Aula 3 sistemas lineares metodo eliminação gauss e gauss jordan mpad 2018 1 upload

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Métodos de Eliminação de Gauss e de Gauss-Jordan 
Como preparação para a Seção 8.6. precisamos saber mais a respeito da resolução de sistemas 
algébricos de 11 equações lineares em n incógnitas 
a, 1X1 + a12x2 + ... + a1,,x11 = bi
ª21X1 +a22x2 + ··· + ª211Xn =b2 
(5) 
Se A denota a matriz de coeficientes em (5), sabemos que a regra de Cramer ( veja Apêndice llI) pode 
ser aplicada para resolver o sistema, desde que det A * O. Mas a regra exige grande esforço se A é 
superior a 3 x 3. O processo que vamos estudar tem a vantagem marcante de constituir não somente 
um meio eficiente de lidarmos com grandes sistemas, mas também um meio de resolver sistemas do 
tipo (5) consistentes. em que det A = O e, ainda, um meio de resolver m equações lineares em n
incógnitas. 
DEFINIÇÃO 1 Matriz Aumentada 
A matriz aüinentadá do sistema (5) é a matriz n x (n + 1) 
ª11 ª12 a,n b1 
a!l l½2 tlin b2 
Se B é a matriz coluna dos br i = 1. 2 .... , ri, a matriz aumentada de (5) se denota por (AI B).
Operações Elementares com Linhas 
Recordemos, da álgebra, que é possível transformar um sistema algébrico de equações em um sistema 
equivalente (isto é, que tenha a mesma solução) multiplicando uma equação por uma constante não­
nula, permutando as posições de dua · equações quaisquer do sistema e adicionando a uma equação 
um múltiplo constante (não-zero) de outra equação. Essas operações sobre as equações de um sistema 
são. por seu turno, equivalentes a operações elementares com linhas em uma matriz aumentada: 
(i) Multiplicar uma linha por uma constante não-nula.
(ii) Permutar duas linhas quaisquer.
(ili) Adicionar a uma linha um múltiplo constante (não-zero) de outrd linha.
Aula 03 - Sistemas Lineares - Complemento - MpA - 2018-1
Métodos de Eliminação 
Para resolver um sistema como (5) com auxílio de uma matriz aumentada, utilizamos a eliminação
gaussiana ou o método de eliminação de Gauss-Jordan.* No primeiro método, efetuamos uma 
sucessão de operações elementares com linhas até cheg ar a uma matriz aumentada em forma
escalonada por linha: 
(i) O primeiro elemento não-zero em uma linha não-nula é 1.
(ii) Em linhas não-nulas consecutivas, o primeiro elemento l na linha inferior aparece
à direita do primeiro 1 na linha superior.
(ili) As linhas que consistem exclusivamente de O's aparecem na base da matriz. 
No método de Gauss-Jordan, as operações com linhas prosseguem até obtermos uma matriz aumentada 
reduzida escalonada por linha. Uma matriz reduzida escalonada por linha apresenta as três
propriedades relacionadas acima, além de 
(iv) Uma coluna que contém l como primeiro elememo tem O's em todos os outros lugares.
:r . 
·?EXEMPLO 1 
ltl::·· 
(a) As matrizes aumentadas
(� ! � -1] e (o o 1 -6 2 2) 000 014 
estão em forma escalonada por linha. Mostre que os três critérios são satisfeitos. 
'.:':' Karl Friedrich Gauss (1777-1855). Gauss foi o primeiro de uma geração de matemáticos precisos e 
<. exigentes - os "rigoristas". Ainda menino, Gauss foi um prodígio em matemática. Como adulto, costumava 
'.i:� dizer que já podia contar antes de poder falar. Entret.mto, éomo estudante universitário, Gauss viu-se. dividido entre duas pai:."\.ôes: filologia e matemática Ma$ foi inspirado por algumas conquistas mátéwáticâs 
originais quando ainda não tinha vinte anos e encorajado pelo matemático Wolfgang :Bolyai, d� mOQQ 
que a escolha não foi difícil. Aos- vinte anos, Gauss seguiu a carreira de matemático. Aos vinte e çlois 
anos, completou um livro sobre a teoria dos números, Disquisitíones Arithmeticae. Publicado em 1801, 
esse texto foi .saudado como uma obra-prima, permanecendo ainda hoje como um clássico 110 assunto. 
A tese de doutoramento de Gauss de 1799 também constitui um documento memorável. Utillzando-.a 
. teoria das funções de uma variável complexa, Gauss foi o primeiro a demonstrar o:· cliainadci teó�ma. 
t:·( _fundamental da álge.bra: Toda equação polinomial tem ao menos uma raiz. 
0
::' Embora Gauss tenha sido sem dúvida reconhecido e respeitado como um matemático destacado, 
(i=:-_ .. o pleno é!lcance do seu gênio só foi compreendido com a publicação do seu diário científico em i898, 
;{:: quarenta e quatro anos após sua morte. Para desgosto d.e alguns matemáticos do século XIX, o diário 
i�:\ revelou que Gauss já havia previsto, às veze.s com décadas d� antecedência, muitas de·suas descobertas 
·�: · � ou melhor, redescobertas. Gaúss era indifer�nte à fama; suas pesquisas matemática<; erâm, não r;rro,· - feitas como uma criança brincando em uma praia - &:penas por prazer e satísfàção própria, e não pela_ 
- instrução que pudesse proporcionar atravé.<; de sua publicação. · .
Em qualquer relação dos "Maiores Matemáticos Que Existiram", Karl Friedricli Gauss e.<;tará 
sempre no topo. Pelo profundo Íiilp;tcto que c;i!JSOU e:qi ta1.1Jos tàmos da roatemáüca, Gauss é chamado 
às vezes de o "príncipe dos matemáticos". 
·-
Wilhelm Jordan (1842-1899). Engenheiro aleT\1/iO, J9rdá!) 1,1t11itou este método para re.,;olver �stemas 
lineares ein seu livro de 1888, Handboók of Gea�sj.': .(lyfiili�á[dê Geoçié.sia:). 
(b) As matrizes aumentadas
(i ! � -J e (o o 1 -6 o -6)O O O O 1 4 
estão em forma reduzida escalonada por linha. Os elementos restantes nas colunas que contêm 
· um 1 inicial são todos 0's. • 
Podemos notar que, na eliminação gaussiana, paramos o cálculo assim que obtemos uma matriz 
aumentada em forma escalonada por linha. Em outras palavTas, utilizando seqüências diferentes de 
operações com linhas, podemos chegar a diferentes formas escalonadas por linha. Esse método 
exige então o uso da retro-substituição. Na eliminação de Gauss-Jordan, paramos quando obtemos a
matriz aumentada em forma reduzida escalonada por linha. Qualquer seqüência de operações com 
linhas conduzirá a me�ma m:H.ri7. aumentada em forma reduzida escalonada por linha. Esse método 
não exige a retro-substituição; a solução do sistema é visível por simples observação da matriz final. 
Em termos das equações do sistema original, nosso objetivo em ambos os métodos é simplesmente 
tomar o coeficiente de x1 na primeira equação* igual a 1 e utilizar então múltiplos dessa equação
para eliminar x
1 
em outras equações. Repete-se esse processo com as outrns variáveis. 
Para referência às operações com linha em uma matriz aumentada, utilizamos a notação abaixo: 
Resolva 
Símbolo 
R .. 
cR. 
cR.+R. 
1 J 
Significado 
Permutar as linhas i e j
Multiplicar a i"" linha por uma constante 
não-nula 
Multiplicar a im• linha por e e adicioná-la àj111ª linha 
2x1 + 6x2 + x3 = 7 
X1 + 2½ - X3 = -1 
5x1 + 7x2 -4x3 = 9 
utilizando (a) eliminação gaussiana e (b) eliminação de Gauss�Jordan. 
* Podemos sempre permutar equações, de modo que a primeira equação contenha a variável .x,.
Exercicio 1
Solução (a) Efetuando operações com linhas na matriz aumentada do sistema, obtemos 
(: 
6 
2 
7 
- - 1- :,RI + R3
-�, + R, [
,-·. o
-· -,, o
l 
3R'2 + R3 o ,, 
--). --v o 
1 
7 l-] -1 -4 9 
2 -J
2 3 
-3 1 
2 -1
·i 1 ... 2 
o l12
R12 .,
.--> --.,. -:114 
-1
2.
2
55
2
(� 
2 -1 -i]6 l) 7 -4
(� 
l 2 -1 ?. R2 l __ ,, 
·_. ··-V 2 
-3 1 
2R [� 
2 -1
li 3 3__ ,\ 1 .___ ) 2
V o 1
A última matriz está em forma escalonada por linha e representa o sistema 
X1+2x2- X3=-l 
3 9 
X2 + 2 X3 = 2 
X3 = 5.
�!] -�12 5 
Fazendo x3 = 5 na segunda equação, obtemos x2 =-3. Levando esses dois valores de volta na primeira 
equação obtemos finalmente x1 = 10. 
(b) Começamos com a última matriz acima. Como os primeiros elementos nas segunda e terceira
linhas são l 's, devemos fazer os elementos restantes das segunda e terceira colunas iguais a O:
(1 2 -�
O 1 2 2 
o o l
(
1 o -� -10
1 0 1 2 .2. 2 2 
O O 1 5 
4R3 +R1 
(� 
o
-iR3 + R2 1
--i\ o 1L-..-·· 
A última mat1.izestá agora em forn,a reduzida escalonada por linha. Em vista do que a matriz significa 
em termos de equações, é evidente que a solução do sistema é x
1 
= 1 O, x1 = -3, x3 = 5 .n 
Aplique a eliminação de Gauss-Jordan para resolver 
x+3y-2z=-7 
4x+ y+ 3z=5
2x-5y+ 7z=19. 
EXERCICIO 2
Solução 
-;) 19 
-4R 1 + R2
-2R1 + R3., ,-- ' 
--/ -7)
33 
33
Neste caso, a última matriz em forma reduzida escaJonada por linhas implica que o sistema original 
de três equações em crês incógnitas equivale realmente a duas e.quações em três incógnitas. Como 
apenas z é comum a ambas as equações (as linh;is não-zero), podemos fixar seus valores 
arbitrariamente. Fazendo z = t, onde t representa um número real arbitrário, vemos que o sistema 
admite um número infinito de soluções: x = 2 - t, y = -3 + t, z = t. Geometricamente, essas equações 
são as equações paramétricas da reta de intersecção dos planos x + Oy + z = 2 e Ox + y - z = -3. •