APX3_PreCalculoEng_2021_1_gabarito

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
APX3 – Pré-Cálculo para Engenharia – / /2021-1
Código da disciplina: EAD01073
Considere f(x) =
√
|x2 − 1| − 1
p(x) e p(x) = x
4 + 2x3 − x2 − 2x. Faça o que se pede
nas questões 1 e 2.
Questão 1 [1,5 ponto] Fatore o polinômio p(x) e encontre suas ráızes.
Solução:
Observemos que o polinômio p(x) = x4 + 2X3 − x2 − 2x possui 0 como raiz, pois
x4 + 2X3 − x2 − 2x = x(x3 + 2x2 − x − 2). Como os divisores de 2 são 1, −1,
2 e −2, testamos 1 e verificamos que é raiz. Usando o Dispositivo de Briot-Ruffini
para dividir x3 + 2x2 − x− 2 por x− 1 e encontramos x2 + 3x + 2. Para calcular
as ráızes de x2 + 3x2 + 2, usamos a Fórmula de Báshkara e encontramos −1 e −1.
Portanto,
p(x) = x(x− 1)(x + 1)(x + 2),
sendo suas ráızes 0, 1, −1 e −2.
Questão 2 [2,0 pontos] Determine o doḿınio da função f .
Solução:
Devemos ter |x2 − 1| − 1 ≥ 0 (isto é, |x2 − 1| ≥ 1 e p(x) 6= 0.
Assim, usando as propriedades do módulo, vemos que:
• x2 − 1 ≥ 1, donde x2 ≥ 2. Ou seja, x ≥
√
2 ou x ≤ −
√
2;
• x2 − 1 ≤ −1, donde x = 0.
Mas como p(x) 6= 0, então x 6= 0, x 6= −1, x 6= −2 e x 6= 1. Como
√
2 > 1, temos
o seguinte doḿınio:
D = (−∞,−2) ∪ (−2,−
√
2) ∪ (
√
2,∞).
Considere as funções f(x) = 2x+3 e g(x) = log2
(
x2/4
)
e faça o que se pede na
questão 3.
Questão 3 [2,0 pontos] Usando propriedades de logaritmo e exponencial, e obser-
vando os respectivos doḿınios de cada função, determine a expressão simplificada
de (g ◦ f)(x), e o valor de x tal que (f ◦ g)(x) = 0, caso exista.
Pré-Cálculo para Engenharia APX3 2
Solução:
Temos
(g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(2x+3) = log2
(
2x+3)2/4
)
=
log2
(
2x+3)2
)
− log2(4) = 2x + 6− 2 = 2x + 4.
Notemos que o doḿınio de g é x ∈ R, x 6= 0.
Por outro lado, (f ◦ g)(x) = 2log2
(
x2/4
)
· 23 = (x2/4) · 8 = 2x2.
Mas esta expressão é igual a 0 apenas se x = 0. Isto não é admisśıvel no doḿınio
de g. Logo, não existe o número real requisitado.
Considere o gráfico da função f : [−4, 6] → R abaixo e faça o que se pede nas
questões 4, 5 e 6.
Questão 4 [2,0 pontos] Sabendo que o gráfico de f é um arco de parábola em
[1, 5] e um segmento de reta em [5, 6], determine a lei de formação da função f no
intervalo de [−4, 6].
Solução:
Analisando a função f no intervalo [1, 5].
Note que f(2) = 0 e f(4) = 0. Assim, 2 e 4 são zeros da função f . Sabendo que o
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Pré-Cálculo para Engenharia APX3 3
gráfico de f é um arco de parábola neste intervalo, temos que f(x) = ax2 + bx + c
neste intervalo. Usando o fato de que , xv = 3 e yv = −1 temos que b = −6a
e c = −1 + 9a. Por outro lado , f(4) = 0 e f(2) = 0, substituindo na função
quadrática, obtemos a = 1, b = −6 e c = 8. Logo, no intervalo [1, 5] temos que
f(x) = x2 − 6x + 8. Por outro lado, pelo gráfico dado acima, temos que a reta no
intervalo [5, 6] passa pelos pontos (5, 3) e (6,−1).
Assim, o coeficiente angular desta reta é dado por m = −1−36−5 = −4.
Logo, y − 3 = −4(x− 5).
Portanto, f(x) = −4x + 23 no intervalo [5, 6].
Sendo assim,
f(x) =

3, se,−4 ≤ x < 1
x2 − 6x + 8, se 1 ≤ x ≤ 5
−4x + 23, se 5 < x ≤ 6
Questão 5 [1,0 ponto] Considere a função h definida por h(x) = 3 f(x + 3)− 4,
definida no maior doḿınio posśıvel. Determine o doḿınio da função h.
Solução:
Como x + 3 ∈ [−4, 6], temos que −4 ≤ x + 3 ≤ 6. Logo, −7 ≤ x ≤ 3. Portanto,
Dom(h) = [−7, 3].
Questão 6 [1,5 ponto] Considere a função g definida por g(x) = |f(x)| − 1.
Construa o gráfico da função g para x ∈ [−2, 4].
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