Módulo II Polinômios (operações, raízes, fatoração, dispositivo Briot Ruffini, raízes racionais).

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Profª . Luiza Lopes Carvalho
Departamento de Ciências Econômicas
Universidade Federal Fluminense – UFF
luiza.lopesc@hotmail.com
MATEMÁTICA I
Polinômios
 O que são Polinômios?
 Polinômios são expressões algébricas formadas pela adição de monômios. Ambos são constituídos por números conhecidos e números desconhecidos.
● Expoentes: Naturais ● Coeficientes: Reais 
● Grau de um Polinômio: O grau de um polinômio é
 definido pelo maior expoente que ele possui.
●  Termo independente (ao): Valor que o polinômio 
 assume quando a variável é igual a zero. 
Monômio é toda expressão algébrica determinada pelo produto de números e variáveis. Nos monômios não se encontra o uso da adição ou da subtração.
Polinômios
 Exemplo:
1- Qual o grau do polinômio?
2- Quais são os coeficientes?
3- Qual é a variável?
4- Quem são os monômios?
5- Quem é o termo independente?
Polinômios
 Identidade Polinomial: Dois polinômios são idênticos quando todos os seus coeficientes de mesmo grau são números iguais. 
 
 Exemplo: Determinar os valores de a e b para que os polinômios 
 sejam idênticos.
Polinômios de graus diferentes nunca são iguais.
Polinômios
 EXERCÍCIOS 
 Identidade Polinomial
 
 
Polinômios
 Raízes de um Polinômio: O número real r0 é dito raiz do polinômio P(x) se, e somente se, P(r0) = 0. O seguinte resultado é um teorema clássico em Matemática, chamado Teorema Fundamental da Álgebra. 
Número de raízes de uma equação polinomial: uma equação polinomial de grau n admite exatamente n raízes complexas, não necessariamente distintas entre si. 
Conjunto de possíveis raízes de um Polinômio: para descobrir as possíveis raízes racionais de um polinômio, nós usamos o seguinte teorema: 
 1- Seja p ÷ q, com p e q inteiros e primos e q ≠ 0; •
 2- Se p ÷ q é raiz de uma equação polinomial de coeficientes inteiros, então p é divisor de ao e q é divisor de an. 
 
 
Possíveis raízes inteiras = Todos os divisores de a0 ( Termo independente) 
Possíveis raízes fracionárias= Todos os divisores de a0 / divisores de an 
2 Raízes
3 Raízes
Polinômios
 Exemplo: x⁴ - 2x³ - 7x² + 8x+12
1- Quem é meu termo independente?
2- Quem é meu an? 
3- Quais são os divisores do termo independente?
4- Quais são os divisores de an?
5- Quais são as possíveis raízes?
6- Quais são as raízes?
12
1
Inteiras
Fracionárias
-1, 2,-2, 3
Polinômios
 EXERCÍCIOS 
 Raízes de um Polinômio
Dado o seguinte Polinômio 3x³ + x² - 3x - 1, responda:
1- Quem é meu termo independente?
2- Quem é meu an? 
3- Quais são os divisores do termo independente?
4- Quais são os divisores de an?
5- Quais são as possíveis raízes inteiras?
6- Quais são as possíveis raízes fracionárias?
7- Quais são as raízes?
 
 
1
3
±1
±1
±1/3
1, -1 e 1/3
±1, ±3 
Polinômios
 EXERCÍCIOS 
 Raízes de um Polinômio
Dado o seguinte Polinômio x³ + x² - 4x - 4, responda:
1- Quem é meu termo independente?
2- Quem é meu an? 
3- Quais são os divisores do termo independente?
4- Quais são os divisores de an? 
5- Quais são as possíveis raízes inteiras?
6- Quais são as possíveis raízes fracionárias?
7- Quais são as raízes?
 
 
-4
1
±1, ±2, ±4 
 -1, 2 e -2
±1, ±2, ±4 
±1, ±2, ±4 
±1 
Polinômios
 Fatoração de Polinômios: todo polinômio de grau n pode ser fatorado sob a forma abaixo, sabendo que r1, r2, r3,...,rn são todas as raízes de P(x).
 Exemplo: Fatore os polinômios abaixo, sabendo suas raízes.
 
 a) 3x³ + x² - 3x – 1 / Raízes = 1, -1 e -1/3. 
 b) x³ + x² - 4x – 4 / Raízes = -1, 2, -2. 
 
3(x-1)(x+1)(x+1/3)
1(x+1)(x-2)(x+2)
Polinômios
 EXERCÍCIOS 
 Fatoração de Polinômios
Simplifique a expressão :
 
 
Raízes x² + 2x -15 = 3 e -5
Raízes x² - 2x -3 = -1 e 3
 
(x-3)(x+5)/(x+1)(x-3) =(x+5)/(x+1)
Polinômios
 EXERCÍCIOS 
 Fatoração de Polinômios
Fatore o Polinômio a seguir :
 
 
Polinômios
Operações com Polinômios:
Adição: P(x) + Q(x), é obtida ao se adicionar os coeficientes do polinômio P(x) aos coeficientes do polinômio Q(x) que tem o mesmo expoente na variável. 
Subtração: P(x) – Q(x), é considerada como o oposto da soma, ou seja, P(x) + [ - Q(x)]. Assim, a resolução será através do mesmo procedimento feito em uma adição. 
Polinômios
Operações com Polinômios:
3) Multiplicação: P(x) · Q(x), é dada pela soma dos produtos de cada monômio de P por todos os monômios de Q.
Polinômios
Operações com Polinômios:
Divisão: P(x) / D(x), significa encontrar dois polinômios R(x) e Q(x) que satisfaçam as condições: 
 • P(x) = Q(x)·D(x) + R (x) 
 • O grau de R(x) não pode ser igual nem maior do que o grau de Q(x) ou então R(x) = 0 
 
Método da chave
Método de Briot-Ruffini
Polinômios
 Método da chave
 Exemplo: Divida P(x) = 3x³ – 9x² + 9x - 3 por D(x) = x² – 2x + 1. 
 1º Organizamos os dois polinômios como em uma conta usual de divisão.
 
 2º Divida o termo de maior grau de P(x) pelo de maior grau de D(x):
 3º Em seguida, multiplica-se o quociente obtido, por D(x). O resultado é colocado, com o sinal trocado, sob os termos semelhantes de P(x). 
 4º Na coluna da esquerda, somam-se os termos semelhantes. 
 
Polinômios
 Método da chave
 Exemplo: Divida P(x) = 3x³ – 9x² + 9x - 3 por D(x) = x² – 2x + 1.
 5º Repete-se o procedimento, dividindo-se o termo de maior grau de pelo de maior grau de D(x): , obtendo-se o segundo termo de Q(x).
 6º Em seguida, multiplica-se o quociente obtido (-3) por D(x). O resultado é colocado, com o sinal trocado, sob os termos semelhantes de , para então somarmos os termos semelhantes. O procedimento se encerra quando o resto da divisão tiver grau menor que do polinômio D(x). 
 
 
Polinômios
 EXERCÍCIOS 
 Método da chave
Resolva:
 
 
Polinômios
 EXERCÍCIOS 
 Método da chave
Divida:
 
 
Polinômios
 Método de Briot-Ruffini
 Este algoritmo permite efetuar as divisões por polinômios do tipo x – a de uma maneira rápida e simples.
 Exemplo: Divida p(x) = 3x³ -5x² +x -2 por h(x) = x – 2.
 1º Montamos a tabelinha
 2º Repetimos o primeiro coeficiente do dividendo, no caso 3. 
 3º Multiplicamos o termo repetido pelo divisor e somamos esse produto com o próximo termo do dividendo, que resulta em 1. 
 4º Repetimos o processo para obter o novo termo do quociente, e assim por diante, sempre repetindo o processo, até chegar no último coeficiente. 
 5º A partir desse algoritmo chegamos que q(x) = 3x² +x +3 e r(x)= 4, ou seja, temos que 3x³ -5x² +x -2 = (x-2
 
 
Polinômios
 EXERCÍCIOS 
 Método de Briot-Ruffini
Aplicando Briot-Ruffini, calcule o quociente e o resto das divisões.
 
 
Polinômios
 EXERCÍCIOS 
 Fatoração de Polinômios
 
 
Polinômios
 EXERCÍCIOSPolinômios 
Resolva as equações em R.