SLIDES 2-O Sinal Senoidal e suas Características - Parte II

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Essa área não pode ser utilizada. 
É dedicada para a interpretação 
em LIBRAS.
3) Representação Fasorial da Senoide 
Assim como em Corrente Contínua (CC), em Corrente
Alternada (CA) temos circuitos fechados. Nesses casos,
aplica-se, tanto num quanto noutro, a Lei de Kirchhoff
das Tensões (LKT) para se determinar a tensão da
fonte aplicada aos elementos do circuito.
Segundo Kirchhoff:
“num percurso fechado, o
somatório das quedas de
potencial é igual ao
somatório das elevações de
potencial”.
Essa área não pode ser utilizada. 
É dedicada para a interpretação 
em LIBRAS.
Seja o circuito elétrico, em CC, em que se deseja
encontrar o valor da elevação de tensão E, da fonte.
Considerando que a corrente
elétrica I é igual a 4,0 A temos,
pela Lei de Ohm, que as
quedas de potencial v1 e v2,
em cada resistor, são dadas
por:
V૚ ൌ ܀૛	. ۷	 ൌ ૛	. ૝	 ൌ 	ૡ	ࢂ			
V૛ ൌ ܀૜	. ۷	 ൌ ૜	. ૝	 ൌ ૚૛	܄			
Aplicando a LKT, tem-se:
E = V1 + V2 = 8 + 12 = 20 V
Figura 15
Essa área não pode ser utilizada. 
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em LIBRAS.
Graficamente, as quedas de 
potencial podem ser representadas 
como mostrado.
Figura 16
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Somando, em cada instante de 
tempo t1, t2, ....., tn, os valores das 
quedas de potencial, obtém-se o 
valor da elevação de potencial E, 
como mostrado.
Figura 17
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Seja um circuito-série, idêntico ao anterior, formado por
dois elementos, uma resistência (R) e uma indutância
(L). O circuito é ligado numa rede elétrica, cujo sinal é
alternado e(t). Pelo circuito, circulará uma corrente
elétrica i(t), também alternada.
A corrente elétrica, ao passar pelos elementos, causará
uma queda de potencial, também alternada, dadas
por vR(t) e vL(t).
Figura 18
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Considerando que a corrente é
descrita como i(t) = Imáx sen (ωt),
as quedas de potencial, em cada
elemento, são as mostradas.
Figura 19
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Tal como no circuito
CC, a Lei de
Kirchhoff se aplica,
assim:
ࢋ ࢚ ൌ 		࢜ࡾ ࢚ 	൅ 	࢜ࡸሺ࢚ሻ
Para se chegar ao valor de e(t) a
ÚNICA forma possível é somando-
se os sinais das duas quedas de
potencial, instante a instante.
Assim, o sinal que se apresenta é o
mostrado (tracejado).
Figura 20
Essa área não pode ser utilizada. 
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Tal processo mostra-se cansativo, demorado e pouco
preciso.
AQUESTÃO que se apresenta, portanto, é:
Existe outra forma de se fazer o somatório (ou a 
diferença) de sinais senoidais que não pela forma 
instante a instante?
Sim, existe. Essa forma é denominada de soma
FASORIAL.
Como será mostrado, FASOR é um
vetor girante que representa o sinal
senoidal. Esse vetor traz, do sinal
senoidal, o seu valor MÁXIMO e o
seu DEFASAMENTO.
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Portanto, um sinal de tensão senoidal, na forma instantânea:
ࢋ ࢚ ൌ 		ࡱ࢓á࢞	. 	࢙ࢋ࢔	 ࣓࢚ േ ࣂ 		ࢂ
Pode também ser escrito, na forma FASORIAL, por:
۳ሶ ൌ 			۳ܕáܠ		/ ± θ° V
ࡱሶ 	→	é a representação fasorial de e(t). (Observar que há um
ponto sobre a letra, obrigatório).
ࡱ࢓á࢞ → valor máximo (ou eficaz) do sinal.
/േ	ࣂ → representa o defasamento do
sinal em relação à referência: (+)
adiantado ou (-) atrasado.
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OBSERVAÇÃO: A única informação que o fasor NÃO
traz sobre o sinal senoidal é sobre sua frequência.
Portanto, toda vez que o sinal estiver escrito na forma
fasorial, a sua frequência deve ser informada.
Exemplo 04:
Seja a tensão instantânea senoidal:
ࢋ ࢚ ൌ 		૛૛૙	√૛	. 	࢙ࢋ࢔	 ૜ૠૠ	࢚ ൅ ૜૙° 		ࢂ
Na forma fasorial, têm-se:
۳ሶ ൌ 			૛૛૙	√૛		/ + 30° V ou
۳ሶ ൌ 			૛૛૙		/ + 30° V (f = 60 Hz) 
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3.1) Representação do Sinal Senoidal como 
um Vetor Girante
Da Física, sabe-se que:
“um ponto se deslocando em um movimento circular
uniforme pode ser representado através de suas
projeções num plano cartesiano”.
A união dessas projeções forma, ao longo dos 360°,
uma senoide.
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Considere, na figura que Fmáx
é um vetor cujo comprimento
corresponde ao valor máximo
do sinal senoidal.
A seta indica o sentido de
rotação do vetor.
No eixo vertical (eixo de projeção),
será feita a projeção do vetor ao
longo do seu movimento. O eixo
sofre o mesmo deslocamento que
o vetor, ou seja, 360°.
Figura 21
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A figura mostra um deslocamento
do vetor de, aproximadamente,
30°. A seta azul mostra a projeção
do vetor no eixo de projeção, que
também teve o mesmo
deslocamento.
Unindo-se todos os pontos
superiores da projeção desde o
ângulo 0° até 30° forma-se a curva
em rosa.
Eixo de projeção
30,22°
Figura 22
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Eixo de projeção
143°
Outra projeção para
um ângulo de 143°.
Interligando todas as projeções,
para uma volta completa do
vetor, obtêm-se a curva rosa que,
como pode ser observado, é uma
senoide.
Figura 23
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A figura mostra a união de todos os pontos de projeção,
após uma volta completa.
Portanto, como mencionado
anteriormente, uma senoide pode
ser representada por um vetor
girando no sentido anti-horário.
Figura 24
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A vantagem da representação fasorial da senoide é que
a SOMA ou SUBTRAÇÃO dos sinais passa a ser feita
de forma “vetorial” e NÃO mais na forma instantânea.
Tal fato torna o SOMATÓRIO mais simples e preciso.
Portanto, para o circuito RL mostrado anteriormente,
tem-se:
vR(t) = VRm sen (ωt) → 		܄܀ሶ ൌ ܄܀ܕáܠ		 / + 0° V
vL(t) = VLm sen (ωt + 90°) → 		܄ۺሶ ൌ ܄ۺܕáܠ		 / + 90° V
Assim, a tensão da fonte E será
dada por:
= R + L
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Considerando que os valores máximos de VR e VL são,
respectivamente, iguais a 1,0 V e 2,0 V tem-se:
		ࢂࡾሶ ൌ 		૚,0 / + 0° V 		ࢂࡸ
ሶ ൌ ૛,0 / + 90° V
Emáx = ሺ૚૛ ൅ ૛૛ሻ = 2,236 V
θ° = tg -1 ( ૛
૚
	ሻ = 63,43°
Passando para a forma
instantânea, tem-se:
ࢋ ࢚ ൌ 		૛, ૛૜૟ . ࢙ࢋ࢔ ࣓࢚ ൅ ૟૜, ૝૜° 		ࢂ
Figura 25
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A figura mostra os
gráficos instantâneos
de cada sinal.
Figura 26
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3.2) Relação do Fasor com os Números 
Complexos
Como estudado acima, um FASOR tensão alternada é
escrito na forma:
ܧሶ ൌ ܧ݉áݔ		/ ± θ° V
Essa forma escrita corresponde à forma escrita POLAR
dos números complexos.
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Assim, visando simplificar as operações com os
fasores, eles passaram a ser tratados como SE
FOSSEM números complexos, embora NÃO SEJAM.
Tal tratamento facilitou em muito, as operações entre as
grandezas elétricas, que podem ser representadas
dessa forma.
Problema proposto:
Sejam duas correntes, i1 e i2, representadas pelos seus
respectivos fasores, que devem ser somadas para se
determinar o valor total.
ࡵ૚ሶ ൌ ૞		/ 30° A ࡵ૛ሶ ൌ ૟		/ 60° A
Como resolver, utilizandoa teoria 
dos números complexos?
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3.3) Números Complexos
Um NÚMERO COMPLEXO pode ser representado por um
ponto em um plano bidimensional, associado a um sistema
de eixos cartesianos.
Esse ponto também determina um
vetor a partir da origem até o ponto.
O eixo horizontal é denominado
de eixo real e o vertical é
denominado eixo imaginário. O
símbolo j (ou i) é usado para
indicar a parte imaginária.
●C
Figura 27
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São utilizadas duas formas para se representar um
número complexo: a retangular e a polar.
Cada uma delas pode representar um ponto no plano
ou um vetor da origem até o ponto.
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Forma retangular
O número é escrito na forma: C = X + jY
Figura 28
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Figura 29
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Forma polar
O número é escrita na forma:
A letra Z foi escolhida devido à sequência X, Y, Z e
representa o comprimento (módulo) do vetor e θ é o
deslocamento do vetor em relação ao eixo real, sempre
medido no sentido anti-horário.
Os ângulos medidos no sentido
horário são associados a um sinal
negativo.
C = Z / θ°
Figura 30
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Figura 31
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Assim, um mesmo número
complexo pode ser escrito
como:
Figura 32
Figura 33
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3.3.1) Conversão entre as duas Formas
Polar para Retangular
Retangular para Polar
Z = ࢄ૛ ൅ ࢅ૛	
θ = tg-1(Y/X)
X = Z . cos θ
Y = Z . sen θ
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3.3.2) Operações Matemáticas com Números 
Complexos
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO:
Realizar sempre na forma retangular.
Sejam dois números complexos:
C1 = ± X1 ± j Y1 e C2 = ± X2 ± j Y2
C1 + C2 = ( ± X1 ± j Y1 ) + ( ± X2 ± j Y2 ) =
= ( ± X1 ± X2 ) + j( ± Y1 ± Y2 )
Somar (ou subtrair) partes reais e
partes imaginárias, separadamente.
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MULTIPLICAÇÃO e DIVISÃO:
Realizar sempre na forma POLAR.
Sejam dois números complexos:
C1 = Z1 / ± θ1 e C2 = Z2 / ± θ2
C1 . C2 = ( Z1 / ± θ1 ) . ( Z2 / ± θ2 ) =
= Z1.Z2 /(± θ1) + (± θ2)
Multiplicam-se os módulos e somam-se os ângulos.
C1 ÷ C2 = ( Z1 / ± θ1 ) ÷ ( Z2 / ± θ2 ) =
= Z1 ÷ Z2 /(± θ1) - (± θ2) 
Dividem-se os módulos e 
subtraem-se os ângulos.
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Exemplo 05:
Dados dois números complexos na forma retangular,
determinar a soma e a multiplicação de ambos:
C1 = 3 + j6 e C2 = -6 + j3
Soma: deve ser feita na forma retangular.
Z = C1 + C2 = (3 + (-6)) + j(6 + 3) = -3 + j9
Passando para a forma polar:
Z = െ૜ ૛ ൅ ૢ૛	 ൌ 		ૢ, ૝ૢ
θ = tg-1(9/-3) = - 71,56
Z = 9,49 / -71,56°
Essa área não pode ser utilizada. 
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Passando ambos para a forma polar:
Multiplicação: deve ser feita na forma polar.
C1 = ૜ ૛ ൅ ૟૛	 ൌ 		૟, ૠ૚
θ1 = tg-1(6/3) = 63,43
= 45 / + 36,87°
C2 = െ૟ ૛ ൅ ૜૛	 ൌ 		૟, ૠ૚
θ1 = tg-1(3/-6) = - 26,56
Z = C1 . C2 = 6,71 / 63,43 ) . ( 6,71 / - 26,56 ) =
= 6,71. 6,71 /(63,43) + (- 26,56)
Passando para a forma retangular:
X = 45 . cos 36,87° = 36 
Y = 45 . sen 36,87° = 27
Z = 36 + j 27
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Revisada a teoria sobre números complexos, voltemos ao
problema proposto, anteriormente:
Deve-se fazer a soma das duas correntes, i1 e i2, dadas na
forma polar.
ܫ1ሶ ൌ 5		/ 30° A ܫ2ሶ ൌ 6		/ 60° A
Como visto acima, a soma fasorial deve ser feita na forma
retangular, portanto:
۷૚ሶ ൌ 5		/ 30° = 5 cos 30° + j 5 sen 30° =
= 4,33 + j2,5 A
۷૛ሶ ൌ 6		/ 60° = 6 cos 60° + j 6 sen 60° =
= 3 + j 5,2 A 
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Fazendo o somatório:
۷ሶ܂	 = Iሶ1	 ൅ I
ሶ
2 = (4,33 + j 2,5) + (3 + j 5,2) = 7,33 + j 7,7 A 
Passando para a forma polar:
۷ሶ܂	 = ૠ, ૜૜૛	 ൅ 	ૠ, ૠ૛ / tg-1 (7,7/ 7,33) = 10,63 / 46,41°
A
Escrevendo a corrente total na forma instantânea:
iT ࢚ ൌ 		૚૙, ૟૜	. 	࢙ࢋ࢔	 ࣓࢚ ൅ ૝૟, ૝૚° 		࡭
A figura a seguir mostra os fasores de 
cada corrente bem como as senoides 
instantâneas correspondentes. 
Essa área não pode ser utilizada. 
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O somatório dos fasores mostrado
denomina-se “diagrama fasorial”.
Figura 34
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Referência das figuras
Figura 1 à Figura 34
Acervo EAD-Uniube.
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Referências 
BOYLESTAD, Robert L. Introdução à análise de circuitos 
elétricos. 12°.ed., São Paulo: Editora Pearson, 2012.
IRWIN, J. David. Análise de Circuitos em Engenharia. 2ª ed. 
São Paulo: Makron Books. 2005.
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