AD2 PreCalculoEng 2017 2 gabarito

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Pre´-Ca´lculo para Engenharia AD2 - GABARITO 1
Questa˜o 1 [2,5 pontos] Considere as func¸o˜es p(x) = x4 + 3x3 − x2 − 3x e g : R → R definida
abaixo, respondendo os itens a seguir.
g(x) =

1 se x > 0;
0 se x = 0;
−1 se x < 0.
(a)(2,0) Fatore o polinoˆmio p(x) e fac¸a um estudo de sinais. Analise a func¸a˜o composta g ◦ p: para
quais valores de x temos g(p(x)) > 0, g(p(x)) < 0, e g(p(x)) = 0?
(b)(0,5) Descreva a func¸a˜o composta p ◦ g, isto e´, determine p(g(x)) para todo x ∈ R.
Soluc¸a˜o:
a) Temos que p(x) = x4+3x3−x2−3x = x(x3+3x2−x−3), e o fator de grau 3 possui 1 como raiz.
Usando o algoritmo de Briot-Ruffini para dividi-lo por x−1, temos p(x) = x(x−1)(x2+4x+3).
Por sua vez, o fator de grau 2 tem como ra´ızes −3 e −4, como se conclui usando a Fo´rmula de
Ba´shkara. Logo, p(x) = x(x− 1)(x+1)(x+3). Ordenando as ra´ızes, temos −3 < −1 < 0 < 1.
Vamos fazer um estudo de sinais:
x < −3 −3 < x < −1 −1 < x < 0 0 < x < 1 1 < x
x+ 3 − + + + +
x+ 1 − − + + +
x − − − + +
x− 1 − − − − +
p(x) + − + − +
O valor de g(p(x)) ira´ depender do sinal de p(x). Assim, olhando a tabela acima, temos:
• g(p(x)) = 0 se x = 0, x = −1, x = −3 e x = 1;
• g(p(x)) = 1 (e portanto > 0) se x ∈ (−∞,−3) ∪ (−1, 0) ∪ (1,∞);
• g(p(x)) = −1 (e portanto < 0) se x ∈ (−3,−1) ∪ (0, 1).
b) Agora vejamos a composta p(g(x)). Temos que g(x) assume apenas treˆs valores, −1, 0 e 1. Mas
estes valores sa˜o ra´ızes de p(x). Logo, para todo x ∈ R, p(g(x)) = 0.
Questa˜o 2 [2,5 pontos] Determine o dom´ınio da func¸a˜o
f(x) =
√
x2 + x−
√
x2 + 3x+ 2√
−x2 + 4x− 3 .
Soluc¸a˜o:
• Precisamos de x2 + x ≥ 0; as ra´ızes desse polinoˆmio sa˜o 0 e −1, e seu gra´fico e´ uma para´bola
com a concavidade para cima. Assim, x2 + x ≥ 0 apenas se x ≤ −1 ou x ≥ 0;
• ale´m disso, tambe´m desejamos ter x2+3x+2 ≥ 0. De forma ana´loga ao caso acima, as ra´ızes
desse polinoˆmio sa˜o −2 e −1, e seu gra´fico e´ uma para´bola com a concavidade para cima.
Assim, x2 + 3x+ 2 ≥ 0 apenas se x ≤ −2 ou x ≥ −1;
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Pre´-Ca´lculo para Engenharia AD2 - GABARITO 2
• Analisando o que temos ate´ aqui, precisamos tomar a intersec¸a˜o destes conjuntos: assim,
x ≤ −2 e x ≥ 0.
• finalmente, no denominador, devemos ter −x2 + 4x − 3 > 0. Mas temos que o gra´fico de
y = −x2 + 4x − 3 e´ uma para´bola com a concavidade para baixo, e suas ra´ızes sa˜o x = 1 e
x = 3; da´ı, −x2 + 4x− 3 > 0 somente se 1 < x < 3.
Considerando a intersec¸a˜o de todos estes intervalos, temos que o dom´ınio da func¸a˜o e´ o conjunto
(1, 3) = {x ∈ R; 1 < x < 3}.
Questa˜o 3 [2,5 pontos] Considere as func¸o˜es f(x) = x2− 3 e g(x) =
{ −2x+ 1, se x ≤ 1
x2 − 2, se x > 1
Encontre a expressa˜o de (g ◦ f)(x).
Soluc¸a˜o: Para facilitar a compreensa˜o se trocarmos o nome da varia´vel da func¸a˜o externa da
seguinte maneira:
g(y) =
{ −2y + 1, se y ≤ 1
y2 − 2, se y > 1
Comec¸ando pela func¸a˜o mais interna que e´ a func¸a˜o f(x) = x2 − 3, temos que substituir y por
f(x) = x2 − 3 na func¸a˜o acima.
Logo, g(f(x)) = g(x2 − 3) =
{ −2(x2 − 3) + 1, se x2 − 3 ≤ 1
(x2 − 3)2 − 2, se x2 − 3 > 1
(I) Se y ≤ 1 e y = x2 − 3 temos que g(y) = g(f(x)) = g(x2 − 3) = −2(x2 − 3) + 1 = −2x2 + 7.
Neste caso, como y = x2−3, devemos determinar o valor de x que satisfac¸a a inequac¸a˜o x2−3 ≤ 1.
x2 − 3 ≤ 1⇔ x2 ≤ 4⇔ x2 − 4 ≤ 0⇔ x ∈ [−2, 2].
A inequac¸a˜o foi resolvida estudando o sinal de p(x) = x2 − 4, como as ra´ızes sa˜o x = −2 e x = 2 e
o coeficiente de x2 e´ positivo, p(x) e´ negativo no intervalo entre as ra´ızes.
(II) Se y > 1, temos que g(y) = g(f(x)) = g(3− x2) = (x2 − 3)2 − 2 = x4 − 6x2 + 7.
Neste caso, como y = x2−3, devemos determinar o valor de x que satisfac¸a a inequac¸a˜o x2−3 > 1.
x2 − 3 > 1⇔ x2 > 4⇔ x ∈ (−∞,−2) ∪ (2,+∞).
A inequac¸a˜o foi resolvida estudando o sinal de p(x) = x2 − 4, como as ra´ızes sa˜o x = −2 e x = 2 e
o coeficiente de x2 e´ positivo, p(x) e´ positivo no intervalo fora das ra´ızes.
Logo, g(f(x)) =
{
x4 − 6x+ 7, se x < −2 ou x > 2
−2x2 + 7, se − 2 ≤ x ≤ 2
Questa˜o 4 [2,5 pontos]A partir do gra´fico da func¸a˜o f(x) = cos x, construa o gra´fico da func¸a˜o
g(x) = 3|f(2x)| − 1,para x ∈
[
−3pi8 ,
3pi
8
]
, indicando todos os passos.
Soluc¸a˜o:
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Pre´-Ca´lculo para Engenharia AD2 - GABARITO 3
Para esboc¸ar o gra´fico da func¸a˜o g(x) = 3|f(2x)| − 1 = 3| cos(2x)| − 1 a partir das transformac¸o˜es
do gra´fico da func¸a˜o f(x) = cos(x), podemos utilizar a seguinte sequeˆncia de transformac¸o˜es:
f(x) = cos(x) ⇒︸︷︷︸
(1)
cos(2x) ⇒︸︷︷︸
(2)
| cos(2x)| ⇒︸︷︷︸
(3)
g(x) = 3| cos(2x)| ⇒︸︷︷︸
(4)
g(x) = 3| cos(2x)| − 1
Conhecendo o gra´fico da func¸a˜o cosseno.
em (1): comprimir o gra´fico da func¸a˜o cosx em 2 unidades.
em (2): Como h(x) = |f(2x)|, temos que h(x) =
{
f(2x), se f(2x) ≥ 0
−f(2x), se f(2x) < 0 Sendo assim, basta
refletir a parte negativa do gra´fico da func¸a˜o cos(2x) em relac¸a˜o ao eixo x.Logo, o gra´fico da func¸a˜o
h(x) = | cos(2x)| e´:
em (3): expandir o gra´fico da func¸a˜o h(x) = | cos(2x)| em 3 unidades.
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Pre´-Ca´lculo para Engenharia AD2 - GABARITO 4
em (4): translac¸a˜o de 1 unidade do gra´fico da func¸a˜o h(x) = 3| cos(2x)| para baixo.
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