Gabarito AVA1 C1

Prévia do material em texto

Cálculo em Uma Variável - Profª. Grasiele
AVA 1 - Gabarito
1. Considere a função f : R −→ R cujo gráfico está esboçado a seguir:
Numere os gráficos a seguir estabelecendo sua correspondência com cada uma das
funções apresentadas a seguir:
1. y = |f(x)|
2. y = −f(x)
3. y = f(−x)
4. y = f(x+ 2)
5. y = f(x) + 2
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta, da esquerda para a direita.
(a) 2− 4− 5− 1− 3
(b) 5− 4− 1− 2− 3
(c) 2− 4− 1− 5− 3
(d) 1− 3− 2− 5− 4
(e) 2− 5− 1− 3− 4
Resposta:
1
� Como |f(x)| ≥ 0 para todo x real, temos que o terceiro gráfico é o único
que possui em seu conjunto imagem somente números reais não negativos.
Notemos que para x ≥ 0, a imagem de f só contém números reais
não negativos. Portanto, os gráficos de f e |f | coincidem para x ≥ 0.
Para x < 0, como a imagem de f só contém números negativos, o
gráfico de |f | é obtido a partir de uma reflexão do gráfico de f em
torno do eixo x.
� O gráfico de y = −f(x) é obtido do gráfico de y = f(x) através de uma reflexão
em torno do eixo x. Portanto, o gráfico dessa função é o primeiro gráfico.
� O gráfico de y = f(−x) é obtido a partir do gráfico de y = f(x) através de
uma reflexão em torno do eixo y. Portanto, o gráfico dessa função é o quinto
gráfico.
� O gráfico de y = f(x + 2) é obtido a partir do gráfico de y = f(x) através de
uma translação horizontal de 2 unidades para a esquerda. Portanto, o gráfico
dessa função é o segundo gráfico.
� O gráfico de y = f(x) + 2 é obtido a partir do gráfico de y = f(x) através
de uma translação vertical de 2 unidades para cima. Portanto, o gráfico dessa
função é o quarto gráfico.
A alternativa correta é (c) 2 - 4 - 1 - 5 - 3
2. Uma caixa sem tampa deve ser constrúıda de um pedaço retangular de papelão de
dimensões 12cm por 20cm. Para isso deve-se cortar quadrados de lado x de cada
canto e depois dobrar como a seguir. Encontre uma função V que expressa o volume
da caixa V (x) para cada valor de x. Determine o domı́nio da função V . Feito isso,
use um software computacional para estimar o valor de x que torna o volume o
maior posśıvel.
Tal valor de x satisfaz:
(a) 1 ≤ x < 2
(b) 2 ≤ x ≤ 3
2
(c) 3 ≤ x ≤ 4
(d) 6 < x < 10
(e) Não existe um valor de x que maximiza a função
Resposta: Temos que o volume da caixa é dado pela área da base pela altura. A
altura é x. A área da base é dada por A(x) = (20 − 2x)(12 − 2x). Portanto, o
volume da caixa é dado por
V (x) = (20− 2x)(12− 2x)x = (240− 40x− 24x+ 4x2)x
= 240x− 40x2 − 24x2 + 4x3
= 4x3 − 64x2 + 240x.
O domı́nio desta função é o conjunto de valores de x que fazem sentido ao problema.
Como vamos recortar quadrados de lado x de cada canto do retângulo e ainda
teremos que ter um espaço para fazer a caixa, devemos ter 2x < 20 e 2x < 12.
Portanto, devemos ter 2x < 12, ou seja, x < 6. Como x > 0, o domı́nio da função é
o intervalo aberto (0, 6).
Obs.: A função polinomial g(x) = 4x3 − 64x2 + 240x tem como domı́nio o
conjunto dos números reais. Mas, aqui estamos considerando um pro-
blema real onde a função V (x) = 4x3 − 64x2 + 240x tem como domı́nio
(0, 6).
A seguir temos o gráfico de V em vermelho. Foi marcado em pontilhado o que seria
a extensão do gráfico de V ao gráfico de g apenas para vermos a diferença entre as
duas funções (domı́nios diferentes).
-2 2 4 6 8 10
-800
-600
-400
-200
200
Pelo gráfico de V vemos que o valor máximo da função ocorre quando 2 ≤ x ≤ 3.
3
-2 2 4 6 8 10
-800
-600
-400
-200
200
Portanto, a alternativa correta é a alternativa (b).
3. Uma lata foi retirada de um ambiente no qual a temperatura era igual a Ta = 25
◦C
e posta em uma geladeira cuja temperatura interna era Ti = 5
◦C. A partir daquele
momento, a temperatura dentro da lata passou a ser dada pela função
T (t) = Ti + (Ta − Ti)2−bt,
em que t é o tempo (em horas). Sabendo que, depois de manter a lata por 2 horas
na geladeira, a temperatura do ĺıquido em seu interior atingiu 15◦C, determine a
constante b, escreva a fórmula para T (t) trace o gráfico de T .
Assinale a alternativa que contém as respostas corretas.
(a) b = 1, T (t) = 5 + 20 · 2−t
e o gráfico é
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
10
15
20
25
4
(b) b = 0, 5, T (t) = 25− 15 · 20,5t
e o gráfico é
1 2 3 4 5
20
40
60
80
100
120
(c) b = 0, 5, T (t) = 5 + 20 · 2−0,5t
e o gráfico é
2 4 6 8 10 12 14
5
10
15
20
25
(d) b = 0, 5, T (t) = 5 + 20 · 2−0,5t
e o gráfico é
1 2 3 4 5
20
40
60
80
100
120
Resposta: Temos que
T (2) = 5 + (25− 5)2−b·2 = 5 + 20 · 2−2b = 15.
Dáı,
20 · 2−2b = 15− 5 = 10
e então
2−2b =
10
20
=
1
2
= 2−1.
Como a função g(t) = 2t é crescente, ela é injetora. Então, se 2−2b = 2−1, só
podemos ter −2b = −1, ou seja, b = 1
2
= 0, 5. A fórmula para a função é
T (t) = 5 + 20 · 2−0,5t.
Notemos que:
� O gráfico de T é obtido do gráfico de f1(t) = 20 · 2−0,5t por uma translação
horizontal de 5 unidades para cima.
5
� O gráfico de f1(t) = 20 · 2−0,5t é obtido do gráfico de f2(t) = 2−0,5t por uma
expansão vertical obtida da multiplicação de f2(t) por 20 para cada t.
� O gráfico de f2(t) = 2
−0,5t =
(
2−1/2
)t
=
(
1√
2
)t
é o gráfico de uma função
exponencial f2(t) = a
t com 0 < a = 1√
2
< 1, logo segue o padrão da figura da
direita a seguir:
� O gráfico de f2 para t ≥ 0 é
2 4 6 8 10 12 14
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
� O gráfico de f1 para t ≥ 0 é
6
2 4 6 8 10 12 14
5
10
15
20
� O gráfico de T para t ≥ 0 é
2 4 6 8 10 12 14
10
15
20
25
Portanto, a alternativa que contém o valor de b, a expressão para T (t) e seu gráfico
é a alternativa (c).
4. Um biólogo determinou que no dia 1 de janeiro a região próxima a uma lagoa
continha 1.500 peixes de uma espécie. Seis meses depois, o biólogo notou que o
número de peixes havia dobrado. Supondo que o número de membros dessa espécie
na lagoa possa ser descrito aproximadamente por
N(t) = a log10(bt+ 10),
em que t é o tempo, em meses, decorrido desde o dia 1 de janeiro, determine as
constantes a e b.
Obs.: Exemplo de como escrever sua resposta: a = 45 e b = 20 (dê um único espaço
antes e depois do “e” e não coloque espaço antes do “a” e nem no final).
Resposta: Temos que
� N(0) = a log10(b · 0 + 10) = 1500 e
7
� N(6) = a log10(b · 6 + 10) = 3000.
É claro que a 6= 0, então:
� log10(10) =
1500
a
e
� log10(6b+ 10) =
3000
a
.
Utilizando que log10(x) = y ⇐⇒ 10y = x, ficamos com:
� 101500/a = 10 e
� 103000/a = 6b+ 10.
Como f(t) = 10t é uma função crescente, então ela é injetora. Logo, 1500
a
= 1, ou
seja
a = 1500.
Substituindo o valor de a temos que 103000/1500 = 6b + 10, ou seja, 102 = 6b + 10,
que é equivalente a 90 = 6b. Portanto,
b =
90
6
= 15.
5. A altura da cabine de uma roda-gigante é descrita em função do tempo (em minutos)
por
h(t) = 76 + 75 sen
( π
15
t− π
2
)
.
(a) Determine as alturas máxima M e mı́nima m da cabine.
(b) Determine quanto tempo a roda demora para dar uma volta completa, ou seja,
o peŕıodo p da função.
(c) Trace o gráfico de h.
8
(a) M = 76, m = −76, p = 75
2
e o gráfico é
10 20 30 40
-50
50
(b) M = 76, m = 1, p = 30
e o gráfico é
10 20 30 40
50
100
150
(c) M = 151, m = 1, p = 30
e o gráfico é
10 20 30 40
50
100
150
(d) M = 151, m = 1, p = 75
2
e o gráfico é
10 20 30 40
50
100
150
Resposta:
(a) Temos que−1 ≤ sen(?) ≤ 1, onde ? é qualquer função com imagem no conjunto
dos números reais. Dessa forma,
−1 ≤ sen
( π
15
t− π
2
)
≤ 1.
Multiplicando as desigualdades por 75 > 0 ficamos com
−75 ≤ 75 sen
( π
15
t− π
2
)
≤ 75.
Somando 76 em cada parcela ficamos com
1 = 76− 75 ≤ 76 + 75 sen
( π
15
t− π
2
)
≤ 76 + 75 = 151.
Portanto, a função que estamos analisando está limitada inferiormente por 1
e superiormente por 151. Os valores M = 151 e m = 1 são atingidos pois
para t = 0 temos que sen
(
−π
2
)
= −1 e para t = 15 temos que sen
(
π − π
2
)
=
sen
(
π
2
)
= 1. Portanto,o valor máximo que a função assume é M = 151 e o
valor mı́nimo é m = 1.
(b) Para calcular o peŕıodo da função devemos encontrar o menor valor positivo p
tal que
76 + 75 sen
( π
15
t− π
2
)
= 76 + 75 sen
( π
15
(t+ p)− π
2
)
para todo t. Isso é equivalente a encontrar o menor valor positivo p tal que
sen
( π
15
t− π
2
)
= sen
( π
15
(t+ p)− π
2
)
.
9
Sabemos que a função seno é periódica de peŕıodo 2π. Portanto, para encontrar
o menor valor positivo k devemos fazer( π
15
(t+ p)− π
2
)
=
( π
15
t− π
2
)
+2π ⇐⇒ π
15
(t+p) =
π
15
t+2π ⇐⇒ π
15
p = 2π ⇐⇒ p = 30.
Portanto, o peŕıodo é p = 30.
(c) Temos que:
� O gráfico de h é obtido do gráfico de h1(t) = 75 sen
(
π
15
t− π
2
)
por uma
translação vertical de 76 unidades para cima.
� O gráfico de h1 é obtido do gráfico de h2(t) = sen
(
π
15
t− π
2
)
por uma
expansão vertical obtida da multiplicação de h2(t) por 75 para todo t.
� O gráfico de h2 é obtido do gráfico de h3(t) = sen
(
π
15
t
)
por uma translação
horizontal de π
2
unidades para a direita.
� O gráfico de h3 é obtido do gráfico de h4(t) = sen (t) por uma expansão
horizontal obtida pela multiplicação de x por π
15
.
� O gráfico de h4 para t ≥ 0 é
10 20 30 40
-1.0
-0.5
0.5
1.0
� O gráfico de h3 para t ≥ 0 é
10 20 30 40
-1.0
-0.5
0.5
1.0
� O gráfico de h2 para t ≥ 0 é
10
10 20 30 40
-1.0
-0.5
0.5
1.0
� O gráfico de h1 para t ≥ 0 é
10 20 30 40
-50
50
� O gráfico de h para t ≥ 0 é
10 20 30 40
50
100
150
Portanto, a opção correta é a alternativa (c).
11