ1=0.38) 
b) Calcule para cada caso, o número médio de máquinas no sistema.(Resposta: Ls1=1.5; Ls2=0.75; 
Ls3=0.60) 
c) Qual é a dimensão ideal da equipa de manutenção para a reparação das máquinas?. (Resposta: 
CT1=57.5; CT2= 46.75; CT3=47.0; a decisão deve ser de usar o modelo com 2 trabalhadores) 
 
Exercício 5.8. O número de pacientes que chegam a uma clínica privada segue uma distribuição de 
Poisson com uma taxa de λλλλ pacientes por hora e uma taxa de ocupação da clinica de 75% . Actualmente 
a clínica trabalha com dois médicos que podem atender os pacientes segundo os dados das tabelas. 
 
Médico número 1 Médico número 2 
No de 
atendimentos por 
hora 
Probabilidade 
(%) 
No de 
atendimentos por 
hora 
Probabilidade 
(%) 
12 
14 
16 
18 
20 
5 
20 
30 
30 
15 
13 
15 
17 
18 
20 
8 
12 
25 
35 
20 
 
Capítulo 11. Teoria das filas de Espera 
 
112 
 
 
a) Determine o número de pacientes que solicitam serviços nesta clínica por hora. (Resposta: λ = 25.5 
pacientes por hora) 
b) Calcule o número médio de clientes que podem estar na clínica para serem atendidos. (Resposta: Po 
= 0.1429; → Lq = 2 pessoas) 
c) Calcule o tempo médio que um doente gasta no sistema (Resposta: Ws = 4 min 31 s). 
 
Exercício 5.9 As probabilidades de estarem n clientes no sistema dado pela equação (M/M/1):(GD/5/∞) 
são dadas pela lei de distribuição das probabilidades. 
 
 N 0 1 2 3 4 5 
P(n) 0.399 0.249 0.156 0.097 0.061 0.038 
 
Se a taxa de chegada dos clientes neste sistema for de 5 por hora e de atendimento 8 clientes por hora: 
a) Calcule a probabilidade de que no sistema descrito haja 0 clientes 
 (Resposta: Po = 0.399); 
b) Calcule o número médio de clientes no sistema (Resposta: Ls = 4 pessoas); 
c) Calcule o tempo médio esperado que um cliente deverá esperar na fila 
 (Resposta: Wq = 0.68748 horas ou 41 min e 15 segundos). 
 
Referência: 
ANDRADE, EL(1998) – Introdução à Pesquisa Operacional – métodos e modelos para a Análise de decisão, 2a edição, editora 
LTC, RJ, Brasil: cap6; 
HILLIER, F ; Gerald, J.L (1995) – Introduction to Operations Research, 6th Editon, Cap 15. 
LUCEY, T(1992) – Quantittative Techniques – fourth Edition, ELBS, Cap 15. 
SHAMBLIN, JE(1989) – Pesquisa Operacional –uma abordagem básica, Editora Atlas S.A. São Paulo, Cap8;