Aula MalCondicionamento 022016

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Métodos Computacionais para 
Engenharia Elétrica
UNIVERSIDADE FEDERAL 
FLUMINENSE
Departamento de Engenharia Elétrica
Engenharia Elétrica
TEE00141
Professor: Thales Terrola e Lopes
thalesterrola@id.uff.br
3 – Condicionamento Numérico
ANÁLISE DE ERRO E CONDICIONAMENTO DO SISTEMA
�O estudo do condicionamento numérico de um sistema 
procura responder a seguinte questão: quando alguma 
perturbação é introduzida nos elementos do sistema, a sua 
resposta pode ser alterada?
� O algoritmo de eliminação de Grauss com pivoteamento
pode ser considerado numericamente estável, o que pode-se 
assegurar que, para um sistema bem comportado, produzirá assegurar que, para um sistema bem comportado, produzirá 
pequenos resíduos, mesmo que perturbações sejam 
introduzidas nos elementos do sistema. 
�Portanto, alterações na resposta do sistema está associada 
ao comportamento do sistema. 
�Este comportamento é medido pelo número de condição 
(condicionamento) da matriz.
ANÁLISE DE ERRO E CONDICIONAMENTO DO SISTEMA
ANÁLISE DE ERRO E CONDICIONAMENTO DO SISTEMA
�Definição 1: Um sistema linear diz-se bem
condicionado se e somente se a pequenos erros relativos
do segundo membro (b) e da matriz (A), correspondem
pequenos erros relativos da solução (x).pequenos erros relativos da solução (x).
� Definição 2: Seja A uma matriz inversível. Chama-se
numero de condição de A, o seguinte valor:
� Pela Definição 2:
� Para uma matriz bem condicionada, o valor de Cond[A] é 
próximo da unidade (Matriz Identidade).
ANÁLISE DE ERRO E CONDICIONAMENTO DO SISTEMA
1. Mul<plique a inversa pela matriz de coeficientes original e 
verifique se o resultado está próximo da matriz identidade.
� Se não, isso indica mau condicionamento!
2. Inverta a matriz inver<da e verifique se o resultado está 
suficientemente próximo da matriz de coeficientes original.
� Caso contrário, isso pode indicar mal condicionamento.
ANÁLISE DE ERRO E CONDICIONAMENTO DO SISTEMA
�O numero de condicionamento de uma matriz depende 
da norma considerada. Para se especificar a norma, usa-se 
geralmente o índice p (igual ao da norma considerada) e 
escreve-se:
Norma Euclidiana
ANÁLISE DE ERRO E CONDICIONAMENTO DO SISTEMA
Normas de vetores
Norma-p:
p=1 
Normas-p:
p=2Normas mais usuais:
i
i
xx ∑=1
∑=
i
ixx
2
2
ii xx max=∞p= ∞ Nota: p =2: comprimento do vetor a 
partir da origem.
Norma Euclidiana:
ANÁLISE DE ERRO E CONDICIONAMENTO DO SISTEMA
�O conceito de norma vetorial pode ser “estendido” para matrizes,
no sentido de se poder “mensurar” matrizes.
�Quatro tipos principais de normas:
� Norma-p, com p=1 (Somatório de colunas);
�Norma-p, com p=2 (Norma Espectral ou Euclidiana);
Normas de matrizes
Norma-p:
�Norma p, com p =∞ (Módulo máximo ou norma uniforme);
�Norma de Frobenius.
ANÁLISE DE ERRO E CONDICIONAMENTO DO SISTEMA
Normas de matrizes
p=1 (Somatório das colunas)
p = ‘fro’ (Norma de Frobenius)
p = ∞ (Módulo máximo)
2. Raiz quadrada da soma de todos os termos 
da matriz 
ANÁLISE DE ERRO E CONDICIONAMENTO DO SISTEMA
Normas de matrizes
p = 2 (Norma Espectral ou Euclidiana)
4.
Número de condicionamento da matriz
�Exemplo: Verificar o condicionamento para a matriz de 
Hilbert, notadamente mal condicionada, aplicando a
norma de módulo máximo ou norma uniforme do vetor 
(p = ∞). 
� Pode-se normalizar a matriz de modo que o elemento máximo 
em cada linha seja:
Número de condicionamento da matriz
� Exemplo:
� Norma de A: Calculo do somatório dos termos por linha da 
matriz direta A.
Linha 1:
Linha 2:
�Determinação do valor máximo da matriz A:
Linha 3:
Linha 2:
Número de condicionamento da matriz
� Exemplo:
���� Norma da matriz inversa A-1:
Linha 3:
Linha 1:
Linha 2:
� Determinação do valor máximo da matriz A-1:
Número de condicionamento da matriz
� Exemplo:
� Calculo final do condicionamento da matriz:
�O valor de 451,2 indica que o sistema é mal condicionado
, uma vez que o valor é muito superior a unidade!
Normas no MATLAB
>> norm(X,p)
>> cond(X,p)Vetores:
Matrizes:
Número de condicionamento no MATLAB
>> norm(X,p)
>> cond(X,p)
Normas e número de condicionamento no MATLAB
�Exemplo: Use o MATLAB para calcular tanto a norma quanto o número
de condicionamento para a matriz de Hilbert 3 × 3 do exemplo numérico.
a) Calcule a norma p = inf.
b) Calcule também os números de condicionamento baseados nas normas
de Frobenius (p = 'fro') e espectral (p = 2).
Normas e número de condicionamento no MATLAB
ANÁLISE DE ERRO E CONDICIONAMENTO DO SISTEMA
� Exemplo:
Como A ≠ AT:
ANÁLISE DE ERRO E CONDICIONAMENTO DO SISTEMA
� Exemplo:
Como B ≠ BT:
Normas e número de condicionamento no MATLAB
�Exercício: Escrever a rotina computacional em Matlab
para o cálculo da Norma p = ∞ (norma de módulo
máximo) e do condicionamento final de uma matriz,
comparando o resultado com aqueles das funções
predefinidas no Matlab (cond(A,p) e norm(A,p)).