APOSTILA_ALGA

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Profa. Luciana Chimendes
Universidade Federal de Pelotas
Instituto de F́ısica e Matemática
Departamento de Matemática e Estat́ıstica
2016
1
1 Chegando à Universidade
Bem vindo!
Chegar à universidade representa um fato marcante na vida de todos os que por ela passam.
Não é por acaso que isto acontece. A expectativa de adquirir novos conhecimento e novas
amizades renova as esperanças de um futuro melhor. Além do mais, não há dúvida: a
universidade, apesar de suas deficiências, é um local onde as pessoas podem passar bons
momentos de suas vidas, desde que interessadas nisso.
Mas para que isso ocorra deve haver uma decisão pessoal firme de aproveitar integralmente
tudo o que a universidade oferece. Conhecer em profundidade a instituição, participando
intensamente de suas atividades, é um bom caminho para alcançar esta meta.
Muita coisa muda ao se passar do curso secundário para o universitário. Talvez a forma
de abordar os ensinamentos recebidos seja a mais importante delas. De agente passivo, o
estudante agora deve passar a agente ativo do processo educacional. Esta transição exige
do estudante uma série de alterações no seu comportamento, nem sempre fáceis de serem
efetuadas.
Pode-se, nesta nova fase, direcionar e programar mais livremente o seu aprendizado, com
doses de acordo com suas potencialidades ou interesses. Esta maior liberdade, entretanto,
deve ser usufrúıda progressivamente, com maturidade.
A bem da verdade, há que se ressaltar que o primeiro objetivo deste tópico é o de desmisti-
ficar a idéia, bastante arraigada ainda no meio universitário, de que possa existir uma maneira
de estudar pouco e aprender muito, cujo método dispense o trabalho que não se quer ter.
Outro ponto importante que se deseja deixar bem claro, é a incredubilidade dos autores
de que se possa conciliar a falta absoluta de tempo para estudar com os estudos. As duas
coisas, levadas ao pé da letra, são inconciliáveis. Quem pretende efetivamente estudar deve
descobrir ou criar o seu tempo para isto.
Deve-se também aprender a estudar. E isto tanto mais é necessário quanto mais conscientiza
o indiv́ıduo de que, ao passar para um curso superior, deixou de ser um aluno - assim
entendido aquele que é ensinado - e passou a ser estudante - que aprende e estuda porque quer,
com motivação e sob orientação, devendo ele próprio agora, tomar muitas das iniciativas.
Assim uma mudança importante, que os alunos também devem perceber, é quanto à relação
professor-aluno. Nesta nova fase, o professor passa a ser mais orientador do que fiscalizador.
Enfim, as mudanças existem e aos poucos você vai percebendo-as e incorporando-as ao seu
comportamento, à medida que aumenta seu conv́ıvio no meio universitário. Nosso objetivo
então, inicialmente, é nos dispormos a acompanhá-lo nesse processo, ajudando a superar
as dificuldades para obter um bom desempenho acadêmico. Nesse sentido, além de contar
com o professor para auxiliá-lo no estudo dessa disciplina, você também pode contar com
os bolsistas do Projeto GAMA (Grupo de Apoio em Matemática), cujos horários e locais de
atendimento estarão dispońıveis em wp.ufpel.edu.br/projetogama.
2
Em relação a disciplina MAT045 - Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica, digo que teremos
muitas conceitos para abordar, compreender e aplicar, exigindo assim, de mim e de você,
muito ritmo de estudo e dedicação para que as idéias principais de cada conteúdo sejam
realmente aprendidas. Como o conteúdo é extremamente extenso, essas notas de aula visam
apresentar um resumo dos tópicos propostos no programa da disciplina. O texto completo,
que deve ser consultado e estudado para aprofundamento dos tópicos e suas aplicações,
encontra-se em
• Boldrini, José et alii. Álgebra Linear. 3ed, São Paulo, Harper & Row do Brasil, 1980.
• Boulos, P. e Camargo, I., Geometria Anaĺıtica, um tratamento vetorial. Prentice Hall,
São Paulo, 3ed., 2005.
• Steinbruch, Alfredo & Winterle. Geometria Anaĺıtica. 2ed. São Paulo, McGraw-Hill,
1987.
Um grande abraço, bons estudos e um excelente aproveitamento
Profa. Luciana Chimendes
Texto adaptado de Walter Antonio Bazzo e Luiz Teixeira do Vale Pereira. Introdução à Engenharia. Série
didática da UFSC. Florianópolis,1996.
3
2 Matrizes
Muitas situações que estudamos nos levam a registrar dados que são organizados em tabelas,
como por exemplo, o registro da temperatura de três substâncias em diferentes horas da
manhã:
Substância I Substância II Substância III
8h −1.00C 120C 500C
9h 0.70C 00C 450C
10h 1.00C −50C 3500C
11h 1.50C 00C 300C
Considerando somente os números organizados em linhas e colunas, obtemos o quadro
A =








que é chamado matriz. De forma geral, uma matriz de ordem m por n um quadro de
m× n elementos (números, funções...) dispostos em m linhas e n colunas
A =







a11 a12 a13 . . . a1n
a21 a22 a23 . . . a2n
a31 a32 a33 . . . a3n
...
...
...
. . .
...
am1 am2 am3 . . . amn







e representamos a ordem da matriz por A(m,n) ou Am×n; cada elemento da matriz
por aij , onde o primeiro ı́ndice, i, indica a linha e o segundo, j, a coluna a que o elemento
pertence.
Exemplo 2.1 : indique a ordem, número de linhas, colunas e enumere os elementos da
matriz A representada acima.
2.1 Matrizes especiais
Ao utilizarmos matrizes para representar diversas situações que trabalhamos, ou problemas
que resolvemos, observamos que algumas delas apresentam caracteŕısticas especiais e, assim,
também recebem uma denominação espećıfica. Vejamos algumas delas.
- Matriz linha: é a matriz de ordem 1× n
A =
[
a11 a12 a13 . . . a1n
]
.
- Matriz coluna: é a matriz de ordem m× 1
A =







a11
a21
a31
...
am1







.
4
- Matriz quadrada: é uma matriz de ordem n× n
A =







a11 a12 a13 . . . a1n
a21 a22 a23 . . . a2n
a11 a32 a33 . . . a3n
...
...
...
. . .
...
an1 an2 an3 . . . ann







.
- Matriz diagonal: é uma matriz quadrada que tem os elementos aij = 0
quando i 6= j
A =







a11 0 0 . . . 0
0 a22 0 . . . 0
0 0 a33 . . . 0
...
...
...
. . .
...
0 0 0 . . . ann







.
-Matriz identidade: é a matriz diagonal que possui todos elementos igual a um. Indica-se
a matriz identidade por I.
Exemplo 2.2 : construir a matriz identidade de ordem 2× 2 e 3× 3.
2.2 Operações com matrizes
Organizado os dados em linhas e colunas, ou seja, em matrizes, podemos realizar operações
entre elas.
1. Igualdade de matrizes Duas matrizes A = (aij) e B = (bij), de ordem m × n, são
iguais se, e somente se, aij = bij , para todos i, j.
Exemplo 2.3 : dadas as matrizes a seguir, determine os valores de a, b, c para que elas
sejam iguais.
[
3 5 −2
1 b 4
]
=
[
3 5 a
1 7 c
]
Exemplo 2.4 : determine os valores de x e de y para que A = B, onde A e B são definidas
por
A =
[
2x 3
6 −3
]
B =
[
1/4 3
(4− y) −3
]
Exemplo 2.5 : calcule os valores de a, b, c para que obtenhamos a igualdade entre as ma-
trizes C e D.
C =


(−2a− 1) 0 4
−3 −(b+ 1)/3 1
0 0 0

 D =


−1 0 4
−3 2 1
0 0 (c2 − 4)


Exemplo 2.6 : calcule m e n para que A = B, onde
A =
[
(2m2 − 2m) −4
1 6
]
B =
[
4 −4
1 (n2 − 10)
]
5
2. Matriz transposta A matriz transposta da matriz A, de ordem m por n, é obtida
permutando-se as linhas pelas colunas e denotamos essa nova matriz por AT .
Exemplo 2.7 : seja a matriz A. Determine AT e sua ordem.
A =
[
−2 0 1/2
0 −5 3
]
Exemplo 2.8 : a) dada a matriz
B =


1 5 9
5 3 8
9 8 7

 ,
determine a matriz BT .
b) O que podemos concluir sobre B e BT ?
Observação: dada uma matriz An×n, se A
T = A, então dizemos que
A é uma matriz simétrica.
Exemplo 2.9 : determine x de modo que a matriz A seja simétrica:
A =
(
−2 x2
4 0
)
3. Adição e subtração de matrizes A soma de duas matrizes A = (aij) e B = (bij), de
ordem m× n, é uma matriz C = (cij),de mesma ordem, tal que
cij = aij + bij .
A diferença A − B de duas matrizes, de mesma ordem, é uma matriz Dm×n, onde cada
elemento é obtido da forma
dij = aij − bij .
Exemplo 2.10 : dadas as matrizes
A =
[
2 5 −7
3 −2 4
]
B =
[
4 3 −2
8 9 1
]
,
determine, se posśıvel: a) A+B; b)A +BT ; c) A−B; d)B − A.
Exemplo 2.11 : Dadas as matrizes
A =
[
a− 1 3
2 0
]
B =
[
(a2 − 2a) b
−2 −b
]
C =
[
−3 0
4 3
]
a) calcule A− B;
b) determine os valores de a, b para que A− B = C.
6
4. Produto de uma matriz por um escalar
Se k é um escalar, o produto de uma matriz A = (aij) por esse escalar é uma matriz
B = (bij), tal que
bij = kaij .
Exemplo 2.12 : considerando a matriz A, indicada abaixo, realize as seguintes operações:
a) B = 5A; b) C = −2A.
A =
(
4 −2 1
3 5 −3
)
5. Multiplicação de matrizes
O produto de uma matriz Am×n e Bn×p, é uma matriz Cm×p, obtida através do produto de
cada linha de A por cada coluna de B, ou seja os elementos da matriz produto serão obtidos,
por exemplo, da seguinte maneira:
a11 = produto da 1
a linha de A pela 1a coluna de B;
a12 = produto da 1
a linha de A pela 2a coluna de B;
a13 = produto da 1
a linha de A pela 3a coluna de B...
a21 = produto da 2
a linha de A pela 1a coluna de B;
a22 = produto da 2
a linha de A pela 2a coluna de B;
a23 = produto da 2
a linha de A pela 3a coluna de B...
Note que: o produto AB só é posśıvel se o número de linhas de B é igual ao número de
colunas de A:
Figure 1:
Exemplo 2.13 : determine A.B, onde
A =
[
2 4 3
1 −1 4
]
B =


1 0
2 1
−3 5

 .
7
Exemplo 2.14 : calcule os produtos, se posśıvel: A.X e X.A:
A =
[
2 7
3 5
]
X =
[
x
y
]
.
2.3 Exerćıcios propostos
1. Calcular m e n para que obtenhamos A = B, em cada caso abaixo:
a)
A =
[
8 15
(12−m)/3 3
]
B =
[
8 2n− 3
6 3
]
.
b)
A =
[
(m2 − 40) (n2 + 4)
6 3
]
B =
[
41 13
6 3
]
.
c)
A =


2 −8
4 m2
0 (−2n + 1)

 B =


2 −8
4 (10m− 25)
0 (n2 + 2)

 .
2. Dadas as matrizes a seguir, determine, se posśıvel:
a) A +B − C b) AT +BT
c) (4C − 6B)T d) A.B
e) AT .B f) 2CT − AT
A =
[
2 3 8
4 −1 −6
]
B =
[
5 −7 −9
0 4 1
]
C =
[
0 9 8
1 4 6
]
3. Determine a matriz B tal que A−B = 0.
A =
[
−2 1
0 −3
]
4. Considerando as seguintes matrizes
A =
[
1 6
−3 x
]
B =
[
y + 2 0
6 x+ 4
]
C =
[
−5 6
3 −2
]
determine:
a) A +B
b) os valores de x e y para que A+B = C
c) A.B
d) os valores de x e y para que A.B = C.
8
2.4 Respostas dos exerćıcios propostos
1. a) m = -6; n = 9
b) n = -3 ou +3; m -9 ou +9
c) m = 5; n = -1
2. a)
[
7 −13 −9
3 −1 −11
]
b)


7 4
−4 3
−1 −5


c)


−30 4
78 −8
86 18


d) Não é posśıvel
e)


10 2 −14
15 −25 −28
40 −80 −78


f)


−2 −2
15 9
8 18


3. B = A
4. a)
[
y + 3 6
3 2x+ 4
]
b) x = -3; y = - 8
c)
[
y + 38 24 + 6x
6x− 3y − 6 x2 + 4x
]
d) Os valores de x e y encontrados, não satis-
fazem todas as equações.
2.5 Utilizando ferramentas computacionais
A maioria dos softwares ou programas matemáticos trabalham com matrizes. Os mais
simples de se utilizar são as planilhas, como por exemplo do Excel, nas quais digitamos ou
inserimos os valores e podemos utilizar funções já definidas para trabalhar com matrizes.
Estude como utilizar o Excel para trabalhar com matrizes e resolva os problemas propostos
utilizando multiplicação de matrizes.
Problema 1. Se as notas de cinco alunos em 4 avaliações são as seguintes
Aluno 1: 3.0, 5.8, 6.4, 5.0
Aluno 2: 7.7, 7.0, 7.5, 8.0
Aluno 3: 6.5, 6.8, 7.5, 6.0
Aluno 4: 8.0, 6.0, 7.0, 8.0
Aluno 5: 5.5, 7.7, 8.0, 6.5
e o peso de cada avaliação, respectivamente, é 6, 2,1,1, calcule a média desses alunos.
Problema 2. Uma companhia manufatura três produtos. Suas despesas de produção são
divididas em três categorias. Em cada categoria é feita uma estimativa do custo de produção
de um item de cada produto. Essas estimativas são dadas nas Tabelas 1 e 2. Na reunião
de acionistas, a companhia gostaria de apresentar uma tabela mostrando o custo em cada
trimestre em cada uma das três categorias: matérias-primas, mão de obra e outras despesas.
a) De que forma pode ser obtida a tabela com o custo total desejado?
b) Matricialmente, apresente o cálculo e o resultado desejado.
9
c) Como obter o custo total em cada trimestre?
Table 1: Custos de Produção por Item (dólares)
Despesas Produto A Produto B Produto C
Matérias-primas 0,10 0,30 0,15
Mão de obra 0,30 0,40 0,25
Outras despesas 0,10 0,20 0,15
Table 2: Quantidade Produzida por Trimestre
Produto Verão Outon0 Inverno Primavers
A 4000 4500 4500 4000
B 2000 2600 2400 2200
C 5800 6200 6000 6000
3 Sistemas de equações lineares
A solução de sistemas lineares é uma ferramenta matemática muito importante em várias
áreas do conhecimento, especialmente quando associada às matrizes. Nesta unidade, vamos
definir o que é uma equação linear, a forma de um sistema linear, sua classificação e métodos
de resolução.
Equação linear
Ao resolvermos problemas que envolvem incógnitas (que são as variáveis) a serem determi-
nadas, estamos sempre trabalhando com equações.
Por exemplo, quando queremos descobrir a medida do lado de um quadrado cuja área
adicionada ao dobro do lado é igual a 3, resolvemos a seguinte equação :
x2 + 2x = 3.
Considerando um segundo exemplo, se queremos determinar a velocidade que um corpo
atinge após t segundos, sabendo que partiu a uma velocidade de 2m/s, com uma aceleração
constante de 1m/s2, resolvemos a equação :
v = v0 + at
v = 2 + t
v − t = 2
Dessas duas equações, somente a do segundo exemplo é uma equação linear, pois é da
forma
a1x1 + a2x2 + a3x3 + . . .+ anxn = b,
10
onde:
• x1, x2, x3, . . . , xn são as variáveis,
• a1, a2, a3, . . . , an são os coeficientes e
• b é o termo independente.
Exemplo 3.1 : classifique as equações em linear ou não-linear
i) 4x+ 3y − 2z = 0
ii) 2x− 3y − w = −3
iii) 3x+ 3y
√
x = −4
iv) x2 = 9
v) x1 − 2x2 + 5x3 = 1
3.1 Solução de uma equação linear
Dada uma equação linear a1x1+a2x2+a3x3+...+anxn = b, procuramos uma n-upla ordenada
(x1, x2, x3, ..., xn), que torne a igualdade verdadeira. Dizemos então que (x1, x2, x3, ..., xn) é
solução da equação.
Exemplo 3.2 : Encontre a solução das seguintes equações, se existir:
a) 2x− 7 = 0, ou seja a 6= 0
b) ax+ b = 0, se a = b = 0
c) ax+ b = 0, se a = 0 e b 6= 0
Exemplo 3.3 : Verifique se a tripla ordenada (2, 1,−3) é solução da equação linear 2x −
y + z = 1.
3.2 Sistemas de Equações lineares
Na natureza, as coisas estão sempre mudando, se transformando e o ser humano, para garan-
tir sua sobrevivência e melhorar sua existência, precisa conhecer e dominar estes processos
de mudança. Um dos métodos encontrados para se descrever estas transformações foi o de
procurar nestas o que permanece constante durante a mudança. Vejamos um exemplo:
Sabemos que o hidrogênio (H2) reage com o oxigênio (O2) para produzir água (H2O). Mas
quanto de hidrogênio e de oxigênio precisamos? Esta é uma mudança que podemos descrever
do seguinte modo: x moléculas de H2 reagem com y moléculas de O2 produzindo z moléculas
de H2O, ou esquematicamente
xH2 + yO2 −→ zH2O. (1)
O que permanece constante nessa mudança?
Como os átomos não são modificados, o número de átomos de cada elemento no ińıcio da
reação deve ser igual ao número de átomos desse mesmo elemento, no fim da reação. Assim,
para o hidrogênio devemos ter 2x = 2z, e para o oxigênio, 2y = z. Portanto, as nossas
incógnitas x, y e z devem satisfazer as equações:
{
2x− 2z = 0
2y − z = 0
Este procedimento que consiste em identificarmos o que permanece constante na mundança,
leva a obtermos um conjunto de equações, ou seja, um sistema de equações que, em muitos
casos são lineares, como no exemplo anterior.
11
Assim, de forma geral, um sistema de equações lineares com m equações e n incógnitas é
um conjunto de equaçõesdo tipo













a11x1 + a12x2 + a13x3 + . . .+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 + . . .+ a2nxn = b2
a31x1 + a32x2 + a33x3 + . . .+ a3nxn = b3
...
am1x1 + am2x2 + am3x3 + . . .+ amnxn = bm
Evidentemente, você já sabe um pouco como resolver este tipo de sistema, mas quando
o número de equações se torna muito grande, ou temos menos equações do que incógnitas
(como no exemplo citado anteriormente), podem surgir muitas dúvidas, até mesmo sobre a
existência ou não de solução para o sistema.
Por outro lado, em sistemas que apresentam mais do que uma solução é necessário ter-se
uma forma clara de se expressar todas elas. Por exemplo, no sistema apresentado nessa
seção, você pode encontrar duas soluções distintas para (x, y, z) (por exemplo, (1, 1/2, 1)
e (2, 1, 2)), mas só o terá resolvido se conseguir expressar o conjunto de todas as soluções
posśıveis. Por isso, nosso objetivo nesse caṕıtulo é estudar um método para a resolução de
sistemas lineares em geral. A técnica que será utilizada pode não ser a melhor no caso de
sistemas muito simples, mas tem a vantagem de poder ser aplicada sempre e ser facilmente
mecanizada. É particularmente útil em sistemas com grande número de incógnitas onde o
uso de calculadoras é inevitável. Em śıntese, este método consiste em substituir o sistema
inicial por sistemas cada vez mais simples, sempre ”equivalentes” ao original. Antes de
apresentarmos este método, vamos formalizar alguns conceitos.
3.3 Solução de sistemas lineares
Dizemos que a sequência ordenada (x1, x2, x3, ..., xn) é solução de um sistema linear de n
variáveis quando é solução de cada uma das equações do sistema.
Exemplo 3.4 : Verifique se (1,−1, 0) é solução dos seguintes sistemas:
{
2x+ 3y + z = −1
x− 2y − z = 3
{
3x− y + 2z = 4
2x+ 2y + z = 1
3.4 Sistemas e matrizes
Observe a seguinte multiplicação de matrizes A.X = B,







a11 a12 a13 . . . a1n
a21 a22 a23 . . . a2n
a11 a32 a33 . . . a3n
...
...
...
. . .
...
am1 am2 am3 . . . amn







.







x1
x2
x3
...
xn







=







b1
b2
b3
...
bn







onde A é a matriz dos coeficientes, X é a matriz das incógnitas e B, a matriz dos termos
independentes.
12
Realizando essa multiplicação, obtemos o seguinte conjunto de equações lineares:













a11x1 + a12x2 + a13x3 + . . .+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 + . . .+ a2nxn = b2
a31x1 + a32x2 + a33x3 + . . .+ a3nxn = b3
...
am1x1 + am2x2 + am3x3 + . . .+ amnxn = bm
Assim percebemos que ums sistema pode ser representado na forma de multiplicaçao de
matrizes. Nessa multiplicaçao, a matriz dos coeficientes e dos termos independentes, podem
ser representadas numa única matriz, que serénto chamada de MATRIZ AMPLIADA do
sistema:
A =







a11 a12 a13 . . . a1n b1
a21 a22 a23 . . . a2n b2
a11 a32 a33 . . . a3n b3
...
...
...
...
. . .
...
am1 am2 am3 . . . amn bm







A matriz ampliada do sistema é que utilizaremos na resolução do sistema.
Exemplo 3.5 : escreva a matriz ampliada de cada sistema a seguir
a)



x1 + 4x2 + 3x3 = 1
2x1 + 5x2 + 4x3 = 4
x1 − 3x2 − 2x3 = 5
b)



x = 1
4x− y = 4
4y − 3x = −1
3.5 Métodos de Solução de Sistemas Lineares
Existem muitos métodos de solução de sistemas lineares, alguns inclusive já conhecidos
e trabalhados por você. Aqui apresentaremos o método da diagonalização, que consiste
basicamente em realizar operações elementares na matriz ampliada do sistema, método para
o qual daremos maior ênfase, por ser o que mais utizaremos no nosso estudo. Depois, no
próximo caṕıtulo, discutiremos o o método de Krammer, cuja base de solução envolve o
cálculo de determinantes.
Método da Diagonalização
O método da diagonalização consiste em transformar o sistema inicial em outro mais sim-
ples, mas equivalente ao original, aplicando operações elementares em sua matriz ampliada.
A forma mais simples da matriz ampliada em que se deseja chegar é a chamada forma escada,
que também definiremos a seguir.
Iniciemos descrevendo as três as operações elementares posśıveis sobre as linhas de uma
matriz:
i) Permuta das i-ésima e j-ésima linhas (Li → Lj)
13
Exemplo 3.6 : Copie a matriz ampliada do primeiro sistema, apresentado no
exemplo 3.5, e realize a operação elementar L2 → L3, ou L23
ii) Multiplicação da i-ésima linha por um escalar não-nulo k (Li → kLi)
Exemplo 3.7 : A partir da matriz obtida no exemplo anterior, realize L2 → −
1
3
L2
iii) Substituição da i-ésima linha pela i-ésima linha mais k vezes a
j-ésima linha (Li → Li + kLj)
Exemplo 3.8 : Realize L3 → L3 − 2L1, na matriz obtida no
exemplo anterior.
Definição: Se A e B são matrizes m × n, dizemos que B é linha equivalente a A, se B
for obtida de A através de um número finito de operações elementares sobre as linhas de A.
Notação: A → B ou A ∼ B.
Exemplo 3.9 : Escreva a matriz dos coeficientes do segundo sistema, apresentado no exem-
plo 3.5, e obtenha uma matriz B, linha equivalente a A, realizando, na sequência indicada,
as seguintes operações elementares e registre suas observações sobre o resultado obtido em
cada linha.
a) L2 → L2 − 4L1
b) L3 → L3 + 3L1
c) L2 → −L2
d) L3 → L3 − 4L2
A matriz B obtida no final dessas operações elementares é da forma escada, conforme
poderás observar a partir da definição a seguir.
Forma Escada
Uma matriz m× n é linha reduzida à forma escada se:
a) O primeiro elemento não nulo de uma linha não nula é 1.
b) Cada coluna que contém o primeiro elemento não nulo de alguma linha tem todos os
seus outros elementos iguais a zero.
c) Toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas não nulas (isto é, daquelas que possuem
pelo menos um elemento não nulo).
d) Se as linhas 1, ..., r são linhas não nulas e se o primeiro elemento não nulo da linha i
ocorre na coluna ki, então k1 < k2 < k3 < ...kr.
Esta última condição impõe a forma escada à matriz, ou seja, o número de zeros precedendo
o primeiro elemento não nulo de uma linha aumenta a cada linha, até que sobrem somente
linhas nulas, se houver.
Método de Gauss
Este método para resolução de sistemas é um dos mais adotados quando se faz uso do
computador, devido ao menor número de operações que envolve. Ele consiste em se reduzir
a matriz ampliada do sistema por linha-equivalência a uma matriz que s difere da linha
14
reduzida à forma escada na condição b), que passa a ser: b’) cada coluna que contém o
primeiro elemento não nulo de alguma linha, tem todos os elementos abaixo desta linha
iguais a zero. Uma vez reduzida a matriz ampliada a esta forma, a solução final do sistema
é obtida por substituição.
Exemplo 3.10 : Verifique se as matrizes a seguir estão na forma escada
a)
A =


1 0 0 0
0 1 −1 0
0 0 0 0


b)
B =


0 2 1
1 0 −3
0 0 0


c)
C =


0 1 −3 0 1
0 0 0 0 0
0 0 0 −1 2


d)
D =


0 1 −3 0 2
0 0 0 1 2
0 0 0 0 0


Posto e nulidade de uma matriz
A forma escada de uma matriz nos permite definir dois conceitos importantes para se
analisar se um sistema possui solução: o posto e a nulidade de uma matriz.
Definição: Dada uma matriz Am×n, seja Bm×n a matriz linha reduzida à forma escada,
linha equivalente a A. O posto de A, é o número de linhas não nulas de B.
Utilizaremos a seguinte notação:
pa: posto da matriz ampliada;
pc: posto da matriz dos coeficientes;
se pa = pc, então podemos denotar apenas por p.
Definição: Dada uma matriz Am×n, seja Bm×n a matriz linha reduzida à forma escada,
linha equivalente a A. Considerando n o número de colunas da matriz dos coeficientes (que
corresponde ao número e variv́eis do sistema), a nulidade da matriz A é o número nul= n−p.
Observe que só determinaremos a nulidade da matriz quando o posto da matriz ampliada
for igual ao da matriz doscoeficientes.
Exemplo 3.11 : Considere a matriz A.
A =


1 2 1 0
−1 0 3 5
1 −2 1 1


15
a) Se interpretarmos a matriz A dada acima como sendo uma matriz ampliada, escreva o
sistema linear que ela representa.
b) Determine a forma escada dessa matriz.
c) Determine pa, pc, nul A.
d) Classifique o sistema quanto ao número de soluções e apresente-as, se existirem.
Exemplo 3.12 : Responda as mesmas questões do exemplo anterior agora considerando
a matriz B.
B =




2 −1 3
1 4 2
1 −5 1
4 16 8




Observação: O sistema do exerćıcio anterior possui equações redundantes. A terceira e
a quarta equações (que se tornam nulas no final do processo) podem ser desprezadas. Isto
significa que o sistema inicial (associada à matriz B de ordem 4×2), é equivalente ao sistema
obtido pela matriz na forma escada (matriz de ordem 2× 2). Dizemos também que as duas
primeiras equações são independentes e que as demais são dependentes destas.
Ainda segundo esta terminologia, denominamos posto de uma matriz ao número de linhas
independentes desta. Você pode observar que uma linha será dependente de outra (isto
é, será igual a zero no final do processo de redução) se ela puder ser escrita como soma
de produtos destas outras linhas por constantes: ela é combinação linear das outras. Por
exemplo, na matriz B podemos dizer que a primeira e a segunda linhas são independentes,
enquanto que a terceira e a quarta são combinações lineares das duas primeiras linhas.
Você viu assim que o posto da matriz ampliada de um sistema nos dá o número de equações
independentes deste. Este fato também nos ajuda a verificarmos se um sistema tem solução,
ou seja, veremos que o posto também está relacionado com o número de soluções de um
sistema.
O teorema a seguir, relaciona o posto de uma matriz com o seu número de soluções.
Teorema:
i) Um sistema de m equações e n incógnitas admite solução se, e somente se, o posto da
matriz ampliada é igual ao posto da matriz dos coeficientes.
ii) Se as duas matrizes tem o mesmo posto p e p = n, a solução será única.
iii) Se as duas matrizes têm o mesmo posto p e p < n, podemos escolher n − p incógnitas
(grau de liberdade do sistema), e as outras p incógnitas serão dadas em função destas.
Assim, podemos construir o seguinte esquema:
16
Exemplo 3.13 : Dadas as matrizes linha reduzida à forma escada de uma matriz ampli-
ada, indique o posto da matriz dos coeficientes, da matriz ampliada, o grau de liberdade e
classifique o sistema.
a)


1 0 0 3
0 1 0 −2
0 0 1 2

 b)
[
1 0 7 −10
0 1 5 −6
]
c)


1 0 7 −10
0 1 5 62
0 0 0 2

 d)


1 0 −10 −2 −10
0 1 7 1 4
0 0 0 0 0


3.6 Escrevendo os passos para determinar a solução geral de um
sistema linear
Vimos até aqui, que é posśıvel resolver sistemas de equações lineares através de matrizes.
Vamos então registrar os procedimentos que realizaremos, considerando como exemplo, o sis-
tema proposto no ińıcio do caṕıtulo, relativo à quantidade de hidrogênio e oxigênio necessária
para formar a água:
{
2x− 2z = 0
2y − z = 0
1. Escrevemos a matriz ampliada associada ao sistema.
2. Usando operações elementares, reduzimos a matriz à forma escada.
3. Conclúımos se o sistema possui solução, aplicando o teorema que relaciona o posto da
matriz com o número de soluções.
4. Escrevemos o sistema equivalente obtido a partir da matriz reduzida à forma escada.
5. Se o sistema tiver alguma variável livre (grau de liberdade), chamamos essas variáveis
de λ e escrevemos o sistema equivalente ao original, obtido no final do processo de redução.
6. Podemos também obter a solução básica, atribuindo valores 1 e zero para os parâmetros
λ.
Exemplo 3.14 : Resolver o sistema
{
x+ 2y + z + t = 0
x+ 3y − z + 2t = 0
17
Observação: Vimos que sistemas indeterminados resultam em soluções que são conjun-
tos de pontos: pares ordenados (x, y), trios ordenados (x, y, z)... Estes conjuntos de pontos
podem representar retas, planos ou outros conjuntos de pontos. Nosso objetivo é saber iden-
tificar, quando posśıvel, estes tipos de conjuntos e isto será realizado nos próximos caṕıtulos,
depois de estudarmos os determinantes, que possuem importantes aplicações associadas a
matrizes quadradas.
3.7 Exerćıcios propostos
Resolva os seguintes sistemas de equações lineares.
1)
{
3x+ 5y = −1
9y + 4x = −6
2)



4a− b− 3c = 15
3a− 2b+ 5c = −7
2a+ 3b+ 4c = 7
3)



x+ 2y + 3z = 10
3x+ 4y + 6z = 23
3x+ 2y + 3z = 10
4)



2x1 + 3x2 + 4x3 = 27
x1 − 2x2 + 3x3 = 15
3x1 + x2 + 7x3 = 42
5) Foram estudados três tipos de alimentos. Fixada a mesma quantidade (1 g) determinou-
se que:
i) o alimento I tem 1 unidade de vitamina A, 3 unidades de vitamina B e 4 unidades de
vitamina C;
ii) o alimento II tem 2, 3 e 5 unidades respectivamente, das vitaminas A, B e C;
iii) o alimento III tem 3 unidades de vitamina A, 3 unidades de vitamina C e não contém
vitamina B.
Se são necessárias 11 unidades de vitamina A, 9 de vitamina B e 20 de vitamina C, encon-
tre todas as posśıveis quantidades dos alimentos I, II e III, que fornecem a quantidade de
vitaminas desejada.
3.8 Respostas dos exerćıcios propostos
1. Posśıvel e determinado: x = 3 e y = -2
2. Posśıvel e determinado: a = 3; b = 3; c =
-2
3. Imposśıvel
4. Posśıvel e indeterminado: x1 = −
17
7
x3+
90
7
;
x2 =
2
7
x3 −
3
7
; x3 é livre.
Ou, na forma matricial


x1
x2
x3

 = λ


−17/7
2/7
1

 +


90/7
−3/7
0


5. Sejam x, y e z as quantidades de alimentos
I, II, III respectivamente. Então
x = −5 + 3z; y = 8− 3z onde 5
3
≤ z ≤ 8
3
18
4 Determinantes e Matriz inversa
A solução de sistemas lineares, por meio de matrizes, já era conhecida desde a antiguidade
(250 a. C.) e o uso de determinantes estava associado a estes cálculos, conforme podemos
notar nos exemplos a seguir.
No sistema linear ax = b, com a 6= 0, a solução é da forma x = b
a
. Observe que o
denominador é um número associado a matriz [a].
No caso de um sistema linear 2× 2,
{
a11x1 + a12x2 = b1
a21x1 + a22x2 = b2
resolvendo-o, desde que as operações sejam posśıveis, obtém-se a solução
x1 =
b1a22 − b2a12
a12a22 − a12a21
e x2 =
b2a11 − b1a21
a12a22 − a12a21
.
Observe que os denominadores são iguais e estão associados à matriz dos coeficientes do
sistema
[
a11 a12
a21 a22
]
.
Isto ocorre para sistemas n × n e iremos estudar esses números que aparecem nos denom-
inadores das soluções dos sistemas e que estão associados o às matrizes quadradas, que são
chamados de determinante.
Assim a toda matriz quadrada A está associado um número, que chamaremos determinante
de A e que representaremos por det A ou |A| , cujo cálculo estudaremos a seguir.
5 Cálculo do determinante de 2a ordem
Para calcular o determinante de uma matriz A, de ordem 2 × 2, fazemos o produto dos
elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária.
Assim
detA = a11a22 − a12a21 .
Exemplo 5.1 : dada a matriz
A =
[
7 5
2 3
]
,
determine o valor de det A.
Exemplo 5.2 : resolva a equação
∣
∣
∣
∣
6x 2
3x x
∣
∣
∣
∣
= −12.
6 Cálculo do determinante de 3a ordem
Para calcular o determinante de uma matriz A, de ordem 3 × 3, vamos utilizar a regra de
Sarrus, que consiste em realizar os seguintes procedimentos:
10) Repetimos as duas primeiras colunas à direita da matriz A.
19
20) Multiplicamos os três elementos da diagonal principal, bem como os três elementos
de cada paralela a essa diagonal, mantendo o sinal de cada produto.
30) Multiplicamos os três elementos da diagonal secundária, bem como os de cada paralela
a essa diagonal, trocando o sinal de cada produto.
40) Somamos todos os produtos obtidos.
Exemplo 6.1 : dada a matriz B abaixo, determine o valor do det B.
B =


2 4 3
1 −5 7
−3 8 9


Exemplo 6.2 : resolva a equação
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 −1 1
−1 (5− x) −1
1 −1 (3− x)
∣
∣
∣∣
∣
∣
= 0
Exemplo 6.3 : determine o valor de x de modo que det B = 8, onde
B =


3 2 x
1 −2 x
2 −1 x


6.1 Cálculo do determinante de ordem maior
Para matrizes de ordem maior que n = 3, usaremos o desenvolvimento de Laplace, que é
uma fórmula de recorrência que permite calcular o determinante de uma matriz de ordem n,
a partir dos determinantes das submatrizes quadradas de ordem n− 1. Para entendermos o
procedimento, observemos que, para o caso de uma matriz A, de ordem 3× 3, temos
|A| =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= a11a22a33 − a11a23a32 − a12a21a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31.
Mas esta soma pode ser escrita de uma outra forma
= a11(a22a33 − a23a32)− a12(a21a33 + a23a31) + a13(a21a32 − a22a31),
ou ainda, usando determinantes de segunda ordem, para os termos que estão nos parênteses,
obtendo
|A| = a11|A11| − a12|A12|+ a13|A13| =
3
∑
j=1
(−1)1+ja1j |A1j |
onde A1j é a submatriz da inicial, de onde a primeira linha e a j-ésima coluna foram retiradas.
Neste caso, dizemos que o determinante foi desenvolvido pela primeira linha.
De forma geral, para uma matriz A, de ordem n × n, o cálculo do determinante de A é
então dado pela fórmula
detA =
n
∑
j=1
(−1)i+jaij|Aij |.
Observação: ao número ∆ij = (−1)i+j|Aij | (que é o determinante afetado pelo sinal
(−1)i+j da submatriz Aij), chamamos cofator ou complemento algébrico do elemento aij .
Observe que na fórmula dada, o determinante foi ”desenvolvido” pela i-ésima linha. Uma
forma análoga é válida para as colunas.
20
Exemplo 6.4 : calcule det A, onde
A =




−1 2 3 −4
4 2 0 0
−1 2 −3 0
2 5 3 1




R : 372
Exemplo 6.5 : calcule |B|, onde
B =


1 −2 3
2 1 −1
−2 −1 2

 R : 5
Exemplo 6.6 : verifique o que ocorre com o determinante da matriz anterior, se realizarmos
antes a seguinte operação nas linhas da matriz B: L3 → L3 + L2.
6.2 Propriedades dos determinantes
O exemplo anterior nos mostra que o determinante apresenta algumas propriedades:
1) detA = detAT ; dáı inferimos que as propriedades que são válidas para linhas também o
são para colunas.
2) Se A tem uma linha (ou uma coluna) de zeros, então detA = 0; a razão disso é que em
cada termo da somatória há um elemento da linha (ou coluna).
3) Trocando-se entre si duas linhas (ou colunas) de A, obtém-se −|A|, ou seja, o deter-
minante troca de sinal, isto porque alteramos a paridade do número de inversões dos
ı́ndices e, portanto trocamos o sinal dos termos.
4) Se A tem duas linha idênticas (ou colunas), então detA = 0; isto porque se trocarmos as
posições das linhas que são iguais, a matriz, e portanto, o determinante permanecerão
os mesmos. Por outro lado, pela propriedade anterior, o determinante deve trocar de
sinal e, portanto, a única possibilidade é que o determinante seja nulo.
5) Se multiplicarmos uma linha (ou uma coluna) da matriz A, por um número k, então o
determinante fica multiplicado por esse número, ou seja, obtemos k detA.
6) O determinante não se altera se somarmos a uma linha outra linha multiplicada por uma
constante (operações elementares).
7) det (A . B) = det A . det B.
Exemplo 6.7 : escolha matrizes de ordem 2 × 2 e verifique cada uma das propriedades
enunciadas acima. Repita o procedimento escolhendo agora matrizes de ordem 3× 3.
Tendo estudado o cálculo de determinantes e suas propriedades, vamos agora aplicá-los
em duas situações: encontrar a matriz inversa de uma matriz quadrada e resolver sistemas
lineares de ordem n × n. Mais adiante, no desenvolvimento dos outros caṕıtulos, outras
aplicações surgirão.
21
6.3 Matriz Inversa
Dada uma matriz quadrada A, de ordem n×n, se existir uma matriz quadrada B, de mesma
ordem, que satisfaça a condição AB = BA = I, onde I é a matriz identidade, dizemos que
B é a matriz inversa de A e representamos por A−1:
AA−1 = A−1A = I .
Exemplo 6.8 : dadas as matrizes abaixo, verifique se B = A−1.
A =
[
8 5
3 2
]
B =
[
2 −5
−3 8
]
Dada uma matriz quadrada A, procuraremos a partir de agora determinar se ela tem inversa
e quem seria essa matriz. Estudaremos dois métodos para determinar a inversa de uma
matriz: por meio de operações elementares (já vistas no caṕıtulo anterior) e por meio de
determinante. Para isso, vamos precisar de algumas definições que apresentamos agora.
Matriz inverśıvel: é uma matriz quadrada An×n que possui matriz inversa.
Matriz singular: é uma matriz quadrada An×n que tem determinante igual a zero:
detA = 0.
Teorema: Uma matriz quadrada A admite uma inversa se, e somente se, det A 6= 0.
IMPORTANTE:
Assim se o detA = 0, podemos concluir que a matriz não é inverśıvel, ou seja, uma
matriz singular não tem inversa.
Exemplo 6.9 : quais das matrizes abaixo não são inverśıveis?
A =
[
−1 2
0 4
]
B =
[
5 10
2 4
]
C =


0 2 0
1 6 1
−3 4 −3


Matriz dos cofatores: é uma matriz formada com os cofatores da matriz original e deno-
tamos por
A = [∆ij ] = (−1)i+j |Aij|.
Exemplo 6.10 : dada a matriz:
A =


2 1 0
−3 1 4
1 6 5


verifique que
A =


−19 19 −19
−5 10 −11
4 −8 5


Matriz adjunta: é a matriz transposta da matriz dos cofatores de A e denotamos por
ajdA = A
T
.
22
Exemplo 6.11 :
a) escreva a matriz adjunta de A, apresentada no exemplo anterior;
b) calcule det A;
c) calcule A . adj A;
A partir desse exemplo, podemos observar que
A . adj A = -19 I = (det A) I.
Esse resultado não é um caso isolado e é expresso no seguinte teorema, que nos fornece uma
ferramenta para calcularmos então a matriz inversa de A.
Teorema: A . adj A = (det A) I.
6.4 Cálculo da inversa de uma matriz
Aqui apresentaremos duas formas de se obter a inversa de uma matriz: por meio de deter-
minantes e por operações elementares. Na primeira forma, partimos do teorema da seção
anterior e escrevemos
A.adj A = (det A).I
A.
adj A
det A
= I
de onde conclúımos que
A−1 =
1
det A
.adj A.
Exemplo 6.12 : determine a inversa das matrizes
a)A =


2 1 0
−3 1 4
1 6 5


b) B =
[
2 3
1 4
]
Na segunda forma, utiliza-se o fato de que a mesma sucessão finita de operações elementares
que transformam uma matriz quadrada A na matriz identidade I, transforma a matriz I na
matriz A−1, inversa de A.
Assim, de forma prática, para determinarmos a matriz inversa de A realizamos os seguintes
procedimentos:
1. colocamos ao lado da matriz A a matriz identidade I;
2. transformamos, por meio de operações elementares, a matriz A na matriz identidade;
3. simultaneamente, as mesmas operações que realizamos em A, efetuamos na matriz I
que está à direita;
4. a matriz obtida à direita é a matriz A−1.
Exemplo 6.13 : determine a matriz inversa da matriz a seguir e das matrizes do exemplo
anterior, utilizando operações elementares:
M =
[
7 6
3 4
]
N =


1 −3 1
−2 3 −1
−1 2 −1


23
6.5 Solução de sistemas
Conforme comentamos no caṕıtulo anterior, podemos utilizar determinantes para resolver
sistemas lineares. Este método é conhecido como método de Cramer e o descrevemos
brevemente a seguir.
Este é um método restrito, pois resolve apenas sistemas de ordem n × n, ou seja, que
envolvem matrizes quadradas. Isto decorre do fato de que a base do método consiste em
utilizar o cálculo de determinantes, que só é posśıvel para matrizes quadradas.
Considere A, uma matriz de ordem n × n, a matriz dos coeficientes e B, a matriz dos
termos independentes associadas a um sistema. Denotaremos Ai a matriz obtida a partir
de A, trocando sua i-ésima coluna pela matriz B. A solução única x de Ax = B tem
componentes da forma
xi =
detAi
detA
.
Exemplo 6.14 : use a regra de Cramer para resolver o sistema
{
3x1 − 2x2 = 6
−5x1 + 4x2 = 8 R : x1 = 20 x2 = 27
6.6 Exerćıcios propostos
Considere as seguintes matrizes para resolver os exerćıcios de 1 a 5.
A =
[
2 5
4 3
]
B =
[
6 4
−3 −2
]
C =


2 1 1
0 5 −2
1 −3 4

 D =


3 −2 −4
2 5 −1
0 6 1

1. Calcule:
a) det A b) |B| c) det C
d) det D e) 2|A| − |B|+ 3|C|+ |D| f) 1/|A|
2. Quais matrizes não são inverśıveis? Justifique.
3. Calcule (A.B) e det (A.B).
4. Verifique se a igualdade é verdadeira: det(C.D) = detC.detD.
5. Determine:
a) A−1 b) C−1.
6. Resolva as seguintes equações:
a)
∣
∣
∣
∣
∣
∣
5 1 3
3x 0 1
7x 2 1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= 100
b)
∣
∣
∣
∣
∣
∣
x+ 3 x+ 1 x+ 4
4 5 3
9 10 7
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= −7
24
c)
∣
∣
∣
∣
∣
∣
2 x 2
1 1 x
1 1 6
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= −3
7. Determine a adjunta e a inversa da matriz
A =


2 1 3
1 −1 1
1 4 −2


8. Determine a inversa da matriz
C =
[
6 2
11 4
]
.
9. Resolva os sistemas de ordem n × n, propostos no caṕıtulo anterior, pela regra de
Cramer.
6.7 Respostas dos Exerćıcios Propostos
1. a) -14; b) 0; c) 21; d) -11; e) 24
2. A matriz B, pois det B = 0.
3. det(A.B) = 0
A.B =
[
−3 15
−2 10
]
4. É verdadeira.
5.
A−1 =
[
−3/14 5/14
2/7 −1/7
]
6. a) x = 5 b) x = 1 c) x = 3 ou x = 5
7.
adj A =


−2 14 4
3 −7 1
5 −7 −3

 A−1 =
1
14


−2 14 4
3 −7 1
5 −7 −3


8.
C
−1 =
[
2 −1
−11/2 3
]
.