Prova 3ºEE

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Universidade Federal de Pernambuco
Terceira avaliac¸a˜o de A´lgebra Linear - 2012.1
CCEN - Depto Matema´tica - A´rea II
Leia atentamente o enunciado das questo˜es antes de tentar soluciona´-las.
As respostas somente sera˜o aceitas com justificativa.
Na˜o e´ permitido qualquer tipo de consulta.
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Questa˜o 1. Julgue verdadeira ou falsa cada afirmac¸a˜o abaixo:
a) (1,0) Seja V um espac¸o vetorial com produto interno. Se u e v ∈ V sa˜o
tais que (v + u)⊥(v − u), enta˜o ‖v‖ = ‖u‖.
b) (1,0) Considere que existe um produto interno <,> para V = R2 no qual
a base α = {(1,−1), (2, 3)} e´ ortonormal. Em relac¸a˜o a este produto interno
temos < (6, 4), (−3, 8) > = 14.
Questa˜o 2. Seja V = R4 com produto interno usual (canoˆnico); e seja o
subespac¸o gerado W = [( 1√
3
, 0, 1√
3
, 1√
3
), (− 1√
3
,− 1√
3
, 0, 1√
3
)].
a) (1,5) Calcule uma base ortonormal para para W⊥ (complemento ortogo-
nal de W ).
b) (1,5) Seja P : R4 → R4 o operador projec¸a˜o ortogonal sobre o subespac¸o
W . Usando o item anterior encontre [P ]α
α
, onde α e´ a base canoˆnica de R4.
Questa˜o 3. (2,0) Seja R2 com produto interno < (a, b), (c, d) >= ac + 3bd.
Considere a base α = {(1, 0), (0, 1√
3
)}. Seja T : R2 → R2 o operador linear tal
que T (x, y) = (
√
2
2
(x−√3y),
√
2
2
( x√
3
+ y)). Em relac¸a˜o a este produto interno:
T e´ operador auto-adjunto? T e´ operador ortogonal? Justifique.
Questa˜o 4.(3, 0) Seja V = R3 com <,> usual. Observe a qua´drica cuja
equac¸a˜o na base canoˆnica e´ dada por:
3x2 + 3y2 + z2 + 4xy + 10
√
2x+ 10
√
2y + 19 = 0 e cuja forma matricial e´:
[
x y z
]


3 2 0
2 3 0
0 0 1




x
y
z


+
[
10
√
2 10
√
2 0
]


x
y
z


+ 19 = 0
a) (1,5) Encontre uma nova base β para R3 de forma que a equac¸a˜o com cood-
enadas em β na˜o tem termo misto (use diagonalizac¸a˜o da parte quadra´tica).
Preprint submitted to Elsevier 22 de junho de 2012
b) (0,8) Escreva a nova equac¸a˜o com coordenadas em β.
c) (0,7) Determine a equac¸a˜o reduzida e identifique a qua´drica.
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